數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性判別法總結(jié)

1、華北水利水電學(xué)院數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性判別法。（總結(jié)）課程名稱：高等數(shù)學(xué)（下）專業(yè)班級：_成員組成聯(lián)系方式：_2012年5月18日摘要：在學(xué)習(xí)數(shù)項(xiàng)級數(shù)的時(shí)候，對于單一的方法所出的例題，大家 都知道用何種方法去解決。 但是等到所有的方法學(xué)完之后，再給出題 目，大家似乎一頭霧水， 不知道用哪一種方法。有些同學(xué)甚至挨個(gè)拭每一種方法， 雖然也可行。 但是對于同一個(gè)級數(shù)， 用不同的方法判斷 斂散性的難易程度不同，如果選用合適的方式，可以到到事半功倍的 效果，但是如果懸選擇了錯誤的方法， 可能費(fèi)了九牛二虎之力之后，得出的結(jié)果還是錯誤的。所以我們有必要總結(jié)一下判斷斂散性的方 法，了解它們的特性，才能更好地運(yùn)用它們。

2、關(guān)鍵詞：數(shù)項(xiàng)級數(shù)，斂散性，判斷，方法。英文題目Abstract：Single out examples to learn a number of series, we all know whichway to go. But wait until all of the methods after completing their studies are given topics, everyone seems con fused and do not know what kind of way. Somestudents even one by one swab of each method,

3、 although it is also feasibleButfor one series, using different methods to determine the converge nee anddivergence of the degree of difficulty, if the appropriate choice of the way to amultiplier effect, but if the hanging has chosen the wrong way, may have spentnine cattle tigers after the power,

4、the result is wrong. So we n eed to sum up todetermi ne the converge nee and diverge nee, and to understand theircharacteristics, in order to make better use of themKey words：Anu mber of series, converge nee and diverge nee of judgment.引言：以下介紹書中所提到的判斷數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性的定理，并通過一些例題，講解它們各自的適用范圍。并總結(jié)出判斷斂散性的一般 思維過程。

5、3-以下介紹相關(guān)定義及定理一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念定義：無窮多常數(shù)項(xiàng)累加求和工冬+4+.常見的幾類重要的常數(shù)項(xiàng)級數(shù)正項(xiàng)級數(shù)：級數(shù)中所有項(xiàng)均大于等于零。 交錯級數(shù)：級數(shù)中的項(xiàng)正負(fù)相間的級數(shù)。 等比級數(shù).H-acfacf + +.=網(wǎng)調(diào)和級數(shù)在以下的判別中這幾類級數(shù)將會有重要的運(yùn)用二、相關(guān)定理定理一：如果帆”工,則可判斷該級數(shù)一定不收斂。+一 +( (111+尹尹P級數(shù)頭嚴(yán)（心0）定理二、等比級數(shù)判別法：-當(dāng)小1時(shí)，級數(shù)收斂;（2）當(dāng)爪1時(shí),級數(shù)發(fā)散定理三、p-級數(shù)判別法：1工K) /1=1 當(dāng)0川1時(shí)，級數(shù)發(fā)散當(dāng)卩1時(shí)，級數(shù)收斂注：調(diào)和級數(shù)是特出的p級數(shù)，這時(shí)p=l。定理四、設(shè)IX與是兩個(gè)正項(xiàng)級數(shù),

6、當(dāng)代 5 且級數(shù)工匕收斂時(shí)，級數(shù)工”也收斂;當(dāng)叫創(chuàng)”且級數(shù)工匕發(fā)散時(shí)，級數(shù)2”也發(fā)散;定理五、（極限形式）若工”為正項(xiàng)級數(shù)，且lim叫一則當(dāng)時(shí)，級數(shù)工叫也收斂；（2）當(dāng)彳1時(shí)，或爐+“時(shí)，級數(shù)工叫發(fā)散;注：當(dāng)曠1時(shí)，）比式判別法不能對級數(shù)的斂散性作出判斷,因?yàn)樗赡苁鞘諗康模部赡苁前l(fā)散的例如，級數(shù)Inn = 1 y J_y丄們的比式極限都是x 心但乙滬是收斂的，而乙是發(fā)散的.注：對于定理四和定理五當(dāng)判斷一個(gè)級數(shù)的斂散性時(shí)，需要構(gòu) 造一個(gè)級數(shù)，這個(gè)構(gòu)造的過程就要求我們對一些常用的有特殊性質(zhì)的 級數(shù)有所了解。例如：調(diào)和級數(shù)，等比級數(shù)，p級數(shù)。比較法雖然簡 單，但是需要構(gòu)造新級數(shù)，所以比較麻煩。以

