2015人教A版本（文）（3.1 導(dǎo)數(shù)的概念及運算）一輪復(fù)習(xí)題

1、§3.1導(dǎo)數(shù)的概念及運算1函數(shù)yf(x)從x1到x2的平均變化率函數(shù)yf(x)從x1到x2的平均變化率為，若xx2x1，yf(x2)f(x1)，則平均變化率可表示為.2函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)(1)定義稱函數(shù)yf(x)在xx0處的瞬時變化率 為函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)，記作f(x0)或y|xx0，即f(x0) .(2)幾何意義函數(shù)f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)的幾何意義是在曲線yf(x)上點(x0，f(x0)處的切線的斜率相應(yīng)地，切線方程為yf(x0)f(x0)(xx0)3函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)稱函數(shù)f(x) 為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)有時也記作y.4基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

2、公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)c (c為常數(shù))f(x)_0_f(x)x (Q*)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)ax (a>0)f(x)axln_af(x)exf(x)exf(x)logax (a>0，且a1)f(x)f(x)ln xf(x)5導(dǎo)數(shù)的運算法則(1)f(x)±g(x)f(x)±g(x)；(2)f(x)·g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3) (g(x)0)1判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“×”)(1)f(x0)與(f(x0)表示的意義相同(×)(

3、2)求f(x0)時，可先求f(x0)再求f(x0)(×)(3)曲線的切線不一定與曲線只有一個公共點()(4)與曲線只有一個公共點的直線一定是曲線的切線(×)(5)若f(x)a32axx2，則f(x)3a22x.(×)(6)函數(shù)f(x)x2ln x的導(dǎo)函數(shù)為f(x)2x·2.(×)2(2013·江西)設(shè)函數(shù)f(x)在(0，)內(nèi)可導(dǎo)，且f(ex)xex，則f(1)_.答案2解析設(shè)ext，則xln t(t>0)，f(t)ln ttf(t)1，f(1)2.3已知曲線yx3在點(a，b)處的切線與直線x3y10垂直，則a的值是 ()A1

4、B±1 C1 D±3答案B解析由yx3知y3x2，切線斜率ky|xa3a2.又切線與直線x3y10垂直，3a2·()1，即a21，a±1，故選B.4如圖所示為函數(shù)yf(x)，yg(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，那么yf(x)，yg(x)的圖象可能是()答案D解析由yf(x)的圖象知yf(x)在(0，)上單調(diào)遞減，說明函數(shù)yf(x)的切線的斜率在(0，)上也單調(diào)遞減，故可排除A，C.又由圖象知yf(x)與yg(x)的圖象在xx0處相交，說明yf(x)與yg(x)的圖象在xx0處的切線的斜率相同，故可排除B.故選D.5已知點P在曲線y上，為曲線在點P處的切線的傾斜角，

5、則的取值范圍是_答案，)解析y，y.ex>0，ex2，y1,0)，tan 1,0)又0，)，)題型一利用定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例1利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)f(x)x3在xx0處的導(dǎo)數(shù)，并求曲線f(x)x3在xx0處的切線與曲線f(x)x3的交點思維啟迪掌握導(dǎo)數(shù)的定義，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵解f(x0) (x2xx0x)3x.曲線f(x)x3在xx0處的切線方程為yx3x·(xx0)，即y3xx2x，由得(xx0)2(x2x0)0，解得xx0，x2x0.若x00，則交點坐標(biāo)為(x0，x)，(2x0，8x)；若x00，則交點坐標(biāo)為(0,0)思維升華求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)步驟：(1)

6、求函數(shù)值的增量yf(x2)f(x1)；(2)計算平均變化率；(3)計算導(dǎo)數(shù)f(x) .(1)函數(shù)yx在x，xx上的平均變化率_；該函數(shù)在x1處的導(dǎo)數(shù)是_(2)若函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且x0(a，b)，則 的值為()Af(x0) B2f(x0)C2f(x0) D0答案(1)10(2)B解析(1)y(xx)xxx.1.y|x1 0.(2) 2× 2f(x0)題型二導(dǎo)數(shù)的運算例2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)yex·ln x；(2)yx；思維啟迪求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，首先要搞清函數(shù)的結(jié)構(gòu)；若式子能化簡，可先化簡再求導(dǎo)解(1)y(ex·ln x)exln xex

7、3;ex(ln x)(2)yx31，y3x2.思維升華(1)求導(dǎo)之前，應(yīng)利用代數(shù)、三角恒等式等變形對函數(shù)進行化簡，然后求導(dǎo)，這樣可以減少運算量，提高運算速度，減少差錯；(2)有的函數(shù)雖然表面形式為函數(shù)的商的形式，但在求導(dǎo)前利用代數(shù)或三角恒等變形將函數(shù)先化簡，然后進行求導(dǎo)，有時可以避免使用商的求導(dǎo)法則，減少運算量；求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)y(x1)(x2)(x3)；(2)ysin (12cos2)；解(1)方法一y(x23x2)(x3)x36x211x6，y3x212x11.方法二y(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x2x1)

