交會(huì)法和小三角測量

1、2022年2月16日星期三 1第九章第九章 交會(huì)法和小三角測量交會(huì)法和小三角測量9.1 9.1 概概 述述 一、控制點(diǎn)的布設(shè)形式一、控制點(diǎn)的布設(shè)形式1 1測角交會(huì)測角交會(huì) 1 1）前方交會(huì)）前方交會(huì) 如圖，如圖，A A、B B為已為已知點(diǎn)，知點(diǎn)，P P為待定點(diǎn)，在為待定點(diǎn)，在兩個(gè)已知點(diǎn)上安置儀器，兩個(gè)已知點(diǎn)上安置儀器，觀測水平角，求出觀測水平角，求出P P點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo)。坐標(biāo)。 2022年2月16日星期三 2 2 2）側(cè)方交會(huì)）側(cè)方交會(huì) 如圖，如圖，A A、B B為已知為已知點(diǎn)，點(diǎn)，P P為待定點(diǎn)，為待定點(diǎn)，B B點(diǎn)不點(diǎn)不能安置儀器，所以在已能安置儀器，所以在已知點(diǎn)知點(diǎn)A A及待定點(diǎn)及待定點(diǎn)P P上

2、安置上安置儀器，觀測水平角，求儀器，觀測水平角，求出出P P點(diǎn)坐標(biāo)。點(diǎn)坐標(biāo)。 2022年2月16日星期三 3 3 3）后方交會(huì)）后方交會(huì)如圖，如圖，A A、B B、C C為已為已知點(diǎn)，知點(diǎn)，P P為待定點(diǎn)，為待定點(diǎn)，在待定點(diǎn)在待定點(diǎn)P P上安置儀上安置儀器，觀測水平角，求器，觀測水平角，求出出P P點(diǎn)坐標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo)。2022年2月16日星期三 44）其它交會(huì)）其它交會(huì) 旁點(diǎn)交會(huì)圖形旁點(diǎn)交會(huì)圖形 雙點(diǎn)后方交會(huì)圖形雙點(diǎn)后方交會(huì)圖形 2022年2月16日星期三 52 2測邊交會(huì)測邊交會(huì)如圖，如圖，A A、B B為已知點(diǎn)，為已知點(diǎn)，P P為待定點(diǎn)，測量兩為待定點(diǎn)，測量兩待定邊的距離，求出待定邊的距離，求出

3、P P點(diǎn)坐標(biāo)。點(diǎn)坐標(biāo)。由測角交會(huì)和測邊交會(huì)知道：由測角交會(huì)和測邊交會(huì)知道： 確定一個(gè)點(diǎn)的平面位置，需要兩個(gè)確定一個(gè)點(diǎn)的平面位置，需要兩個(gè)觀測量。觀測量。2022年2月16日星期三 63 3、小三角網(wǎng)的布設(shè)形式、小三角網(wǎng)的布設(shè)形式單三角鎖單三角鎖中點(diǎn)多邊形中點(diǎn)多邊形ABCEDAF大地四邊形大地四邊形ABCD線型鎖線型鎖CDEFBCDEFBA2022年2月16日星期三 7二、作業(yè)步驟二、作業(yè)步驟1 1外業(yè)外業(yè) 選點(diǎn)（圖上選點(diǎn)、實(shí)地勘察）、選點(diǎn)（圖上選點(diǎn)、實(shí)地勘察）、造標(biāo)、埋石、觀測（測角、測邊）造標(biāo)、埋石、觀測（測角、測邊）2 2內(nèi)業(yè)內(nèi)業(yè) 檢查手簿、抄錄起算數(shù)據(jù)（核檢查手簿、抄錄起算數(shù)據(jù)（核對(duì)）、

4、坐標(biāo)反算、歸心投影計(jì)算、對(duì)）、坐標(biāo)反算、歸心投影計(jì)算、求各點(diǎn)坐標(biāo)、評(píng)定精度。求各點(diǎn)坐標(biāo)、評(píng)定精度。 2022年2月16日星期三 8一一. .前方交會(huì)的前方交會(huì)的計(jì)算計(jì)算一一. . 計(jì)算公式計(jì)算公式（余切公式、戎格公式）（余切公式、戎格公式） A AB BP P 已知點(diǎn)：已知點(diǎn)： A(XA(XA A,Y,YA A) )、B(XB(XB B,Y,YB B) ) 待定點(diǎn)：待定點(diǎn)： P P 觀測數(shù)據(jù)：觀測數(shù)據(jù)： 、 ,(,( =180 =180- - - - ) )9.2 9.2 前方交會(huì)前方交會(huì)2022年2月16日星期三 9前方交會(huì)計(jì)算公式直接計(jì)算待定點(diǎn)坐標(biāo)的公式：直接計(jì)算待定點(diǎn)坐標(biāo)的公式：ABPc

