截面圖形的幾何性質(zhì)ppt課件

1、第第 九九 章章 截面圖形的幾何性質(zhì)截面圖形的幾何性質(zhì)9-1 靜矩和形心、慣性矩和慣性積靜矩和形心、慣性矩和慣性積9-2 平行移軸公式平行移軸公式9-2 轉(zhuǎn)軸公式轉(zhuǎn)軸公式靜矩和形心靜矩和形心一、簡(jiǎn)單圖形的靜矩面積矩一、簡(jiǎn)單圖形的靜矩面積矩1 1、定義：、定義：dA對(duì)對(duì)y軸的微靜矩軸的微靜矩:AyAzzdASydASyzdAyzo2、量綱：長(zhǎng)度、量綱：長(zhǎng)度3；單位：；單位：m3、cm3、mm3。dA對(duì)對(duì)z軸的微靜矩軸的微靜矩:ydAdSzzdAdSy3 3、靜矩的值可以是正值、負(fù)值、或零。、靜矩的值可以是正值、負(fù)值、或零。9-1 靜矩和形心、慣性矩和慣性積靜矩和形心、慣性矩和慣性積yzdAyzo

2、4 4、靜矩和形心的關(guān)系、靜矩和形心的關(guān)系 可知AdAzzAdAyyACAC,CAyAzzdASCAzAyydAS靜矩和形心的關(guān)系靜矩和形心的關(guān)系由平面圖形的形心公式由平面圖形的形心公式結(jié)論：結(jié)論： 圖形對(duì)過(guò)形心的軸的靜矩為零。圖形對(duì)過(guò)形心的軸的靜矩為零。 假設(shè)圖形對(duì)某軸的靜矩為零，那么此軸一定過(guò)圖形的形假設(shè)圖形對(duì)某軸的靜矩為零，那么此軸一定過(guò)圖形的形心。心。zyAzydASCZhaaybdyhaaby22)2(habhCAybhadyydzzAyzdASbzhdz0bhz0222bbhCAzAzydASc22hhybdy2222hhby0求圖形對(duì)y、z 軸的靜矩Sz=Ayc；Sy=Azc?？?/p>

3、以作為公式運(yùn)用?？梢宰鳛楣竭\(yùn)用。二、簡(jiǎn)單圖形的形心二、簡(jiǎn)單圖形的形心1 1、形心坐標(biāo)公式：、形心坐標(biāo)公式：2 2、形心確定的規(guī)律：、形心確定的規(guī)律：a a圖形有對(duì)稱軸時(shí)，形心必在此對(duì)稱軸上。圖形有對(duì)稱軸時(shí)，形心必在此對(duì)稱軸上。b b圖形有兩個(gè)對(duì)稱軸時(shí)，形心必在兩對(duì)稱軸的交點(diǎn)處。圖形有兩個(gè)對(duì)稱軸時(shí)，形心必在兩對(duì)稱軸的交點(diǎn)處。AydAASyAzcAzdAASzAyc三、組合圖形由假設(shè)干個(gè)根本圖形組合而成的圖形三、組合圖形由假設(shè)干個(gè)根本圖形組合而成的圖形的靜矩：的靜矩：ciizizyASSciiyiyzASS四、組合圖形的形心：四、組合圖形的形心：izicASyiyicASzAyAciiAzAci

4、i利用根本圖形的結(jié)果，可使組合圖形的形心計(jì)算簡(jiǎn)單利用根本圖形的結(jié)果，可使組合圖形的形心計(jì)算簡(jiǎn)單根本圖形根本圖形-指面積、形心位置知的圖形指面積、形心位置知的圖形例例1 1 試計(jì)算圖示三角形截面對(duì)于與其試計(jì)算圖示三角形截面對(duì)于與其底邊重合的底邊重合的 x x 軸的靜矩。軸的靜矩。 解：解：取平行于取平行于 x 軸的狹長(zhǎng)條軸的狹長(zhǎng)條dA)()(yhhbybyyhhbAd)(d 三角形對(duì)三角形對(duì) x x 軸的靜矩為軸的靜矩為6d)(d20bhyyyhhbAyShAxOxyb ( y )yd yhb三角形形心的 y 坐標(biāo)：3262hbhbhASyxc慣性矩和慣性積慣性矩和慣性積一、簡(jiǎn)單圖形的慣性矩一、

