數(shù)字信號處理-Hilbert變換濾波器

1、 南華大學(xué)電氣工程學(xué)院 數(shù)字信號處理課程設(shè)計任務(wù)書設(shè)計題目： Hilbert變換濾波器的實現(xiàn) 專 業(yè)： 學(xué)生姓名: 學(xué) 號: 起迄日期: 2012年12月28日2013年1月14日指導(dǎo)教師: 數(shù)字信號處理課程設(shè)計任務(wù)書1課程設(shè)計的內(nèi)容和要求（包括原始數(shù)據(jù)、技術(shù)要求、工作要求等）： 1.設(shè)計內(nèi)容：根據(jù)自己在班里的學(xué)號0207（最后兩位）查表一得到一個四位數(shù)1301，由該四位數(shù)索引表二確定待設(shè)計數(shù)字濾波器的類型：Hilbert變換濾波器；濾波器設(shè)計方法：等波紋FIR。2. 濾波器的設(shè)計指標： （1）通帶波紋 0.05 ； （2）阻帶波紋 0.05 ； （3）過渡帶寬度 = 0.014 rad ；

2、（4）滾降 =5.6 dB ；其中，為學(xué)號的最后兩位，故=7 3. 濾波器的初始設(shè)計通過手工計算完成； 4. 在計算機輔助計算基礎(chǔ)上分析濾波器結(jié)構(gòu)對其性能指標的影響（至少選擇兩種以上合適的濾波器結(jié)構(gòu)進行分析）； 5. 在計算機輔助計算基礎(chǔ)上分析濾波器參數(shù)的字長對其性能指標的影響； 6. 以上各項要有理論分析和推導(dǎo)、原程序以及表示計算結(jié)果的圖表； 7. 課程設(shè)計結(jié)束時提交設(shè)計說明書。 2對課程設(shè)計成果的要求包括圖表（或?qū)嵨铮┑扔布螅?濾波器的初始設(shè)計通過手工計算完成； 在計算機輔助計算基礎(chǔ)上分析濾波器結(jié)構(gòu)對其性能指標的影響（至少選擇兩種以上合適的濾波器結(jié)構(gòu)進行分析）； 在計算機輔助計算基礎(chǔ)上

3、分析濾波器參數(shù)的字長對其性能指標的影響； 以上各項要有理論分析和推導(dǎo)、原程序以及表示計算結(jié)果的圖表； 課程設(shè)計結(jié)束時提交設(shè)計說明書。3主要參考文獻：1高息全 丁美玉.數(shù)字信號處理M.西安：西安電子科技大學(xué)出版社，2008.82陳懷琛.數(shù)字信號處理教程MATLAB釋義與實現(xiàn)M.北京：電子工業(yè)出版社，2004.123張德豐.詳解MATLAB數(shù)字信號處理M.北京：電子工業(yè)出版社，2010.64飛思科技產(chǎn)品研發(fā)中心.MATLAB7輔助信號處理技術(shù)與應(yīng)用M.北京：電子工 業(yè)出版社，2005.35胡廣書.數(shù)字信號處理理論、算法與實現(xiàn)北京：清華大學(xué)出版社，20064課程設(shè)計工作進度計劃：序號起 迄 日 期工

4、 作 內(nèi) 容18-接到題目，搜集資料22013.1.1-2013.1.2整理資料，構(gòu)思設(shè)計方案32013.1.3-手工計算進行濾波器的初步設(shè)計42013.1.6-完善初步設(shè)計，學(xué)習(xí)Matlab軟件操作5-2013.1.10通過Matlab軟件分析設(shè)計內(nèi)容，逐步落實課題目標62013.1.11-2013.1.14上交課程設(shè)計，并做細節(jié)修改并完成設(shè)計主指導(dǎo)教師日期： 年 月 日 摘要 本設(shè)計介紹了FIR濾波器的設(shè)計思想與步驟，通過建立濾波器模型利用MATLAB軟件進行仿真，在計算機輔助計算基礎(chǔ)上分析濾波器結(jié)構(gòu)和參數(shù)的字長對其性能指標的影響。在此著重介紹希爾伯特變換濾波器、等波紋最佳逼近設(shè)計思想及F

