怎樣將條線段任意黃金分割

1、怎樣將一條線段任意黃金分割湖北省襄陽(yáng)市襄州區(qū)黃集鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)趙國(guó)瑞在數(shù)學(xué) 王國(guó)里有一個(gè)“數(shù)”像詩(shī)一樣美妙，它就是美的密碼 一一 _（準(zhǔn)確值）=0.618（近似值）.兩千多年前，古希臘的數(shù)學(xué)家歐克多索斯發(fā)現(xiàn)：將一條線段AB分割成大小兩條線段PB AP二AP、PB，若小段PB與大段AP的長(zhǎng)度之比等于大段 AP與全段AB的長(zhǎng)度之比，即一匸,如圖1所示此時(shí)線段 AP叫做線段AP、PB的比例中項(xiàng)，則可得出這一比值為_(kāi) ，這種分割稱(chēng)為黃金分割，點(diǎn) P叫做線段AB的黃金分割點(diǎn).那么，應(yīng)該怎樣把一條線段進(jìn)行黃金分割呢？或者說(shuō)怎樣作出已知線段的黃金分割點(diǎn) 呢？下面提供一種作法：如圖2,已知線段AB,求作線段AB的

2、黃金分割點(diǎn). 過(guò)點(diǎn)B作BD丄AB，使 BD= - AB; 連結(jié)AD，在AD上截取 DE=DB ; 在線段AB上截取AP=AE.則點(diǎn)P是線段AB上的一個(gè)黃金分割點(diǎn).那么，為什么點(diǎn) P是線段AB上的一個(gè)黃金分割點(diǎn)呢?ax + -事實(shí)上，若設(shè) AB=a, AP=x，由作圖過(guò)程可知 AP= _ .在Rt ABD中，由勾股定理可得 / J l：J.整理可得x2=a（ a- x）.因此點(diǎn)P是線段AB上的一個(gè)黃金分割點(diǎn).實(shí)際上，我們不僅可以把一條線段進(jìn)行黃金分割，而且還可以把一條線段任意進(jìn)行黃金分割，如何把一條線段任意進(jìn)行黃金分割呢？為此我們先看一個(gè)與黃金分割有趣的數(shù)量關(guān) 系.如圖3,點(diǎn)C是線段AB的一個(gè)黃

3、金分割點(diǎn)（其中點(diǎn)C靠近端點(diǎn)B），由于對(duì)稱(chēng)性，在線 段AB上必然還有另一個(gè)黃金分割點(diǎn)D（其中點(diǎn)D靠近端點(diǎn)A）.得75-15£_ 75-1AC=BD=二 a,而丄-于是點(diǎn)C是線段DB的一個(gè)黃金分割點(diǎn)（靠近端點(diǎn)D） 利用對(duì)稱(chēng)性，再作出線段DB的 另一個(gè)黃金分割點(diǎn) E（靠近端點(diǎn)B），則點(diǎn)E 一定是線段CB的一個(gè)黃金分割點(diǎn)（靠近端點(diǎn)B）, 如圖4所示這樣我們就可以不斷地利用對(duì)稱(chēng)性對(duì)線段AB進(jìn)行黃金分割.我們不但可以利用與黃金分割有趣的數(shù)量關(guān)系對(duì)一條線段任意進(jìn)行黃金分割，還可以 利用與黃金分割有關(guān)的幾何圖形對(duì)一條線段任意進(jìn)行黃金分割.黃金矩形 如果一個(gè)矩形的兩邊之比具有黃金分割比值，則稱(chēng)這種矩形

4、為黃金矩形，它 是由一個(gè)小正方形和另一個(gè)小黃金矩形組成的.后，所余小矩形的兩邊分別為(a-b)和b,它們的比為a事實(shí)上，如圖5,設(shè)大黃金矩形的兩邊分別為a、b,則羅_，分出一個(gè)正方形樣我們可以將一個(gè)黃金矩形無(wú)限分割下去，就可以得到無(wú)限多個(gè)黃金矩形.其底與腰之比為黃金分割比值,黃金三角形 頂角為36°勺等腰三角形叫做黃金三角形.底角平分線與腰的交點(diǎn)為腰的黃金分割點(diǎn).如圖 ABC中，/ A=36° AB=AC,/ ACBAB BC二的平分線 CP 交腰 AB 于 P,則 BC=CP=AP，且 ABCCBP,.三 ?,即 AP2=BP B,再作/ ABC的平分線交 CP于Pi,作/ BPC的平分線交 BPi于P2,得到 BPPi,A PP1P2, 均為黃金三角形.如此下去則可