2018年武漢市高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：立體幾何練習(xí)題4

1、2018 年武漢市高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：立體幾何練習(xí)題、選擇題1.（文）對兩條不相交的空間直線 a 與 b，必存在平面a,使得（）A.a?a,b?aB.a?a,b/ aC. a 丄a,b 丄aD.a?a,b 丄a答案B解析a、b 異面時，A 錯，C 錯；若 D 正確，則必有 a 丄 b，故排除 A、C D,選 B.（理）設(shè) a、b 為兩條直線，a、B為兩個平面.下列四個命題中，正確的命題是（）A.若 a、b 與a所成的角相等，則 a / bB.若 a/ a,b/B,a/3,貝Ua/bC. 若 a?a,b?3,a/b,貝Ua/ 3D.若 a 丄a ,b 丄3, a丄3貝Ua 丄 b答案D解析若直線

2、a、b 與a成等角，則 a、b 平行、相交或異面；對選項 B,如 a /a, b /3, a/ 3,則 a、b 平行、相交或異面；對選項C,若 a?a,b?3, a / b,則a 3平行或相交；a 丄a對選項 D,由？a /3或 a?3,無論哪種情形，由 b 丄3都有 b 丄 a.,故選 D.3丄a2 .一個正方體紙盒展開后如圖，在原正方體紙盒中有下列結(jié)論：AB 丄 EFAB 與 CM 成60。EF 與 MN 是異面直線MN / CD 其中正確的是（JVA/F CA.C.B.D.答案D解析本題考查學(xué)生的空間想象能力，將其還原成正方體如圖所示,異面直線,AB / CM , MN 丄 CD 只有正

3、確，故選 D.AB 丄 EF, EF 與 MN 是3 已知 m、n 是兩條不同的直線，a、氏丫是二個不同的平面，則下列命題正確的是（）A. 若a丄Y, a丄伏貝V丫/3B. 若 m/n,m?a,n?3,貝U a/ 3C. 若 m/n,m/ a,貝Vn/ aD. 若 m/ n, m 丄a,n 丄3,貝Uall3答案D解析對于選項 A,兩平面3丫同垂直于平面a,平面3與平面丫可能平行，也可能相交; 對于選項 B,平面a 3可能平行，也可能相交；對于選項 C,直線 n 可能與平面a平行，D,vm/n,m 丄a,n 丄a,又 n 丄3, / a/ 3故選 D.a,3和兩條不重合的直線a , b,則下列

4、四個命題中為真命題的是 ( )A. 若 a / b , b?a,貝Ua /aB. 若a丄3 , aQ護 b,a 丄 b,貝Ua 丄3C. 若 a?a,b?a,a/3,b/ 3,貝a/3D. 若 all3,a?a ,a?3 ,a/ a,貝Ua/3答案D直線 a , b 為相交直線時命題才成立.4）在正方體 ABCD- A1B1C1D1 中，P、Q 分別是棱 AA1、CC1 的中點，則過點的截面是（）A. 鄰邊不等的平行四邊形B. 菱形但不是正方形C.鄰邊不等的矩形D .正方形也可能在平面a內(nèi)；對于選項（理已知兩個不同的平面解析選項 A 中，直線 a 可能在平面a內(nèi)；選項 B 中，直線 a 可能在

5、平面3內(nèi)；選項 C 中,B、P、Q答案B解析設(shè)正方體棱長為 1,連結(jié) DIP , D1Q ,貝 U 易得 PB= PQ= D1P= D1Q=_2_,取 DID 的中點 M，貝 U D1P 綊 AM 綊 BQ,故截面為四邊形 PBQD1,它是一個菱形，又 PQ= AC= 2, / PBQ不是直角，故選 B.對于平面a和共面的直線 m, n,下列命題是真命題的是（）A. 若 m, n 與a所成的角相等，則 m / nB. 若 m/ a,n/ a,貝Um/nC. 若 m 丄a,mn,貝Unl aD. 若 m?a,nl a ,貝Um/n答案D解析正三棱錐 PABC 的側(cè)棱 PA PB 與底面成角相等，

