第3章條件極值問題的變分法(16K)

1、-43 -第3章 條件極值問題的變分法§3.1函數(shù)的條件極值問題，拉格朗日乘子這里讓我們概要的說明在給定的約束條件下，函數(shù)的極值問題。這類附帶約束條件的極 值問題，稱為函數(shù)或泛函的條件極值問題。對于一個函數(shù)，cFCX 至如 F(X, y)，其絕對極小值是根據(jù)下面條件求得,= Fx(x,y) =0(3-1)= Fy(x,y) =0解(3-1)式，可以求出相應的解 X1, y1，將x1與y1代入函數(shù)F(x, y)則可獲得函數(shù)的絕對極 小(極大)值。如果我們給定一約束條件®(x, y)，則表示F (x, y)在給定的約束條件 半(x, y)的情形下,求F(x, y)的極值。顯然，

2、這種帶有約束條件下求極值，相當于把所求范圍縮小了，如果存在有極值的話，那么，這個極值不是絕對極小(或極大)值，而是相對值，它總大于(或等于) 無條件時的極小值，或總小于(或等于)無條件時的極大值。對這類條件極值問題，一般多利用所謂的拉格朗日乘子法。拉格朗日乘子法可以如此理 解，F(xiàn) (X, y)的極值條件可以寫成(3-2)cFcFdF =dx+dy=0cx點y約束條件可以寫成（X, y）=0（3-3）(3-4)因此（3-2）式中的dx,dy不是獨立的，而是由（3-3）式的微分關系式dx + dy =0 cxdydydx連系著的。假定cA/創(chuàng)h0，解（3-4 ）式，得(3-5)cxcQ而（3-2）

3、式可化為cl汗cFdycFcFfXdF N 十一）dx=（- -一 ）dx=0 cxcydxcxcy于是把（3-6）式與（3-3）式連在一起，是求解極值點x1,y1的兩個方程式。 如果用拉格朗日乘子法，可構造以下函數(shù)，如F*（x, yM） =F（x,y） +）e（x, y） 式中幾稱為拉格朗日乘子。F *（x, y,幾）的極值條件為 dF * =（生+ a空）dx +（生 + a空）dy + （X, y）dA = 0cxdxcycy這里把dx, dy, d入都看作是獨立的任意變量，于是從（ 蘭消去(3-6)(3-7)(3-8)這與3-8）式可得到cA+ a=0&4得cFcF生+幾竺=0

4、,(x,y)=0(3-9)cP=0，(x,y)=0dxdygA（3-3）式和（3-6）現(xiàn)在讓我們在約束條件(3-10)式完全相同，所以用拉格朗日乘子法與上面介紹的方法是等價的。(3-11)(3-12) 1（X1,X2,，Xn） =0 2（X1,X2,，Xn） =0k（X1,X2，Xn） =0"下求函數(shù)F(X1,X2, ,Xn)的極值，其中k vn。同樣可用拉格朗日乘子法，設拉格朗日乘子為幾:，鼻2,入，并用(3-13)k 廠=F（X1,X2,X3，Xn） +送 Xi i（X1,X2，Xn）y把F *作為X1, X2，Xn,幾1，入2,，入k的n+k個獨立變量的函數(shù)，求其極值。n 擊

5、k.kdF2 一+Z Zi dxj +Z idXi j4 X i4<2Xj由于Xj ,都是獨立變量，于是由cFk 云卸Zi 一- =0i（X1,X2，Xn） =0dF*=0，得(j =1,2,，n)(i =1,2，,k) J(3-14)(3-15)這是求解n+k個變量的n+k個方程。（3-15 ）式還可以通過以下方法求得。（3-12）式的變分極值要求(3-16)n 匚 dF =2 dXi =0y <Xj(3-17)因為有（3-11）式的k個約束條件，所以這些xj中只有n-k個是獨立的。從（3-11）式的k個 約束條件可以求得下列微分條件送dx0（i =1,2，,k）j 壬 OXj將

6、（3-17）式乘以Zi，與（3-16）式相加，得，匸曲i, cF'曲i(3-18)dF +2 扎正dXj =2 +2 ZidXj =0cxjjw 點Xjycxj這里的Zi（i =1,2,，k）是任選的，如果我們選擇k個待定的cAj 0 （j =1,2，k）CXjAi,使下面k個條件于戲j滿足，則（nk+ 送 Ai -id： "3-18)cF(3-19)式就可以寫成 k eA2 亠+2 幾idXj =0j =k + 0j i#0j這里dXj（j =k+1,k +2,，n）是作為獨立量出現(xiàn)的，于是cFJk曲 i+Z %- =0 （j =k+1,k +2,，n）泳ji壬軟將（3-1

