數(shù)值分析課程設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)報(bào)告

1、數(shù)值分析課程設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)報(bào)告姓名：陳浩學(xué)號(hào)：081002102班級(jí)：091002 指導(dǎo)老師：任林源 完成日期：2011-7目錄一丶概述_二丶設(shè)計(jì)內(nèi)容_三丶設(shè)計(jì)過(guò)程_四丶主要代碼_五丶結(jié)果顯示_六丶結(jié)果驗(yàn)證_七丶設(shè)計(jì)總結(jié)_實(shí)驗(yàn)一：Gauss消去法和Gauss選列主元消去法一丶概述1.1 設(shè)計(jì)名稱：Gauss消去法和Gauss選列主元消去法1.2 設(shè)計(jì)目的：數(shù)值分析課本中的最基礎(chǔ)解線性方程組的方法Gauss消去法和Gauss選列主元消去法，隨著對(duì)他們的深入研究發(fā)現(xiàn)他們也有很多缺點(diǎn).設(shè)計(jì)這次試驗(yàn)是為了找出這兩者之間的區(qū)別。加強(qiáng)對(duì)這兩種算法的了解和掌握,還有鍛煉分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力，理解和掌握相關(guān)算法

2、的原理執(zhí)行并完成程序設(shè)計(jì).二丶設(shè)計(jì)內(nèi)容、編程試驗(yàn)Gauss消去法和Gauss選列主元消去法;對(duì)二者算法進(jìn)行比較；三丶設(shè)計(jì)過(guò)程3.1 Gauss消去法3.1.1 消去法實(shí)現(xiàn)： 根據(jù)消去法的原理，編寫(xiě)Matlab程序，并運(yùn)行，然后帶入數(shù)據(jù)算出結(jié)果，再比較.3.1.2 Gauss消去法的原理：方程組：A*x=b A為矩陣A= a(11) a(12)a(1n); a(21) a(22)a(2n); a(n1) a(n2)a(nn)b=b1 b2 bn1 回帶過(guò)程用行列式的初等行變換把A化為上三角矩陣，則可以取得xn的值，有xn的值則可以帶入上一式中求出x(n-1)的值，以此類推則可以求得xi的值則遞推

3、公式xn=un,n-1/unnxi=1/uii(ui,n+1-(ui,i+1xi+1+.+uinxn)3.2 Gauss選列主元消去法3.2.1 原理：選列主元消去法就是在系數(shù)矩陣中按列選取絕對(duì)值最大的值作為主元素，然后交換所在行與主元素所在行的位置，再按順序消去法進(jìn)行消元。四丶主要代碼：4.1 Gauss消去法主要代碼function x=hanxiaogu (A,b)n=length(b);for i= 1:n-1 for k= i+1:n for j= i+1:n if abs (A(i,i)<10(-6) warning('分母為零不能計(jì)算!'); return;

4、 else A(k,j)= A(k,j)-A(i,j)*A(k,i)/A(i,i); end end b(k)=b(k)-b(i)*A(k,i)/A(i,i); A(k,i)=0; endend%回代求解x(n)=b(n)/A(n,n);for i=n-1:-1:1 sum=0; for j=i+1:n sum=sum+A(i,j)*x(j); end x(i)=(b(i)-sum)/A(i,i);endend4.2 Gauss選列主元消法主要代碼function x=Gaussxiaoqumethod(A,b)%用高斯消去法解線性方程組A*x=b% x是未知量n=length(b);x=ze

5、ros(n,1);c=zeros(1,n);%尋找最大元t=0;for i=1:n-1max=abs(A(i,i);m=i;for j=i+1:n if max<abs(A(j,i) max=abs(A(j,i); m=j; endendif m=i for k=1:n c(k)=A(i,k); A(i,k)=A(m,k); A(m,k)=c(k); end t=b(i); b(i)=b(m); b(m)=t;endfor k=i+1:n for j=i+1:n A(k,j)=A(k,j)-A(i,j)*A(k,i)/A(i,i); end b(k)=b(k)-b(i)*A(k,i)/A

6、(i,i); A(k,i)=0;endend%回帶過(guò)程x(n)=b(n)/A(n,n);for i=n-1:-1:1 sum=0; for j=i+1:n sum=sum+A(i,j)*x(j); end x(i)=(b(i)-sum)/A(i,i);endend五丶結(jié)果顯示：5.1 Gauss消去法和Gauss主元消去法結(jié)果相同顯示結(jié)果：A = 4096 1234 3678 2943 2246 3872 4015 1129 3645 1926 3781 643 1784 4002 2786 3927b = 4063 1550 4240 -2557x=hanxiaogu (A,b)x = -0

