第二編函數(shù)與基本初等函數(shù)Ⅰ

1、第二編 函數(shù)與基本初等函數(shù)2.1 函數(shù)及其表示基礎(chǔ)自測1. 與函數(shù)f(x)=|x|是相同函數(shù)的有 （寫出一個你認(rèn)為正確的即可）.答案 y=2.設(shè)M=x|0x2，N=y|0y3，給出下列四個圖形（如圖所示），其中能表示從集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的是 .(填序號). 答案 3.若對應(yīng)關(guān)系f:AB是從集合A到集合B的一個映射，則下面說法正確的是 （填序號）.A中的每一個元素在集合B中都有對應(yīng)元素 A中兩個元素在B中的對應(yīng)元素必定不同B中兩個元素若在A中有對應(yīng)元素，則它們必定不同 B中的元素在A中可能沒有對應(yīng)元素答案4.如圖所示，三個圖象各表示兩個變量x,y的對應(yīng)關(guān)系，則能表示y是x的函數(shù)的圖象是 （

2、填序號）.答案 5.已知f（）=x2+5x,則f(x)= .答案 (x0)例1給出下列兩個條件：（1）f(+1)=x+2; (2)f(x)為二次函數(shù)且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.試分別求出f(x)的解析式.解 （1）令t=+1,t1，x=（t-1）2.則f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,即f(x)=x2-1,x1，+).（2）設(shè)f(x)=ax2+bx+c (a0),f(x+2)=a(x+2)2+b(x+2)+c,則f(x+2)-f(x)=4ax+4a+2b=4x+2.，又f(0)=3c=3,f(x)=x2-x+3.例2（1）求函數(shù)f(x)=的定義域；（2）已知

3、函數(shù)f(2x）的定義域是-1，1，求f(log2x)的定義域.解 （1）要使函數(shù)有意義，則只需要：解得-3x0或2x3. 故函數(shù)的定義域是(-3,0）(2,3).(2)y=f(2x)的定義域是-1，1，即-1x1,2x2.函數(shù)y=f(log2x)中l(wèi)og2x2.即log2log2xlog24,x4.故函數(shù)f(log2x)的定義域為，4 例3（14分）某摩托車生產(chǎn)企業(yè)，上年度生產(chǎn)摩托車的投入成本為1萬元/輛，出廠價為1.2萬元/輛，年銷售量為1 000輛.本年度為適應(yīng)市場需求，計劃提高產(chǎn)品檔次，適度增加投入成本.若每輛車投入成本增加的比例為x (0x1)，則出廠價相應(yīng)提高的比例為0.75x, 同

4、時預(yù)計年銷售量增加的比例為0.6x.已知年利潤=(出廠價-投入成本)年銷售量.（1）寫出本年度預(yù)計的年利潤y與投入成本增加的比例x的關(guān)系式；（2）為使本年度利潤比上年有所增加，問投入成本增加的比例x應(yīng)在什么范圍內(nèi)？解 （1）依題意，本年度每輛摩托車的成本為1+x(萬元)，而出廠價為1.2(1+0.75x) (萬元)，銷售量為1 000(1+0.6x)(輛).故利潤y=1.2(1+0.75x)-(1+x)1 000(1+0.6x), 5分整理得y=-60x2+20x+200 (0x1). 7分（2）要保證本年度利潤比上一年有所增加，則y-(1.2-1)1 0000, 10分即-60x2+20x+

5、200-2000,即3x2-x0. 12分解得0x，適合0x1.故為保證本年度利潤比上年有所增加，投入成本增加的比例x的取值范圍是0x. 13分答 （1）函數(shù)關(guān)系式為y=-60x2+20x+200 (0x1).（2）投入成本增加的比例x的范圍是(0,). 14分 例4 已知函數(shù)f(x)=（1）畫出函數(shù)的圖象；（2）求f(1),f(-1),ff(-1)的值.解 （1）分別作出f(x)在x0,x=0, x0段上的圖象，如圖所示，作法略.（2）f(1)=12=1,f(-1)=- =1,ff（-1）=f（1）=1. 1.（1）已知f（）=lgx，求f（x）；（2）已知f（x）是一次函數(shù)，且滿足3f（x

