【彈塑性力學(xué)】5 塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系a【課件】

1、5.3 塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系 5.3.1 加載條件 5.3.2 流動法則 5.3.3 強化法則 5.3.4 增量理論 5.3.5 全量理論 5.3.6 穩(wěn)定公設(shè) 5.3.7 典型例題5.3.1 加載條件 在塑性變形階段，應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系是非線性的。 應(yīng)變不僅和應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)，而且還和變形歷史有關(guān)。 需要判斷應(yīng)變往塑性變形發(fā)展還是彈性變化，即需要加卸載條件判斷。 塑性變形時，應(yīng)變和應(yīng)力的關(guān)系如何，需要流動法則來解決。 塑性變形后，材料屈服極限是否提高，屈服曲面如何變化，由強化法則來判斷。 加載條件和加載面 在單軸試驗中，當(dāng)應(yīng)力超過初始屈服應(yīng)力后發(fā)生塑性變形，卸載后重新加載其屈服應(yīng)力將提高（強化）或減小（

2、軟化）。推廣到三維情況下，在空間應(yīng)力條件下這就相當(dāng)于是加載面的移動、擴大或縮小， 經(jīng)過塑性變形變化后的屈服條件就稱加載條件。 加載條件在應(yīng)力空間內(nèi)形成的曲面稱為加載面。 對理想塑性材料，加載條件和加載面不發(fā)生變化，都是最初的屈服面。 加卸載準(zhǔn)則 在應(yīng)力空間上的屈服面確定了當(dāng)前彈性區(qū)的邊界。 若應(yīng)力狀態(tài)改變時材料中有新的塑性變形產(chǎn)生，這種應(yīng)力變化稱加載（loading）；而當(dāng)應(yīng)力變化時材料回到彈性狀態(tài)，不產(chǎn)生新的塑性變形，這種應(yīng)力變化稱卸載（unloading）。 上述情況下應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是不同的。因此，要確定應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系還需建立一個加載準(zhǔn)則。對單軸受力的情況，加卸載準(zhǔn)則可表為： 卸載加載 0 0

3、dd對于理想彈塑性材料，加卸載條件為加載 00ijijdff卸載 00ijijdff加載卸載中性變載加載面nd d d i j加載 00ijijdff對于硬化材料在強化階段，加卸載條件為：中性變載 00ijijdff卸載 00ijijdff 對于硬化材料在軟化階段，加卸載條件在應(yīng)力空間無法體現(xiàn)?？梢栽趹?yīng)變空間進行描述為：加載 00ijijd中性變載 00ijijd卸載 00ijijd5.3.2 流動法則 塑性位勢理論：Mises將彈性位勢理論推廣到塑性理論，提出塑性流動方向（塑性應(yīng)變增量矢量的方向）與塑性勢函數(shù)的梯度方向一致：ijpijgdd關(guān)聯(lián)流動法則 非關(guān)聯(lián)流動法則fg fg ijpijf

4、ddMises形式的塑性勢能函數(shù) 由流動法則得 不會產(chǎn)生塑性體積變化：0)(2kJgijdsdijpij0dsdkkpkkpijpijded塑性應(yīng)變增量是一個偏量 展開為 考慮彈性應(yīng)變，得到： 這就是Prandtl-Reuss方程。ddddsdsdsdzxpzxyzpyzxypxyzpzypyxpx222pijeijijdedededsGdsdeijijij2 在大塑性流動中，忽略彈性變形，得到Levy-Mises方程：dsddijpijij相對彈性力學(xué)問題，增加了d未知數(shù)，也增加了一個方程（屈服條件）理想彈塑性問題，考慮平衡方程幾何方程物理方程屈服條件討論： 當(dāng)給定應(yīng)力sij，由本構(gòu)方程可確

5、定應(yīng)變增量dij各分量的比例關(guān)系，由于d未知，不能確定應(yīng)變增量dij的大小。 其物理含義是：由本構(gòu)方程，大小可以任意。 但變形必須始終保持協(xié)調(diào)而受到相互限制。 應(yīng)變大小的確定需結(jié)合變形協(xié)調(diào)條件。 反過來若給定dij，則可以確定sij。22231221sijijijijdddssJsijijddd23ijijijsijddds32pppppddddddp313122pdTresca形式的塑性勢能函數(shù) 在應(yīng)力狀態(tài)位于塑性勢能面頂點或奇異點，塑性應(yīng)變增量必須位于六邊形兩相鄰邊的法線方向之間。不規(guī)定主應(yīng)力大小順序，Tresca屈服條件可寫成f1 = 2 3 s=0 f2 = 3 + 1 s=0f3 =

