統(tǒng)計的難點(diǎn)分析及解決策略

1、二、統(tǒng)計的難點(diǎn)分析及解決策略真實(shí)的數(shù)據(jù)能提供科學(xué)信息，幫助我們了解世界，許多科學(xué)結(jié)論都是通過分析數(shù)據(jù)而得到的，借助數(shù)據(jù)提供的信息作出的判斷才比較可信。因此， “運(yùn)用數(shù)據(jù)進(jìn)行推斷 ”的思考方法已成為現(xiàn)代社會普遍應(yīng)用而且高效的思維模式，而 “用樣本推斷總體 ”又是統(tǒng)計最核心的思想方法。統(tǒng)計學(xué)已有 2000 多年的歷史，按其發(fā)展的歷史階段和統(tǒng)計方法的構(gòu)成看，統(tǒng)計學(xué)包括描述統(tǒng)計和推斷統(tǒng)計。描述統(tǒng)計的內(nèi)容包括統(tǒng)計數(shù)據(jù)收集的方法、數(shù)據(jù)的加工和整理方法、用圖表表示數(shù)據(jù)的方法、數(shù)據(jù)分布特征的概括與分析方法等。推斷統(tǒng)計研究如何依據(jù)樣本數(shù)據(jù)推斷總體的數(shù)量特征的方法，它以樣本數(shù)據(jù)信息為依據(jù)，以概率論為理論基礎(chǔ)，對總

2、體未知的數(shù)量特征作出以概率形式表述的推斷。那么統(tǒng)計內(nèi)容學(xué)習(xí)的難點(diǎn)在哪里呢？（一）形成“統(tǒng)計觀念”1. 難點(diǎn)“觀念”，不同于計算、畫圖等簡單技能，是一種需要在親身經(jīng)歷的過程中培養(yǎng)出來的感覺。有些人將統(tǒng)計觀念稱為“數(shù)據(jù)感”或“信息觀念”，無論用什么詞匯，它反映的都是由一組數(shù)據(jù)所引發(fā)的想法、所推測到的所有可能的結(jié)果、自覺的聯(lián)想到運(yùn)用統(tǒng)計的方法解決有關(guān)的問題等。具體地說，統(tǒng)計觀念可以在以下幾個方面得到體現(xiàn)：認(rèn)識到統(tǒng)計對決策的作用，能從統(tǒng)計的角度思考與數(shù)據(jù)有關(guān)的問題；能通過收集數(shù)據(jù)、描述數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)的過程，作出合理的決策；能對數(shù)據(jù)的來源、收集和描述數(shù)據(jù)的方法、由數(shù)據(jù)得到的結(jié)論進(jìn)行合理的質(zhì)疑。學(xué)習(xí)統(tǒng)計的

3、核心目標(biāo)就是發(fā)展學(xué)生的統(tǒng)計觀念。而在學(xué)生對統(tǒng)計有怎樣的印象的調(diào)查中，獲得的信息大致有以下幾類：（ 1）統(tǒng)計就是分類（2）統(tǒng)計是計算（3）統(tǒng)計就是做加法（4）統(tǒng)計就是填統(tǒng)計表（5）統(tǒng)計就是畫統(tǒng)計圖，或者是根據(jù)統(tǒng)計圖回答問題 ,說明什么？說明對統(tǒng)計知識的教學(xué)出現(xiàn)了偏差。我們的教學(xué)重視知識點(diǎn)的傳授，對統(tǒng)計知識的考核也局限在知識點(diǎn)的考核。因此在教學(xué)過程中，重點(diǎn)放在有關(guān)數(shù)據(jù)的計算上，學(xué)生沒有經(jīng)歷統(tǒng)計過程，難以形成正確的統(tǒng)計觀念。2 .解決策略學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)中，潛在地存在統(tǒng)計意識。比如每年的聯(lián)歡會在采購前，生活委員一定會調(diào)查同學(xué)的喜好，然后結(jié)合大多數(shù)同學(xué)的愛好進(jìn)行采購。我們教學(xué)的重點(diǎn)是幫助學(xué)生挖掘這種潛意

4、識，注重培養(yǎng)學(xué)生有意識的從統(tǒng)計的角度思考有關(guān)問題，也就是當(dāng)遇到有關(guān)問題時能想到去收集數(shù)據(jù)和分析數(shù)據(jù)。應(yīng)該做好以下幾點(diǎn)（ 1）使學(xué)生經(jīng)歷統(tǒng)計活動的全過程觀念的建立需要人們親身的經(jīng)歷。要使學(xué)生逐步建立統(tǒng)計觀念，最有效的方法是讓他們真正投入到統(tǒng)計活動的全過程中去：提出問題，收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，分析數(shù)據(jù)，做出決策，進(jìn)行交流、評價與改進(jìn)。在參與活動中學(xué)會統(tǒng)計方法，滲透統(tǒng)計思想。從另一個角度看，數(shù)學(xué)的發(fā)展往往也經(jīng)歷了這樣一個過程，首先是問題的提出，然后是收集與這個問題相關(guān)的信息并進(jìn)行整理，再根據(jù)這些信息做出一些判斷以解釋或解決開始提出的問題。提出問題這點(diǎn)特別重要，沒有目的的問題，比如老師讓學(xué)生來數(shù)一數(shù)有幾

