(完整版)數(shù)學(xué)歸納法經(jīng)典例題及答案(2)

1、數(shù)學(xué)歸納法（2016.4.21）一、用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)命題的步驟是：（ 1）證明當(dāng) n取第一個(gè)值n0 （如 n0 1或 2 等）時(shí)結(jié)論正確；（ 2）假設(shè)當(dāng) nk( k N , kn0 ) 時(shí)結(jié)論正確，證明 n k 1 時(shí)結(jié)論也正確綜合（ 1）、（ 2），注意：數(shù)學(xué)歸納法使用要點(diǎn)：兩步驟 ,一結(jié)論。二、題型歸納：題型 1.證明代數(shù)恒等式例 1用數(shù)學(xué)歸納法證明：1111n1335572n12n12n1證明： n=1 時(shí)，左邊11，右邊11331312假設(shè) n=k 時(shí)，等式成立，即：，左邊 =右邊，等式成立1111k1335572k12k12k1當(dāng) n=k+1 時(shí)111111335572k

2、1 2k12k12k3k12k12k12k 32k 23k12k1 k12k12k32k12k3k1k12k32 k11這就說(shuō)明，當(dāng)n=k+1 時(shí)，等式亦成立，由、可知，對(duì)一切自然數(shù)n 等式成立1題型 2.證明不等式例 2證明不等式111n (n N)1322n證明：當(dāng) n=1 時(shí)，左邊 =1，右邊 =2左邊 右邊，不等式成立假設(shè) n=k 時(shí)，不等式成立，即111k 1322k那么當(dāng) n=k+1 時(shí)，111113kk 122k12 kk11k1k1kk112 k12k 1k1k1這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1 時(shí)，不等式成立由、可知，原不等式對(duì)任意自然數(shù)n 都成立說(shuō)明：這里要注意，當(dāng)n=k+1 時(shí)，要

3、證的目標(biāo)是111113k2 k 1 ，當(dāng)代入歸納假設(shè)后，就是要證明：2k 11k1 2 k2k1認(rèn)識(shí)了這個(gè)目標(biāo)，于是就可朝這個(gè)目標(biāo)證下去，并進(jìn)行有關(guān)的變形，達(dá)到這個(gè)目標(biāo)題型 3.證明數(shù)列問(wèn)題例 3 ( x1) na0 a1(x1) a2(x 1)2 a3(x 1)3 an( x1)n (n 2， n N* ) (1)當(dāng) n 5 時(shí)，求 a0 a1 a2 a3 a4a5 的值a2(2) 設(shè)bn 2n 3， Tn b2 b3 b4 bn.試用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n 2 時(shí)， Tn n(n1)(n1).3解：(1)當(dāng) n 5 時(shí)，原等式變?yōu)?(x 1)5 a0 a1(x 1) a2(x 1)2 a3(

4、 x 1)3 a4(x 1)4 a5(x 1)52令 x 2 得 a0 a1 a2 a3 a4 a5 35 243.(2)因?yàn)?(x 1)n 2 (x 1)n，所以 a2 Cn 22n 2bn a2 2Cn2 n(n 1)(n 2)2n3 當(dāng) n 2 時(shí)左邊 T2 b2 2，右邊 2(2 1)(2 1) 2，左邊右邊，等式成立3 假設(shè)當(dāng) n k(k 2，k N* ) 時(shí)，等式成立，即 Tk k(k 1)(k 1)成立 3那么，當(dāng) n k1 時(shí)，左邊 Tk bk 1k(k1)(k1) (k1)( k 1) 1k(k 1)(k 1) k(k 1)33 k(k 1)k 1 1 k(k 1)(k 2)33 (k 1)(