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1、第七章 數(shù)列問題思索割圓術(shù)割圓術(shù) “割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以致于不可割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以致于不可割,那么與圓周合體而無所失矣割,那么與圓周合體而無所失矣 劉徽劉徽問題思索割圓術(shù)問題思索割圓術(shù)問題思索割圓術(shù)問題思索割圓術(shù)問題思索割圓術(shù)問題思索割圓術(shù)問題思索割圓術(shù)問題思索割圓術(shù)R正六邊形的面積正六邊形的面積1A正十二邊形的面積正十二邊形的面積2A正正 形的面積形的面積126 nnA,321nAAAAS闡明:劉徽從圓內(nèi)接正六邊形,逐次邊數(shù)加倍到正闡明:劉徽從圓內(nèi)接正六邊形,逐次邊數(shù)加倍到正3072邊形得到圓周率邊形得到圓周率 的近似值為的近似值為3.1416問題思索 “一尺之棰,
2、日取其半,萬世不竭一尺之棰,日取其半,萬世不竭. 莊子莊子1 1 111, , , ,2 4 82n5161611.53 102a3110010017.89 102ay0.50.450.40.350.30.250.20.150.10.05問題思索 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 12nna 07.7 數(shù)列的極限一知識講解一、數(shù)列的極限一、數(shù)列的極限1. 概念:普通地,在概念:普通地,在n無限增大的變化過程中,假無限增大的變化過程中,假設(shè)無窮數(shù)列設(shè)無窮數(shù)列 中的中的 無限趨近于一個常數(shù)無限趨近于一個常數(shù)A, 那那么么A叫做數(shù)列叫做數(shù)列 的極限,或叫做數(shù)列的極限,或叫做數(shù)列 收斂
3、于收斂于A2. 寫法:寫法:3. 讀法:讀法:n趨向于無窮大時,趨向于無窮大時, 的極限等于的極限等于A.nana na na nalimnnaA知識講解舉例舉例1:“項隨項隨n的增大而小的增大而小 但都大于但都大于0當(dāng)當(dāng)n無限增大時,無限增大時, 可以可以“無限趨于常數(shù)無限趨于常數(shù)0 231 111,2 222n12n1lim02nn知識講解舉例舉例2:“項隨項隨n的增大而減小的增大而減小 但都大于但都大于0當(dāng)當(dāng)n無限增大時,無限增大時, 可以可以“無限趨于常數(shù)無限趨于常數(shù)0 231111,10 101010n110n1lim010nn知識講解二、根本極限二、根本極限當(dāng)當(dāng) 時,時, lim0
4、nnq1q 知識講解舉例舉例3:“項隨項隨n的增大而減小的增大而減小 但都大于但都大于0當(dāng)當(dāng)n無限增大時,無限增大時, 可以可以“無限趨于常數(shù)無限趨于常數(shù)0 1 1 111, , , , ,2 3 4n1n1lim0nny10.90.80.70.60.50.40.30.20.1問題思索 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 x 1nan0知識講解二、根本極限二、根本極限 1lim0nn知識講解舉例舉例4:“項不隨項不隨n的變化而變化的變化而變化 都等于都等于2當(dāng)當(dāng)n無限增大時,數(shù)列可以無限增大時,數(shù)列可以“無限趨于常數(shù)無限趨于常數(shù)2 2,2,2,2,lim22n知識講解二、根
5、本極限二、根本極限當(dāng)當(dāng) 時,時, lim0(C)nC為常數(shù)lim0nnq1q 1lim0nn問題思索思索: 是不是每個數(shù)列都有極限? 知識講解舉例5: 1,1,nnnannn是奇數(shù)是偶數(shù)知識講解舉例6:無窮數(shù)列 0.3,0.33,0.333,0.3333,n 個問題思索思索: 用什么表達這種無限接近的過程? 知識講解舉例舉例7:“項正負(fù)交錯陳列,并且隨項正負(fù)交錯陳列,并且隨n的增大其絕對值減的增大其絕對值減小小當(dāng)當(dāng)n無限增大時,無限增大時, 可以可以“無限趨于常數(shù)無限趨于常數(shù)0 1111, ,23nn1nn1lim0nnn知識講解舉例7: 1nnan12131811416151701間隔量化:
6、間隔量化: ,隨著,隨著n的增大,的增大, 的值的值越來越小,無限趨近于越來越小,無限趨近于0,即,即1100nnann1n00na 知識講解一、數(shù)列的極限 無限趨近于A 無限趨近于0nalimnnaAnaAlim0nnaA例1 判別 有沒有極限,并闡明理由例題講解21nnan練習(xí)7.7(1) P38課內(nèi)練習(xí)例2 判別以下數(shù)列能否有極限,假設(shè)有極限,給出它的極限,假設(shè)沒有極限,闡明理由123常數(shù)數(shù)列例題講解21925,1, ,4,4444n1,1, 1,1,1 ,n3, 3, 3, 3, 練習(xí)7.7(2) P39課內(nèi)練習(xí)知識講解阿基米德2yxxy知識講解阿基米德2yxxy知識講解阿基米德2yx
7、xy2222223321112111211 2161 216nnSnnnnnnnnn nnnnnn 21 21limlim6nnnnnSSn=?7.7 數(shù)列的極限二知識講解三. 極限的運算法那么假設(shè) ,那么12特別地,假設(shè)C是常數(shù),那么由2得lim,limnnnnaAbBlimlimlimnnnnnnnababA Blimlimlimnnnnnnna babA BlimlimlimnnnnnC aCaC A知識講解三. 極限的運算法那么假設(shè) ,那么3lim,limnnnnaAbBlimlim0limnnnnnnnaaABbbB例3 計算:123例題講解2lim 7nn34limnnn21 21
8、lim6nnnn四、關(guān)于四、關(guān)于n的多項式比多項式外形的極限的多項式比多項式外形的極限假設(shè)分子最高次分母的最高次,那么極限值為假設(shè)分子最高次分母的最高次,那么極限值為知識講解34lim3nnn2221 212311limlim366nnnnnnnn分子最高次項系數(shù)分母最高次項系數(shù)四、關(guān)于四、關(guān)于n的多項式比多項式外形的極限的多項式比多項式外形的極限假設(shè)分子最高次假設(shè)分子最高次分母的最高次,那么極限值分母的最高次,那么極限值不存在不存在知識講解32231lim6nnnn四、關(guān)于四、關(guān)于n的多項式比多項式外形的極限的多項式比多項式外形的極限假設(shè)分子最高次假設(shè)分子最高次分母的最高次,那么極限值分母的最高次,那么極限值0知識講解23231lim6nnnn練習(xí)7.7(3) P42課內(nèi)練
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