5、IR濾波器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和有效字長對濾波器性能指標的影響，并通過仿真結(jié)果對其進行分析。關(guān)鍵字 FIR濾波器 希爾伯特變換 等波紋最佳逼近Abstract This design is introduced the FIR filters the design thoughts and step by establishing filter model, using MATLAB software, and simulation calculation basis in computer aided analysis filter structure and parameters of the wor

6、d on the performance of the long effect. Introduced in this Hilbert transformation filter, the corrugated best approximation design idea and FIR filter network structure and effective word length to filter the influence of performance index, and through the simulation results on the analysis. Keywor

7、ds FIR filter hilbert transform the corrugated best approximation目錄1、希爾伯特變換濾波器的設(shè)計步驟62、希爾伯特變換器的基本原理63、濾波器的技術(shù)指標74、FIR濾波器的結(jié)構(gòu)分析95、希爾伯特變換器的Matlab設(shè)計14 5.1直接程序法14 5.2利用FDATool工具設(shè)計法166、借助FDA工具箱分析字長對濾波器性能的影響177、心得體會24 Hilbert變換濾波器的實現(xiàn) 在傳統(tǒng)的設(shè)計中，希爾伯特變換器可由一個FIR濾波器和一個時延模塊實現(xiàn)，也可由一組濾波器對實現(xiàn)，而實現(xiàn)FIR型希爾伯特變換器的一個簡單方法就是對原型低通

8、濾波器作正弦/余弦變換。Matlab作為濾波器設(shè)計的基礎(chǔ)軟件，不僅可以快速有效地實現(xiàn)希爾伯特變換器的設(shè)計、分析仿真和最優(yōu)化，而且可以直接計算出希爾伯特變換器的系數(shù)。1、希爾伯特變換濾波器的設(shè)計步驟 設(shè)計一個FIR數(shù)字濾波器主要包括下面5個步驟： （1）確定濾波器要求的規(guī)范指標； （2）選擇合適的濾波器系數(shù)計算； （3）用一個適當(dāng)?shù)慕Y(jié)構(gòu)來表示濾波器并用軟件來實現(xiàn)濾波器； （4）有限字長效應(yīng)對濾波器性能的影響分析；2、希爾伯特變換器的基本原理 連續(xù)時間信號x(t)的希爾伯特變換定義為： 式（1）由式(1)可得單位沖擊響應(yīng)h(t)=1/(t)，由于jh(t)=j/(t)的傅里葉變換是符號函數(shù)sgn(

9、w)，所以希爾伯特變換器的頻率特性為： 式（2）記，當(dāng)時： 式（3） 信號x(t)的希爾伯特變換可以看成是信號x(t)通過一個幅度為1的全通濾波器輸出，信號通過希爾伯特變換器后，其負頻率成分作+90°的相移，而正頻率成分作-90°的相移。這類濾波器要求濾波器的零頻響應(yīng)為0，若濾波器階數(shù)為偶數(shù)，則還要求Nyquist頻率(歸一化頻率為1)處的響應(yīng)為0。即如果濾波器的階數(shù)為偶數(shù)，那么增益在頻率為0 Hz和fs/2處必須降為零，希爾伯特濾波器必須是一個帶通濾波器。如果濾波器的階數(shù)為奇數(shù)，那么增益在頻率為0 Hz處必須降為零，希爾伯特濾波器必須是一個高通濾波器。3、濾波器的技術(shù)指標

10、 常用的數(shù)字濾波器一般屬于選頻濾波器。假設(shè)數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)用下式表示： 式中，稱為幅頻特性函數(shù);稱為相頻特性函數(shù)。幅頻特性表示信號通過該濾波器后各頻率成分振幅衰減情況，而相頻特性反映各頻率成分通過濾波器后在時間上的延時情況。圖3-1 低通濾波器的幅頻特性上圖3-1表示低通濾波器的幅頻特性， 和分別稱為通帶邊界頻率和阻帶截止頻率。通帶頻率范圍為0|p，在通帶中要求，阻帶頻率范圍為s|，在阻帶中要求。 從到稱為過渡帶，過渡帶上的頻響一般是單調(diào)下降的。通常，通帶內(nèi)和阻帶內(nèi)允許的衰減一般用分貝表示，通帶內(nèi)允許的最大衰減用表示，阻帶內(nèi)允許的衰減用表示。對低通濾波器，和分別定義為 所以低通濾波器的

