江蘇省鎮(zhèn)江市2016屆高三上學(xué)期期末調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題word版(含答案)

1、鎮(zhèn)江市鎮(zhèn)江市 2015201520162016 學(xué)年度第一學(xué)期期末檢測(cè)試題學(xué)年度第一學(xué)期期末檢測(cè)試題高三數(shù)學(xué)2016.1第一部分第一部分一、 填空題：本大題共 1414 小題，每小題 5 5 分，共 7070 分不需寫(xiě)出解答過(guò)程1. 若全集為 UR R，Ax|x2x0，則UC A _【答案】0，1【命題立意】本題旨在考查集合的補(bǔ)集運(yùn)算，考查概念的理解和運(yùn)算能力，難度較小【解析】由題可得2010Ax xxx xx或，0,1UC A 2. i 為虛數(shù)單位，計(jì)算1i2i_【答案】31i55【命題立意】本題旨在考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算與概念，考查概念的理解能力，難度較小【解析】1-i2+i1-i3-i3 i

2、=-2-i2-i2+i55 53. 箱子中有形狀、大小都相同的 3 只紅球和 2 只白球，一次摸出 2 只球，則摸到的 2 球顏色不同的概率為_(kāi)【答案】35【命題立意】本題旨在考查古典概型及其應(yīng)用，考查概念的理解能力，數(shù)據(jù)的運(yùn)算能力，難度中等.【解析】對(duì)紅球和白球進(jìn)行編號(hào)：紅 1；紅 2；紅 3；白 1；白 2，則摸到的 2 球的可能性有10 種：紅 1，紅 2；紅 1，紅 3；紅 1，白 1；紅 1，白 2；紅 2，紅 3；紅 2，白 1；紅 2，白2；紅 3，白 1；紅 3，白 2；白 1，白 2；摸到的 2 球顏色不同的有 6 種：紅 1，白 1；紅 1，白 2；紅 2，白 1；紅 2，

3、白 2；紅 3，白 1；紅 3，白 2；故摸到的 2 球顏色不同的概率為354. 已知實(shí)數(shù)x，y滿足xy2，xy8，x1，則z2xy的最小值是_【答案】1【命題立意】本題旨在考查線性規(guī)劃最值問(wèn)題，考查數(shù)形結(jié)合思維，難度中等【解析】作出不等式組xy2，xy8，x1，其是由點(diǎn)1,7A,1, 1B,5,3C圍成的三角形區(qū)域（包含邊界） ，對(duì)于目標(biāo)函數(shù) z2xy，轉(zhuǎn)化為直線2yxz ，過(guò)點(diǎn)1, 1B時(shí)，z最小，即2 1 11z 5.5. 閱讀如圖所示的程序框，若輸入的 n n 是 3030，則輸出的變量 S S 的值是_(第 5 5 題圖)【答案】240【命題立意】本題旨在考查算法的當(dāng)型流程圖及其應(yīng)用

4、考查運(yùn)算和推理能力，難度較小【解析】 根據(jù)算法的流程圖， 當(dāng)30n ，2n ，30S ，28n ； 當(dāng)28n ，2n ，58S ，26n ； ， 當(dāng)2n ，15 30230282622402S，0n 輸出240S 6.6. 已知向量a a(2，1)，b b(1，0)，則|2ab|_【答案】 13【命題立意】本題旨在考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與數(shù)量積，考查運(yùn)算能力，難度較小【解析】23,2ab ，2223213ab7. 已知函數(shù)f(x)是定義在 R R 上的奇函數(shù)，當(dāng)x0 時(shí)，f(x)1log2x，則不等式f(x)0 的解集是_【答案】(2，0)(2，)【命題立意】本題旨在考查函數(shù)的基本性質(zhì)，不等式

5、的運(yùn)用，考查數(shù)形結(jié)合思維，難度中等【解析】當(dāng)x0 時(shí)， 2log1f xfxx ,f(x)0 時(shí)，f(x)1log2x，f(x)0,即21 log0 x，解得2x ，綜上所述，不等式f(x)0，0)圖象上的一個(gè)最高點(diǎn)和其相鄰最低點(diǎn)的距離的最小值為_(kāi)【答案】2【命題立意】本題旨在考查三角函數(shù)的幾何性質(zhì)，基本不等式，考查概念的理解和運(yùn)算能力，難度較小【解析】取函數(shù)yasin(ax)(a0，0)的最大值為a，周期為2Ta，所以同一周期內(nèi)相鄰的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的距離為：22224242aaaa（當(dāng)且僅當(dāng)2a時(shí)，等號(hào)成立） ，故答案為 212.Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若SnS2nn14n2，則a3a