5、otcot)(cotcotcotcot)(cotcotBABAPABBAPxxyyyyyxxx余切公式余切公式tantantantan)(tantantantantantan)(tantanBABAPABBAPxxyyyyyxxx正切公式正切公式2022年2月16日星期三 10 1）計(jì)算公式是根據(jù)）計(jì)算公式是根據(jù)A、B、P為為逆時(shí)針組成的圖形導(dǎo)出的，實(shí)際計(jì)逆時(shí)針組成的圖形導(dǎo)出的，實(shí)際計(jì)算時(shí)必須按這樣的順序編號(hào)；算時(shí)必須按這樣的順序編號(hào)； 2）為了檢核計(jì)算，以求出的）為了檢核計(jì)算，以求出的P點(diǎn)坐標(biāo)和點(diǎn)坐標(biāo)和A點(diǎn)計(jì)算點(diǎn)計(jì)算B點(diǎn)，與點(diǎn)，與B點(diǎn)已知點(diǎn)已知值相比較。這種檢核只能檢核計(jì)算值相比較。這種檢核

6、只能檢核計(jì)算是否正確，不能發(fā)現(xiàn)角度測錯(cuò)、用是否正確，不能發(fā)現(xiàn)角度測錯(cuò)、用錯(cuò)，已知點(diǎn)坐標(biāo)用錯(cuò)，也不能提高錯(cuò)，已知點(diǎn)坐標(biāo)用錯(cuò)，也不能提高計(jì)算精度。計(jì)算精度。 2022年2月16日星期三 11二、檢核二、檢核 1兩組前方交會(huì)兩組前方交會(huì) 雙點(diǎn)前方交會(huì)，不能發(fā)現(xiàn)觀測錯(cuò)誤及用雙點(diǎn)前方交會(huì)，不能發(fā)現(xiàn)觀測錯(cuò)誤及用錯(cuò)起算數(shù)據(jù)的錯(cuò)誤。為了檢核，通常是布錯(cuò)起算數(shù)據(jù)的錯(cuò)誤。為了檢核，通常是布設(shè)成兩組前方交會(huì)，比較兩組計(jì)算結(jié)果，設(shè)成兩組前方交會(huì)，比較兩組計(jì)算結(jié)果，其差異是否在允許范圍之內(nèi)。其差異是否在允許范圍之內(nèi)。 2限差規(guī)定限差規(guī)定3)-(9 )(1 . 0222mmMyxpps2022年2月16日星期三 12三、

7、圖形要求三、圖形要求 1 1交會(huì)角交會(huì)角：在測角交會(huì)圖：在測角交會(huì)圖形中，由未知點(diǎn)至相鄰兩起始形中，由未知點(diǎn)至相鄰兩起始點(diǎn)間方向的夾角。點(diǎn)間方向的夾角。 交會(huì)角太小或太大，相同的測交會(huì)角太小或太大，相同的測角誤差將使待定點(diǎn)的點(diǎn)位誤差角誤差將使待定點(diǎn)的點(diǎn)位誤差增大，如右圖所示。增大，如右圖所示。 2 2要求：要求：30301501502022年2月16日星期三 13四、變形圖形四、變形圖形 為了滿足交為了滿足交會(huì)角的要求，會(huì)角的要求，有時(shí)需要改有時(shí)需要改變前方交會(huì)變前方交會(huì)的基本圖形。的基本圖形。 四點(diǎn)前方交會(huì)四點(diǎn)前方交會(huì) 折迭圖形折迭圖形 基線邊不通視的情況基線邊不通視的情況2022年2月16

