建立數(shù)學(xué)模型 - 哈爾濱工業(yè)大學(xué)

1、HITCS&E第一章 建立數(shù)學(xué)模型edu. .cn cnHITCS&E主要內(nèi)容1.數(shù)學(xué)模型的概念2.建立數(shù)學(xué)模型的方法和步驟3.數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)、分類4.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的方法HITCS&E什么是數(shù)學(xué)模型 現(xiàn)實(shí)對(duì)象與模型 原型 模型直觀模型 物理模型 思維模型 符號(hào)模型在現(xiàn)實(shí)世界里人們關(guān)心、研究或從事生產(chǎn)、管理的實(shí)際對(duì)象。為特定目的，將原型的一些信息減縮、提煉得到的替代物。數(shù)學(xué)模型：由數(shù)字、字母以及其他數(shù)學(xué)符號(hào)構(gòu)成的描述現(xiàn)實(shí)對(duì)象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué)公式、圖形或者算法甲乙兩地相距750公里，船從甲到乙順?biāo)枰?0小時(shí)，從乙到甲

2、逆水需要50小時(shí)，問船和水的速度分別是多少？75050)(75030)(yxyx對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)特定對(duì)象，為了特定的目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，建立的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)稱為該對(duì)象的一個(gè)數(shù)學(xué)模型。建立數(shù)學(xué)模型的過程稱為數(shù)學(xué)建模。HITCS&E數(shù)學(xué)建模的方法和基本步驟數(shù)學(xué)建模實(shí)例2商人渡河問題數(shù)學(xué)建模實(shí)例1椅子的擺放問題HITCS&E椅子擺放問題 問題描述： 現(xiàn)實(shí)生活中，椅子在不平的地上往往只有3條腿著地，放不太穩(wěn)；但是，只要對(duì)椅子稍微挪動(dòng)幾下，就可以使得椅子的四腿著地，將它放穩(wěn)了。試建立數(shù)學(xué)模型解釋這個(gè)現(xiàn)象。HITCS&E合理假設(shè)椅子地面

3、椅子與地面的關(guān)系椅子是規(guī)則的四條腿一樣長(zhǎng)，四條腿的連線呈正方形地面是正常的地面的高度是連續(xù)變化的，不會(huì)出現(xiàn)階梯形狀地面是較椅子是相對(duì)平坦的椅子的每一條腿與地面的接觸點(diǎn)是一個(gè)幾何點(diǎn)，椅子放在地上，任何時(shí)候至少有三條腿同時(shí)著地HITCS&E描述各種數(shù)量關(guān)系構(gòu)建模型椅子位置的描述ABCDADBCO椅子繞對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn)的角度表示了椅子的位置四腿著地的條件必存在使得f()、g()同時(shí)為0A()、 B()、 C()、 D()有三個(gè)為零，則f()=A() C()和g()=B()D()必有一個(gè)為零，而另一個(gè)表示了第4條腿離地面的距離，因此， f()、g()同時(shí)為0表示椅子放穩(wěn)了。結(jié)論的表述四條腿到地面的

4、距離都為0綜上所述，我們要證明如下結(jié)論：f()、g()都是的連續(xù)函數(shù)，且對(duì)于任意， f()*g()=0,g(0)=0,f(0)0。證明：存在0使得f(0)g(0)0。證明：將椅子旋轉(zhuǎn)90。時(shí)，AC和BD的角色互換。即g(/2)0,f(/2)=0。于是令h()=f()-g()則h()是連續(xù)函數(shù)，且h(0)0。由連續(xù)函數(shù)的中值定理，存在0 (0, /2)使得h(0)0。即f(0)g(0)0HITCS&E商人渡河問題 三名商人各帶一名仆人過河，河邊只有一條能容納兩名乘客的小船；仆人門密約，只要河的任何一邊的仆人數(shù)比商人數(shù)多，他們就殺人越貨。如何渡河才能使得商人門安全渡河。問題陳述非常清楚，無