7、9 ）、（ 3-21 ）及（3-11）式合在一起，即可得到（3-15 ）式的相同求解極值方程。這就 證明了拉格朗日乘子法。(3-20)(3-21)§3.2泛函在約束條件i（x,y1，y2,，yn） =0（i =1,2，k）下的極值問題泛函的條件極值問題與函數(shù)的條件極值問題處理方法完全相同。 【定理】泛函口 = J f(x, y1, Y2/ ,yn；y1；y2,，yn)dxx1在約束條件i(x, y1,y2,，yn) =0 (i =1,2,，k;k c n)(3-23)下的變分極值問題所確定的函數(shù)y2, y3,，yn(x)，必滿足由泛函X2kX2口* = J F + 送兒 idx =

8、F*dx的變分極值問題所確定的歐拉方程C匚沖X沖J-丁 D =0 (j =1,2,，n) 今 j dx cyjAi(x)(i =1,2，,k)為k個拉格朗日乘子。我們把yj和Ai(x)都看作是泛函n*的變量，j =0同樣也可以看作是泛函口審的歐拉方程。(3-25)式也可以寫成kd rF+ 2 入。)-一()=0 (j =1,2，n)cyjycyjdx 勺 j現(xiàn)在讓我們證明這個定理。首先求泛函(3-22 )式的變分，它經(jīng)過分部積分(用端點給定不變的條件)可以寫成畀上 J；2(生)Mdxj 壬為 Ojdx cyj注意到這里的 M不是獨立的，它是由約束條件(3-23)連系著的。設ki(x) (i =

9、1,2,，k)為 特定函數(shù)，于是有X2 i = J Ai (x, Y1 , Y2 , , Yn) d - 0 (i 二1,2, , k)X1變分得X2其中所以cF畀iPEx)僉勿jdx2 X1Yj(i =12,k)(3-22)(3-24)(3-25)(3-26)(3-27)(3-28)(3-29)kn* =n +£ ni ,得極值條件i =1d cF-(=)物dx=0列j y列、dx列j因為入i(x)是i =1,2，k個任意特定函數(shù)，假定這 k個函數(shù)由下列k個線性方程決定的,2c>icFd cF送人i(x)：- 丁(二) =0y口Yi吋jdx cYj(j =1,2,，k)這里只

10、要求行列式把(3-27)式和(3-29)式相加，記八：空+£入(x)空2 X1 列j nYj(3-30)(3-31)石、d2曲2刃2HO(3-32)cyk就可以從（中，剩下的變分項只有關系到n y FFkJxC 入（X）j土+ 1 %y3-31）式中求得待定的拉格朗日乘子的解。根據(jù)（3-31 ）式，變分方程（3-30 ）式可kW 創(chuàng)心，8yn等n-k項了。即<5 A id cF.、丿二）Mjdx=0今jycyjdx cyj這n-k項8yj（j =k +1,k+2,，n）都是獨立任意的。運用變分法預備定理后，得丄餐、，、cAi d ,點F、 C 吃入（x-（）=0 今j y今j

11、dx cyj（j =k +1,k +2,n）（3-34）將（3-31 ）、（3-34）兩式加在一起，便證明了（ 3-26）式是正確的，即證明了上述定理。下面討論對于約束條件 i（x, y1,y2,Yn, y；, y2 " ,yn）=0的泛函極值問題。對于泛函X2n = f F（x,y1,y2,，yn,y1：y2,，yn）dxx1在約束條件 i =（x,y1,y2,，yn, Y；, Y；,，Y；） =0 （i=12 ，k;k< n） （3-36）下的變分極值問題所確定的函數(shù)yy；,，yn（x）必須滿足由泛函*X2壬x；=!x F +£ Ai（x）idx = Jx F*d

12、xxiiixi的變分極值問題確定的歐拉方程廠£（至）=0（=1,2，,n）dx Tj(3-33)(3-35)(3-37)(3-38)或JFWjk-zi icOjd cFJkcOj入i(x) 乜"x)V = 0 (j =1,2,，n) (3-39) 列jdx 的Vcy.j式的變分中，我們把yj(j =1,2,，n)和ki(i =1,2,k)都看作是n*的變量,在（3-37）所以j = 0也同樣可以看作是泛函 n *的歐拉方程。§3.3 泛函在積分約束條件 jSi(x,yi, y2,，yn,y；,y2,，yn)dx = %x1（i =12,k）下的極值問題【定理】泛函