8、日星期三 14基線邊不通視的情況的計(jì)算基線邊不通視的情況的計(jì)算可以把它轉(zhuǎn)換成典型的兩點(diǎn)前方交會(huì)，可以把它轉(zhuǎn)換成典型的兩點(diǎn)前方交會(huì)，另外，也可以按下式計(jì)算：另外，也可以按下式計(jì)算： BPAPBABPBAPAPtgtgyytgxtgxxBPAPBABPBAPAPctgctgxxctgyctgyY 它省去了坐標(biāo)反算的步驟。它省去了坐標(biāo)反算的步驟。 注意圖形編號(hào)順序，對(duì)地形控制點(diǎn)，坐標(biāo)取注意圖形編號(hào)順序，對(duì)地形控制點(diǎn)，坐標(biāo)取至至cmcm，三角函數(shù)要取，三角函數(shù)要取6 6位小數(shù)。位小數(shù)。 2022年2月16日星期三 15前方交會(huì)計(jì)算實(shí)例前方交會(huì)計(jì)算實(shí)例野外點(diǎn)位略圖 已已知知數(shù)數(shù)據(jù)據(jù) 點(diǎn)號(hào) x/m y/m

9、 D D6 6116.942116.942683.295683.295D D7 7522.909522.909794.647794.647D D8 8781.305781.305435.018435.018觀觀測測數(shù)數(shù)據(jù)據(jù) 組組1 1=59=5910421042 1 1=56=5632543254 組組2 2=53=5348454845 2 2=57=5733333333 計(jì)算結(jié)果 (1)(1)由由I I組計(jì)算得：組計(jì)算得： X XP P=398.151m Y=398.151m YP P=413.249m=413.249m(2)(2)由由組計(jì)算得：組計(jì)算得：X XP P= 398= 39812

10、7m Y127m YP P=413.215m=413.215m (3)(3)兩組坐標(biāo)較差：兩組坐標(biāo)較差： 0.042m0.042m限差限差 (4)P(4)P點(diǎn)最后坐標(biāo)為：點(diǎn)最后坐標(biāo)為：X XP P= 398.139m Y= 398.139m YP P=413.232m=413.232m22ppyx2022年2月16日星期三 169.3 9.3 側(cè)方交會(huì)側(cè)方交會(huì) 一、適應(yīng)條件一、適應(yīng)條件一個(gè)已知點(diǎn)不能設(shè)站，而未知點(diǎn)上可以設(shè)站。一個(gè)已知點(diǎn)不能設(shè)站，而未知點(diǎn)上可以設(shè)站。 二、計(jì)算公式二、計(jì)算公式把側(cè)方交會(huì)轉(zhuǎn)化為前方交會(huì)，把側(cè)方交會(huì)轉(zhuǎn)化為前方交會(huì)， =180=180- - 2022年2月16日星期三

11、17 三、檢核三、檢核 在待定點(diǎn)觀測另一個(gè)已知點(diǎn)在待定點(diǎn)觀測另一個(gè)已知點(diǎn)C C得檢查角得檢查角，計(jì)算出計(jì)算出P P點(diǎn)坐標(biāo)后，反算點(diǎn)坐標(biāo)后，反算PCPC、PBPB的方位角，其差的方位角，其差值為值為計(jì)，兩者的差異計(jì)，兩者的差異應(yīng)滿足下式規(guī)定：應(yīng)滿足下式規(guī)定： 允允 = = SpcSpc不能太短，否則不能太短，否則允可以允許很大。允可以允許很大。四、圖形要求：同前方交會(huì)四、圖形要求：同前方交會(huì) 6)-(9 2 . 0pcSM2022年2月16日星期三 18 五、變形圖形五、變形圖形 A A與與B B不通視，但可以觀測到另不通視，但可以觀測到另一個(gè)已知點(diǎn)一個(gè)已知點(diǎn)D D，如何求出，如何求出角？角？2

12、022年2月16日星期三 199.4 后方交會(huì)后方交會(huì)一、適應(yīng)條件一、適應(yīng)條件適應(yīng)已知點(diǎn)不能安置儀器適應(yīng)已知點(diǎn)不能安置儀器或不易到達(dá)的情況?；虿灰椎竭_(dá)的情況。二、基本圖形及計(jì)算公式二、基本圖形及計(jì)算公式1余切公式余切公式 1）求）求ctgQIII7)-(9 )( ) () (II)()()( IctgQyyctgxxctgxxxxctgyyctgyyACCABCBACABC2022年2月16日星期三 202）求）求N值可互為計(jì)算的檢核。兩個(gè)NctgQctgxxctgQctgyyNctgQctgxxctgQctgyyNCACABCBC8)-(9 )1)()( )1)()( 3）求坐標(biāo)）求坐標(biāo)9)