6、+1）-2f（x-1）=2x+17，求f（x）；（3）已知f（x）滿足2f（x）+f（）=3x，求f（x）.解 (1)令+1=t，則x=，f（t）=lg，f（x）=lg,x(1,+).（2）設(shè)f（x）=ax+b，則3f（x+1）-2f（x-1）=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17，a=2，b=7，故f（x）=2x+7.（3）2f（x）+f（）=3x， 把中的x換成，得2f（）+f（x）= 2-得3f（x）=6x-，f（x）=2x-.2. 求下列函數(shù)的定義域：（1）y=+(2x-3)0;(2)y=log(2x+1)(32-4x).解 （1）由定義域為（-2，log

7、23）(log23,3).(2)定義域為（-,0）（0,）.3.等腰梯形ABCD的兩底分別為AD=2a，BC=a，BAD=45，作直線MNAD交AD于M，交折線ABCD于N，記AM=x,試將梯形ABCD位于直線MN左側(cè)的面積y表示為x的函數(shù)，并寫出函數(shù)的定義域.解 作BHAD，H為垂足，CGAD，G為垂足，依題意，則有AH=，AG=a.（1） 當(dāng)M位于點(diǎn)H的左側(cè)時,NAB，由于AM=x，BAD=45.MN=x.y=SAMN=x2（0x）.（2）當(dāng)M位于HG之間時，由于AM=x，MN=，BN=x-.y=S直角梯形AMNB=x+（x-）=ax-（3）當(dāng)M位于點(diǎn)G的右側(cè)時，由于AM=x，MN=MD=

8、2a-x.y=S梯形ABCD-SMDN=綜上：y= 4.如右圖所示，在直角坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)，AOB是邊長為2的等邊三角形，設(shè)直線x=t(0t2)截這個三角形可得位于此直線左方的圖形的面積為f(t),則函數(shù)y=f(t)的圖象（如下圖所示）大致是 (填序號). 答案一、填空題1.設(shè)函數(shù)f1(x)=x,f2(x)=x-1,f3(x)=x2,則= . 答案 2.（2008安徽文，13）函數(shù)f(x)=的定義域為 .答案 3.若f(x)=,則f(-1)的值為 . 答案 3 4.已知f(，則f(x)的解析式為 . 答案 f(x)=5.函數(shù)f(x)= +lg(3x+1)的定義域是 . 答案 （-，1）6.(

9、2008陜西理，11)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,yR),f(1)=2,則f(-3)= .答案 6 7.已知函數(shù)f(x),g(x)分別由下表給出x123f(x)131x123g(x)321則fg(1)的值為 ，滿足fg(x)gf(x)的x的值是 . 答案 1 28.已知函數(shù) (x)=f(x)+g(x),其中f(x)是x的正比例函數(shù),g(x)是x的反比例函數(shù)，且（）=16, (1)=8,則(x)= .答案 3x+二、解答題9.求函數(shù)f(x)=的定義域.解 由-1x0.函數(shù)f(x)= 的定義域為（-1,0）.10（1）設(shè)f(x)是定義在實數(shù)集R上的函數(shù)

10、，滿足f(0)=1,且對任意實數(shù)a、b,有f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1),求f(x);（2）函數(shù)f(x) (x(-1,1)滿足2f(x)-f(-x)=lg(x+1),求f(x).解 （1）依題意令a=b=x,則f(x-x)=f(x)-x(2x-x+1),即f(0)=f(x)-x2-x,而f(0)=1,f(x)=x2+x+1.（2）以-x代x,依題意有2f(-x)-f(x)=lg(1-x) 又2f(x)-f(-x)=lg(1+x) 兩式聯(lián)立消去f(-x)得3f(x)=lg(1-x)+2lg(1+x),f(x)=lg(1+x-x2-x3)(-1x1).11.如圖所示，有一塊半徑為R的半

11、圓形鋼板，計劃剪裁成等腰梯形ABCD的形狀，它的下底AB是O的直徑,且上底CD的端點(diǎn)在圓周上，寫出梯形周長y關(guān)于腰長x的函數(shù)關(guān)系式，并求出它的定義域.解 AB=2R，C、D在o的半圓周上，設(shè)腰長AD=BC=x，作DEAB，垂足為E，連接BD，那么ADB是直角，由此RtADERtABD.AD2=AEAB，即AE=，CD=AB-2AE=2R-，所以y=2R+2x+（2R-）,即y=-+2x+4R.再由,解得0xR.所以y=-+2x+4R,定義域為（0，R）.12.某租賃公司擁有汽車100輛.當(dāng)每輛車的月租金為3 000元時，可全部租出.當(dāng)每輛車的月租金每增加50元時,未租出的車將會增加一輛.租出的

