傅里葉變換性質(zhì)證明

1、 2.6 傅里葉變換的性質(zhì) 2.6.1線性若信號和的傅里葉變換分別為和， 則對于任意的常數(shù)a和b，有 將其推廣，若,則其中為常數(shù)，n為正整數(shù)。由傅里葉變換的定義式很容易證明線性性質(zhì).顯然傅里葉變換也是一種線性運(yùn)算，在第一章我們已經(jīng)知道了，線性有兩個含義：均勻性和疊加性。均勻性表明，若信號乘以常數(shù)a，則信號的傅里葉變換也乘以相同的常數(shù)a，即疊加性表明，幾個信號之和的傅里葉變換等于各個信號的傅里葉變換之和     2.6.2 反褶與共軛性設(shè)f(t)的傅里葉變換為，下面我們來討論信號反褶、共軛以及既反褶又共軛后，新信號的傅里葉變換。（1）反

2、褶f(-t)是f(t)的反褶，其傅里葉變換為         （2）共軛         （3）既反褶又共軛        本性質(zhì)還可利用前兩條性質(zhì)來證明：設(shè)g(t)=f(-t)，h(t)=g*(t)，則           在上面三條性質(zhì)的證明中，

3、并沒有特別指明f(t)是實(shí)函數(shù)還是復(fù)函數(shù)，因此,無論f(t)為實(shí)信號還是復(fù)信號，其傅里葉變換都滿足下面三條性質(zhì)  2.6.3 奇偶虛實(shí)性已知f(t)的傅里葉變換為。在一般情況下，是復(fù)函數(shù)，因此可以把它表示成模與相位或者實(shí)部與虛部兩部分，即       根據(jù)定義，上式還可以寫成     下面根據(jù)f(t)的虛實(shí)性來討論F()的虛實(shí)性。(1) f(t)為實(shí)函數(shù)對比式(2-33)與(2-34)，由FT的唯一性可得（1.1）f(t)是實(shí)的偶函數(shù)，即f(t)=f(-t)X()的積分項(xiàng)是奇

4、函數(shù)，而奇函數(shù)在對稱區(qū)間內(nèi)的積分為零，故這時X()=0，于是可見，若f(t)是實(shí)偶函數(shù)，則F()也是實(shí)偶函數(shù)，即 左邊反褶，右邊共軛 （1.2）f(t)是實(shí)的奇函數(shù)，即-f(t)=f(-t)R()的積分項(xiàng)是奇函數(shù)，而奇函數(shù)在對稱區(qū)間內(nèi)的積分為零，故這時R()=0，于是可見，若f(t)是實(shí)奇函數(shù)，則F()是虛奇函數(shù)，即左邊反褶，右邊共軛有了上面這兩條性質(zhì)，下面我們來看看一般實(shí)信號（即可能既不是偶信號，又不是奇信號，反正不清楚，或者說是沒有必要關(guān)心信號的奇偶特性）的FT頻譜特點(diǎn)。 2.6.4對稱性傅里葉變換與傅里葉反變換之間存在著對稱關(guān)系，稱為傅里葉變換的對稱性質(zhì)。若已知F()=Ff(t

5、)則有 Ff(t)=2f(-)證明：因?yàn)?將變量t與互換，再將2乘過來，得上式右邊是傅里葉正變換定義式，被變換函數(shù)是F(t)所以FF(t)=2f(-)若f(t)為偶信號，即f(t)=f(-t)，則有FF(t)=2f()從上式可以看出，當(dāng)f(t)為偶信號時，頻域和時域的對稱性完全成立即f(t)的頻譜是F()，F(xiàn)(t)的頻譜為f()。若f(t)為奇信號，即f(t)=-f(-t)，則有FF(t)=-2f()利用FT的對稱性，我們可以很方便地一些信號的傅里葉變換。下面我們舉些例子來說明這一點(diǎn)。         &

6、#160; 2.6.5 尺度變換若Ff(t)=F()，則這里a是非零的實(shí)常數(shù)。下面利用FT的定義及積分的性質(zhì)，分a>0和a<0兩種情形來證明傅里葉變換的尺度變換特性。證明：因?yàn)榱頰t=x，當(dāng)a > 0時 當(dāng)a < 0時 上述兩種情況可綜合成如下表達(dá)式：由上可見，若信號f(t)在時域上壓縮到原來的1/a倍，則其頻譜在頻域上將展寬a倍，同時其幅度減小到原來的1/a。尺度變換性質(zhì)表明，在時域中信號的壓縮對應(yīng)于頻域中信號頻帶的擴(kuò)展，反之，信號的時域擴(kuò)展對應(yīng)于頻域的壓縮。對于a=-1的特殊情況，它說明信號在時域中沿縱軸反褶等效于在頻域中頻譜也沿縱軸反褶。 對傅里葉變換的

7、尺度變換特性最通俗的解釋可以采用生活中的實(shí)例來說明，在錄音帶快放時，其放音速度比原磁帶的錄制速度要快，這就相當(dāng)于信號在時間上受到了壓縮，于是其頻譜就擴(kuò)展，因而聽起來就會感覺到聲音發(fā)尖，即頻率提高了。反之，當(dāng)慢放時，放音的速度比原來速度要慢，聽起來就會感覺到聲音渾厚，即低頻比原來豐富了（頻域壓縮）。 2.6.6 時間平移(延時)下面進(jìn)行證明證明：上式右邊的積分項(xiàng)為傅里葉變換定義式，于是可以得到 同理可以得到 2.6.7時域微分若Ff(t)=F()，則           

8、60;證明：因?yàn)?，兩邊對t求導(dǎo)，可得               所以同理，可以推出由上可見，在時域中f(t)對t取n階導(dǎo)數(shù)等效于在頻域中f(t)的頻譜F()乘以(j)n. 下面舉一個簡單的應(yīng)用例子。若已知單位階躍信號u(t)的傅里葉變換，可利用此定理求出(t)的FT 2.6.8 頻域微分若Ff(t)=F()，則證明：因?yàn)?，兩邊分別對求導(dǎo)，可得所以         

9、;  2.6.9 時域積分                  可見，這與利用符號函數(shù)求得的結(jié)果一致。2.6.10 頻域積分若Ff(t)=F() ，則有2.6.11 時域卷積定理          2.6.12 頻域卷積定理與時域卷積定理類似， 證明方法同時域卷積定理，在這里不在重復(fù)，同學(xué)們可自己證明。由上可見，兩個時間函數(shù)頻譜的卷積等效于兩個時間函數(shù)的乘積?；蛘哒f，兩個時間函數(shù)乘積的頻譜等于各個函數(shù)頻譜乘積乘以1/2。顯然，時域與頻域卷積定理是對稱的，這是由傅里葉變換的對稱性決定的。 2.6.13 帕斯瓦爾定理前面我們在講信號分解時，提及帕斯瓦爾定理。下面我們來研究一下該定理在FT中的具體表現(xiàn)形式。若Ff(t)=F() ，則這就是帕斯瓦爾定理在傅里葉變換中體現(xiàn)，它表明了信號的能量在時域與頻域是守恒的。下面利用FT的定義和性質(zhì)，推導(dǎo)信號能量的求解。