6、5_【答案】35【命題立意】本題旨在考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前 n 項(xiàng)和，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，難度中等【解析】由SnS2nn14n2可得，111212122212nnnnn aaaann aaaan，當(dāng)1n 時(shí)，112223aaa，212112 ,aa daaa，311511233455aadaaada13. 函數(shù)f(x)x2x，x0，12|12x|，x0，若關(guān)于x的方程f(x)kxk至少有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為_(kāi)【答案】13，1)(1，)【命題立意】本題旨在考查分段函數(shù)，函數(shù)與方程考查概念的理解和運(yùn)算能力，難度中等.【解析】作函數(shù)圖象可得，當(dāng)ykxk過(guò)點(diǎn)1 1,2 2時(shí)，直

7、線的斜率最小即13k ，當(dāng)直線ykxk與20yxx x相切時(shí)有一個(gè)交點(diǎn)，1ky，故函數(shù)f(x)x2x，x0，12|12x|，x0，與直線ykxk有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，k的取值范圍為13，1)(1，)，即關(guān)于x的方程f(x)kxk至少有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為13，1)(1，)14. 由 sin 36cos 54，可求得 cos 2 016的值為_(kāi)【答案】514【命題立意】本題旨在考查三角函數(shù)值，誘導(dǎo)公式考查概念的理解和運(yùn)算能力，難度中等.【 解 析 】 由 sin36 cos54 得00000sin362sin18 cos18cos 3618即2004sin 182sin1810

8、 ，解得20221651sin182 44 ，000002051cos2016cos 5 360144cos 144cos362sin 1814 ，二、 解題題：本大題共 6 6 小題，共計(jì) 9090 分解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟15. (本小題滿分 14 分)如圖：四棱錐 PABCD 中，PDPC，底面 ABCD 是直角梯形，ABBC，ABCD，CD2AB，點(diǎn) M是 CD 的中點(diǎn)(1) 求證：AM平面 PBC；(2) 求證：CDPA.(第 1515 題圖)【答案】 （1）略； （2）略【命題立意】本題旨在考查空間線面平行的判定、線線垂直的判定；考查空間想象能力和識(shí)圖能力，規(guī)范化

9、書(shū)寫(xiě)表達(dá)能力，難度較小.【解析】證明：(1) 在直角梯形 ABCD 中，ABCD，CD2AB，點(diǎn) M 是 CD 的中點(diǎn)，由 ABCM，且 ABCM，所以四邊形 ABCM 是平行四邊形，且是矩形(3 分)所以 AMBC， （4 分）又因?yàn)?BC平面 PBC， （5 分）AM 是平面 PBC 外一條直線， （6 分）故 AM平面 PBC，(2) 連接 PM，因?yàn)?PDPC，點(diǎn) M 是 CD 的中點(diǎn)，所以 CDPM，(8 分)又因?yàn)樗倪呅?ABCM 是矩形，CDAM，(9 分)CDAM，CDPM，PM平面 PAM，AM平面 PAM， （10 分）PMMAM， （11 分）CD平面 PAM.(12 分

10、)又因?yàn)?AP平面 PAM，(13 分)所以 CDPA.(14 分)16.16. (本小題滿分 14 分)在ABC 中，角 A，B，C 所對(duì)應(yīng)的邊分別是 a，b，c，向量m m(ac，bc)，n n(bc，a)，且m mn n.(1) 求B；(2) 若b 13，cosA6 3 3926，求a.【答案】 （1）B3； （2）1【命題立意】本題旨在考查向量的平行的運(yùn)算，余弦定理，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，三角變換，正弦定理；考查學(xué)生的字母符號(hào)處理能力、運(yùn)算能力能力、書(shū)寫(xiě)表達(dá).能力，難度較小【解析】 (1) 因?yàn)閙 mn n，所以a2c2b2ac，(2 分)因?yàn)?cosBa2c2b22acac2ac1

11、2，(4 分)B(0，)(5 分)故B3.(6 分)(2) 因?yàn)锳66，56，(7 分)cosA6 3 3926，所以 sinA6 5 1326，(9 分)所以 sinAsinA6 6 3926，(11 分)在ABC中，由正弦定理可得：asinAbsinB，(13 分)解得a1.(14 分)17. (本小題滿分 14 分)如圖，某工業(yè)園區(qū)是半徑為 10km 的圓形區(qū)域，離園區(qū)中心O點(diǎn) 5km 處有一中轉(zhuǎn)站P，現(xiàn)準(zhǔn)備在園區(qū)內(nèi)修建一條筆直公路AB經(jīng)過(guò)中轉(zhuǎn)站，公路AB把園區(qū)分成兩個(gè)區(qū)域(1) 設(shè)中心O對(duì)公路AB的視角為，求的最小值，并求較小區(qū)域面積的最小值；(2) 為方便交通，準(zhǔn)備過(guò)中轉(zhuǎn)站P在園區(qū)內(nèi)