12、車每月需要維護(hù)費(fèi)150元，未租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)50元.（1）當(dāng)每輛車的月租金定為3 600元時，能租出多少輛車？（2）當(dāng)每輛車的月租金定為多少元時，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？解 （1）當(dāng)每輛車的月租金定為3 600元時，未租出的車輛數(shù)為=12，所以這時租出了88輛車.（2）設(shè)每輛車的月租金定為x元，則租賃公司的月收益為f(x)=（100-50.整理得f(x)=- +162x-21 000=-(x-4 050)2+307 050.所以，當(dāng)x=4 050時，f(x)最大，最大值為f(4 050)=307 050.即當(dāng)每輛車的月租金定為4 050元時，租賃公司的月收益最大，最大

13、月收益為307 050元.2.2函數(shù)的單調(diào)性與最大（?。┲祷A(chǔ)自測1.已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的增函數(shù)，則下列對f(x)=0的根說法不正確的是 （填序號）. 有且只有一個 有2個至多有一個 沒有根答案 2. 已知f(x)是R上的增函數(shù)，若令F（x）=f（1-x）-f（1+x），則F（x）是R上的 函數(shù)（用“增”、“減”填空）.答案 減3.若函數(shù)f(x)=x2+(a2-4a+1)x+2在區(qū)間（-，1上是減函數(shù)，則a的取值范圍是 . 答案 1，34.（2009徐州六縣一區(qū)聯(lián)考）若函數(shù)f(x)是定義在（0，+）上的增函數(shù)，且對一切x0，y0滿足f(xy)=f(x)+f(y)，則不等式f(x+

14、6)+f(x)2f(4)的解集為 . 答案 （0，2）5.已知函數(shù)f(x)=x2-2x+3在閉區(qū)間0,m上最大值為3，最小值為2，則m的取值范圍為 . 答案 1，2例1已知函數(shù)f(x)=ax+ (a1).證明：函數(shù)f(x)在(-1,+)上為增函數(shù).證明 方法一 任取x1,x2(-1,+),不妨設(shè)x1x2,則x2-x10,1且a0,a又x1+10,x2+10,0,于是f(x2)-f(x1)=a+0,故函數(shù)f(x)在（-1,+）上為增函數(shù).方法二 f(x)=ax+1-(a1),求導(dǎo)數(shù)得f(x)=axlna+,a1,當(dāng)x-1時，axlna0,0,f(x)0在（-1，+）上恒成立，則f(x)在（-1,

15、+）上為增函數(shù).方法三 a1,y=ax為增函數(shù)，又y=，在（-1，+）上也是增函數(shù).y=ax+在（-1，+）上為增函數(shù). 例2判斷函數(shù)f(x)=在定義域上的單調(diào)性.解 函數(shù)的定義域為x|x-1或x1,則f(x)= ,可分解成兩個簡單函數(shù).f(x)= =x2-1的形式.當(dāng)x1時，u(x)為增函數(shù)，為增函數(shù).f（x）=在1，+)上為增函數(shù).當(dāng)x-1時，u（x)為減函數(shù)，為減函數(shù)，f(x)=在（-,-1上為減函數(shù). 例3 求下列函數(shù)的最值與值域：（1）y=4-;(2)y=2x-;(3)y=x+;(4)y=.解 （1）由3+2x-x20得函數(shù)定義域為-1，3，又t=3+2x-x2=4-(x-1)2.t

16、0，4，0，2，從而，當(dāng)x=1時，ymin=2，當(dāng)x=-1或x=3時，ymax=4.故值域為2，4.（2） 方法一 令=t(t0),則x=.y=1-t2-t=-（t+2+.二次函數(shù)對稱軸為t=-,在0，+）上y=-(t+2+是減函數(shù)，故ymax=-(0+2+=1.故函數(shù)有最大值1，無最小值，其值域為（-，1.方法二 y=2x與y=-均為定義域上的增函數(shù)，y=2x-是定義域為x|x上的增函數(shù)，故ymax=2=1,無最小值.故函數(shù)的值域為(-,1.(3)方法一 函數(shù)y=x+是定義域為x|x0上的奇函數(shù),故其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,故只討論x0時,即可知x0時的最值.當(dāng)x0時,y=x+2=4，等號當(dāng)且僅當(dāng)

