34基本不等式

1、鹿邑縣高中：崔有亮20022002年國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)年國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo) 探究探究1：想一想？：想一想？思考：這會標(biāo)中含有思考：這會標(biāo)中含有怎樣的幾何圖形？怎樣的幾何圖形？思考：你能否在這個圖案思考：你能否在這個圖案中找出一些相等關(guān)系或不中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系？等關(guān)系？ 探究探究1：算一算？：算一算？abab22+ +問問2：RtABF,RtBCG,RtCDH,RtADE是全等三角形，是全等三角形，它們的面積是它們的面積是S=問問1：在正方形在正方形ABCD中中,AFBF,BGCG,CHDH,DEAE,設(shè)設(shè)AF=a,BF=b,則正方形的面積為則正方形的面積為S=，問問3：S與與S有什么

2、有什么樣的關(guān)系？樣的關(guān)系？ 22ab2ab從圖形中易得，從圖形中易得，s s,s s,即即222abab問題問題1 1：它們有相等的情況嗎？何時相等？它們有相等的情況嗎？何時相等？問題問題2 2：當(dāng)當(dāng) a,ba,b為任意實數(shù)時，上式還成為任意實數(shù)時，上式還成 立嗎？立嗎？ 動畫顯示：當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即動畫顯示：當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切危碼=ba=b時，正方形時，正方形EFGHEFGH縮為一個點，這時有縮為一個點，這時有 。22=2abab結(jié)論：結(jié)論：一般地，對于任意實數(shù)一般地，對于任意實數(shù)a a、b b，我們有，我們有當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=ba=b時，等號成立時，等號成立

3、222aba b思考：思考：你能給出它的證明嗎？你能給出它的證明嗎？文字?jǐn)⑹鰹槲淖謹(jǐn)⑹鰹? 兩數(shù)的平方和不小于積的兩數(shù)的平方和不小于積的2倍倍。 類類 比比 聯(lián)聯(lián) 想想 推推 理理 論論 證證 (,)002ababab 探究探究2？（特別的）如果（特別的）如果 也可寫成也可寫成 ,abab用用和和代代替替 、 可可得得abab 2 2問：問：你能用不等式的性質(zhì)直接推導(dǎo)嗎？你能用不等式的性質(zhì)直接推導(dǎo)嗎？a0 ,b0 ,只要證 a+b （2）要證（2），只要證 a+b- 0（3）要證（3），只要證 （ - ） 20（4）顯然，（4）是成立的。當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，（4）中的等號成立。 證明：要證 2a

4、bab（1）2 2）從不等式的性質(zhì)推導(dǎo)基本不等式2aba b（ 分析法 ）2 ab2 abab探究探究3？對基本不等式的幾何意義作進(jìn)一步探究（對基本不等式的幾何意義作進(jìn)一步探究（課課本第本第98頁的頁的“探究探究”）ABCDE如圖如圖,AB,AB是圓的直是圓的直徑，徑，C C是是ABAB上任一上任一點，點，AC=AC=a a,CB,CB= =b b, ,過點過點C C作垂直于作垂直于ABAB的弦的弦DEDE，連，連AD,BDAD,BD, ,則則CD=CD=, ,半徑半徑為為問：問：你能用這個圖得出基本不等式的幾何解釋嗎你能用這個圖得出基本不等式的幾何解釋嗎? ?幾何意義：幾何意義：半徑不小于弦

5、的一半半徑不小于弦的一半abab2ba 概概 念念 是是 基基 礎(chǔ)礎(chǔ)aba b2算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)幾何平均數(shù)幾何平均數(shù)a、 b 是兩個正數(shù)是兩個正數(shù) ，當(dāng)且僅當(dāng)，當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時時“”號成立號成立 基本不等式的簡單應(yīng)用基本不等式的簡單應(yīng)用v例例1：（：（1）用籬笆圍成一個面積為）用籬笆圍成一個面積為100m的矩的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短。最短的籬笆是多少？用籬笆最短。最短的籬笆是多少？解：設(shè)矩形菜園的長為解：設(shè)矩形菜園的長為x m，寬為，寬為y m， 則則xy=100，籬笆的長為，籬笆的長為2（x+y）m. 2xyxy2

6、 100,xy 2()40 xy等號當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柈?dāng)且僅當(dāng)x=y時成立，此時時成立，此時x=y=10. 因此，這個矩形的長、寬都為因此，這個矩形的長、寬都為10m時，所用的籬笆最短，時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是最短的籬笆是40m. 結(jié)論結(jié)論1 1：兩個正數(shù)積為定值，則和有最小值兩個正數(shù)積為定值，則和有最小值（2）用一段長為）用一段長為36m的籬笆圍成一個矩形菜園，問的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形菜園的長和寬各為多少時，菜園的面積最這個矩形菜園的長和寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？大，最大面積是多少？2m解：設(shè)矩形菜園的長為解：設(shè)矩形菜園的長為x m，寬為，寬為y m， 則則 2（ x + y ）= 36 , x + y = 18矩形菜園的面積為矩形菜園的面積為xy2xyxy=18/2=9得得 xy 81當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)x=y,即即x=y=9時，等號成立時，等號成立 因此，這個矩形的長、寬都為因此，這個矩形的長、寬都為9m時，菜園面積最大，最時，菜園面積最大，最大面積是大面積是812m結(jié)論結(jié)論2 2：兩個正數(shù)和為定值，則積有最大值兩個正數(shù)和為定值，則積有最大值v應(yīng)用要點：應(yīng)用要點：v 積定和小積定和小和定積大和定積大a與與b為正實數(shù)為正實數(shù)等號成立，等號成立，a與與b必須