83平面向量的數(shù)量積

1、第3講平面向量的數(shù)量積1.兩個(gè)非零向量夾角的概念-7 -已知非零向量a與b，作OA = a , OB = b , 則 AO B=9(0W ewn)叫 a 與 b 的a與b，它們的夾角是 0，則數(shù)量特別提醒：向量a與向量b要同起點(diǎn)。2.平面向量數(shù)量積(內(nèi)積)的定義：已知兩個(gè)非零向量 | a| b |cos _叫a與b的數(shù)量積，記作 a b，即有a b = | a| b |cos特別提醒:(1)(0< 0 w n ).并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為 0(2) 兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì):1)2)3)4)b為兩個(gè)非零向量，a e =| a|cos當(dāng)a與b同向時(shí)，a b特別的a a = |cose是與

2、b同向的單位向量，a| b | ；當(dāng) a與 b 反向時(shí)，a b =| a| b |.a|2或| a |= ja aa| b |5)| a b | w |aI 論也 A方向上的投影Bi投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量；當(dāng)為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng)為鈍角時(shí)投影為負(fù)值;當(dāng)為直角時(shí)投影為0;當(dāng) =0時(shí)投影為|b| ;當(dāng)=180時(shí)投影為|b|*4. 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律交換律：_ a - b = b - a數(shù)乘結(jié)合律：（A a） b =幾（a b ） = a （ z b ）分配律：(a + b ) c = a Q + b c5. 平面兩向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示已知兩個(gè)非零向量（x1,y1）,I 斗Ib單位向量，那么

3、a = xf + y1 j ,b =（X2, y2），設(shè)i是X軸上的單位向量，j是y軸上的44-= X2i +y2j 所以 a b = XiX yi y26. 平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式如果表示向量a的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（Xj yj、（x2, y2）,那么：|a|= J(X1 X2)2 +(% y2)27.向量垂直的判定：設(shè) a -（xyj ,b =（X2，y2），則 a 丄 b-XiX2 + yy =08.兩向量夾角的余弦（0 < 0 <兀）cos 日=a b重問題1:兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)難點(diǎn)突破向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算結(jié)果是向量。例：規(guī)定，a 0=0 a =0

4、（不是零向量0，注意與入0 = 0（入 R）區(qū)別）（2）向量數(shù)量積與實(shí)數(shù)相關(guān)概念的區(qū)別冋題2:表示方法的區(qū)別數(shù)量積的記號(hào)是a "b，不能寫成axb，也不能寫成ab（所以有時(shí)把數(shù)量積稱為“點(diǎn)乘”記號(hào)a X b另外有定義，稱為“叉乘”）.問題3:相關(guān)概念及運(yùn)算的區(qū)別若a、b為實(shí)數(shù)，且 a b=0,則有a=0或b=0，但a b =0卻不能得出a = 0或b =0 .因 為只要a丄b就有a b =0,而不必a = 0或b = 0 .熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析考點(diǎn)一：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算題型1.求數(shù)量積、求模、求夾角【例1已知a(3)(2a-lb (a+3b) ； (4) ：【例1已知a =2,b| =

5、3,a與b的夾角為120o，求（1a b;（2）a -b;解析：彳斗 4斗.1(1 a b=|a blcosG0 =2咒3"M=3(2)a2 -b2 =訶幷_舟2=4一9 一5例2解析:已知a44 彳24 呻2(2%-b) (a 槨b) = 2a + 5a b-3b呻2'|bcos120o3|b|2右34 _I耳2 廠+b) =va + 2a b + b =74-6+9 =" 4 <4 _, 亠“=2 a +5$ 廠8-3 a +b =1, b =j2,且a-b與a垂直，求a與b的夾角。設(shè)a與b的夾角為日b與a垂直爲(wèi)一鳥=0即a4I 4f a 一4 442 |

6、4/. a b = a = a2=1:濮0o,80oC 兀. d =4/. a與b的夾角為題型2。利用數(shù)量積解決垂直問題例3若非零向量:、P滿足a +J.s-P，證明：a丄P解題思路:只須證明a m =0。證明由：M率胡得:展開得JR。,故:M解析:申審二(：+?)2 =(：耳2例 4在 ABC中，AB=(2, 3) , AC =(1, k)，且 ABC的一個(gè)內(nèi)角為直角,求k值*3解析：當(dāng) A = 90 時(shí)，AB ”AC = 0 , 2X 1 +3 x k = 0 k =-2當(dāng) B = 90 時(shí) AB BC = 0 ,BC = AC -AB = (1 -2, k3) = ( -1, k3) 2

7、X (-1) +3 X (k3) = 0 k =113當(dāng) C= 90 対，AC ”BC = 0 ,1 + k( k3) = 0.k =42屆高三上學(xué)期第三次月考【新題導(dǎo)練】1.(廣東省普寧市城東中學(xué) 2011已知向量 a =(1, 1) , b =(2,n)，若 I a + b 1= a ”b ,則n=(A. - 3 B . -1 C答案：D解析：j9 + (1 + n)2 =2 + n 解得 n=32.執(zhí)信中學(xué)2009-2010學(xué)年度高三數(shù)學(xué)試卷知 a, b, c為 ABC的三個(gè)內(nèi)角A, B，C邊， 向量m =(慮-1),n = (cos A, sin A).若 m 丄 n，且 acs Bc

8、= C,則角A, B的大小分別為(A.B.2 n n5 36答案:解析:m丄n可得mn = 0即J3cos A- sin A = 0所以角兀A=3兀-C可得B =6范圍是(兀A. 0,6B.切解析:由關(guān)于x的方程6X2 +1 a | X + a 七=0有實(shí)根，得：| a | -4a 七 > 0D.2兀且acosB +bcosA =csinC及 B =3考點(diǎn)2利用數(shù)量積處理夾角的范圍題型1 :求夾角范圍例5已知| a |=2 | b | H 0 ,且關(guān)于x的方程x2 + |a|x+a b = 0有實(shí)根，則a與b的夾角的取值4 4色,又 |a|=2|b|H0,|a|b|1彳4|a|2"os 處 177 -1 a| 2''【新題導(dǎo)練】1兀S， -.答案B.3設(shè)非零向量a = (x,2x ), b=( 3x,2 )，且a , b的夾角為鈍角，求 x的取值范圍解析廣a,b 的夾角為鈍角，a b =x (3x)+2x *2 = 3x2+4xc01|：|2.設(shè)向量為的夾角為0,則cos e十4由(1),(2)得x的范圍是/OC