5、朵花、有幾個人等，這樣的統(tǒng)計活動在學(xué)生心里會留下什么？問題的提出，要考慮學(xué)生的興趣，使他樂于參與，而且應(yīng)該有利于教師的學(xué)科寓教。例如，我們可以開展豐富多彩的問題調(diào)查活動，如調(diào)查初中生的最喜愛的課外活動、最愛看的書、最喜歡的人物、最喜歡的科目等等，也可以調(diào)查現(xiàn)階段學(xué)生的理想等。此外，調(diào)查的問題還可以從報刊雜志、電視廣播、網(wǎng)絡(luò)等多方面尋找素材，但是要引導(dǎo)學(xué)生注意以上渠道提供的數(shù)據(jù)，其來源是否可靠、合理？利用合理的調(diào)查素材，使學(xué)生在運(yùn)用統(tǒng)計知識的同時，將統(tǒng)計作為了解社會的一個重要手段，提高他們分析問題解決問題的能力，更好的認(rèn)識現(xiàn)實(shí)社會，同時能理智的看待新聞媒介、廣告等公布的數(shù)據(jù)，對現(xiàn)實(shí)世界中的許多事

6、情形成自己的看法。愛因斯坦說過：“純邏輯的思維不可能告訴我們?nèi)魏谓?jīng)驗(yàn)世界的知識，現(xiàn)實(shí)世界的一切知識是始于經(jīng)驗(yàn)并終于經(jīng)驗(yàn)的?！苯?jīng)驗(yàn)性的觀察積累了數(shù)據(jù)，然后從數(shù)據(jù)做出某種判斷，這種活動將有利于發(fā)展學(xué)生的發(fā)現(xiàn)能力和創(chuàng)新精神?？傊?，一定要注意讓學(xué)生經(jīng)歷活動的全過程。不僅要收集數(shù)據(jù)、填寫統(tǒng)計表，繪制統(tǒng)計圖、計算數(shù)據(jù)，而且感受統(tǒng)計圖表的作用，并從中得出相關(guān)的結(jié)論。（ 2）使學(xué)生在現(xiàn)實(shí)情境中體會統(tǒng)計對決策的影響要培養(yǎng)學(xué)生從統(tǒng)計的角度思考問題的意識，重要的途徑就是要在教學(xué)中結(jié)合生活實(shí)例展示統(tǒng)計的廣泛應(yīng)用，使學(xué)生在親身經(jīng)歷解決實(shí)際問題的過程中體會統(tǒng)計對決策的作用。例如：統(tǒng)計商店一個月內(nèi)幾種商品的銷售情況，并對這

7、個商店的進(jìn)貨提出你的建議；全球水資源的匱乏的事實(shí)眾所周知，請學(xué)生對自家或?qū)W校的用水情況進(jìn)行統(tǒng)計，并提出節(jié)水的合理化建議等等，讓學(xué)生對身邊他們感興趣的事情展開調(diào)查，并能夠結(jié)合所得數(shù)據(jù)解釋統(tǒng)計結(jié)果，根據(jù)結(jié)果進(jìn)行簡單的判斷與預(yù)測，清晰的表達(dá)自己的觀點(diǎn)，能夠和同伴交流，在解決問題的過程中，認(rèn)識統(tǒng)計的作用，逐步樹立從統(tǒng)計的角度思考問題。（二）抽樣的合理性1 難點(diǎn)統(tǒng)計是以樣本數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，通過對數(shù)據(jù)的整理、描述和分析，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)的特征或規(guī)律，從而對總體的特征作出推斷。所以樣本的抽取是否具有代表性，在統(tǒng)計中至關(guān)重要。不同的抽樣將產(chǎn)生不同的結(jié)論。那么如何抽樣更合理，對此學(xué)生還存在很多困惑。2 解決策略學(xué)生通過學(xué)習(xí)

8、，了解了普查與抽查的區(qū)別，明確了抽查的必要性。但是由于我們希望得到的數(shù)據(jù)能正確反映實(shí)際的狀況，所以抽出的樣本要能代表這個全體。樣本抽得好還是不好，這是非常重要的問題。比如我想了解這個區(qū)學(xué)生的學(xué)習(xí)成績，找了100 個學(xué)生，但他們都是實(shí)驗(yàn)班的學(xué)生，我想了解北京市學(xué)生的每天的學(xué)習(xí)時間，找的都是重點(diǎn)校的學(xué)生，這樣的樣本就代表性差。有沒有代表性的問題，是樣本的一個核心問題。那么，怎么能做到有代表性呢？就是隨機(jī)抽取。為什么隨機(jī)抽樣具有代表性呢？比如說，要了解北京市初中生的視力情況。如果要隨機(jī)抽取的話，假設(shè)視力為5 . 2 的學(xué)生占百分之三，那么，抽到視力為 5 . 2的可能性也就是百分之三。如果5.0的占