17、x=2時取得.當(dāng)x0時，y-4,等號當(dāng)且僅當(dāng)x=-2時取得.綜上函數(shù)的值域為（-，-44，+），無最值.方法二 任取x1,x2,且x1x2,因為f(x1)-f(x2)=x1+-(x2+)=所以當(dāng)x-2或x2時，f(x)遞增,當(dāng)-2x0或0x2時，f(x)遞減.故x=-2時，f(x)最大值=f(-2)=-4,x=2時，f(x)最小值=f(2)=4,所以所求函數(shù)的值域為（-，-44，+），無最大（小）值.（4）將函數(shù)式變形為y=,可視為動點(diǎn)M（x,0）與定點(diǎn)A（0，1）、B（2，-2）距離之和，連結(jié)AB，則直線AB與x軸的交點(diǎn)（橫坐標(biāo)）即為所求的最小值點(diǎn).ymin=|AB|=，可求得x=時，ymi

18、n=.顯然無最大值.故值域為，+）.例4 (14分)函數(shù)f(x)對任意的a、bR,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且當(dāng)x0時，f(x)1.（1）求證：f(x)是R上的增函數(shù)；（2）若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)3.解 （1）設(shè)x1,x2R，且x1x2,則x2-x10,f(x2-x1)1. 2分f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-10. 5分f（x2）f(x1).即f(x)是R上的增函數(shù). 7分（2）f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5，f（2）=3， 10分原不等式

19、可化為f(3m2-m-2)f(2),f(x)是R上的增函數(shù)，3m2-m-22, 12分解得-1m,故解集為（-1, ）. 14分1.討論函數(shù)f（x）=x+（a0）的單調(diào)性.解 方法一 顯然f（x）為奇函數(shù)，所以先討論函數(shù)f（x）在（0，+）上的單調(diào)性，設(shè)x1x20,則f(x1)-f(x2) =（x1+）-（x2+）=(x1-x2)（1-）.當(dāng)0x2x1時，1,則f（x1）-f（x2）0，即f(x1)f(x2),故f（x）在（0，上是減函數(shù).當(dāng)x1x2時，01，則f（x1）-f（x2）0,即f(x1)f(x2),故f（x）在，+）上是增函數(shù).f（x）是奇函數(shù)，f（x）分別在（-，-、，+）上為增

20、函數(shù)；f（x）分別在-，0）、（0，上為減函數(shù).方法二 由f （x）=1-=0可得x=當(dāng)x時或x-時，f (x)0，f（x）分別在（，+）、（-，-上是增函數(shù).同理0x或-x0時，f（x）0即f（x）分別在（0，、-，0）上是減函數(shù).2.求函數(shù)y=（4x-x2）的單調(diào)區(qū)間.解 由4x-x20，得函數(shù)的定義域是（0，4）.令t=4x-x2，則y= t.t=4x-x2=-（x-2）2+4，t=4x-x2的單調(diào)減區(qū)間是2，4），增區(qū)間是（0，2.又y=t在（0，+）上是減函數(shù)，函數(shù)y=（4x-x2）的單調(diào)減區(qū)間是（0，2，單調(diào)增區(qū)間是2，4).3.在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，函數(shù)f(x)的邊際函數(shù)Mf(x)定義為M

21、f（x）=f（x+1）-f（x）.某公司每月最多生產(chǎn)100臺報警系統(tǒng)裝置，生產(chǎn)x（x0）臺的收入函數(shù)為R（x）=3 000x-20x2 (單位：元)，其成本函數(shù)為C（x）=500x+4 000（單位：元），利潤是收入與成本之差.（1）求利潤函數(shù)P（x）及邊際利潤函數(shù)MP（x）；（2）利潤函數(shù)P（x）與邊際利潤函數(shù)MP（x）是否具有相同的最大值？解 （1）P（x）=R（x）-C（x）=（3 000x-20x2）-（500x+4 000）=-20x2+2 500x-4 000（x1，100且xN）.MP（x）=P（x+1）-P（x）=-20（x+1）2+2 500（x+1）-4 000-（-20x