11、設(shè)計指標完全由通帶邊界頻率、通帶最大衰減 阻帶邊界頻率和阻帶最小衰減as確定。片段常數(shù)特性： 對于選頻型濾波器，一般對通帶和阻帶內(nèi)的幅頻響應(yīng)曲線形狀沒有具體要求，只要求其波紋幅度小于某個常數(shù)，通常將這種要求稱為“片段常數(shù)特性”。所謂片段，是指“通帶”和“阻帶”，常數(shù)是指“通帶波紋幅度”和“阻帶波紋幅度”，而通帶最大衰減和阻帶最小衰減是與和完全等價的兩個常數(shù)。上圖3-1 所示的單調(diào)下降幅頻特性，和別可以表示為:如果將歸一化為1則表示為： 希爾伯特變換濾波器的設(shè)計要求：用等波紋最佳逼近法設(shè)計一個FIR型希爾伯特變換濾波器，要求如下： （1）通帶波紋 0.05 ； （2）阻帶波紋 0.05 ； （3

12、）過渡帶寬度 = 0.014 rad ； （4）滾降 =5.6 dB ；（學(xué)號：20094470207，故式中id =7） 一般情況下，用損耗參數(shù)p,p,s,s.描述在工程實際中，通常取通帶邊界頻率p=/2,通帶最大衰減p=2dB,阻帶邊界頻率s=11/20,阻帶最小衰減s=20dB.但是在等波紋最佳逼近設(shè)計法求濾波器階數(shù)N和誤差加權(quán)函數(shù)W（）時，要求給出的濾波器通帶和阻帶的震蕩波紋1和2。這是等波紋法設(shè)計濾波器時常使用的描述方法。所以，有轉(zhuǎn)換關(guān)系為：p=-20lg(1-1)/(1+1) s=-20lg2/(1+1)手工計算完成等波紋FIR濾波器初始設(shè)計的技術(shù)指標： 設(shè)采樣頻率Fs=10kHz

13、，通帶波紋 = 0.05。由公式=Fs/2可將截止頻率的單位轉(zhuǎn)換為Hz：（1）通帶截止頻率：=0.5，fpc=2500Hz； (2)過渡帶寬度: = 0.014 rad ， 70Hz ；（3）阻帶截止頻率:=0.5+0.014=0.514， =2500+70 =2570Hz；（4）通帶最大衰減：p=-20lg(1-1)/(1+1)=0.8693dB；（5）阻帶最小衰減： =0.8693+5.6=6.4693dB ； 所以，阻帶波紋=10-s/20=0.474826555 0.4748 此時，由凱澤逼近n的公式: n=, = 可得：s-p =0.014 rad，=0.007rad，n=31.75

14、097805324、FIR濾波器的結(jié)構(gòu)分析FIR網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特點是沒有反饋支路，即沒有環(huán)路，其單位脈沖響應(yīng)是有限長的。設(shè)單位脈沖響應(yīng)h（n）長度為N，其系統(tǒng)函數(shù)H(z）和差分方差分別是 （1） （2）FIR系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)有二種，即直接型和級聯(lián)型。（1）直接型 按照H(z）或者卷積公式直接畫出結(jié)構(gòu)圖如圖4-1所示。這種結(jié)構(gòu)稱為直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或者稱為卷積型結(jié)構(gòu)。圖4-1 FIR網(wǎng)絡(luò)直接型結(jié)構(gòu)（2）級聯(lián)型當(dāng)需要控制濾波器的傳輸零點時，可將系統(tǒng)函數(shù)分解為二階實系數(shù)因子的形式：于是可用二階節(jié)級聯(lián)構(gòu)成，每一個二階節(jié)控制一對零點。級聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，其優(yōu)點是調(diào)整方便，而且級聯(lián)結(jié)構(gòu)中后面的網(wǎng)絡(luò)輸出不會流到前面，運

15、算誤差的積累也相對較小。缺點： 所需要的系數(shù)a比直接型的h(n)多； 乘法運算多于直接型。圖4-2為FIR級聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖4-2 FIR級聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)下面來講述直接型到級聯(lián)型的變換： 設(shè)FIR網(wǎng)絡(luò)直接型系統(tǒng)函數(shù)H（z）如下式： 將H（z）進行因式分解，得到：利用Matlab求解程序如下：B=0.96 2 2.8 1.5;A=1;S,G=tf2sos（B,A）運行結(jié)果：S=1.0000 0.8333 0 1.0000 0 0 1.0000 1.2500 1.8750 1.0000 0 0G=0.9600所以級聯(lián)型的系統(tǒng)函數(shù)為：其直接型結(jié)構(gòu)和級聯(lián)型結(jié)構(gòu)如下圖4-3（a）、（b）所示 x（n） 0.