6、但 PA 與 PB 相交應(yīng)排除 A;若 m/a, nla,貝Um 與 n 平行、相交或異面，應(yīng)排除 B;若 m 丄a, m n ,貝Unl a或 n?a,5 已知直線 I、m,平面a、3,且 I 丄a,m?3,給出下列四個命題:若 all3,則 I 丄 m；若I 丄 m，貝U al 3若a丄3貝U11m;若 I / m，貝U a丄3其中真命題是（A.B.C.D.答案C解析丄0rn匸卩Me |片川_txr點評如圖，aA 3m,則 I 丄 m ,故（2）假；在上述圖形中，當a丄3時，知應(yīng)排除 C.Tm、n 共面，設(shè)經(jīng)過 m、n 的平面為3,Tm?a,二ad伊 m,/n /a, n / m，故 D

7、正確.6 已知 I 是直線，a、3是兩個不同平面，下列命題中的真命題是（）A. 若 I/ a,I/ 3,貝U a / 3B.若a丄3,I/ a,貝VI 丄3C. 若 I 丄a, I /3,貝V a丄3D. 若 I/ a ,all3,貝UI/ 3答案C解析 如圖在正方體 ABCD- A1B1C1D1 中，取平面 ABD1A1 為a,平面 ABCD 為3,B1C1 為 I，則排除 A、B;又取平面 ADD1A1 為a,平面 BCC1B1 為3, B1C1 為 I ,排除 D.答案Cb/a時，a 與 b 可相交可異面也可平行，故 A 錯；a/a, b /3,a/ 3時，a與 b 可異面，故 B 錯；

8、由a丄3,a 丄a得，a/3或 a?3,又 b/3,此時 a 與 b 可平行也可（理b 和不重合平面a,3,則 a/ b 的A. a/ a,b/C.D.a/ a ,b/b3,3,a丄3,b/解析a/a ,已知相異直線異面，排除 D.7.設(shè) m, n 是平面a內(nèi)的兩條不同直線；11, 12 是平面3內(nèi)的兩條相交直線，則a/ 3的一一個充分而不必要條件是（）A.m IIB且 11/aB.mI11 且 n/l 12C. m 且 n IBD. mI B且 nI12答案B解析如圖，aQ存 1, ml1,11II,滿足 mI B且 11I a,故排除 A;如圖，aQ BI, mInII，滿足 mI B,n

9、I B,故排除 C.中的任意兩個換成直線，另一個保持不變，在所得的所有新命題中，真命題有A. 0 個B. 1 個C. 2 個D. 3 個答案C解析依題意得，命題I/b,且 a 丄Yb 丄丫是真命題（由若兩條平行線中的一條與一個 平面垂直，則另一條也與這個平面垂直可知）；命題I/ B,且 a 丄 c?B丄 c是假命題（直線 c可能位于平面B內(nèi)，此時結(jié)論不成立）；命題“ab,且a丄 c? b 丄 c”是真命題（因為aIb , 因此在平面a內(nèi)必存在直線 b1Ib;又a丄 c ,因此 cIb1, cb）.綜上所述,其中真命題 共有 2 個，選 C.9 正方體 ABCD-A1B1C1D1 中，M, N

10、, P 分別為 A1B1 , CD, B1C1 的中點，則下列命題正確在圖(2)中,mInIIII2滿足 mIB,nI12，故排除 D,故選 B.點評/ I1 與 I2 相交,mII1, nII2,. m 與 n 相交，由面面平行的判定定理可知aI B；但當m、n?B,I1 與 I2 相交，aI B時，如圖，得不出 mII1 且 nI12.（理） 設(shè) a, b 是兩條直線,a,B是兩個平面，則a丄 b 的一個充分條件是A. a 丄a,bI B,B.a 丄a,bC. a?a ,b 丄B,D.a?a,bIB, a丄B答案解析對于 A,如圖正方體a、B分別為平面直線 B1B 和 C1C.a 與 b