22、2+2 500x-4 000）=2 480-40x （x1，100且xN）.（2）P（x）=-20(x-2+74 125，當(dāng)x=62或63時，P(x)max=74 120（元）.因為MP（x）=2 480-40x是減函數(shù)，所以當(dāng)x=1時，MP(x)max=2 440(元）.因此，利潤函數(shù)P（x）與邊際利潤函數(shù)MP（x）不具有相同的最大值.4.已知定義在區(qū)間（0，+）上的函數(shù)f(x)滿足f(=f(x1)-f(x2)，且當(dāng)x1時，f(x)0.（1）求f(1)的值；（2）判斷f(x）的單調(diào)性；（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)-2.解 （1）令x1=x20,代入得f(1)=f(x1)-f(

23、x1)=0,故f(1)=0.（2）任取x1,x2(0,+)，且x1x2,則1,由于當(dāng)x1時，f(x)0,所以f0,即f(x1)-f(x2)0,因此f(x1)f(x2),所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+)上是單調(diào)遞減函數(shù).（3）由f()=f(x1)-f(x2)得f(=f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-2.由于函數(shù)f(x)在區(qū)間（0,+）上是單調(diào)遞減函數(shù)，由f(|x|)f(9),得|x|9,x9或x-9.因此不等式的解集為x|x9或x-9.一、填空題1.函數(shù)f(x)=ln(4+3x-x2)的單調(diào)遞減區(qū)間是 .答案 ，4）2.已知函數(shù)f（x）在區(qū)間a，b上單調(diào)，且f（a）f（b）0

24、，則下列對方程f（x）=0在區(qū)間a，b上根的分布情況的判斷有誤的是 （填序號）. 至少有一實根 至多有一實根沒有實根 必有惟一的實根 答案 3.函數(shù)y=lg(x2+2x+m)的值域是R,則m的取值范圍是 . 答案 m14.函數(shù)f(x)(xR)的圖象如下圖所示，則函數(shù)g(x)=f(logax) (0a1)的單調(diào)減區(qū)間是 . 答案 ,1 5.已知f(x)=是（-,+）上的減函數(shù)，那么a的取值范圍是 .答案 ，）6.若函數(shù)f(x)=(m-1)x2+mx+3 (xR)是偶函數(shù)，則f(x)的單調(diào)減區(qū)間是 .答案 0，+）7.已知y=f(x)是定義在（-2，2）上的增函數(shù)，若f(m-1)f(1-2m)，則

25、m的取值范圍是 .答案 (-8.已知下列四個命題：若f(x)為減函數(shù)，則-f(x)為增函數(shù)；若f(x)為增函數(shù)，則函數(shù)g(x)=在其定義域內(nèi)為減函數(shù)；若f(x)與g(x)均為(a,b)上的增函數(shù)，則f(x)g(x)也是區(qū)間（a,b）上的增函數(shù)；若f(x)與g(x)在(a,b)上分別是遞增與遞減函數(shù)，且g(x)0，則在（a,b)上是遞增函數(shù).其中命題正確的是 （填序號）答案 二、解答題9.已知f(x)在定義域（0，+）上為增函數(shù)，且滿足f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,試解不等式f(x)+f(x-8)2.解 根據(jù)題意，由f(3)=1,得f(9)=f(3)+f(3)=2.又f(x)+f

26、(x-8)=fx(x-8),故fx(x-8)f(9).f（x）在定義域（0,+）上為增函數(shù)，解得8x9.10.函數(shù)f(x)對任意的實數(shù)m、n有f(m+n)=f(m)+f(n),且當(dāng)x0時有f(x)0.（1）求證：f(x)在（-,+)上為增函數(shù)；（2）若f(1)=1,解不等式flog2(x2-x-2)2.（1）證明 設(shè)x2x1,則x2-x10.f(x2)-f(x1)=f(x2-x1+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)=f(x2-x1)0,f(x2)f(x1),f(x)在（-,+)上為增函數(shù).（2）解 f(1)=1,2=1+1=f(1)+f(1)=f(2). 又flog2