9、40% ，那么，抽到 5.0的可能性也是 40 %，這樣的隨機(jī)抽樣，就保證抽到的樣本里，各個視力值的百分比與總體的百分比是一樣的。另外，由于抽簽與順序無關(guān)，若抽取第一個學(xué)生，視力為 5.2的概率是百分之三，那么抽取第二個學(xué)生、第三個學(xué)生等，其視力為5 . 2的概率也是百分之三。隨機(jī)抽樣能使得樣本中不同視力的百分比和總體中的百分比近似相同。換句話說，隨機(jī)抽樣的樣本能很好地反映總體的狀況。隨機(jī)取樣為什么具有代表性。這正好是我們前面所說的，概率統(tǒng)計學(xué)研究的對象，就是這個隨機(jī)性，就是不確定性現(xiàn)象，所以從最開始接觸總體和樣本這兩個基本概念的時候，我們老師就要意識到這個隨機(jī)性，在抽樣方法的學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)該

10、講到隨機(jī)取樣，隨機(jī)性的作用，保證這個樣本具有代表性，這樣的話才能正確的理解這個概念，以及它和以往不同概念之間的差別，否則的話，我們方法介紹了，學(xué)生會操作方法，但不知道這方法為什么如此去用，也就談不到在生活中靈活使用了。那么如何隨機(jī)取樣呢 ? 隨機(jī)取樣不是很容易做到的。比如說你隨機(jī)拋一枚一元硬幣，某個面向上的次數(shù)有可能多于二分之一。說是隨機(jī)拋，但是由于出手的角度、高度等因素，其實(shí)拋出來的結(jié)果也是很不隨機(jī)的，所以隨機(jī)性這一點(diǎn)呢，問題看似簡單，但做到也還是很困難的一件事，這一點(diǎn)是我們老師要注意的。像這樣的問題，要讓學(xué)生了解，在初中也沒必要去深究。但是應(yīng)該讓學(xué)生在具體情境中了解由于所取的樣本不同，將會

11、導(dǎo)致統(tǒng)計結(jié)論的差異。例如：某校要了解初中學(xué)生課余體育鍛煉的時間，以便改進(jìn)集中體育活動的時間，請學(xué)生做調(diào)查。首先要根據(jù)學(xué)校的學(xué)生總數(shù)，確定樣本容量，容量太小，不具有代表性，容量太大，費(fèi)時費(fèi)力；其次，要選擇調(diào)查的地點(diǎn)，應(yīng)盡可能涉及到各類學(xué)生，比如圖書館、運(yùn)動場等，僅在一個地方調(diào)查，很容易缺乏代表性，比如只選擇運(yùn)動場，一定會得出結(jié)論，學(xué)生的每天運(yùn)動時間過長，反之，只在圖書館做調(diào)查，一定會得到鍛煉時間嚴(yán)重不足的結(jié)論。此外，還要考慮到各年級的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)不同而導(dǎo)致業(yè)余時間不同，因此應(yīng)分年級調(diào)查等，可見，在抽樣的過程中，要考慮的因素非常多，也比較復(fù)雜。初中階段讓學(xué)生明確取樣時要結(jié)合調(diào)查的目的，確定調(diào)查對象以及

12、調(diào)查方法，使之盡可能的具有代表性即可。（三）統(tǒng)計量含義的理解1 難點(diǎn)初中生對統(tǒng)計量的計算不覺得困難，但是如果有較長的時間不使用，大部分學(xué)生就會出現(xiàn)遺忘的現(xiàn)象，更甭提靈活運(yùn)用了，究其原因是對統(tǒng)計量的含義的理解不夠到位。這其中表現(xiàn)最突出的就是方差了。例如，今年北京市中考題第7 題： 10名同學(xué)分成甲、乙兩隊進(jìn)行籃球比賽，它們的身高(單位： cm)如下表所示：隊隊隊隊隊員 1員 2員 3員 4員 5甲11111隊7776757275乙11111隊7075737483題目要求比較二人的平均數(shù)及方差。對于平均數(shù)，由于學(xué)生小學(xué)就非常熟悉，而且這是一個生活中常用的概念，所以學(xué)生采用估值法或是直接計算等方法都