11、也可能平行，對于 B, / a 丄a, aI B, a 丄B, aIb，對于 D, a 與 b 也可能平行，故選C.A 11 a、b 分別為 P又 b 丄 B,ZZ8 已知a,B, 丫是二個不同的平面，命題“a B,且a丄Y肚丫是真命題.如果把（i）ABCD 與平面 ADD1A1,a,B,的是（）A. AM 與 PC 是異面直線B. AM 丄 PCC. AM / 平面 BC1ND. 四邊形 AMC1N 為正方形答案C1解析 連接 MP, AC, A1C1, AM , C1N，由題易知 MP / A1C1/ AC,且 MP = ?AC,所以 AM 與PC 是相交直線，假設(shè) AM 丄 PC,vBC

12、 丄平面 ABB1A1,： BC 丄 AM ,AAM 丄平面 BCC1B1, 又 AB丄平面 BCC1B1 矛盾，AAM 與 PC 不垂直.因為 AM / C1N, C1N?平面 BC1N,所以 AM /平面 BC1N.又易得四邊形 AMC1N 為菱形而不是正方形，故選 C.10.如圖，正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，AA1 = 2, AB= 1 , M , N 分別在 AD1, BC 上移動，且始終保持 MN /平面 DCC1D1,設(shè) BN= x, MN = y，則函數(shù) y= f（x）的圖象大致是（）答案C 解析 過 M 作 ME 丄 AD 于 E,連接 EN,則平面 MEN /平

13、面 DCC1D1,所以 BN = AE= x(0 x1)ME = 2x, MN2 = ME2 + EN2,則 y2= 4x2 + 1, y2-4x2= 1(0 x0)，圖象應(yīng)是焦點在 y 軸上的雙曲線的一部分.故選C.、填空題11.（文）如圖，在正四棱柱 ABCD- A1B1C1D1 中，E、F、G、H 分別是棱 CC1、C1D1、D1D、DC 的中點，N 是 BC 的中點，點 M 在四邊形 EFGH 及其內(nèi)部運動，則 M 滿足條件 _時，有 MN /平面 B1BDD1.答案M 線段 FH解析 因為 HN/ BD, HF/ DD1，所以平面 NHF/平面 B1BDD1，又平面 NHFQ平面 E

14、FGH=FH.故線段 FH 上任意點 M 與 N 相連，有 MN /平面 B1BDD1,故填 M 線段 FH.n（理）已知兩異面直線 a, b 所成的角為-,直線 I 分別與 a, b 所成的角都是B,則B的取值 范圍是.n n答案【6, 212 .在四面體 ABCD 中，M、N 分別是 ACDABCD 的重心，則四面體的四個面中與MN平行的是_ .答案面 ABC 和面 ABD解析連結(jié) AM 并延長交 CD 于點 E, MACD 的重心， E 為 CD 的中點,AB 與 CD 相交； MN / PQ;AB/ PE;MN 與 CD 異面； MN /平面 PQC.答案解析將正方體還原后如圖，則N

15、與 B 重合，A 與 C 重合，E 與 D 重合，.、為真命題.又 NBCD 的重心， B、N、E三點共線,由EMENMA NB器=扌得 MN / AB,因此 MN /平面 ABC, MN /平面ABD.13.如圖是一正方體的表面展開圖,B、N、Q 都是所在棱的中點，則在原正方體中,其中真命題的序號是答案a 解析/ B1D1/ 平面 ABCD,平面 B1D1PA平面 ABCD= PQ,. B1D1/ PQ,又 B1D1 / BD,. BD/ PQ,設(shè) POPAB=M,TAB/ CD,. APMs DPQ,人人PM AP 11又厶 APMsADP,.=一，. PM = 一 BD BD AD 33