27、(x2-x-2)2,flog2(x2-x-2)f(2).log2(x2-x-2)2,于是即-2x-1或2x3.原不等式的解集為x|-2x-1或2x3.11.已知f(x)=(xa).（1）若a=-2,試證f(x)在（-,-2）內(nèi)單調(diào)遞增；（2）若a0且f(x)在（1,+）內(nèi)單調(diào)遞減，求a的取值范圍.（1）證明 任設(shè)x1x2-2,則f(x1)-f(x2)=(x1+2）(x2+2)0,x1-x20,f(x1)f(x2),f(x)在(-,-2)內(nèi)單調(diào)遞增.（2）解 任設(shè)1x1x2,則f(x1)-f(x2)=a0,x2-x10,要使f(x1)-f(x2)0,只需(x1-a)(x2-a)0恒成立，a1.綜

28、上所述知0a1.12.已知函數(shù)y=f(x)對任意x,yR均有f(x)+f(y)=f(x+y),且當(dāng)x0時，f(x)0,f(1)=- .(1)判斷并證明f(x)在R上的單調(diào)性；（2）求f(x)在-3，3上的最值.解 （1）f(x)在R上是單調(diào)遞減函數(shù)證明如下：令x=y=0,f(0)=0,令x=-y可得：f(-x)=-f(x),在R上任取x1x2,則x2-x10,f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1).又x0時，f(x)0,f(x2-x1)0,即f(x2)f(x1).由定義可知f(x)在R上為單調(diào)遞減函數(shù).（2）f(x)在R上是減函數(shù)，f（x）在-3，3上也是減函數(shù).f

29、（-3）最大，f(3)最小.f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=3（-=-2.f(-3)=-f(3)=2.即f(x)在-3，3上最大值為2，最小值為-2. 2.3 函數(shù)的奇偶性 基礎(chǔ)自測 1.（2008福建理，4）函數(shù)f（x）=x3+sinx+1（xR），若f（a）=2，則f（-a）的值為 . 答案02.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(x)，則f(6)的值為 . 答案03.設(shè)偶函數(shù)f(x)=loga|x-b|在（-,0）上單調(diào)遞增，則f(a+1) f(b+2)(用“”，“”，“”，“”填空).答案4.已知f（x）=是奇函數(shù)，則實數(shù)a的值為 .答案1

30、5.函數(shù)f(x),g(x)在區(qū)間-a，a (a0）上都是奇函數(shù)，則下列結(jié)論：f(x)-g(x)在-a,a上是奇函數(shù)；f(x)+g(x)在-a,a上是奇函數(shù)；f(x)g(x)在-a,a上是偶函數(shù)；f(0)+ g(0)=0,則其中正確結(jié)論的個數(shù)是 . 答案 4例1判斷下列函數(shù)的奇偶性.（1）f(x)=;(2)f(x)=log2(x+) (xR);(3)f(x)=lg|x-2|.解 （1）x2-10且1-x20,x=1,即f(x)的定義域是-1，1.f（1）=0，f(-1)=0,f(1)=f(-1),f(-1)=-f(1),故f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).（2）方法一 易知f(x)的定義域為R，又f

31、(-x)=log2-x+=log2=-log2(x+)=-f(x),f(x)是奇函數(shù).方法二 易知f(x)的定義域為R，又f（-x）+f（x）=log2-x+log2(x+)=log21=0,即f(-x)=-f(x),f(x)為奇函數(shù).（3）由|x-2|0，得x2.f（x）的定義域x|x2關(guān)于原點(diǎn)不對稱，故f(x)為非奇非偶函數(shù).例2已知函數(shù)f(x),當(dāng)x,yR時，恒有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求證：f(x)是奇函數(shù)；（2）如果xR+，f（x）0,并且f(1)=-,試求f(x)在區(qū)間-2，6上的最值.（1）證明函數(shù)定義域為R，其定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱.f（x+y）-f（x）+f（y）

32、，令y=-x,f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0,f(0)-f(0)+f(0),得f(0)=0.f（x）+f（-x）=0，得f(-x)=-f(x),f(x)為奇函數(shù).（2）解 方法一 設(shè)x,yR+，f（x+y）=f（x）+f（y），f（x+y）-f（x）=f（y）.xR+，f（x）0,f(x+y)-f(x)0,f(x+y)f(x).x+yx,f(x)在（0，+）上是減函數(shù).又f（x）為奇函數(shù)，f（0）=0，f（x）在（-,+）上是減函數(shù).f（-2）為最大值，f(6)為最小值.f(1)=-,f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2f（1）+f（2）=-3.所求