5、簡(jiǎn)單圖形的慣性矩1 1、定義：、定義：dA對(duì)對(duì) z 軸的慣性距軸的慣性距:dA對(duì)對(duì) y 軸的慣性距軸的慣性距:2、量綱：、量綱：m4、mm4。yzdAzyo,2AzdAyIAydAzI2dAydIz2dAzdIy23 3、慣性矩是對(duì)軸而言軸慣性矩。、慣性矩是對(duì)軸而言軸慣性矩。4 4、慣性矩的取值恒為正值。、慣性矩的取值恒為正值。5 5、極慣性矩：、極慣性矩：對(duì)對(duì)o點(diǎn)而言點(diǎn)而言AodAI2pI222yz 圖形對(duì)圖形對(duì) z 軸的慣性矩軸的慣性矩:圖形對(duì)圖形對(duì) y 軸的慣性矩軸的慣性矩:6 6、慣性矩與極慣性矩的關(guān)系：、慣性矩與極慣性矩的關(guān)系： 圖形對(duì)任一對(duì)相互垂直的坐標(biāo)軸的慣性矩之和恒等圖形對(duì)任一

6、對(duì)相互垂直的坐標(biāo)軸的慣性矩之和恒等于此圖形對(duì)該兩軸交點(diǎn)的極慣性矩。于此圖形對(duì)該兩軸交點(diǎn)的極慣性矩。ApdAI2AdAzy)(22AAdAzdAy22yzII yzdAzyo222yz bhzccyc7 7、簡(jiǎn)單圖形慣性矩的計(jì)算、簡(jiǎn)單圖形慣性矩的計(jì)算 圓形截面：圓形截面：實(shí)心直徑D空心外徑D，內(nèi)徑d4641DIIyz)(64144dDIIyz 矩形截面：矩形截面：32222121bhbdyydAyIhhAz32222121hbhdAzdAzIbbAybdyhdz3121bhIz3121hbIyzcycc二、慣性半徑：二、慣性半徑：AIiAiIzzzz2AIiAiIyyyy2三、簡(jiǎn)單圖形的慣性積三

7、、簡(jiǎn)單圖形的慣性積1 1、定義：、定義：2、量綱：長(zhǎng)度、量綱：長(zhǎng)度4，單位：，單位：m4、mm4。3 3、慣性積是對(duì)軸而言。、慣性積是對(duì)軸而言。AzyzydAI4 4、慣性積的取值為正值、負(fù)值、零。、慣性積的取值為正值、負(fù)值、零。yzdAzyo5 5、規(guī)律：、規(guī)律： 兩坐標(biāo)軸中，只需有一個(gè)軸為圖形的對(duì)稱軸，那么圖形這兩坐標(biāo)軸中，只需有一個(gè)軸為圖形的對(duì)稱軸，那么圖形這一對(duì)坐標(biāo)軸的慣性積為零。一對(duì)坐標(biāo)軸的慣性積為零。解：解：AaIdAyadAadAydAaydAyIzcAcAAcAcAz222222)(AbIdAzbdAbdAzdAbzdAzIycAcAAcAcAy222222)(zyoyczcC

8、zcyc 知：圖形截面積 A，形心坐標(biāo)系C zc yc。圖形對(duì)形心軸 zc 、 yc的慣性矩為 Izc、Iyc ,慣性積為Izcyc 。形心 C 在 oyz 坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為b 、 a 。 z 軸平行于zc 軸；y軸平行于 yc軸。求：求：Iz、Iy、 Izy 。一、平行移軸公式一、平行移軸公式AAcczydAbzayyzdAI)(abAIdAybdAzaabdAdAzyzcycAAccAAccdAyzab,ayyCbzzC9-2 平行移軸公式平行移軸公式二、組合圖形的慣性矩和慣性積二、組合圖形的慣性矩和慣性積zizIIyiyIIziyizyII留意：留意： a a、b b為圖形形心在為圖形形

9、心在yozyoz坐標(biāo)系的坐標(biāo)值，可正可負(fù)坐標(biāo)系的坐標(biāo)值，可正可負(fù)abAIIAbIIAaIIzcyczyycyzcz22，zyoyczcczcycdAyzab平行移軸公式平行移軸公式 根據(jù)慣性矩和慣性積的定義易得組合截面對(duì)于某軸的慣性矩或慣性積等于其各組成部分對(duì)于同一軸的慣性矩或慣性積之和：例例 求圖示直徑為求圖示直徑為d d 的半圓對(duì)其本身形心軸的半圓對(duì)其本身形心軸 xc xc 的慣性矩。的慣性矩。解：解：1 1、求形心坐標(biāo)、求形心坐標(biāo)3281223dddASyxcxyb(y)ycCdxcy2 2、求對(duì)形心軸、求對(duì)形心軸 xc xc 的慣性矩的慣性矩12826444ddIx181288)(44