16、，又 BD=j2a,. PQ= 23?a.三、解答題15.如圖，在四棱錐 E- ABCD 中，四邊形 ABCD 為平行四邊形，BE= EC, AE 丄 BE,M 為 CE 上一點，且 BM 丄平面 ACE./LZn:_14.如圖所示，正方體 ABC A1B1C1D1 的棱長為 a,點 P 是棱 AD 上一點，且AP=a,過B1,D1, P如果點 N 為線段 AB 的中點，求證:MN /平面 ADE.眾器2,即pQ=2PM,(1)求證：AE 丄 BC;解析因為 BM 丄平面 ACE AE?平面 ACE 所以 BM 丄 AE.因為 AE 丄 BE,且 BEABM= B, BE、BM?平面 EBC,

17、所以 AE 丄平面 EBC.因為 BC?平面 EBC,所以 AE 丄 BC.解法 1:取 DE 中點 H,連接 MH、AH.因為 BM 丄平面 ACE, EC?平面 ACE,所以 BM 丄 EC.因為 BE= BC,所以 M 為 CE 的中點.1 所以 MHEDC的中位線， 所以 MH綊 2DC.因為四邊形 ABCD 為平行四邊形，所以 DC 綊 AB.1故 MH 綊 2AB.因為 N 為 AB 的中點，所以 MH 綊 AN.所以四邊形 ANMH 為平行四邊形，所以 MN / AH.因為 MN?平面 ADE, AH?平面 ADE,所以 MN /平面 ADE.解法 2:取 EB 的中點 F,連接

18、 MF、NF.因為 BM 丄平面 ACE, EC?平面 ACE,所以 BM 丄 EC.因為 BE= BC,所以 M 為 CE 的中點，所以 MF/ BC.因為 N 為 AB 的中點，所以 NF/ AE ,因為四邊形 ABCD 為平行四邊形，所以 AD/ BC 所以 MF/ AD.因為 NF、MF?平面 ADE, AD AE?平面 ADE,所以 NF/平面 ADE, MF/平面 ADE.所以平面 MNF/平面 ADE.AE= AB= 2 , CD= 1 , F 為 BE 的中點.(1)若點 G 在 AB 上，試確定 G 點位置，使 FG/平面 ADE,并加以證明;在(1)的條件下，求三棱錐 D-

19、 ABF 的體積.解析(1)當 G 是 AB 的中點時，GF/平面 ADE.因為 MFANF= F, MF、NF? 平面 MNF ,因為 MN?平面 MNF ,所以MN / 平面 ADE.(理)如圖所示的幾何體中，ABC 為正三角形，AE 和 CD 都垂直于平面/ G 是 AB 的中點，F(xiàn) 是 BE 的中點, GF/ AE,又 GF?平面 ADE, AE?平面 ADE, GF/平面 ADE連接 CG,由可知：1GF/ AE,且 GF= 2AE.又 AE 丄平面 ABC, CD 丄平面 ABC,： CD/ AE,1又 CD= 2AE,： GF / CD, GF= CD,四邊形 CDFG 為平行四

20、邊形， DF/ CG,且 DF= CG.又 AE 丄平面 ABC, CG?平面 ABC, AE 丄 CG. ABC 為正三角形，G 為 AB 的中點， CGAB,又 ABA AE= A, CG 丄平面 ABE.又 CG/ DF,且 CG= DF, DF 為三棱錐 D-ABF 的高,且 DF= 3.又 AE 丄平面 ABC, AB?平面 ABC, AE 丄 AB.在 RtAABE 中，AB= AE= 2 , F 為 BE 的中點,SAABF=ABE=22X2.11 廠需 VD- ABF= 3SAABFDF= X1 滅 3=可,三棱錐 D- ABF 的體積為 亍.16.（文）如圖，P0 丄平面 A

21、BCD 點 0 在 AB 上 , EA/ P0,四邊形 ABCD 為直角梯形,1AB, BC= CD= B0= PO, EA= AO= ?CD.BC丄(1) 求證：BC 丄平面 ABPE(2) 直線 PE 上是否存在點 M，使 DM /平面 PBC 若存在，求出點 M;若不存在，說明理由.解析(1)vP0 丄平面 ABCD,BC?平面 ABCD,. BC 丄 P0,又 BC 丄 AB, ABA P0= O, AB?平面 ABP, PO?平面 ABP,. BC 丄平面 ABP,又 EA/ PO, AO?平面 ABP, EA?平面 ABP,. BC 丄平面 ABPE.點 E 即為所求的點，即點 M