13、x2 n = f F(x,y1,y2,yn, y；,y2, yn)dx'x1在約束條件x2 J i(x, y1, y2,，yn； y： y2,，yn)dx oti =0 x1(i =1,2，,k) , ai 為常數(shù)下的變分極值所確定的函數(shù)y1, y2 / , yn (x)必須滿足泛函(3-40)(3-41)X2Jxi Fdx+w 入(Jxi idx"i) =k+送入idx-送入ttii 土yX2f FXi的變分極值問題所確定的歐拉方程茹* d cF* c一 -TV =0 cyj dx cyj在(3-42)式的變分中，我們把(j =1,2,n)(3-42)(3-43)yj(j

14、二1,2,n)和 kj (i =1,2,k) (k c n)都看作泛函的變量，但 人在這里是待定常量。(3-43)+ Z九i所以(3-40)式同樣可以看作是泛函口的歐拉方程。式也可以寫成 詡 i d cF-一 k 黃勿 JiTPiyta0 (Tzr)(3-44)現(xiàn)在可以引進新的未知函數(shù)，把約束條件x2工f idxij的極值問題，化為 窗=0型的條件極值問題，弓I進符號x(3-45)Zi(x) = J i(x, y1, y2,，yn,y1：y2,，yn)dx (i=1,2L,k)x1因此有zi (x10 ,乙(X2) = a i，對x求導數(shù)，得Zi'(x)二心,y1, yr' y

15、n,y1,y' yn) (i =1,2,k)(3-46)因此，約束條件(3-40)式可以由(3-46)式來代替。于是，我們的極值問題變?yōu)榉汉?3-41)式在約束條件(3-46)式下的變分極值問題，根據(jù)§3.2節(jié)的定理，這種極值問題可以化為求泛函Xkx(3-47)=F +送扎i(x)i -z：(x)dx = Jx2F*dxx1x1i ztFZ、(x,yi,y2,yn, yi, y2,yJ 中的無條件極值問題，其中F *k(3-48)送扎i(x)i(x, y1,y2,，yn, y；, y2,，y；) - 乙&)i #把y1,y2,，yn, y；”；,，y：,乙:土,：,)

16、%，)當作獨立函數(shù)，(3-47)式在變 分后給出歐拉方程=0 (j/,2,，n) 刃jdx期(i =12 ，k)dx czii -z：(x) =0 (i =1,2,k)(3-49)(3-50)(3-51)把(3-48)式代入(3-49)及(3-50)式中，可以把它們進一步簡化為 cFki d cFk幾 i(x)二吃 Zi (x)=0 (j =1,2，n) (3-52) 刃j ii 科j dx cVj i£cVjdXl(x) =0 (l =1,2，k)dxi -Zi'(x) =0(i =1,2,k)由(3-53)式證明了打都是常數(shù)，(3-52)式為里十£ hi西晉生十

17、£ hi孚=0 (j =1,2，,n)今j y6j dx cyjyCVj(3-53)(3-51)(3-54)而(3-51)式就是約束條件(3-46)式，(3-54)式共有n個方程，也就是泛函 審X2kkn = f (F +2 幾iJdx-S Z/Xi的歐拉方程，其中 F =F(x,y1,y2,vy；，y；yj，i =ei(x,y1,y2,yn, y1,， y；,，yj，幾i為拉格朗日乘子，且 幾i都是常數(shù)。顯然，(3-55)式就是(3-42 )式，由此, 定理得到證明。還應當指出，歐拉方程組的通解中有n個積分常數(shù)c1,c2/' ,cn和k個拉格朗日乘子扎1，為，kk，這2n

18、+ k個常數(shù)由約束方程(3-40)式及邊界條件yj(x1)=yjyj(x2)=yj (j =1,2，n)來確定?！纠?-1】 在周長已知的情況下，求所圍面積為最大的曲線。本題的約束條件為周長 L為已知，即L =訃聲(¥)2ds= M+ySs現(xiàn)在要求在滿足(3-57)條件下，求泛函(即所圍面積)1 S ,P = JJsdxdy = 2【0( xy J yx )ds為極值，這里X =x(s), y =y(s)。該問題相當于求無條件泛函s. 1R” 珥pxyJyx)f(x JW2)2ds-乩的極值。記F”為(3-55)(3-56)(3-57)(3-58)(3-59)則有.丄F 2(xyTx')+ Mx2 +f2)2cF，擊 1,y,=-x 刃 2Zx，y +cF(3-60)如果s為弧長，則X*2 + y*2 =1，則(3-60 )式中的后兩式可以寫為芮*1，一 y +以，ex2尹1+，一 y fy c