7、下介紹一種方法用于自 身比較。5-定理六、（極限形式）若為正項(xiàng)級數(shù)，且塑呃則當(dāng)/1時(shí)，級數(shù)發(fā)散注：當(dāng)心1時(shí)，根式不能對級數(shù)的斂散性作出判斷例如,級數(shù)工奈與工7,二者都有嘿吃=1,但工7是收斂的，而工齊是 發(fā)散的但補(bǔ)是收斂的，而疋是發(fā)散的.定理七、若交錯級數(shù)幺 滿足:（1）心二】（=1，2,）；/ 、lullu un n= 0（2）“T+X則交錯級數(shù)收斂絕對收斂與條件收斂對于一般項(xiàng)級數(shù)“嚴(yán)+ +”+,其各項(xiàng)為任意實(shí)數(shù)，若級數(shù)OC0C00Vu un nViz/. IVu uH H- 各項(xiàng)的絕對值所構(gòu)成的正項(xiàng)級數(shù)幺 收斂，則稱級數(shù)幺 絕對0C5000工九ykj工知收斂;若級數(shù)幺 收斂，而級數(shù)幺 發(fā)散

8、，則稱級數(shù)幺 條件收斂易XX1知5（_1）亦是絕對收斂級數(shù)，而s（_1）廠是條件收斂級數(shù).對于有些特殊級數(shù)，既不是正項(xiàng)級數(shù)也不是交錯級數(shù)，可以通過 取絕對值，轉(zhuǎn)換為正項(xiàng)級數(shù)后，再利用定理八，進(jìn)行判斷。以下介紹一種通過積分判斷的方法。此方法的特點(diǎn)是利用非負(fù)函數(shù)的單調(diào)性和積分性質(zhì)，并以反常積分為比較對象來判斷正項(xiàng)級數(shù)的斂散 性。定理九設(shè)/為1,+8)上非負(fù)減函數(shù)，則正項(xiàng)級數(shù)工/()與反常定理八、YuYu茲 若幺收斂，則幺必收斂. 6 積分fx)dx同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散。證明：由假設(shè)/為1，+呵上非負(fù)減函數(shù)，則對任何正數(shù)A,/在1, A上可積，從而有如工厲皿(-1), . = 2,3,- fa)dxf

9、a)dx 1)=工/()= ?ft=?=1若反常積分收斂，則對有s,” =X/( )1),有f(x)dxf(x)dx S S 心=工/()1,有fAfA0f(x)dxSf(x)dxSn nS0,k0,且召收斂，證明幺后鼻絕對收斂?（此題正是利用了比較法，輕松地證明了此題） /Pl /卑 ；+解：ynyn2 2+k+kn n +k+ky ya a2 2-1y J又2 ”、占而收斂，則召麗存收斂x xa aY（-l）/?-=故 gylnyln2 2+k+k絕對收斂.解：利用不等式讓丄1H丄 丄丄n n77 + 1n n/7 + 1例題4、斷調(diào)和級數(shù)舅土卅曠+的斂散性。丄=1 +丄+丄+丄+解因?yàn)樾?/p>

10、2 3 n可以按如下加括號，得，級數(shù)（1 +丄）+ （丄+丄）+ （丄+丄+丄+丄）+（丄+丄+丄+丄+丄+丄+丄+丄）+ 2345678910111213141516而上述加括號后的級數(shù)的各項(xiàng)大于級數(shù)1JlxZ11111111111lx244888816161616161616161 1 1例題3、判別級數(shù)(-111)n=lfjfj n n的斂散性.x1 1y(-)因?yàn)樾膎 n + + l l收斂，肩汕竽收斂. 8 =+ + + .2 2 2-9-OO 8的對應(yīng)項(xiàng)，又后一級數(shù)生是發(fā)散的，所以原調(diào)和級數(shù)若匚是發(fā)散的。注:在級數(shù)斂散性判斷時(shí)，對于某些一般項(xiàng)處理起來比較困難時(shí)，可 以通過合并或拆分

