[精選]有限元考試試題及答案——第一組資料

1、有限元考試試題及答案一、簡答題（ 5 道，共計 25 分）。1. 有限單元位移法求解彈性力學問題的基本步驟有哪些？（ 5 分）答：（1）選擇適當?shù)膯卧愋蛯椥泽w離散化；（2）建立單元體的位移插值函數(shù)；（3）推導單元剛度矩陣；（4）將單元剛度矩陣組裝成整體剛度矩陣；（5）代入邊界條件和求解。2. 在劃分網(wǎng)格數(shù)相同的情況下，為什么八節(jié)點四邊形等參數(shù)單元精度大于四 邊形矩形單元？ （5 分）答：在對于曲線邊界的邊界單元， 其邊界為曲邊， 八節(jié)點四邊形等參數(shù)單元邊上三個節(jié) 點所確定的拋物線來代替原來的曲線，顯然擬合效果比四邊形矩形單元的直邊好。3. 軸對稱單元與平面單元有哪些區(qū)別？ （5 分）答：軸

2、對稱單元是三角形或四邊形截面的空間的環(huán)形單元， 平面單元是三角形或四邊形平 面單元； 軸對稱單元內任意一點有四個應變分量， 平面單元內任意一點非零獨立應變分量有 三個。4. 有限元空間問題有哪些特征？ （5 分） 答：（1）單元為塊體形狀。常用單元：四面體單元、長方體單元、直邊六面體單元、曲 邊六面體單元 、軸對稱單元。 （ 2）結點位移 3 個分量。（ 3）基本方程比平面問題多。 3 個 平衡方程， 6 個幾何方程， 6 個物理方程。5. 簡述四節(jié)點四邊形等參數(shù)單元的平面問題分析過程。 （ 5）分）答：（1）通過整體坐標系和局部坐標系的映射關系得到四節(jié)點四邊形等參單元的母單元， 并選取單元的

3、唯一模式；（2 ） 通過坐標變換和等參元確定平面四節(jié)點四邊形等參數(shù)單元的幾何形狀和位移模式；（3 ）將四節(jié)點四邊形等參數(shù)單元的位移模式代入平面問題的幾何方程，得到單元應變 分量的計算式，再將單元應變代入平面問題的物理方程，得到平面四節(jié)點等參 數(shù)單元的應力矩陣；（4）用虛功原理求得單元剛度矩陣，最后用高斯積分法計算完成。二、論述題（ 3 道 , 共計 30 分）。1. 簡述四節(jié)點四邊形等參數(shù)單元的平面問題分析過程。 （10 分）答：（1）通過整體坐標系和局部坐標系的映射關系得到四節(jié)點四邊形等參單元的母單元， 并選取單元的唯一模式；（ 2） 通過坐標變換和等參元確定平面四節(jié)點四邊形等參數(shù)單元的幾何

4、形狀和位移模 式；（ 3）將四節(jié)點四邊形等參數(shù)單元的位移模式代入平面問題的幾何方程，得到單元應變分量的計算式，再將單元應變代入平面問題的物理方程，得到平面四節(jié)點等參 數(shù)單元的應力矩陣；（4）用虛功原理求得單元剛度矩陣，最后用高斯積分法計算完成。2軸對稱問題的簡單三角形單元是否是常應力，常應變？為什么？（10分）答：不是常應力和常應變。因為應變與位移分量的關系式為r即不會是常應變。應力應變的物理關系為二-/ - b ：，由于應變不是常應變,則所求得的應力也不會是常應力。3在薄板彎曲理論中做了哪些假設？薄板單元和厚板單元的基本假設有什么不同？ （ 10分）答：四種假設：1）變形前的中面法線在變形后

5、仍為彈性曲面的法線。2）變形前后板的厚度不變。3）板變形時，中面無伸縮。4）板內各水平層間互不擠壓。不同點：薄板單元假設橫向纖維無擠壓，板的中面法線變形后仍保持為直線，該直線垂直于變形后的中面， 但是厚板單元的假設考慮橫向變形的影響，板的中面法線變形后仍基本保持為直線，但該直線不再垂直于變形后的中面，法線繞坐標軸的轉角不再 是撓度的導數(shù)，而是獨立的變量。三、計算題（3道，共計45分）1如圖所示等腰直角三角形單元，其厚度為t，彈性模量為E，泊松比弋=0 ；單元的邊長及結點編號見圖中所示。求(1) 形函數(shù)矩陣N(2) 應變矩陣B和應力矩陣S單元剛度矩陣Ke( 12分)解：設圖1所示的各點坐標為點1