13、很容易得到相等的結(jié)論，而對于方差的比較，有的學(xué)生想用方差公式計算，但忘了公式或代入公式后計算有誤。實(shí)質(zhì)上，只要明確方差的作用是刻畫數(shù)據(jù)的波動狀態(tài)，認(rèn)真分析兩組數(shù)據(jù)，就很容易得到乙隊的數(shù)據(jù)波動較大，所以選 B 選項，根本不需要計算，省時、省力、還不容易出錯。2 解決策略在統(tǒng)計的教學(xué)中，重點(diǎn)不是要求學(xué)生背公式，熟練計算，而是要 淡化統(tǒng)計量的計算技巧，突出統(tǒng)計量的特征和作用。避免將這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)變成單純的統(tǒng)計量的計算。注意讓學(xué)生弄清每個統(tǒng)計量的含義及作用。 作為概念課的教學(xué)，“概念產(chǎn)生背景的合理性和應(yīng)用性”是激發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)新概念的突破口。 所以要設(shè)置合理的問題情境，使每一個概念來源于生活，反之應(yīng)

14、用于生活，學(xué)生才能有比較深刻的體會。例如對于方差概念的教學(xué)，我是這樣設(shè)計的：首先，我出示了一組 2008 年我國奧運(yùn)冠軍在領(lǐng)獎臺上的組圖，用以吸引學(xué)生的注意力，同時由于本屆奧運(yùn)會我國成績輝煌，這一引入也有利于激發(fā)學(xué)生的民族自豪感。在此基礎(chǔ)上指出：冠軍的背后還有杰出的教練，從而引入射擊冠軍杜麗及隊友的預(yù)賽射擊成績：順序環(huán)數(shù)12345678910杜麗8119111111.50.00.8.90.00.00.00.30.20.3武柳希9191191119.00.7.20.00.6.40.50.80.0.8讓學(xué)生利用數(shù)據(jù)分析兩人誰更具優(yōu)勢。將 教學(xué)內(nèi)容轉(zhuǎn)化為具有潛在意義的問題。由于學(xué)生已學(xué)過用平均數(shù)、眾

15、數(shù)、中位數(shù)分析數(shù)據(jù)，并且平均數(shù)在生活中較為常用，所以學(xué)生能夠很快地想到利用平均數(shù)來比較兩人成績。在此安排學(xué)生用計算器進(jìn)行計算，可以提高課堂效率。通過計算，學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩人的平均數(shù)相同，繼而考察眾數(shù)與中位數(shù)，結(jié)果仍然相同。怎么辦？讓學(xué)生站到問題的前沿，使他們產(chǎn)生探索的欲望。由于利用學(xué)過的統(tǒng)計量無法解決問題，所以引導(dǎo)學(xué)生借助圖象直觀的觀察分析。 學(xué)生已學(xué)過統(tǒng)計圖，明確折線圖反映數(shù)據(jù)波動情況，所以能夠主動地畫出折線統(tǒng)計圖，借助圖形觀察數(shù)據(jù)的波動情況，可以看到波動有大有小。那么如何刻畫波動大小呢？以什么量為參照進(jìn)行分析更合理呢？引導(dǎo)學(xué)生分析此時關(guān)注的是所有數(shù)據(jù)的波動情況，而平均數(shù)是與所有數(shù)據(jù)有關(guān)的量，表示

16、所有數(shù)據(jù)的平均水平，所以學(xué)生想到選取平均數(shù)為參照不會太困難。要求學(xué)生在折線圖上畫出一條表示平均數(shù)的水平直線，再觀察，你是否有新的發(fā)現(xiàn)？借助圖象可以直觀的感受每個數(shù)據(jù)在平均數(shù)上下波動，與平均數(shù)的偏差有大有小。那么如何從數(shù)量上得到兩組數(shù)據(jù)的差異? 在此充分注意培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想。這一問有一定的難度，所以在此，我安排了學(xué)生獨(dú)立思考后的小組討論，使學(xué)生在交流中相互激發(fā)靈感，有利于對知識的理解。學(xué)生交流后，請大家發(fā)表觀點(diǎn)?？赡苡腥颂岢? 算出他們每個人的成績偏離平均數(shù)的差的平均數(shù)。教師不急于否定，讓學(xué)生動筆計算，得到 0，為什么會這樣呢？學(xué)生思考后闡述原因，這一點(diǎn)結(jié)合圖象很容易理解。那么，有什么辦法

17、克服正負(fù)抵消呢？根據(jù)已有知識思考，學(xué)生由數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的距離，能夠聯(lián)想到絕對值，他們借助計算器計算，得到學(xué)生利用數(shù)據(jù)比較分析得出：杜麗的成績偏離平均數(shù)的平均距離較小，也就是波動小，成績相對穩(wěn)定。我進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生，為什么要取距離的平均數(shù)，只求和行不行？學(xué)生思考后，請他們舉例說明。（當(dāng)比較的兩組數(shù)據(jù)個數(shù)不同時利用總和進(jìn)行比較就不合理了。）在此基礎(chǔ)上得到數(shù)據(jù)距離平均數(shù)的平均距離：即每個數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的絕對值的平均數(shù)。我讓學(xué)生嘗試借助例題寫出計算公式后分析它的作用：反映數(shù)據(jù)波動的大小。此時教師指出：在后續(xù)學(xué)習(xí)中，要用到公式變形，而平均距離要取絕對值，不便于公式變形，所以統(tǒng)計中很少用。那么，還有什么辦