8、(x3)(x1)(x2)(2x3)(x3)(x1)(x2)3x212x11.(2)ysin (cos )sin x，y(sin x)(sin x)cos x.題型三導(dǎo)數(shù)的幾何意義例3已知函數(shù)f(x)x34x25x4.(1)求曲線f(x)在點(2，f(2)處的切線方程；(2)求經(jīng)過點A(2，2)的曲線f(x)的切線方程思維啟迪由導(dǎo)數(shù)的幾何意義先求斜率，再求方程，注意點是否在曲線上，是否為切點解(1)f(x)3x28x5，f(2)1，又f(2)2，曲線f(x)在點(2，f(2)處的切線方程為y(2)x2，即xy40.(2)設(shè)切點坐標(biāo)為(x0，x4x5x04)，f(x0)3x8x05，切線方程為y(

9、2)(3x8x05)(x2)，又切線過點(x0，x4x5x04)，x4x5x02(3x8x05)(x02)，整理得(x02)2(x01)0，解得x02或x01，經(jīng)過A(2，2)的曲線f(x)的切線方程為xy40，或y20.思維升華導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用，需注意以下兩點：(1)當(dāng)曲線yf(x)在點(x0，f(x0)處的切線垂直于x軸時，函數(shù)在該點處的導(dǎo)數(shù)不存在，切線方程是xx0；(2)注意區(qū)分曲線在某點處的切線和曲線過某點的切線曲線yf(x)在點P(x0，f(x0)處的切線方程是yf(x0)f(x0)(xx0)；求過某點的切線方程，需先設(shè)出切點坐標(biāo)，再依據(jù)已知點在切線上求解已知拋物線yax2bxc通

10、過點P(1,1)，且在點Q(2，1)處與直線yx3相切，求實數(shù)a、b、c的值解y2axb，拋物線在點Q(2，1)處的切線斜率為ky|x24ab.4ab1.又點P(1,1)、Q(2，1)在拋物線上，abc1，4a2bc1.聯(lián)立解方程組，得實數(shù)a、b、c的值分別為3、11、9.一審條件挖隱含典例：(12分)設(shè)函數(shù)yx22x2的圖象為C1，函數(shù)yx2axb的圖象為C2，已知過C1與C2的一個交點的兩切線互相垂直(1)求a，b之間的關(guān)系；(2)求ab的最大值審題路線圖C1與C2有交點(可設(shè)C1與C2的交點為(x0，y0)過交點的兩切線互相垂直(切線垂直隱含著斜率間的關(guān)系)兩切線的斜率互為負(fù)倒數(shù)利用導(dǎo)數(shù)

11、求兩切線的斜率：k12x02，k22x0a(2x02)(2x0a)1(交點(x0，y0)適合解析式)，即2x(a2)x02b0ababa2當(dāng)a時，ab最大且最大值為.規(guī)范解答解(1)對于C1：yx22x2，有y2x2，1分對于C2：yx2axb，有y2xa，2分設(shè)C1與C2的一個交點為(x0，y0)，由題意知過交點(x0，y0)的兩切線互相垂直(2x02)(2x0a)1，即4x2(a2)x02a10又點(x0，y0)在C1與C2上，故有2x(a2)x02b0由消去x0，可得ab.6分(2)由(1)知：ba，aba2.9分當(dāng)a時，(ab)最大值.12分溫馨提醒審題包括兩方面內(nèi)容：題目信息的挖掘、

12、整合以及解題方法的選擇；本題切入點是兩條曲線有交點P(x0，y0)，交點處的切線互相垂直，通過審題路線可以清晰看到審題的思維過程.方法與技巧1f(x0)代表函數(shù)f(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)值；(f(x0)是函數(shù)值f(x0)的導(dǎo)數(shù)，而函數(shù)值f(x0)是一個常量，其導(dǎo)數(shù)一定為0，即(f(x0)0.2對于函數(shù)求導(dǎo)，一般要遵循先化簡再求導(dǎo)的基本原則求導(dǎo)時，不但要重視求導(dǎo)法則的應(yīng)用，而且要特別注意求導(dǎo)法則對求導(dǎo)的制約作用，在實施化簡時，首先必須注意變換的等價性，避免不必要的運算失誤失誤與防范1利用公式求導(dǎo)時要特別注意除法公式中分子的符號，防止與乘法公式混淆 2求曲線切線時，要分清在點P處的切線與過P點的切線

