含絕對(duì)值不等式的解法(含答案)

1、含絕對(duì)值的不等式的解法基本解法與思想解含絕對(duì)值的不等式的基本思想是等價(jià)轉(zhuǎn)化，即采用正確的方法去掉絕對(duì)值符號(hào)轉(zhuǎn)化為 不含絕對(duì)值的不等式來(lái)解，常用的方法有公式法、定義法、平方法。(一)、公式法： 即利用 x a 與 x a 的解集求解。主要知識(shí)：x2 是指數(shù)軸上 x1， x21、絕對(duì)值的幾何意義： x 是指數(shù)軸上點(diǎn) x 到原點(diǎn)的距離； x1 兩點(diǎn)間的距離 .。2、 x a 與 x a 型的不等式的解法。當(dāng) a 0 時(shí)，不等式 x 不等式 x當(dāng) a 0 時(shí)，不等式 x 不等式 x 3 ax b c 與 ax b 的解集是 xx a,或 x a a 的解集是 x a x a ; a 的解集是 xx R

2、 a 的解集是 ;c型的不等式的解法。c的解集是xaxb c,或 ax bcc的解集是xcax b c ;c的解集是xxRc的解集是把 ax b 看作一個(gè)整體時(shí)，可化為 x a 與 x a 型的不等式來(lái)求解。當(dāng) c 0 時(shí)，不等式 ax b 不等式 ax b當(dāng) c 0 時(shí)，不等式 ax b 不等式 a bx 例1 解不等式 x 2 3分析: 這類(lèi)題可直接利用上面的公式求解，這種解法還運(yùn)用了整體思想，如把“ x 2看著一個(gè)整體。答案為 x 1 x 5 。(解略 )二)、定義法 : 即利用 aa(a 0),0(a 0), 去掉絕對(duì)值再解。a(a 0).例 2 。解不等式xx2xx2分析: 由絕對(duì)值

3、的意義知， a aa 0， aaa0。-2 < x< 0。解: 原不等式等價(jià)于 x <0 x(x+2) <0 x2(三)、平方法 :解 f(x) g(x) 型不等式。例 3、解不等式 x 1 2x 3 。解: 原不等式 (x 1)2 (2x 3)2 (2x 3)2 (x 1)2 04 (2x-3+x-1)(2x-3-x+1)<0 (3x-4)(x-2)<0 x 2 。3 說(shuō)明: 求解中以平方后移項(xiàng)再用平方差公式分解因式為宜。 二、分類(lèi)討論法：即通過(guò)合理分類(lèi)去絕對(duì)值后再求解。 例4 解不等式 x 1 x 2 5。分析:由 x 1 0， x 2 0，得x 1和x

4、 2。 2和1把實(shí)數(shù)集合分成三個(gè)區(qū)間， 即 x 2 ， 2 x 1 ， x 1，按這三個(gè)區(qū)間可去絕對(duì)值，故可按這三個(gè)區(qū)間討論。解:當(dāng)x<-2 時(shí)，得 x 2 ， 解得： 3 x 2(x 1) (x 2) 52 x 1, 當(dāng)-2x1 時(shí)，得 2 x 1, ， 解得： 2 x 1(x 1) (x 2) 5x 1,當(dāng) x 1 時(shí)，得 x 1,(x 1) (x 2) 5.解得： 1 x 2綜上，原不等式的解集為 x 3 x 2 。說(shuō)明 :(1) 原不等式的解集應(yīng)為各種情況的并集 ;(2) 這種解法又叫“零點(diǎn)分區(qū)間法”，即通過(guò)令每一個(gè)絕對(duì)值為零求得零點(diǎn)，求解應(yīng)注意 邊界值。三、幾何法：即轉(zhuǎn)化為幾何

5、知識(shí)求解。例 5 對(duì)任何實(shí)數(shù) x ，若不等式 x 1 x 2 k 恒成立，則實(shí)數(shù) k 的取值范圍為 ( )(A)k<3 (B)k<-3(C)k 3(D) k-3分析:設(shè) y x 1 x 2 ，則原式對(duì)任意實(shí)數(shù) x 恒成立的充要條件是 k ymin ，于是題轉(zhuǎn) 化為求 y 的最小值。x -1 0 2解: x 1、 x 2的幾何意義分別為數(shù)軸上點(diǎn) x到-1 和2的距離 x 1- x 2的幾何意義 為數(shù)軸上點(diǎn) x到-1 與 2的距離之差，如圖可得其最小值為 -3 ，故選( B)。3x257x44121，原不等式等價(jià)于四、典型題型1、解關(guān)于 x 的不等式2x3x 810解：原不等式等價(jià)于1