18、法可以避免正負(fù)抵消呢？聯(lián)想已學(xué)的兩個非負(fù)數(shù)，除絕對值外還有平方數(shù)，請學(xué)生嘗試用平方替代絕對值計算：通過比較數(shù)據(jù)，你能得到什么結(jié)論？讓學(xué)生利用數(shù)據(jù)分析的同時感受這種方式可以從數(shù)量角度說明數(shù)據(jù)的波動大小，然后讓學(xué)生觀察式子運(yùn)算特征并歸納出計算方法：（ 1 ）先求平均數(shù)；（ 2 ）再求數(shù)據(jù)與平均數(shù)差的平方；（ 3 ）求平方和的平均數(shù) 。在此基礎(chǔ)上，要求學(xué)生從特殊到一般推出方差公式。（你能結(jié)合這個例子，完成下面的問題嗎？）設(shè)是 n個數(shù)據(jù) x 1，, ，x n 的平均數(shù)， 各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)之差的平方的平均數(shù)，叫做這 n個數(shù)據(jù)的方差(variance)，用“ s2 ”表示。你能寫出“s 2” 的計算公式嗎

19、？由于有前面具體問題的分析，對于學(xué)生來講，得到方差公式并不困難。，得到公式后，引導(dǎo)學(xué)生分析公式中各量的含義及運(yùn)算特征并請學(xué)生說出方差的作用：描述一組數(shù)據(jù)波動大?。x散程度）。即：方差的值越小，數(shù)據(jù)波動越??；方差的值越大，數(shù)據(jù)波動越大。也用他來描述數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的情況，即刻畫離散程度。為了培養(yǎng)學(xué)生類比分析的能力，我要求學(xué)生將方差與已學(xué)平均數(shù)等統(tǒng)計量進(jìn)行比較，得到：平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)是描述數(shù)據(jù)的集中趨勢，方差表示數(shù)據(jù)的波動大小。注：這里應(yīng)強(qiáng)調(diào)，比較兩組數(shù)據(jù)的波動大小時，一般以兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等或比較接近為前提。我想補(bǔ)充一點(diǎn)：京教版教材中關(guān)于方差的概念引例為射擊比賽的環(huán)數(shù)，先介紹的是極差，然后才

20、是方差，在此，一般都會采用描點(diǎn)法分析，而當(dāng)所有的環(huán)數(shù)轉(zhuǎn)化為圖中的點(diǎn)時，學(xué)生的第一感覺就是點(diǎn)的位置有高有低，像波浪起伏，此時借機(jī)讓學(xué)生想辦法描述點(diǎn)的波動狀態(tài)，從而逐步引入方差，學(xué)生體會深刻，對方差的作用印象深刻，再加上后面的鞏固應(yīng)用，能達(dá)到比較好的理解效果。而對于極差，可以放到后面，借助熟悉的溫度差引入。這樣對教材順序的調(diào)整，不僅順應(yīng)學(xué)生的思維，而且有利于突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)。統(tǒng)計與概率作為新增內(nèi)容，教材的編寫也不是盡善盡美的，教師要開動腦筋，結(jié)合學(xué)生的具體情況，順應(yīng)學(xué)生的思維，對教材進(jìn)行合理的整合，使學(xué)生充分體驗(yàn)概念的生成過程，加深對概念的理解。三、概率的難點(diǎn)分析及解決策略（一）建立“隨機(jī)觀念”

21、1 難點(diǎn)隨機(jī)現(xiàn)象是概率與統(tǒng)計部分重要的研究對象，從隨機(jī)現(xiàn)象中去尋找規(guī)律，這對學(xué)生來說是一個全新的觀念。特別是如果學(xué)生缺乏隨機(jī)現(xiàn)象的豐富體驗(yàn)，往往很難建立這一觀念。造成概率學(xué)習(xí)中的困難。2 解決策略對初中生而言，理解不確定的現(xiàn)象、不確定的事件，我們強(qiáng)調(diào)實(shí)際事件，強(qiáng)調(diào)是在相同條件下做重復(fù)實(shí)驗(yàn)，但是實(shí)驗(yàn)的結(jié)果卻不確定。在實(shí)驗(yàn)之前，你是無法預(yù)料結(jié)果是哪一個，這樣的結(jié)果，我們叫做隨機(jī)；這樣的實(shí)驗(yàn)，我們一般叫做隨機(jī)實(shí)驗(yàn)。關(guān)于結(jié)果，我們還要作進(jìn)一步的區(qū)分：（ 1 ）就是我們到現(xiàn)在為止，不知道這個結(jié)果是什么。這屬于未知的事件，比如說數(shù)學(xué)上“哥德巴赫猜想”對還是不對，到現(xiàn)在來說，我們也不知道這個哥德巴赫猜想是成