7、.1818 -1.66942.2226-0.4440六丶結(jié)果驗(yàn)證A*x=4063.3384 1550.2234 4240.2332 2556.6944這說(shuō)明Gauss消去法和Gauss主元消去法的計(jì)算精度是相當(dāng)高的。但是如果系數(shù)矩陣A是奇異矩陣，就會(huì)出錯(cuò)。七丶設(shè)計(jì)總結(jié)列主元消元法和Gauss消元法的計(jì)算過(guò)程基本上是一樣的，只是在每一次消元前要選取系數(shù)矩陣的列主元，然后把方程組做適當(dāng)?shù)男薪粨Q再進(jìn)行消元運(yùn)算，這就保證了舍入誤差不擴(kuò)散。列主元消元法克服了順序Gauss消元的缺點(diǎn)，運(yùn)算量也沒(méi)有全主元消元法那么大，因此是解線性方程組的一種比較實(shí)用而且簡(jiǎn)單的方法。 實(shí)驗(yàn)二：Gauss-Seidol迭代法線

8、性方程組一概述：1.1 設(shè)計(jì)說(shuō)明：Guass-Seidol迭代法1.2 設(shè)計(jì)目的：深入學(xué)習(xí)和掌握Gauss-Seidol迭代法解線性方程組，會(huì)使用Matlab軟件，回編寫(xiě)程序，并使用程序帶入數(shù)據(jù)，計(jì)算出結(jié)果。二丶算法內(nèi)容：編寫(xiě)程序，并使用Matlab程序運(yùn)行程序，計(jì)算出結(jié)果三丶設(shè)計(jì)過(guò)程3.1 Gauss-Seidol迭代法3.1.1 迭代法的實(shí)現(xiàn)：根據(jù)迭代法的原理，編寫(xiě)Matlab程序，并運(yùn)行，然后帶入數(shù)據(jù)算出結(jié)果。3.1.2 Gauss-Seidol迭代法的原理：線性方程組 Ax=b A=(aij)n×n非奇異，b=bbo.將Ax=b變換成映射形式的同解組 x=Gx+f由此構(gòu)造迭代

9、公式 x(k)=Gx(k-1)+f對(duì)取定的初值向量想x(0)，取得極限 x*=Gx*+f從而x*為A*x=b的解，當(dāng)k充分大的時(shí)候x*=x(k).四丶主要代碼：function x=naspgs(A,b,x0,e,N)%用途：用向量（稀疏存儲(chǔ)）形式的Gauss-Seidel迭代解線性方程組Ax=b%格式：x=naspgs(A,b,x0,e,N) A為系數(shù)矩陣，b為右端向量，x返回解向% 量，x0為初值向量（默認(rèn)原點(diǎn)），e為精確度（默認(rèn)1e-4）,設(shè)置迭代次數(shù)上限% 以防發(fā)散（默認(rèn)500）n=length(b);if nargin<5,N=500;endif nargin<3,e=1

10、e-4,endif nargin<2,x0=zeros(n,1);endx0=sparse(x0);b=sparse(b);A=sparse(A);%使用稀疏矩陣存儲(chǔ)x=x0;x0=x+2*e;x0=sparse(x0);k=0;A1=tril(A);iA1=inv(A1);while norm(x0-x,inf)>e&k<N, k=k+1; x0=x;x=-iA1*(A-A1)*x0+iA1*b;endx=full(x);if k=N,warning('已達(dá)迭代次數(shù)上線');endend五丶結(jié)果顯示A=17.031,-0.615,-2.991,1.0

11、07,-1.006,0.000; -1.000,34.211,-1.000,-2.100,0.300,-1.700; 0.000,0.500,13.000,-0.500,1.000,-1.500; 4.501,3.110,-3.907,-61.705,12.170,8.999; 0.101,-8.012,-0.017,-0.910,4.918,0.100; 1.000,2.000,3.000,4.500,5.000,21.803b=0.230,-52.322,54.000,240.236,29.304,-117.818'e=10(-6)x0=0 0 0 0 0 0 'N=500x=naspgs(A,b,x0,e,N)x =0.9071 -1.9618 3.2937 -4.5007 2.0293 -5.2551 '六丶結(jié)果驗(yàn)證：A*x=0.2301897 -52.3220098 53.9995 241.1419028 29.3037902 117.8189953這說(shuō)明Gauss-Seidol迭代法的精確度比較高，但是奇異矩陣還是會(huì)出錯(cuò)的。七丶設(shè)計(jì)總結(jié)直接法得到的解是理論上準(zhǔn)確的，但是我們可以看得出，它們的計(jì)算量都是n3數(shù)量級(jí)，存儲(chǔ)量為n2量級(jí)，這在n比較小的時(shí)候還比較合適，但是對(duì)于現(xiàn)在的很多實(shí)際問(wèn)題，往往要我們求解很大的n的矩陣，而且這些矩陣往往是