5、需再做任何假設(shè)HITCS&E建立模型關(guān)鍵：決定渡河方案，使得任何時(shí)候，河兩岸的商人都是安全的。渡河方案：每一次船從一岸劃到另一岸時(shí)，船上的人員構(gòu)成(u,v),u表示商人的人數(shù)，v表示仆人的人數(shù)使得（(u,v)D(u,v)|u0，v0，且2 u+v 1。這樣的一次決策使得岸上的狀態(tài)發(fā)生轉(zhuǎn)移(,x,y)=(x,y)(u,v)。這樣的一個(gè)序列(u1,v1),(uk,vk)使得狀態(tài)由（3,3）安全地變換成（0,0)，則稱它是一個(gè)渡河方案。安全狀態(tài)： 河的任何一岸處于下列狀態(tài)S=(3,3), (3,2), (3,1), (3,0), (2,2) ,(1,1), (0,0)，(0,1),(0,2)

6、,(0,3)之一都是安全的。注意，只有此岸和彼岸都是安全的，整個(gè)狀態(tài)才是安全的。因此，我們只需要考慮一岸的安全狀態(tài)轉(zhuǎn)移。尋找一個(gè)決策序列(u1,v1),(u2,v2),(un,vn) D使得sk1sk（1)k（uk,vk） 滿足s0（3,3)而Sn(0,0)并且SkS試驗(yàn)題1:編程實(shí)現(xiàn)上述模型，使得它能求解n名商人n名仆人的情況，并輸出n=3,n=4的結(jié)果。HITCS&E建立數(shù)學(xué)模型的一般過程 、數(shù)學(xué)建模就是把實(shí)際問題數(shù)學(xué)化。數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)建模就是把實(shí)際問題數(shù)學(xué)化。數(shù)學(xué)模型就是通過抽象和簡(jiǎn)化，使用數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)符號(hào)對(duì)實(shí)就是通過抽象和簡(jiǎn)化，使用數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)符號(hào)對(duì)實(shí)際現(xiàn)象給予推理、論證，

7、從而得出實(shí)際問題結(jié)論或求際現(xiàn)象給予推理、論證，從而得出實(shí)際問題結(jié)論或求解方法。解方法。、建模的基本程序是：、建模的基本程序是：實(shí)際問題實(shí)際問題模型假設(shè)模型假設(shè)數(shù)學(xué)符號(hào)數(shù)學(xué)符號(hào)模型應(yīng)用模型應(yīng)用實(shí)際問題的結(jié)論實(shí)際問題的結(jié)論模型求解模型求解數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型模型分析模型分析運(yùn)運(yùn) 算算推推 理理檢檢索索類類比比問問題題解解決決模型準(zhǔn)備模型準(zhǔn)備量化量化調(diào)查調(diào)查簡(jiǎn)化簡(jiǎn)化HITCS&E數(shù)學(xué)建模的基本方法機(jī)理分析：通過對(duì)實(shí)際問題或者實(shí)際對(duì)象的特性或者機(jī)理的認(rèn)識(shí)，找出反映內(nèi)在機(jī)理的數(shù)量關(guān)系，建立的數(shù)學(xué)模型有實(shí)際的意義。測(cè)試分析：將實(shí)際對(duì)象或者實(shí)際問題看成是“黑箱系統(tǒng)”，對(duì)其輸入和輸出數(shù)據(jù)作統(tǒng)計(jì)，按照一定的準(zhǔn)則找出與這些數(shù)據(jù)擬合最好的模型。HITCS&E數(shù)學(xué)建模的目的和意義傳統(tǒng)工業(yè)領(lǐng)域高科技領(lǐng)域新領(lǐng)域 分析與設(shè)計(jì) 預(yù)報(bào)與決策 控制和優(yōu)化 規(guī)劃與管理HITCS&E模型的特點(diǎn)逼真性可行性漸僅性強(qiáng)壯性可轉(zhuǎn)移性非預(yù)制性條理性技藝性局限性HIT