22、立還是不成立，但是它要么就成立，要么就不成立，所以說沒有隨機(jī)性。（ 2 ）你說火星上到底有沒有人。這也沒有任何隨機(jī)性。要么就是有，要么就是沒有。無非是我不知道。（ 3）一個硬幣扔完了以后，我拿手蓋上，我問你這是正面向上，還是反面向上。由于這個實(shí)驗(yàn)已經(jīng)做完了，它要么就是正面朝上，要么就是反面朝上。但是現(xiàn)在它沒有任何隨機(jī)性，只是我拿手蓋了以后你看不見。如果你的眼睛像X 光一樣，你就立刻能知道結(jié)果。所以，像這樣的事情，客觀已經(jīng)定下來了，只是我還不知道，這樣的事情不能叫做隨機(jī)事件。所以說，不知道的結(jié)果和隨機(jī)的結(jié)果是有區(qū)別的兩個概念。還有些東西，也是不知道的。比如說，本拉登還活著嗎？如果塔利班說，本拉登

23、活的可能性是10 % ，死的是90 %，像這樣一些事件也是不確定現(xiàn)象。但是，本拉登是否活著，這種不確定現(xiàn)象，它沒有重復(fù)實(shí)驗(yàn)的意義，所以也不是概率研究的領(lǐng)域。什么叫做隨機(jī)現(xiàn)象，大千世界，不確定性的現(xiàn)象是非常多的。中學(xué)統(tǒng)計和概率所研究的不確定現(xiàn)象，只是其中最簡單的一種。它強(qiáng)調(diào)的是條件確定，可以重復(fù)的這樣的實(shí)驗(yàn)。對其他的一些不確定性的現(xiàn)象，也是在自然界頻繁發(fā)生的，現(xiàn)在由于知識儲備，或者是能力水平還沒有達(dá)到，還不能加以研究。隨機(jī)事件是研究獨(dú)特的或者是特殊的一類不確定性現(xiàn)象。它強(qiáng)調(diào)的是這類隨機(jī)事件是可以重復(fù)實(shí)驗(yàn)的，重復(fù)出現(xiàn)的；強(qiáng)調(diào)的是結(jié)果是可以隨機(jī)發(fā)生的。就象投硬幣，或者是擲骰子都是這樣的事件。所以使學(xué)

24、生對隨機(jī)現(xiàn)象有初步的理解，必須在大量的實(shí)驗(yàn)過程中，才能豐富學(xué)生對概率意義的理解，形成隨機(jī)觀念。（二）概率的抽象性1 難點(diǎn)跟過去的精確數(shù)學(xué)相比較，概率比較抽象，不像前面學(xué)的統(tǒng)計量那樣，比如說算術(shù)平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差，方差，有對應(yīng)的公式，代入計算即可。概率是隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的度量。像長度和面積這些度量都比較直觀，對溫度的高低在一定范圍我們可以感知。而事件發(fā)生的可能性大小的度量，直觀看不見，也無法感知。雖然學(xué)生具有一些生活經(jīng)驗(yàn)，這些經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生學(xué)習(xí)概率的基礎(chǔ)，但其中往往有一些是錯誤的。逐步消除錯誤的經(jīng)驗(yàn)，建立正確的概率直覺是概率教學(xué)的一個重要目標(biāo)。例如有這么一個案例，美國的一個電視游戲節(jié)目有三扇門，其中

25、一扇門后面是一輛轎車，另兩扇門后面各有一只羊。給你一次猜的機(jī)會。猜中羊可以牽走羊，猜中車可以開走車。當(dāng)然大家都希望能開走汽車?，F(xiàn)在假如你猜 1 號門后面是車，然后主持人把無車的一扇門（比如 2 號門）打開?，F(xiàn)在再給你一次機(jī)會，請問你是否要換 3 號門？觀點(diǎn)一這三扇門后面有車的可能性是一樣的，都是1/3 ，所以不必?fù)Q。觀點(diǎn)二假定主持人打開的是2 號門，既然 2 號門后面沒有車，那么車要么在1號門后面，要么在3號門后面，概率各是 1/2，所以不必?fù)Q。觀點(diǎn)三車在 1號門后面的概率是1/3 ，于是在 2 號門或 3 號門后面的概率就是2/3 ，現(xiàn)在既然2號門后面沒有車，所以車在3號門后面的概率為2/3

26、 ，因此應(yīng)該換。學(xué)生利用已有經(jīng)驗(yàn)，往往與觀點(diǎn)一或二一致。這是一個概率決策問題，結(jié)論只有換與不換兩個。在當(dāng)時引起了人們極大的興趣，眾說紛紜，各種各樣的觀點(diǎn)都有。足以看出概率問題是有一定難度的。哈佛大學(xué)概率教授（ Diaconis ）應(yīng)電視臺邀請，進(jìn)行了表演。以一張紅桃撲克牌表示車，兩張黑桃撲克牌表示羊。按照規(guī)則要求，演示了 8 次，結(jié)果是有 6 次顯示應(yīng)當(dāng)換。Diaconis教授說：概率的判斷是依靠大量實(shí)驗(yàn)才獲得的。如果這個游戲允許多次重復(fù)，那一定是“換”為好。如果只給你一次機(jī)會，那是很難說的。分析 : 由于隨機(jī)性，如果1號門后面確實(shí)是車，你猜對了，此時要換反而得不到車。如果1號門后面沒有車，此