11、來使一般項(xiàng)變得方便處理。p SU1IIII例題5、判斷級數(shù)是否收斂sin2n n 1 yj_y sufn n解:因廠一產(chǎn)，且召用為p=2時(shí)的p級數(shù)，此級數(shù)收斂。所以召 也收斂。注：如果級數(shù)中不是所有的項(xiàng)都滿足叫 匕，而是從有限項(xiàng)開始才滿 足。也可以用比較法判斷斂散性。因?yàn)楦淖兗墧?shù)的前有限項(xiàng)不改變級 數(shù)的斂散性。例題6、 證明級數(shù).1111 + 卜卜 + +2! 3!nn收斂.知丄一!olA證川1X2X3X-XH滿足 川2心,而1P 丄(67=2+xn n”TTC1“TTCJJ1n n77 Sill解因?yàn)?“3”liiii-= 13妝n3,所以該級數(shù)收斂.注：本題是比值法的應(yīng)用，從中可以看出，比

12、值法是通過比值的方法 消去某些因子，以達(dá)到簡化運(yùn)算的目的。所以運(yùn)用比值法時(shí)，應(yīng)注意 觀察通過比值能否消去某些項(xiàng)，能否達(dá)到簡化的目的。0C1例題9、判斷級數(shù)幺2+1的斂散性.0丄 丄匸亠 1 1歸解 因?yàn)?”+12 2”，而心2,所以幺2收斂.再根據(jù)比較CC1判別法，原級數(shù)幺2+1收斂.注：本題是比較法和根植法的聯(lián)合應(yīng)用，所以有時(shí)應(yīng)用單一的方法無 法解決別法來解題。由于散，所以級數(shù)V sin-乙也發(fā)散.注：這是比較法的極限形勢。是比較法的更深度的運(yùn)用。 11 某些問題時(shí)，可以應(yīng)用多種方法，逐步達(dá)到簡化的目的。8 %例題10、設(shè)弘,且，塑，試判斷級數(shù) 3）的斂 散性.12 ()n= lun A =

13、 xlun =-a a”S 而皿色”7 S 所以，根據(jù)根值判別法有(1)當(dāng)時(shí),級數(shù)收斂;級數(shù)發(fā)散;級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.注：根植法對于處理通項(xiàng)中罕有n次方的級數(shù)時(shí)，有著特別方便的應(yīng)用。1-1- F ( l)nF 判斷級數(shù)2! 3!川的斂散性.解因?yàn)?u =(1)川(+1)!( =1,2,).Innu un n= lim丄=0(2 )“T40C“T+aT+a所以它是收斂的.A siiinxnx例題12、判斷級數(shù)占廠的斂散性.sninxnx解因?yàn)?x_V一用.而級數(shù)禽用收斂.由比較判別法知，級數(shù)f sinx ;r=l IIJ sninxnx收斂，所以級數(shù)召廠絕對收斂.例題13、 證明級數(shù)f(-1

14、嚴(yán)加-1tl=k=I_2+2_Z+.+(_I)-IZL1+.248絕對收斂.Y0 ,解因?yàn)?J解：此題為P級數(shù)，但是也可以用積分判斷法解決。f(f( _ _丄函數(shù)當(dāng)時(shí)在1，乜上是非負(fù)減函數(shù)。知道反常積分 竺y丄J1対在1時(shí)收斂，”1時(shí)發(fā)散.故由定理4得乙0去當(dāng)”1時(shí)收 斂，當(dāng)皿 1 1時(shí)發(fā)散。至于卩的情形，則可由定理12.1推論知道 它也是發(fā)散的。結(jié)束語：在以上的例題中，可以看出，每一個(gè)題，可能有多種方法處理。但是總有一種比較適合且簡便的方法。而且不同的方法 有不同的適用范圍。在某些領(lǐng)域可能有著特別方便的應(yīng)用，但是在另 一些領(lǐng)域內(nèi)可能毫無用處。所以我們需要選擇合適的方法。對于有些 題目，可能需要多種方法共同處理。對于正項(xiàng)級數(shù)首先觀