33、f(x)在區(qū)間-2，6上的最大值為1，最小值為-3.方法二 設(shè)x1x2,且x1,x2R.則f(x2-x1)=fx2+(-x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1).x2-x10,f(x2-x1)0.f(x2)-f(x1)0.即f(x)在R上單調(diào)遞減.f（-2）為最大值，f（6）為最小值.f（1）=-， f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1，f（6）=2f（3）=2f（1）+f（2）=-3.所求f(x）在區(qū)間-2，6上的最大值為1，最小值為-3.例3（16分）已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且滿足f(x+2)=-f(x).（1）求證：f(x)是周期函數(shù)；（2）若f(x)為奇函數(shù)，

34、且當(dāng)0x1時，f(x)=x,求使f(x)=-在0，2 009上的所有x的個數(shù).（1）證明 f（x+2）=-f（x），f（x+4）=-f（x+2）=-f（x）=f（x）， 2分f（x）是以4為周期的周期函數(shù)， 4分（2）解 當(dāng)0x1時，f(x)=x,設(shè)-1x0,則0-x1,f（-x）=（-x）=-x.f(x)是奇函數(shù)，f（-x）=-f（x）,-f（x）=-x，即f(x)=x. 7分故f(x)= x(-1x1) 8分又設(shè)1x3,則-1x-21,f(x-2)= (x-2), 10分又f（x-2）=-f（2-x）=-f（-x）+2）=-f（-x）=-f（x），-f（x）=（x-2），f（x）=-（x-

35、2）（1x3）. 11分f（x）= 12分由f(x)=- ,解得x=-1.f（x）是以4為周期的周期函數(shù).f(x)=- 的所有x=4n-1 (nZ). 14分令04n-12 009,則n,又nZ，1n502 （nZ）,在0，2 009上共有502個x使f(x)=- . 16分1.判斷下列各函數(shù)的奇偶性：（1）f（x）=（x-2）；（2）f（x）=；（3）f（x）=解 （1）由0，得定義域為-2，2），關(guān)于原點(diǎn)不對稱，故f（x）為非奇非偶函數(shù).（2）由得定義域為（-1，0）（0，1）.這時f（x）=.f（-x）=-f（x）為偶函數(shù).（3）x-1時，f（x）=x+2，-x1,f（-x）=-（-x）

36、+2=x+2=f（x）.x1時，f（x）=-x+2，-x-1，f(-x)=x+2=f(x).-1x1時，f（x）=0，-1-x1，f（-x）=0=f（x）.對定義域內(nèi)的每個x都有f（-x）=f（x）.因此f（x）是偶函數(shù).2.已知函數(shù)y=f(x)的定義域為R，且對任意a,bR,都有f(a+b)=f(a)+f(b)，且當(dāng)x0時，f(x)0恒成立，f(3)=-3. (1)證明：函數(shù)y=f(x)是R上的減函數(shù)；（2）證明：函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)；（3）試求函數(shù)y=f(x)在m,n（m,nZ）上的值域.（1）證明 設(shè)x1，x2R，且x1x2,f(x2)=fx1+(x2-x1)=f(x1)+f(x2-

37、x1).x2-x10,f(x2-x1)0.f(x2)=f(x1)+f(x2-x1)f(x1).故f(x)是R上的減函數(shù).（2）證明 f（a+b）=f（a）+f（b）恒成立，可令a=-b=x,則有f（x）+f（-x）=f（0），又令a=b=0,則有f(0)=f(0)+f(0),f(0)=0.從而xR，f（x）+f（-x）=0，f（-x）=-f（x）.故y=f(x)是奇函數(shù).（3）解 由于y=f(x)是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，y=f（x）在m，n上也是減函數(shù)，故f(x)在m，n上的最大值f(x)max=f(m),最小值f(x)min=f(n).由于f(n)=f(1+(n-1)=f(1)+f(n-1)=

38、nf(1),同理f(m)=mf(1).又f(3)=3f(1)=-3,f(1)=-1,f(m)=-m, f(n)=-n.函數(shù)y=f(x)在m,n上的值域為-n,-m.3.設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=1對稱，對任意x1、x20，都有f（x1+x2）=f（x1）f（x2），且f(1)=a0.（1）求f()及f()（2）證明：f（x）是周期函數(shù)；（3）記an=f(2n+，求an.（1）解 對x1、x2，都有f（x1+x2）=f（x1）f（x2），f（x）=f(0，x0，1.f（1）=f( f(. f(1)=a0, f(（2）證明 y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，f（x）=f