16、96 2 2.8 1.5 y（n） 圖4-3 （a）直接型 x（n） 0.6 1.6 y（n） 0.5 2 3 圖4-3 （b）級聯(lián)型級聯(lián)型結(jié)構(gòu)每一個一階因子控制一個零點，每一個二階因子控制一對共軛零點，因此調(diào)整零點位置比直接型方便，但H(z）中的系數(shù)比直接型多，因而需要的乘法器多。分解的因子愈多，需要的乘法器也越多。另外，當(dāng)H(z）的階次高時，也不易分解。因此，普遍應(yīng)用的是直接型。直接型 根據(jù)希爾伯特變換器的設(shè)計要求，用Matlab程序?qū)崿F(xiàn)，其程序清單如下： clf;n=32;f=0.25 0.257;m=1 1; %理想濾波器的幅頻特性fs=10000; %采樣頻率hn=firls(n,f

17、,m,'h') %采用firls設(shè)計Hilbert變換器運行結(jié)果如下：hn= -0.00121890.00405150.00688990.00558530.00091828-0.0043058-0.0069437-0.0054057-0.000614170.004550.00697970.00521160.00030768-0.0047829-0.0069977-0.005003800.00500380.00699770.0047829-0.00030768-0.0052116-0.0069797-0.004550.000614170.00540570.00694370.004

18、3058-0.00091828-0.0055853-0.0068899-0.00405150.0012189hn即為所設(shè)計的希爾伯特變換變換器的直接型系數(shù)，如下圖4-4示： 圖4-4 希爾伯特變換變換器的直接型系數(shù)hn所以，系統(tǒng)函數(shù)=-0.0012189+0.0040515Z-1+0.0068899Z-2+0.0055853Z-3+-0.0068899Z-30-0.0040515Z-31+0.0012189Z-32因此，直接型結(jié)構(gòu)如下圖4-5所示：y(n)n) x(n)z-1z-1z-1-0.00121890.00121890.00478290.00688990.0040515 圖4-5 直接

19、型結(jié)構(gòu)級聯(lián)型將其轉(zhuǎn)換為級聯(lián)型系數(shù)的Matlab程序為：B=-0.00121890.00405150.00688990.00558530.00091828-0.0043058-0.0069437-0.0054057-0.000614170.004550.00697970.00521160.00030768-0.0047829-0.0069977-0.005003800.00500380.00699770.0047829-0.00030768-0.0052116-0.0069797-0.004550.000614170.00540570.00694370.0043058-0.00091828-0.

20、0055853-0.0068899-0.00405150.0012189;A=1;S,G=tf2sos(B,A)運行結(jié)果為：S =1-5.72334.723310010.78828-0.2117210011.6698 110011.8511 11 0 01-0.74081 1 1 0011.1272 110011.9624 11001-0.36386 110010.78591 110011.4255 11001-1.9603 11001-1.0901 11001-1.6531 110010.026113 11001-1.8429 110010.41425 1100G = -0.0012189G

21、和S即為所設(shè)計的希爾伯特變換變換器的級聯(lián)型系數(shù)，如下圖4-6示： 圖4-6 希爾伯特變換變換器的級聯(lián)型系數(shù)S所以，系統(tǒng)函數(shù) H(z)=-0.0012189(1-5.7233Z-1+4.7233Z-2)(1+0.78828Z-1-2)(1+1.6698Z-1+Z-2)(1+0.41425Z-1+Z-2)因此，級聯(lián)型結(jié)構(gòu)如下圖4-7所示： 圖4-7 級聯(lián)型結(jié)構(gòu)5、希爾伯特變換器的Matlab設(shè)計 5.1直接程序法 Matlab信號處理工具箱提供了firls函數(shù)和remez函數(shù)，它們的調(diào)用格式語法規(guī)則相同，只是優(yōu)化算法不同，函數(shù)firls利用最小二乘法使期望的頻率響應(yīng)和實際的頻率響應(yīng)間的誤差最小;函