27、時換就得到車。那么換與不換應(yīng)該依據(jù)什么為準(zhǔn)則？在此問題中，以得到車的概率最大為準(zhǔn)則。三種觀點(diǎn)在應(yīng)用概率思想方面都是正確的，造成不同結(jié)果的原因在于對概率大小的判斷上。首先注意的一點(diǎn)是，主持人是知道汽車在哪扇門后的。換的結(jié)果是將汽車換成羊，或?qū)⒀驌Q成汽車。選擇1號門，得到汽車的概率為 1/3 ，得到羊的概率為2/3 。如果換 3號門，得到羊的概率為1/3 ，得到汽車的概率為2/3 。從概率決策的角度應(yīng)該換，觀點(diǎn)三是正確的。Diaconis教授的觀點(diǎn)是正確的。既然在概率大小的判斷上有分歧，通過重復(fù)模擬實(shí)驗(yàn)，借助頻率的大小來判斷最有說服力。2 解決策略對于概率的研究，在教學(xué)中多結(jié)合實(shí)例，讓學(xué)生親自經(jīng)歷

28、隨機(jī)現(xiàn)象的探索過程，親自動手進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，收集實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果，并將所得結(jié)果與自己的猜測進(jìn)行比較。例如可以討論下面擲幣游戲的公平性：小紅、小明在做擲硬幣的游戲。任意擲一枚硬幣兩次，若兩次朝上的面相同，則小明獲勝；反之，小紅獲勝。這個游戲公平嗎？教學(xué)時，可以讓學(xué)生先猜測這個游戲的公平性，并說明自己的想法。學(xué)生在猜測時，可能會存在一個誤解，認(rèn)為小明獲勝的機(jī)會比小紅多。澄清誤解的一個重要方法使學(xué)生親身經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)，通過實(shí)驗(yàn)結(jié)果修正自己的想法。同時學(xué)生在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，每次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果事先都是無法預(yù)料的，每個小組收集的數(shù)據(jù)帶有不確定性，但大量實(shí)驗(yàn)后，四種情況出現(xiàn)的頻率卻都穩(wěn)定在同一個數(shù)值上。所以，教師要注重創(chuàng)

29、設(shè)情境，讓學(xué)生在解決實(shí)際問題的過程中逐步理解概率。（三）概率的統(tǒng)計定義的理解1 難點(diǎn)概率在初中階段有三種定義：一種是古典概率，一種是幾何概率，另一種是概率的統(tǒng)計定義。對于前兩種定義，由于有小學(xué)知識的鋪墊，學(xué)生很容易理解，但恰恰是教材中多為古典概型或幾何概型的問題，所以容易造成學(xué)生解決概率問題時，默認(rèn)他是等可能的。所以對于概率的統(tǒng)計定義，學(xué)生的理解比較困難。2 解決策略對于概率的統(tǒng)計定義的價值以及它和前兩種定義的關(guān)系可以從以下幾個方面來理解。在相同的條件下做大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)，一個事件A出現(xiàn)的次數(shù)m 和總的實(shí)驗(yàn)次數(shù)n之比，稱為事件A在這n次實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率。當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)n很大時，頻率將穩(wěn)定在一個常數(shù)附近

30、。n越大，頻率偏離這個常數(shù)較大的可能性越小，這個常數(shù)稱為這個事件的概率。這個定義與統(tǒng)計有密切的關(guān)系，它建立在頻率穩(wěn)定性的基礎(chǔ)上，所以稱為概率的統(tǒng)計定義。這種對概率討論的對象不再限于隨機(jī)實(shí)驗(yàn)所有可能的結(jié)果為等可能的情形，因而更具有一般性。例如，擲一枚質(zhì)地不均勻的硬幣，硬幣正、反兩面向上的可能性會不相等，不能用古典概率而只能用統(tǒng)計方法分析這個問題，如果經(jīng)過大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)不斷增加，硬幣正面向上的頻率越來越穩(wěn)定在常數(shù) 2/3 附近，則可以推斷事件A （硬幣正面向上）發(fā)生的概率為P (A ) = 2/3。隨著人們觀察對象的廣泛化,人們越來越認(rèn)識到 , 對一個隨機(jī)事件來說, 它發(fā)生可能性大