39、（1+1-x），即f（x）=f（2-x），xR.又由f（x）是偶函數(shù)知，f（-x）=f（x），xR，f（-x）=f（2-x），xR.將上式中-x用x代換，得f（x）=f（x+2），xR.這表明f（x）是R上的周期函數(shù)，且2是它的一個周期.（3）解 由（1）知f（x）0，x0，1.f(=f(=f(f(又f(f（x）的一個周期是2，an=f(2n+)=f(),an=a.一、填空題1.f(x),g(x)是定義在R上的函數(shù)，h(x)=f(x)+g(x)，則“f(x)，g(x)均為偶函數(shù)”是“h(x)為偶函數(shù)”的 條件. 答案 充分不必要2.設(shè)函數(shù)f(x)=(x+1)(x+a)為偶函數(shù)，則a= . 答案

40、 -13.已知函數(shù)f（x）是R上的偶函數(shù)，g（x）是R上的奇函數(shù)，且g（x）=f（x-1），若f（0）=2，則f（2 008）的值為 .答案 2 4.已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則下列函數(shù)中是奇函數(shù)的是 （填序號）. y=f(|x|);y=f(-x);y=xf(x);y=f(x)+x.答案 5.(2009 徐州六縣一區(qū)聯(lián)考)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x0時，f(x)=2x-3，則f(-2)= . 答案 -16.已知y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時，f(x)=x2-2x，則在R上f(x)的表達(dá)式為 . 答案 f(x)=x(|x|-2)7.已知函數(shù)f(x)=g(x

41、)+2,x-3，3，且g(x)滿足g(-x)=-g(x),若f(x)的最大值、最小值分別為M、N，則M+N= .答案 48.f(x)、g(x)都是定義在R上的奇函數(shù)，且F(x)=3f(x)+5g(x)+2,若F(a)=b,則F(-a)= .答案 -b+4二、解答題9.已知f(x)是實數(shù)集R上的函數(shù)，且對任意xR,f(x)=f(x+1)+f(x-1)恒成立. (1)求證：f(x)是周期函數(shù). (2)已知f(3)=2，求f(2 004). （1）證明 f(x)=f(x+1)+f(x-1),f(x+1)=f(x)-f(x-1),則f(x+2)=ff(x+3)=ff(x+6)=ff(x)是周期函數(shù)且6

42、是它的一個周期.(2)解 f(2 004)=f(3346)=f(0)=-f(3)=-2.10.已知f(x)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x(-,0)時，f(x)=-xlg(2-x),求f(x)的解析式.解 f（x）是奇函數(shù)，可得f(0)=-f(0),f(0)=0.當(dāng)x0時，-x0,由已知f(-x)=xlg(2+x),-f（x）=xlg（2+x），即f（x）=-xlg（2+x） （x0）.f(x)= 即f(x)=-xlg(2+|x|) (xR).11.已知函數(shù)f(x)=x2+|x-a|+1,aR.(1)試判斷f(x)的奇偶性；（2）若-a，求f(x)的最小值.解 (1)當(dāng)a=0時，函數(shù)f(-x)=(-x)

43、2+|-x|+1=f(x),此時,f(x)為偶函數(shù).當(dāng)a0時，f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,f(a)f(-a),f(a)-f(-a),此時，f(x) 為非奇非偶函數(shù).（2）當(dāng)xa時,f(x)=x2-x+a+1=(x-)2+a+,a,故函數(shù)f(x)在（-，a上單調(diào)遞減，從而函數(shù)f(x)在（-，a上的最小值為f(a)=a2+1.當(dāng)xa時，函數(shù)f(x)=x2+x-a+1=(x+)2-a+,a-，故函數(shù)f(x)在a，+）上單調(diào)遞增，從而函數(shù)f(x)在a，+)上的最小值為f(a)=a2+1.綜上得，當(dāng)-a時，函數(shù)f(x)的最小值為a2+1.12.設(shè)函數(shù)f(x)在（-,+)上滿足f(2-x)=f(2+x)，f(7-x)=f(7+x)，且在閉區(qū)間0，7上，只有f(1)=f(3)=0.（1）試判斷函數(shù)y=f（x)的奇偶性；（2）試求方程f(x)=0在閉區(qū)間-2 005，2 005上