6、(a，0)，點2(a, a)，點3(0，0)于是，可得單元的面積為A*，及(1) 形函數(shù)矩陣N為1N|亍(0 ax - ay)N -丨1 N1 IN2 I N3 1-IN 1 N2 N3 1aM 1 (0 dx ay) ； a叫1 (a2 - ax y)a(2) 應變矩陣B和應力矩陣S分別為a10a匚a0-aa00'a01a ，B 30a2-a00-aB -B1B 2B3 1-a00-a03 =耳0-a,S2 E2_0a,S3 = _E200aaa1-la1 a1 a010-a一 22 -2t2 -S = D 丨 BB2B31-IS-|S2S3 I(3) 單元剛度矩陣Ke2. 如圖所示

7、的四結點矩形單元，求出節(jié)點3的位移。設厚度t = 1m, i= 0, E3-1-1 -10-2-201 1-131K12K13kK-K 22K 23 A-11100-140-20200K 32K 33 J-2000201-1-1001 一K11etK = B DBtA= K21K 31為常量。(13分)4>-3注：對于四節(jié)點矩形單元有:1.NiN2N3N4J1- 14111 41 141十一 14Ni(1 i )(1 i ) (i =123,4)2.k11k12k13k14k21k22k23k24k31k32k33k34“41k42k43k44 _D 治 tdxdy 二Akj LqBi

8、j D Bj tdxdy =abt IB ID Bj dAEt812-ja1-1ij21 1 一j-i j1'：lijII，a b i j(i,j =1,2,3,4)解：對于四節(jié)點矩形單元有:NiN2N3N411- 14J1 1J i 1 4J 1- 14Ni1=丄(1 i )(1 i )4(i =123,4)k e = Bb IB tdxdy 二Ak11 k21 k31 k41k13k23k33k43-.ek14k24k34k44k L H Bij b Bj tdxdy =abt D tj d 'A_ 一；b"-2_ 1 -jaEt81 3 i j 1_吒 i j1

9、 £ i j2a i j 1-b-(i,j ",2,3,4)2"j1 -i -j3-吒i j13ijkeeRe， 代入邊界條件(11= V=M2= V=出=V= 0,將對應的行和列劃掉沒剩下的方程為:(J3V-P-P1又 Ni =丄(1】)(1 i ) (i =123,4)，且；=1,3=1 , a=1,b=14所以xm、 “1訂4'丁一 I31丁一3所以-P-P'鉀/曰爲:8P 1解侍丿 =丿沁：5E 13. 有一如圖3(a)所示的剪力墻，墻頂作用豎向荷載P。將該剪力墻劃分為兩個三結點三角形常應力單元，單元和結點編號如圖3(b)所示，并將荷載P分

10、成兩個P/2作用在3、4結點。已知單元厚度為t，彈性模量為E,泊松比卩=1/3。求結點3和結點4的位移，以及單元的應變和應力。(20分)解：建立直角坐標系(注Y軸向下為正)，單元i,j,m 對應的節(jié)點編號為 3,1,4，單元對 應的節(jié)點編號為2,4,1。對于單元：i(0,0),j(0,4),m(2,0)bi=yi-ym=4 ; bj=ym-yi=0 ; bm=yi_yj=_4ci=xm-xj=2 ; cj=xi-xm=-2 ; cm=xj-xi=0三角形面積A=1/2*2*4=4_400 0-401幾何矩陣B=-020 -200824-2 00-4J單元剛度矩陣彈性矩陣D=一2（9-卩）4（1 + ）4（3-2 円2岸1）4岸-1）2（1 -卩）-8卩-404-168卩084 164（卩-1）8（卩-1）4（卩-1）0 0k1 珂BTDBt.： =8（1 _ JEt216（1）29-門24（1 + 卩）4（3-24）2（4-1）4（卩-1）2（1 _ 門3-8-404-16-8卩08卩161卅-1）8-1）4岸-1）0 0 8（1 -k2 二k1然后合成總剛K。Pp整體節(jié)點力矢量為F -F1xF1yF2xF2y 00節(jié)點位移矢量為d = 0000u3v3u4 vF二Kd