13、-(9 1122QctgNctgQyyQctgNxxCpCp2022年2月16日星期三 212仿權(quán)公式（安謝麥特公式）仿權(quán)公式（安謝麥特公式） ：ABCPRaRbRcabcabcRRRRRRCCCPBBBPAAAPCBAtantantantancotcot1tantantantancotcot1tantantantancotcot1CBACCBBAAPCBACCBBAAPPPPyPyPyPyPPPxPxPxPxA、B、C為三個(gè)為三個(gè)已知點(diǎn)構(gòu)成的三角形的三已知點(diǎn)構(gòu)成的三角形的三個(gè)內(nèi)角。即后方交會(huì)基本個(gè)內(nèi)角。即后方交會(huì)基本圖形中的圖形中的CAB、ABC、BCA。、為后方為后方交會(huì)基本圖形中交會(huì)基本

14、圖形中A、B、C所對(duì)的角。所對(duì)的角。 2022年2月16日星期三 22三、后方交會(huì)的危險(xiǎn)圓三、后方交會(huì)的危險(xiǎn)圓1 1定義：過三個(gè)已知點(diǎn)構(gòu)定義：過三個(gè)已知點(diǎn)構(gòu)成的外接圓稱為危險(xiǎn)圓。成的外接圓稱為危險(xiǎn)圓。2 2影響：當(dāng)待定點(diǎn)位于危影響：當(dāng)待定點(diǎn)位于危險(xiǎn)圓上任一位置時(shí)，險(xiǎn)圓上任一位置時(shí)，、角不變，無法求解。角不變，無法求解。3 3注意：待定點(diǎn)不要在危注意：待定點(diǎn)不要在危險(xiǎn)圓附近，否則誤差很險(xiǎn)圓附近，否則誤差很大。大。 2022年2月16日星期三 23四、后方交會(huì)的檢核四、后方交會(huì)的檢核1觀測檢查角觀測檢查角（同側(cè)方交會(huì)）（同側(cè)方交會(huì)）2分兩組計(jì)算分兩組計(jì)算 2022年2月16日星期三 249.5 交

15、會(huì)點(diǎn)的精度交會(huì)點(diǎn)的精度概概 述述待定點(diǎn)坐標(biāo)待定點(diǎn)坐標(biāo)XP、YP是已知點(diǎn)坐標(biāo)和觀測角的函數(shù)。是已知點(diǎn)坐標(biāo)和觀測角的函數(shù)。 XP =f（XA，YA，） YP =（XA，YA，） 對(duì)上面兩式求全微分，忽略已知點(diǎn)坐標(biāo)的誤差，對(duì)上面兩式求全微分，忽略已知點(diǎn)坐標(biāo)的誤差，應(yīng)用誤差傳播定律，得，則交會(huì)點(diǎn)的點(diǎn)位中誤差應(yīng)用誤差傳播定律，得，則交會(huì)點(diǎn)的點(diǎn)位中誤差為：為： 11)-(9 yp2xp2mmmp下面只簡要介紹前方交會(huì)的幾個(gè)結(jié)論。下面只簡要介紹前方交會(huì)的幾個(gè)結(jié)論。 2022年2月16日星期三 25一、兩點(diǎn)前方交會(huì)一、兩點(diǎn)前方交會(huì) 若若s、m不變，則與不變，則與、有關(guān)，即與交會(huì)有關(guān)，即與交會(huì)點(diǎn)相對(duì)于點(diǎn)相對(duì)于A