22、 與點 E 重合.取 PO 的中點 N,連結(jié) EN 并延長交 PB 于 F, EA= 1, PO= 2, NO= 1,又 EA 與 PO 都與平面 ABCD 垂直， EF/ AB,1 F 為 PB 的中點， NF= 2OB= 1 , EF= 2,又 CD= 2, EF/ AB/ CD,四邊形 DCFE 為平行四邊形， DE/ CF,/ CF?平面 PBC, DE?平面 PBC, DE/平面 PBC/-當 M 與 E 重合時即可.(理)在長方體 ABCD- A1B1C1D1 中，O 為底面正 方形的中心，過 A1、C1、B 三點的平面截去 長方體的一個角后，得到如圖所示的幾何體ABCD- A1C

23、1D1 及其三視圖.(1) 求證：D1O /平面 A1BC1;(2) 是否存在過點 A1 與直線 DC1 垂直的平面 A1PQ,與線段 BC1 交于點 P,與線段 CC1 交于 點 Q?若存在，求出線段 PQ 的長；若不存在，請說明理由.分析 要證 D1O /平面 A1BC1,vO 為 DB 的中點，取 A1C1 中點 E,只須證 D1E 綊 OB,或利用長方體為正四棱柱的特性，證明平面 ACD1 /平面 A1C1B,假設(shè)存在平面 A1PQ 丄 DC1,利用正四棱柱中， BC 丄平面 DCC1D1,故有 BC 丄 DC1,從而平面 A1PQ 與平面 BCC1 的交線PQ 丄 DC1，故只須在面

24、 DCC1D1 的邊 CC1 上尋找點 Q,使 D1Q 丄 DC1 即可.解析連接 AC, AD1, D1C,易知點 0 在 AC 上.根據(jù)長方體的性質(zhì)得四邊形ABC1D1、四邊形 A1D1CB 均為平行四邊形， AD1 / BC1, A1B/ D1C,又 AD1?平面 A1C1B, BC1?平面 A1C1B,： AD1 /平面 A1C1B,同理 D1C/平面 A1BC1,又 D10H AD1= D1,根據(jù)面面平行的判定定理知平面ACD1 /平面 A1BC1./ D1O?平面 ACD1,. D1O /平面 A1BC1.假設(shè)存在過點 A1 與直線 DC1 垂直的平面 A1PQ,與線段 BC1 交

25、于點 P,與線段 CC1 交于點 Q.連接 C1D,過點 D1 作 C1D 的垂線交 C1C 于點 Q,過點 Q 作 PQ/ BC 交 BC1 于點 P,連接 A1P, A1Q.C1D 丄 D1Q, C1D 丄 A1D1, D1QnA1D1= D1, C1D 丄平面 A1D1Q./ A1Q?平面 A1D1Q , C1D 丄 A1Q./ PQ/ BC/ A1D1,. C1D 丄 PQ, / A1QP PQ = Q,. C1D 丄平面 A1PQ.存在過點 A1 與直線 DC1 垂直的平面 A1PQ,與線段 BC1 交于點 P,與線段 CC1 交于點 Q.在矩形 CDD1C1 中，TRtAD1C1QRtAC1CD,17.(文)(2010東北師大附中)如圖所示， 在棱長為 2的正方體ABCD- A1B1C1D1中, E、 F分別為 DD1、DB 的中點.(1)求證：EF/ 平面 ABC1D1;求證：EF 丄 B1C;求三棱錐 B1 EFC 的體積.D1C1C1C ，結(jié)合三視圖得C1Q4，二 C1Q= 1.4/ PQ/BC,PQ_ C1Q_ 1BC=CC1_ 4，1 1PQ_ 4BC_2.解析(1)證明：連結(jié) BD1，在 DD1B 中，E、F 分別為 D1D, DB 的中點，貝 U EF/ D1B,又EF?平面 ABC1D1, DIB?平面 ABC1D1, EF/平面 ABC1D1