10、22dddyIIcxxc由平行移軸公式得：由平行移軸公式得： 2008001001000例例 求圖示求圖示T型截面對(duì)形心軸的慣性矩。型截面對(duì)形心軸的慣性矩。解：解：1 1、取參考坐標(biāo)軸、取參考坐標(biāo)軸 z z；y y對(duì)稱對(duì)稱軸軸) )， 確定形心坐標(biāo)。確定形心坐標(biāo)。zy)(5731016101016400108504545212211mmAAyAyAAyAyccciicZC1ZC2C20；400C10；8500CZ2 2、確定形心軸的慣性矩、確定形心軸的慣性矩 Izc Izc、IyIyIycIyc21ycycyIIICzCy)(1087. 820080012110001001214933mm,2

11、1zczczcIII200 800 1001000ZYZC1ZC2C20；400C10；850CzCy49253211111079.7)573850(101001000121mmaAIIzczc49243222221032.13)400573(1016800200121mmaAIIzczc)(101 .211032.131079.7499921mmIIIzczczcC0；573db2dZ矩形的對(duì)稱軸Y對(duì)稱軸O解解 ： 1 1、建立坐標(biāo)系如圖。、建立坐標(biāo)系如圖。2 2、求形心位置。、求形心位置。dddddAyAyAAzAzciicciic177.0432)4(00222zcycz1例例 在矩形內(nèi)

12、挖去一與上邊內(nèi)切的圓，求圖形對(duì)形心的在矩形內(nèi)挖去一與上邊內(nèi)切的圓，求圖形對(duì)形心的 慣性矩。慣性矩。b=1.5d)3 3、建立形心坐標(biāo)系；求：、建立形心坐標(biāo)系；求：Iyc Iyc ， Izc Izc 。)177. 05 . 0(212ddAIyAIIIIzczzczczc圓圓矩矩圓矩4224223685. 0)177. 05 . 0(464)177. 0(312)2(5 . 1ddddddddd443513. 064122)5 . 1 (ddddIIIycycyc圓矩db2dZY對(duì)稱軸O zcycz1dyzcc177.00一、慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式一、慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式 dA 在坐標(biāo)系在

13、坐標(biāo)系 ozy 和坐標(biāo)系和坐標(biāo)系 oz1y1 的的的坐標(biāo)分別為的坐標(biāo)分別為z，y 和和z1 ， y1 sincossincos11zyyyzz代入慣性矩的定義式：代入慣性矩的定義式：AyIAzd211zyOzyzy11ABCDEdAzy11知：知：A A、IzIz、IyIy、IzyIzy、a a。 求：求：Iz1Iz1、Iy1Iy1、Iz1y1Iz1y1。9-2 轉(zhuǎn)軸公式轉(zhuǎn)軸公式sincossincos11zyyyzzAyIAzd211zyOzyzy11ABCDEdAzy11 dcossin2 dsindcos2222AzyAzAyAAAcossin2sincos 22zyyzIII 利用二倍

14、角函數(shù)代入上式，得 轉(zhuǎn)軸公式 ：2sin2cos221zyyzyzzIIIIII轉(zhuǎn)軸公式轉(zhuǎn)軸公式2cos2sin22sin2cos222sin2cos221111zyyzyzzyyzyzyzyyzyzzIIIIIIIIIIIIIIII的符號(hào)為：的符號(hào)為：從從 z 軸至軸至 z1 軸軸 逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)。逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)。zyOzyzy11ABCDEdAzy11yzyzIIII11 上式闡明，截面對(duì)于經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)的恣意一對(duì)相互垂直的坐標(biāo)軸的上式闡明，截面對(duì)于經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)的恣意一對(duì)相互垂直的坐標(biāo)軸的慣性矩之和為一常數(shù)，并等于截面對(duì)該坐標(biāo)原點(diǎn)的極慣性矩慣性矩之和為一常數(shù)，并等于截面對(duì)該坐標(biāo)原