13、的區(qū)別，前者只有一條，而后者包括了前者3曲線的切線與曲線的交點個數(shù)不一定只有一個，這和研究直線與二次曲線相切時有差別.A組專項基礎(chǔ)訓(xùn)練(時間：35分鐘，滿分：57分)一、選擇題1設(shè)f(x)xln x，若f(x0)2，則x0的值為()Ae2 Be C. Dln 2答案B解析由f(x)xln x得f(x)ln x1.根據(jù)題意知ln x012，所以ln x01，因此x0e.2若函數(shù)f(x)ax4bx2c滿足f(1)2，則f(1)等于()A1 B2 C2 D0答案B解析f(x)4ax32bx，f(x)為奇函數(shù)且f(1)2，f(1)2.3若曲線yx4的一條切線l與直線x4y80垂直，則l的方程為()A4

14、xy30 Bx4y50C4xy30 Dx4y30答案A解析切線l的斜率k4，設(shè)yx4的切點的坐標(biāo)為(x0，y0)，則k4x4，x01，切點為(1,1)，即y14(x1)，整理得l的方程為4xy30.4曲線yx3在點(1,1)處的切線與x軸及直線x1所圍成的三角形的面積為()A. B. C. D.答案B解析求導(dǎo)得y3x2，所以y3x2|x13，所以曲線yx3在點(1,1)處的切線方程為y13(x1)，結(jié)合圖象易知所圍成的三角形是直角三角形，三個交點的坐標(biāo)分別是(，0)，(1,0)，(1,1)，于是三角形的面積為×(1)×1，故選B.5已知f1(x)sin xcos x，fn1

15、(x)是fn(x)的導(dǎo)函數(shù)，即f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，fn1(x)fn(x)，nN*，則f2 015(x)等于()Asin xcos x Bsin xcos xCsin xcos x Dsin xcos x答案A解析f1(x)sin xcos x，f2(x)f1(x)cos xsin x，f3(x)f2(x)sin xcos x，f4(x)f3(x)cos xsin x，f5(x)f4(x)sin xcos x，fn(x)是以4為周期的函數(shù)，f2 015(x)f3(x)sin xcos x，故選A.二、填空題6已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x)，且滿足f(x)3x22x&#

16、183;f(2)，則f(5)_.答案6解析對f(x)3x22xf(2)求導(dǎo)，得f(x)6x2f(2)令x2，得f(2)12.再令x5，得f(5)6×52f(2)6.7已知函數(shù)yf(x)及其導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示，則曲線yf(x)在點P處的切線方程是_答案xy20解析根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及圖象可知，曲線yf(x)在點P處的切線的斜率kf(2)1，又過點P(2,0)，所以切線方程為xy20.8若函數(shù)f(x)x2axln x存在垂直于y軸的切線，則實數(shù)a的取值范圍是_答案2，)解析f(x)x2axln x，f(x)xa.f(x)存在垂直于y軸的切線，f(x)存在零點，xa0，ax2.

17、三、解答題9求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)yxnlg x；(2)y；(3)y；解(1)ynxn1lg xxn·xn1(nlg x)(2)y()()()(x1)(2x2)(x3)x24x33x4.(3)y().10已知曲線yx3.(1)求曲線在點P(2,4)處的切線方程；(2)求曲線過點P(2,4)的切線方程解(1)P(2,4)在曲線yx3上，且yx2，在點P(2,4)處的切線的斜率為y|x24.曲線在點P(2,4)處的切線方程為y44(x2)，即4xy40.(2)設(shè)曲線yx3與過點P(2,4)的切線相切于點A，則切線的斜率為y|xx0x.切線方程為yx(xx0)，即yx·xx.點P

18、(2,4)在切線上，42xx，即x3x40，xx4x40，x(x01)4(x01)(x01)0，(x01)(x02)20，解得x01或x02，故所求的切線方程為xy20或4xy40.B組專項能力提升(時間：25分鐘，滿分：43分)1在函數(shù)yx39x的圖象上，滿足在該點處的切線的傾斜角小于，且橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點的個數(shù)是()A0 B1 C2 D3答案A解析依題意得，y3x29，令0y<1得3x2<，顯然滿足該不等式的整數(shù)x不存在，因此在函數(shù)yx39x的圖象上，滿足在該點處的切線的傾斜角小于，且橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點的個數(shù)是0，選A.2若函數(shù)f(x)x2bxc的圖象的頂點在第四象限，則函數(shù)f(x)的大致圖象是()答案A解析f(x)x2bxc2c，由f(x)的圖象的頂點在第四象限得>0，b<0.又f(x)2xb，斜率為正，縱截距為負(fù)，故選A.3已知曲線C：f(x)x3axa，若過曲線C外一點A(1,0)引曲線C的兩條切線，它們的傾斜角互補，則a的值為_答案解析設(shè)切點坐標(biāo)為(t，t3ata)由題意知，f(x)3x2a，切線的斜率為ky|xt3t2a，所以切線方程為y(t3ata)(3t2a)(xt)將點(1,0)代入式得，(t3ata)(3t2a)(1t)，解之得，t0或t.分別將