31、小的度量是由它自身決定的,并且是客觀存在的,就好比一根木棒有長度, 一塊土地有面積一樣。它就是頻率穩(wěn)定的中心值。概率的統(tǒng)計定義提供了概率的一個可供想象的具體值,并且在實(shí)驗(yàn)重復(fù)次數(shù)n較大時 , 可用頻率給出概率的一個近似值, 這一點(diǎn)是概率統(tǒng)計定義最有價值的地方。概率的統(tǒng)計定義突破了古典概率、幾何概率中隨機(jī)實(shí)驗(yàn)要滿足“結(jié)果等可能”的限制，因而具有一般性，其適用范圍也更寬泛。從理論上說， 古典概率、 幾何概率的概率也能夠通過大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)由頻率的穩(wěn)定性得出， 即概率的統(tǒng)計定義的適用范圍包括“結(jié)果等可能”的隨機(jī)實(shí)驗(yàn)。對于初中學(xué)生，只要知道大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時頻率可作為事件發(fā)生概率的估計值即可。為了使高中的學(xué)習(xí)

32、更輕松，可以設(shè)計一些實(shí)驗(yàn)，如拋擲瓶蓋、硬幣、摸球等，使學(xué)生從動手實(shí)驗(yàn)的過程中體會概率的統(tǒng)計定義。（四）概率與頻率的關(guān)系1 難點(diǎn)教學(xué)中，經(jīng)常聽到學(xué)生這樣敘述：“實(shí)驗(yàn)次數(shù)越多，用頻率估計概率越準(zhǔn)確”。這樣的敘述嚴(yán)密嗎？概率與頻率之間到底是什么樣的關(guān)系？學(xué)生理解起來很困難。2 解決策略頻率和概率是兩個不同概念，頻率與實(shí)驗(yàn)的次數(shù)有關(guān), 而頻率的穩(wěn)定性又說明了概率是一個客觀存在的數(shù), 是隨機(jī)事件自身的一個屬性 , 它與實(shí)驗(yàn)次數(shù)無關(guān)。 雖然在概率計算中 , 我們一般用事件發(fā)生的頻率去代替概率 , 這與實(shí)際并不矛盾 , 就象測定一根木棒的長度一樣 , 人人皆知木棒有其客觀存在的“真實(shí)長度” , 但用量具去測

33、量 , 總會有誤差 , 測得的數(shù)值總是穩(wěn)定在木棒“真實(shí)長度”的附近而得不到木棒的“真實(shí)長度”值。事實(shí)上 , 人們一般就用測量所得的近似值去代替“真實(shí)長度”。只不過根據(jù)實(shí)際要求選擇精度不同的量具罷了。這里木棒的“真實(shí)長度”與測得數(shù)值之間的關(guān)系完全同概率與頻率之間的關(guān)系一樣。,因此，頻率既有隨機(jī)性（每人每次實(shí)驗(yàn)都是變化的），又有規(guī)律性（也就是穩(wěn)定性），即隨機(jī)事件發(fā)生的頻率的穩(wěn)定值就是概率，人們也就把頻率穩(wěn)定的中心值作為事件發(fā)生的概率。于是我們可以說“頻率是概率的估計”、“頻率的穩(wěn)定值就是概率”，但不能說“頻率的穩(wěn)定值是概率估計值”。頻率的穩(wěn)定性是概率論的理論基礎(chǔ)。對概率與頻率的關(guān)系的認(rèn)識可以分三個

34、層次進(jìn)行教學(xué)。直觀認(rèn)識：概率描述事件發(fā)生的可能性大小，它是事件本身唯一確定的一個常數(shù)；頻率反映在一般地，如果一個事件的概率較大，頻率也較大，概率較小，頻率也較小。反之也對。n 次實(shí)驗(yàn)中，事件發(fā)生的頻繁程度。具體實(shí)驗(yàn)：通過大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)，借助圖形表示頻率的穩(wěn)定性規(guī)律：隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，頻率的波動越來越小，逐漸穩(wěn)定在一個常數(shù)附近。但應(yīng)該認(rèn)識到頻率的不確定性，即當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)較少時，頻率的波動可能比較大。精確刻畫：以擲硬幣為例，已知“正面向上 ”的概率為 0 . 5 ，擲兩次硬幣，可能頻率是0 . 5 ，用頻率估計概率的誤差為0；而擲 100次硬幣，也可能頻率為0.2，誤差為 0.3。顯然上面的敘述不嚴(yán)密，太絕對了。比較嚴(yán)格的敘述為：“當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)較少時，用頻率估計概率誤差較小的可能性較小，實(shí)驗(yàn)次數(shù)越多，用頻率估計概率誤差較小的可能性越大”。建議參看教材閱讀材料：歷史上科學(xué)家擲幣實(shí)驗(yàn)的記錄實(shí)驗(yàn)者擲幣次數(shù)出現(xiàn)正面向上的次數(shù)頻率徳 .摩根204810610 5181蒲豐404020480 5069徳 .摩根409220480 5005費(fèi)勒1000049790 4979皮爾遜1200060190 5016皮爾遜24000120120 5005羅曼諾夫斯基80640396990 4923(五 ) 對等可能的理解1 難點(diǎn)“等可能”是古典概率非常重要的一個特