22、數(shù)remez實現(xiàn)Park-McClellan算法，這種算法利用remez交換算法和Che-byshev近似理論設(shè)計濾波器，使實際頻率響應(yīng)擬合期望頻率響應(yīng)達到最優(yōu)。 函數(shù)調(diào)用格式為b=remez(n，f，m，h)或b=firls(n，f，m，h)，其中，n為濾波器的階數(shù);f為濾波器期望頻率特性的頻率向量標準化頻率，取值01，是遞增向量，允許定義重復(fù)頻點;m為濾波器期望頻率特性的幅值向量，向量m和f必須同長度且為偶數(shù);h(n)為函數(shù)返回的濾波器系數(shù)，長度為n+1，本文將采用firls函數(shù)法。 下面設(shè)計一個希爾伯特變換器，要求采樣頻率為10k Hz，通頻帶為2.52.57kHz，濾波器階數(shù)為32階。

23、實現(xiàn)程序如下：clf;n=32;f=0.25 0.257;m=1 1; %理想濾波器的幅頻特性fs=10000; %采樣頻率b=firls(n,f,m,'h'); %采用firls設(shè)計Hilbert變換器h,w=freqz(b,1,512,fs); %計算Hilbert變換器的脈沖響應(yīng)figure(1);plot(w,20*log10(abs(h);grid; %計算幅頻特性axis(0 1000 -40 10); %繪制正半軸頻率xlabel('頻率/Hz');ylabel('幅值/dB');title('Hilbert變換器的幅頻特性

24、');figure(2);plot(w,angle(h)/pi*180); %計算相頻特性grid;xlabel('頻率/Hz');ylabel('相角/');title('Hilbert變換器的相頻特性')設(shè)計的希爾伯特變換器的特性如圖5-1所示。 圖5-1 等波紋最佳逼近法設(shè)計的幅頻響應(yīng)曲線 5.2 利用FDATool工具設(shè)計法 FDATool是Matlab信號處理工具箱專用的濾波器設(shè)計分析工具，操作簡單、靈活，可以采用多種方法設(shè)計不同的濾波器，同時可以實現(xiàn)濾波器的最小階數(shù)設(shè)計。在Matlab命令窗口輸入FDATool后回車就會彈出F

25、DATool界面。 根據(jù)2.1中的設(shè)計實例，首先在Filter Type欄中選擇Hilbert Transformer，在Design Method欄中選擇Equiripple法，在filter order中選擇32，在Frequencyand Magnitude Specifications中設(shè)置F=2500 2570;m=1 1;Fs=10000，最后點擊Design Filter，通過菜單選項Analysis可以在特性顯示區(qū)看到濾波器的各種特性，如圖5-2圖5-6所示。 圖5-2 Hilbert變換器的單位脈沖響應(yīng) 圖5-3 Hilbert變換器的幅度響應(yīng) 圖5-4 Hilbert變換器

26、的相位響應(yīng) 圖5-5 Hilbert變換器的零極點圖 圖5-6 Hilbert變換器的相位延時圖在幅頻特性和相頻特性滿足要求的同時，由圖5-2可知單位脈沖響應(yīng)為奇對稱，即h(n)=-h(N-n-1)，也符合希爾伯特變換器的特性。若設(shè)計不滿足要求，則可以直接在FDATool界面中改變參數(shù)。6、借助FDA工具箱分析字長對濾波器性能的影響系統(tǒng)對輸入信號進行處理時需要若干參數(shù)或者稱為系數(shù)，這些系數(shù)都要存儲在有限位數(shù)的寄存器中，因此存在系數(shù)的量化效應(yīng)。系數(shù)的量化效應(yīng)誤差直接影響系統(tǒng)函數(shù)的零、極點位置，如果發(fā)生了偏移，會使系統(tǒng)的頻率響應(yīng)不滿足實際需要。下面，借助FDA工具箱分析設(shè)計濾波器的量化誤差，方法是對量化前和量化后16位字長、8位字長和4位字長的零極點分布、幅頻響應(yīng)和、相頻響應(yīng)和相位延時進行對比，得到量化誤差對濾波器性能的影響： 1、量化前零極點分布：量化后，16位字長時的零極點分布：量化后，8位字長時的零極點分布：量化后，4位字長時的零極點分布： 小結(jié)：由上面的零極點分布圖可以看出，極點并未發(fā)生變化，零點變化比較明顯，所以系統(tǒng)的破壞性不大，