15、點(diǎn)的極慣性矩將轉(zhuǎn)軸公式前兩式相加得2cos2sin22sin2cos222sin2cos221111zyyzyzzyyzyzyzyyzyzzIIIIIIIIIIIIIIII1112)2cos2sin2(22cos22sin22yzzyyzzyyzzIIIIIIIddI001ddIz令0minmax1)(zIminmax1)(yI二、主慣性軸、主慣性矩、形心主慣性矩二、主慣性軸、主慣性矩、形心主慣性矩zyOzyzy11ABCDEdAzy112200minmax)2(2zyyzyzyzIIIIIIIyzzyIIItg22001ddIz022cos22sin220000yzzyyzIIII可求得可求

16、得 和和 兩個(gè)角度，從而確定兩根軸兩個(gè)角度，從而確定兩根軸y0,，z0。0900由yzzyIIItg220求出 代入轉(zhuǎn)軸公式可得：002cos,2sin000yzI且zyOzyzy11ABCDEdAzy110y0z02 2、主慣性矩主矩：、主慣性矩主矩： 圖形對(duì)主軸的慣性矩圖形對(duì)主軸的慣性矩Iz0Iz0、Iy0 Iy0 稱為主慣性矩，主慣稱為主慣性矩，主慣性矩為圖形對(duì)過(guò)該點(diǎn)的一切軸的慣性矩中的最大和最小性矩為圖形對(duì)過(guò)該點(diǎn)的一切軸的慣性矩中的最大和最小值。值。3 3、形心主慣性軸形心主軸：、形心主慣性軸形心主軸： 假設(shè)圖形的兩個(gè)主軸為圖形的形心軸，那么此兩軸假設(shè)圖形的兩個(gè)主軸為圖形的形心軸，那么

17、此兩軸為形心主慣軸。為形心主慣軸。Izcyc= 0Izcyc= 0。 zc zc、yc yc 為形心軸。為形心軸。zczc、yc yc 為形心主軸。為形心主軸。4 4、形心主慣性矩：、形心主慣性矩：圖形對(duì)形心主軸的慣性矩。圖形對(duì)形心主軸的慣性矩。IzcIzc、IycIyc。由此引出幾個(gè)概念：由此引出幾個(gè)概念：1 1、主慣性軸主軸：、主慣性軸主軸：y0, y0, z0z0 假設(shè)圖形對(duì)過(guò)某點(diǎn)的某一對(duì)坐標(biāo)軸的慣性積為零，那假設(shè)圖形對(duì)過(guò)某點(diǎn)的某一對(duì)坐標(biāo)軸的慣性積為零，那么該對(duì)軸為圖形過(guò)該點(diǎn)的主慣性軸。么該對(duì)軸為圖形過(guò)該點(diǎn)的主慣性軸。 ， 軸為主軸。軸為主軸。000yzI5 5、求截面形心主慣性矩的根本

18、步驟、求截面形心主慣性矩的根本步驟1、建立坐標(biāo)系。、建立坐標(biāo)系。2、求形心位置。、求形心位置。3、建立形心坐標(biāo)系；并求：、建立形心坐標(biāo)系；并求：Iyc ， Izc ， Izcyc ，AyAASyAzAASzciizciiyc4、確定形心主軸位置、確定形心主軸位置 0 ：yzzyIIItg2205、求形心主慣性矩、求形心主慣性矩2200minmax)2(2zyyzyzyczcIIIIIII6 6、幾個(gè)結(jié)論、幾個(gè)結(jié)論 假設(shè)截面有一根對(duì)稱軸，那么此軸即為形心主假設(shè)截面有一根對(duì)稱軸，那么此軸即為形心主慣性軸之一，另一形心主慣性軸為經(jīng)過(guò)形心并與對(duì)慣性軸之一，另一形心主慣性軸為經(jīng)過(guò)形心并與對(duì)稱軸垂直的軸。

19、稱軸垂直的軸。 假設(shè)截面有二根對(duì)稱軸，那么此二軸即為形假設(shè)截面有二根對(duì)稱軸，那么此二軸即為形心主慣性軸。心主慣性軸。 假設(shè)截面有三根對(duì)稱軸，那么經(jīng)過(guò)形心的任一假設(shè)截面有三根對(duì)稱軸，那么經(jīng)過(guò)形心的任一軸均為形心主慣性軸，且主慣性矩相等。軸均為形心主慣性軸，且主慣性矩相等。)(5 .1912007001200570045212211mmAAzAzAAzAzccciic例例 試確定以下圖的形心主慣性矩。試確定以下圖的形心主慣性矩。)(7 .3912007001200607005212211mmAAyAyAAyAyccciic解：解：1、確定形心坐、確定形心坐標(biāo)標(biāo)c(19.5;39.7)ZCYC801010zyC1C21202 2、建立形心坐標(biāo)系