16、點(diǎn)位置有關(guān)。點(diǎn)位置有關(guān)。 對(duì)上兩式求極值，分析點(diǎn)位誤差與交會(huì)點(diǎn)對(duì)上兩式求極值，分析點(diǎn)位誤差與交會(huì)點(diǎn)位置的關(guān)系。位置的關(guān)系。14)-(9 )(sinba m 13)-(9 )(sinsinsin ms 22222或pm2022年2月16日星期三 261交會(huì)點(diǎn)交會(huì)點(diǎn)P位于位于A、B、P三點(diǎn)的圓周上三點(diǎn)的圓周上此時(shí)，交會(huì)角不變，即上兩式的分母不變，此時(shí)，交會(huì)角不變，即上兩式的分母不變，變量只有變量只有和和。令。令上式對(duì)上式對(duì)、求偏導(dǎo)，在求偏導(dǎo)，在=條件下對(duì)條件下對(duì)U求二階求二階導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)，可見：可見：90，U“0，U有極大值；有極大值；90，U“0，U無極值；（中誤差處處無極值；（中誤差處處相等）相

17、等）90，U“0，U有極小值；有極小值； 2022年2月16日星期三 27結(jié)論：結(jié)論：1）當(dāng)交會(huì)角）當(dāng)交會(huì)角90時(shí)，前方交時(shí)，前方交會(huì)點(diǎn)宜選在與已知點(diǎn)構(gòu)成等腰三會(huì)點(diǎn)宜選在與已知點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形的位置，最佳位置為角形的位置，最佳位置為=1092816；2）當(dāng)交會(huì)角）當(dāng)交會(huì)角90時(shí)，則以靠時(shí)，則以靠近已知點(diǎn)的位置為好。近已知點(diǎn)的位置為好。 2022年2月16日星期三 289.6 9.6 單三角形單三角形一、特點(diǎn)及適應(yīng)條件一、特點(diǎn)及適應(yīng)條件1 1由兩個(gè)已知點(diǎn)和一個(gè)待定點(diǎn)組成三角形，由兩個(gè)已知點(diǎn)和一個(gè)待定點(diǎn)組成三角形，觀測三角形的三個(gè)內(nèi)角。觀測三角形的三個(gè)內(nèi)角。2 2適應(yīng)于控制點(diǎn)少或不通視，而且已知點(diǎn)

18、適應(yīng)于控制點(diǎn)少或不通視，而且已知點(diǎn)和待定點(diǎn)都能設(shè)站的情況。和待定點(diǎn)都能設(shè)站的情況。2022年2月16日星期三 29二、計(jì)算二、計(jì)算1 1計(jì)算并分配三角形內(nèi)角和閉合差。計(jì)算并分配三角形內(nèi)角和閉合差。2 2用改正后的角度按前方交會(huì)公式計(jì)算點(diǎn)用改正后的角度按前方交會(huì)公式計(jì)算點(diǎn)的坐標(biāo)。的坐標(biāo)。3 3已知點(diǎn)坐標(biāo)抄錯(cuò)或角度搞反，計(jì)算時(shí)發(fā)已知點(diǎn)坐標(biāo)抄錯(cuò)或角度搞反，計(jì)算時(shí)發(fā)現(xiàn)不了，要特別注意。現(xiàn)不了，要特別注意。 2022年2月16日星期三 30三、精度分析三、精度分析1點(diǎn)位中誤差點(diǎn)位中誤差 26)-(9 )(31 sinm 25)-(9 )sinsin(sin31 sinms 2222222sabmp或式中

19、，式中，s s以以kmkm為單位，為單位，m m以秒為單位，以秒為單位，mpmp以以mmmm為單位。為單位。2 2點(diǎn)位中誤差與圖形的關(guān)系點(diǎn)位中誤差與圖形的關(guān)系1 1）因?yàn)橛幸粋€(gè)多余觀測，對(duì)觀測角進(jìn)行了改正，）因?yàn)橛幸粋€(gè)多余觀測，對(duì)觀測角進(jìn)行了改正，所以精度比前方交會(huì)更高。所以精度比前方交會(huì)更高。2 2）當(dāng)）當(dāng)= 39= 393810.73810.7，=100=1004338.64338.6時(shí)精度最高。時(shí)精度最高。 2022年2月16日星期三 319.7 9.7 其它交會(huì)方法其它交會(huì)方法這里在就只介紹雙點(diǎn)后方交會(huì)的幾種圖形這里在就只介紹雙點(diǎn)后方交會(huì)的幾種圖形布設(shè)。適應(yīng)于測區(qū)控制點(diǎn)較少的情況布設(shè)。適應(yīng)于測區(qū)控制點(diǎn)較少的情況 待定點(diǎn)在已知點(diǎn)兩側(cè)待定點(diǎn)在已知點(diǎn)兩側(cè)