12、再修建一條與AB垂直的筆直公路CD，求兩條公路長(zhǎng)度和的最小值(第 1717 題圖)【答案】 （1）的最小值為23，較小區(qū)域面積的最小值是 502332km2.； （2）20201010 3 3kmkm【命題立意】本題旨在考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，考查學(xué)生的推理分析能力，難度中等.【解析】(1) 如圖 1，作 OHAB，設(shè)垂足為 H，記 OHd，2AOH，因?yàn)閏osAOHd10，(1 分)要使有最小值，只需要 d 有最大值，結(jié)合圖像可得，dOP5km，(3 分)當(dāng)且僅當(dāng) ABOP 時(shí)，dmin5km.此時(shí)min2AOH2323.(4 分)設(shè) AB 把園區(qū)分成兩個(gè)區(qū)域，其中較小區(qū)域面積記為 S，根據(jù)

13、題意可得：Sf()S扇形SAOB50(sin)，(6 分)f()50(1cos)0 恒成立，f()為增函數(shù)，(7 分)所以 Sminf23502332km2.(8 分)答：視角的最小值為23，較小區(qū)域面積的最小值是 502332km2.(9 分)(第 1717 題圖 1 1)(2 2) 如圖 2 2，分別過(guò) O O 分別作 OHOHABAB，OHOH1 1CDCD 垂足分別是 H H，H H1 1，記 OHOHd d，OHOH1 1d d2 2，由(1 1)可知 d d1 10 0，5 5所以 d d2 21 1d d2 22 2OPOP2 22525，且 d d2 22 22525d d2

14、21 1(1010 分)因?yàn)?ABAB2 2 100100d d2 21 1，CDCD2 2 100100d d2 22 2，所以 ABABCDCD2 2( 100100d d2 21 1 100100d d2 22 2)2 2( 100100d d2 21 1 7575d d2 21 1)，(1111 分)記 L L(d d1 1)ABABCDCD2 2( 100100d d2 21 1 7575d d2 21 1)，可得 L L2 2(d d1 1)4 41751752 2 （100100d d2 21 1） （7575d d2 21 1），(1212 分)由 d d2 21 10 0，2

15、525，可知 d d2 21 10 0，或 d d2 21 12525 時(shí)，L L2 2(d d1 1)的最小值是 100100(7 74 4 3 3)，從而 ABABCDCD 的最小值是 20201010 3 3 km.km.(1313 分)答：兩條公路長(zhǎng)度和的最小值是 20201010 3 3 km.km.(1414 分)(第 1717 題圖 2 2)18.18. (本小題滿分 1616 分)已知在平面直角坐標(biāo)系 xOyxOy 中，橢圓x x2 2a a2 2y y2 2b b2 21 1(ab0ab0)的離心率為3 32 2，左頂點(diǎn)為 A A(3 3，0 0)，圓心在原點(diǎn)的圓 O O 與

16、橢圓的內(nèi)接三角形AEFAEF 的三條邊都相切(1 1) 求橢圓方程；(2 2) 求圓 O O 方程；(3 3) B B 為橢圓的上頂點(diǎn)，過(guò) B B 作圓 O O 的兩條切線，分別交橢圓于 M M，N N 兩點(diǎn)，試判斷并證明直線 MNMN 與圓 O O 的位置關(guān)系(第 1818 題圖)【答案】 （1）x29y2941； （2）x2y21； （3）直線 MN 與圓 O 的位置關(guān)系是相切【命題立意】本題旨在考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的幾何性質(zhì)；圓的方程，直線與圓的位置關(guān)系；考查運(yùn)算能力，難度中等.【解析】 (1) 由題意可知ca32，a3，得：c3 32，(2 分)因?yàn)?a2b2c2，所以 b294，

17、(3 分)故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是：x29y2941.(4 分)(2) 設(shè)直線 AE 的方程：yk(x3)，點(diǎn) E(x1，y1)，由x29y2941，yk（x3） ，可得(4k21)x224k2x36k290.(5 分)因?yàn)?x124k24k21，得 x1312k24k21，代入直線 yk(x3)，得 y16k4k21，所以 E312k24k21，6k4k21 ，(7 分)同理可得 F312k24k21，6k4k21 ，(9 分)根據(jù)條件可知圓心 O 到直線 AE 的距離等于圓心 O 到直線 EF 的距離可得|3k|k21|312k24k21|r，解之得 k218，(10 分)從而 r21，所以圓