6、0 x23x8 102即 x2 3x810x1或x2x2 3x8106x3 原不等式的解集為( 6,2) (1,3)2、解關(guān)于 x 的不等式22x 32x 3 0 解：原不等式等價(jià)于 12x 323、解關(guān)于 x 的不等式 2x 1 x 2解：原不等式可化為 (2x 1)2 (x 2)2 (2x 1)2 (x 2)2 0即 (x 3)(3x 1) 01解得： 1 x 331 原不等式的解集為 ( 1,3)34、解關(guān)于 x的不等式 2x 1 2m 1(m R)1解： 當(dāng)2m 1 0時(shí)，即 m 1，因 2x 1 0，故原不等式的解集是空2集。 當(dāng) 2m 1 0 時(shí)，即 m(2m 1) 2x 1 2m

7、 1 解得： 1 m x m綜上，當(dāng) m 21時(shí)，原不等式解集為空集 ;當(dāng)m 12時(shí)，不等式解集為 x1 m x m5 、解關(guān)于 x 的不等式 2x 1x3解：當(dāng) x3時(shí)，得x3(2x 1)(x3)1，無(wú)解當(dāng)33x當(dāng)x112時(shí)，得2x(2x121x121)解得：解得：31x42綜上所述，原不等式的解集為 ( 34 ， 126、解關(guān)于 x 的不等式 x 1 x 2 5(答案：( , 3 2, )解：五、鞏固練習(xí)1、設(shè)函數(shù) f(x) 2x 1 x 3,則f( 2); 若 f(x) 2，則 x的取值范圍是 .12、已知 a R，若關(guān)于 x的方程 x2 x a 1 a 0有實(shí)根，則 a的取值范圍4 是

8、x13、不等式1的實(shí)數(shù)解為x24、解下列不等式 4x 3 2x 1； |x 2| |x 1| ； |2x 1| |x 2| 4；2 4 |2x 3| 7 ； x 1 4 2； x2 a a (a R)5、若不等式 ax 2 6的解集為 1,2 ，則實(shí)數(shù) a 等于 ()A. 8 B. 2 C. 4 D. 86、若 x R，則 1 x 1 x 0 的解集是()A. x 0 x 1 B.x x 0且x 1 C. x 1 x 1 D.x x 1且 x 17、 1 對(duì)任意實(shí)數(shù) x，|x 1| |x 2| a恒成立，則 a的取值范圍是2 對(duì)任意實(shí)數(shù) x ，|x 1| |x 3| a 恒成立，則 a的取值范

9、圍是3 若關(guān)于 x的不等式 |x 4| | x 3|8、不等式 x10 3x 的解集為（a的解集不是空集，則 a 的取值范圍是A. x|2 x10 B. x| 25 C. x|2 xD. x| 10 x 59、解不等式：10、方程x12xxx2 3x12、不等式 x (1 2x) A.( ,12)11、不等式 3 52xx2x2 2 的解集為 x2 3x0 的解集是（)1 B. ( ,0) (0,2)9的解集是A. , 2 U 7,12、 已知不等式13、解關(guān)于 x 的不等式：解關(guān)于x2B. 1,4 C. a （a 0） 的解集為 x x的不等式，不等式x2x的解集是C.(12,D. (0,1

10、2)2,1 U 4,7 R| 1 mx 1xc3 ； 2xD. 2,1 U 4,7 ，求 a 2c 的值1 a (a R)A. (0,2)B. (2,0) U (2,4)C. ( 4,0)15、 設(shè)集合 A xx22,x R ， By y x2 , 1A. RB. xx R,x 0C. 016、不等式 2x 1x1的解集是17、設(shè)全集 U R ，解關(guān)于 x 的不等式：x 1 a 1 014、不等式 1 |x1| 3 的解集為（）D.xRD. ( 4, 2) U (0,2) x 2 ，則 CR AI B 等于 (1、（參考答案）2 、 0,43、 ( , 2) ( 2, 32)14、 xx 或x 23 xx 12 xx2或x 117 x 2 x 或 x 522 x 5 x 1或3 x 75、C6、D7、 a 3 ； a 4； a7；8、C9、xx1a或 x 5 10 、x3x2或 x 022xx 2或 x011、D12、152當(dāng) m 0 時(shí)，13、 當(dāng)m0時(shí)，xR；xm4 ；當(dāng)m 0 時(shí)，4xmmm當(dāng)