6、 1 2 s=0 f4= 2 + 3 s=0f5 = 3 1 s=0 f6 = 1 + 2 s=0當(dāng)應(yīng)力點位于f1=0上 當(dāng)應(yīng)力點位于f2=0上 ijpijfdd11):(321pppddd= (0 d1 d1) ijpijfdd22):(321pppddd= (d2 0 d2) 當(dāng)應(yīng)力點在f1=0和f2=0的交點上 iipifdfdd22111: )1 (:2112321dddddddppp10211ddd可在f1=0的法線n1與f2=0的法線n2之間變化，這個變化區(qū)域稱之為尖點應(yīng)變錐 ffnn 一般地，在幾個光滑勢能面相交的奇異點處，塑性應(yīng)變增量表示成在該點相交的各面的法線方向所確定的增量

7、的線性組合：nkijkkpijgdd15.3.3 強化法則 1）強化法則的概念 在加載過程中，屈服面不斷改變它的形狀以使應(yīng)力點總是位于它上面，從某一個屈服面如何進入后繼屈服面的準(zhǔn)則就是強化法則，也就是控制加載面發(fā)展的規(guī)則。 單軸拉伸下的強化psB*ACOEepA 隨加載，屈服極限會不斷提高，稱為強化或硬化 新的屈服極限： (s)new = Max() 后繼屈服條件（也稱加載條件） (s)new 處于屈服狀態(tài) (s)new 處于卸載狀態(tài) Max()隨塑性變形歷史單調(diào)增長， Max()(p) 后繼屈服條件即加載條件也可表示為 (p)0 復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài) 為了描述強化性質(zhì)，需要：（1）記錄塑性加載的歷史

8、；（2）描述強化與塑性加載歷史的關(guān)系。 表達加載歷史的參量為硬化參量，它又稱為內(nèi)變量（internal- variable），它不能由觀測儀器直接觀測求出，而應(yīng)力變形一類可由儀器直接測出的量稱外變量。硬化參量記為目前常用的硬化參量有如下幾種：1塑性功 是目前巖土彈塑性理論中用得較多的。2塑性應(yīng)變3等效塑性剪應(yīng)變4塑性體應(yīng)變pijijpdwpijpijpijpddS32pzpypxpvpw 使用一組內(nèi)變量（=1，2，n）描述塑性變形歷史， 后繼屈服條件f (ij，)=0 隨塑性變形的發(fā)展，不斷變化，后繼屈服面或加載面也隨之改變。施加增量dij：（1）加載：dij指向加載面外（2）中性變載：dij

9、沿著加載面（3）卸載：dij指向加載面內(nèi)加載卸載中性變載加載面nd d d i j當(dāng)應(yīng)力狀態(tài)ij處在加載面上， f (ij，) = 0f (, ijf (d , dijij 0dfdfijij 增量后 f (ij+dij，+d) = 0由于任何一種應(yīng)力狀態(tài)都不能位于加載面之外 增量前 f (ij，) = 0， 一致性條件： 隨加載過程，內(nèi)變量不斷地增加 中性變載或者卸載時，則內(nèi)變量保持不變 總之：內(nèi)變量只會增加，不會減少。 且只有產(chǎn)生新的塑性變形時，它才會增加。 這是由塑性變形的不可逆性所決定的。 常用的強化模型 1. 等向強化 幾何特點（在應(yīng)力空間）： 加載面形狀和中心位置都不變，大小變化，

10、形狀相似的擴大。 物理意義： 假定材料在強化后仍保持各向同性的性質(zhì)。 數(shù)學(xué)表示： f (ij) k() = 0 等向強化可理解為材料某一方向上因加載屈服極限得到提高，所有其它方向的屈服極限都將因此而得到同等程度的提高。 032J 023ijijss0)(pdMises初始屈服條件 函數(shù)可通過單軸拉伸下實驗曲線確定 加載（后繼屈服）條件032sJ0322sJ2. 隨動強化幾何特點（在應(yīng)力空間）： 形狀和大小、方向保持不變，只是中心位置發(fā)生改變，加載面作剛體移動。物理意義： 材料在強化后為各向異性。 數(shù)學(xué)表示： f (ijij) k = 0 ij是一個表征加載面中心移動的應(yīng)力值，稱為背應(yīng)力（back stress） 提供了考慮Bauschinger效應(yīng)的簡單方法。 Prager隨動強化模型背應(yīng)力增量應(yīng)平行于塑性應(yīng)變增量dij=c式中c是材料常數(shù)，由試驗確定。對于Mises屈服條件，該模型可寫成spijijp