18、O 的方程為：x2y21.(11 分)(3) 設(shè)直線 BM 的方程為 ykx32，因?yàn)橹本€ BM 與圓 O 相切，所以 dr，解得 k52，(14 分)當(dāng) k52，lBM：y52x32，由x29y2941y52x32，解得 x2 5x0.(11 分)所以 M( 5，1)，(12 分)同理可得 N( 5，1)(13 分)可得直線 MN 方程是：y1，(15 分)直線 MN 與圓 O 的位置關(guān)系是相切(16 分)【方法技巧【方法技巧】 (1)解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問(wèn)題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡(jiǎn)，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問(wèn)題.19.19. (本小題滿

19、分 1616 分)已知數(shù)列a an n)的各項(xiàng)都為自然數(shù)，前 n n 項(xiàng)和為 S Sn n，且存在整數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù) n n 都有S Sn n(1 1)a an n恒成立(1 1) 求值，使得數(shù)列a an n)為等差數(shù)列，并求數(shù)列a an n)的通項(xiàng)公式；(2 2) 若數(shù)列a an n為等比數(shù)列，此時(shí)存在正整數(shù) k k，當(dāng) 1 1kjk0 x0，2a2a3 3，m m1 1，f f(x x)b b2a2a1 1e e1 1a a恒成立，求正數(shù) b b 的范圍【答案】 （1）當(dāng) a0 時(shí)，函數(shù) f(x)的增區(qū)間是(，0)，減區(qū)間是(0，)；當(dāng) a0 時(shí)，函數(shù)f(x)的增區(qū)間是(，0)1a，減

20、區(qū)間是0，1a ； （2）當(dāng) 2m4 時(shí)，04時(shí)，00，則 x0；令 f(x)0；若 a0，得1ax0；由 f(x)x 或 00，由 f(x)0，得 0 x0，得 x1a或 x0；綜上可得：當(dāng) a0 時(shí)，函數(shù) f(x)的增區(qū)間是(，0)，減區(qū)間是(0，)；(3 分)當(dāng) a0 時(shí)，函數(shù) f(x)的增區(qū)間是(，0)1a，減區(qū)間是0，1a (7 分)(2) 因?yàn)?2a3，m1，由(1)x(0，)上函數(shù) f(x)的最小值是 f1a .因?yàn)?f(x)b2a1e1a恒成立，所以 f1a b2a1e1a恒成立，(8 分)所以e1a(2a1)b2a1e1a恒成立，即 2a1b2a1恒成立(9 分)由 2a3，

21、m1，令 2a1t2，m，則 tbt，所以lnblnttg(t)，(10 分)由 g(t)1lntt2，可知函數(shù) g(t)在(0，e)上遞增；(e，)上遞減，且 g(2)g(4)(11分)當(dāng) 2m4 時(shí)，g(t)ming(2)ln22，從而lnbln22，解得 04 時(shí)，g(t)ming(m)lnmm，從而lnblnmm，解得 0bm1m，(15 分)故：當(dāng) 2m4 時(shí)，04 時(shí)，0y，求證：x4x22xyy2y3.【答案】略【命題立意】本題旨在考查基本不等式及其應(yīng)用考查運(yùn)算求解能力，難度較小【解析】證明：xy4x22xyy2(xy)4（xy）2(3 分)xy2xy24（xy）2，(5 分)因

22、為xy，xy0，所以xy2xy24（xy）233xy2xy24（xy）23，當(dāng)且僅當(dāng)xy2xy24（xy）2取等號(hào)，此時(shí)xy2.(10 分)【必做題】第 2222 題、第 2323 題，每題 1010 分，共計(jì) 2020 分解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟22. (本小題滿分 10 分)如圖，在棱長(zhǎng)為 3 的正方體 ABCDA1B1C1D1中，A1ECF1.(1) 求兩條異面直線 AC1與 BE 所成角的余弦值；(2) 求直線 BB1與平面 BED1F 所成角的正弦值(第 2222 題圖)【答案】 （1）39393939； （2）3 1414【命題立意】本題旨在考查空間直角坐標(biāo)系的建立，空間向量的應(yīng)用，空間異面直線所成角、線面所成角的求解與應(yīng)用等考查空間想象能力和識(shí)圖能力，難度中等.【解析】(1) 以 D 為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系 Dxyz，如圖所示，(第 2222 題圖)則 A A(3 3，0 0，0 0)，C C1 1(0 0，3 3，3 3)，ACAC1 1(3 3，3 3，3 3)，B B(3 3，3 3，0 0)，E E(3 3，0 0，2 2)，BEBE(0 0，3 3，2 2)(2 2