高中數(shù)學復習專題講座不等式知識的綜合應用

1、高中數(shù)學復習專題講座不等式知識的綜合應用高考要求 不等式是繼函數(shù)與方程之后的又一重點內(nèi)容之一，作為解決問題的工具，與其他知識綜合運用的特點比較突出 不等式的應用大致可分為兩類 一類是建立不等式求參數(shù)的取值范圍或解決一些實際應用問題；另一類是建立函數(shù)關(guān)系，利用均值不等式求最值問題、本難點提供相關(guān)的思想方法，使考生能夠運用不等式的性質(zhì)、定理和方法解決函數(shù)、方程、實際應用等方面的問題 重難點歸納1 應用不等式知識可以解決函數(shù)、方程等方面的問題，在解決這些問題時，關(guān)鍵是把非不等式問題轉(zhuǎn)化為不等式問題，在化歸與轉(zhuǎn)化中，要注意等價性 2 對于應用題要通過閱讀，理解所給定的材料，尋找量與量之間的內(nèi)在聯(lián)系，抽

2、象出事物系統(tǒng)的主要特征與關(guān)系，建立起能反映其本質(zhì)屬性的數(shù)學結(jié)構(gòu)，從而建立起數(shù)學模型，然后利用不等式的知識求出題中的問題 典型題例示范講解 例1用一塊鋼錠燒鑄一個厚度均勻，且表面積為2平方米的正四棱錐形有蓋容器(如右圖)設(shè)容器高為h米，蓋子邊長為a米，(1)求a關(guān)于h的解析式；(2)設(shè)容器的容積為V立方米，則當h為何值時，V最大？求出V的最大值(求解本題時，不計容器厚度)命題意圖 本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式，棱錐表面積和體積的計算及用均值定論求函數(shù)的最值 知識依托 本題求得體積V的關(guān)系式后，應用均值定理可求得最值 錯解分析 在求得a的函數(shù)關(guān)系式時易漏h0 技巧與方法 本題在求最值時應用均值定理

3、解 設(shè)h是正四棱錐的斜高，由題設(shè)可得 消去由 (h0)得 所以V，當且僅當h=即h=1時取等號故當h=1米時，V有最大值，V的最大值為立方米 例2已知a，b，c是實數(shù)，函數(shù)f(x)=ax2+bx+c，g(x)=ax+b，當1x1時|f(x)|1 (1)證明 |c|1；(2)證明 當1 x1時，|g(x)|2；(3)設(shè)a0，有1x1時， g(x)的最大值為2，求f(x) 命題意圖 本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)、含有絕對值不等式的性質(zhì)，以及綜合應用數(shù)學知識分析問題和解決問題的能力 知識依托 二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性是藥引，而絕對值不等式的性質(zhì)靈活運用是本題的靈魂 錯解分析 本題綜合性較強，其

4、解答的關(guān)鍵是對函數(shù)f(x)的單調(diào)性的深刻理解，以及對條件“1x1時|f(x)|1”的運用；絕對值不等式的性質(zhì)使用不當，會使解題過程空洞，缺乏嚴密，從而使題目陷于僵局 技巧與方法 本題(2)問有三種證法，證法一利用g(x)的單調(diào)性；證法二利用絕對值不等式 |a|b|a±b|a|+|b|；而證法三則是整體處理g(x)與f(x)的關(guān)系 (1)證明 由條件當=1x1時，|f(x)|1，取x=0得 |c|=|f(0)|1，即|c|1 (2)證法一 依題設(shè)|f(0)|1而f(0)=c，所以|c|1 當a0時，g(x)=ax+b在1，1上是增函數(shù)，于是g(1)g(x)g(1)，(1x1) |f(x

5、)|1，(1x1)，|c|1，g(1)=a+b=f(1)c|f(1)|+|c|=2，g(1)=a+b=f(1)+c(|f(2)|+|c|)2，因此得|g(x)|2 (1x1)；當a0時，g(x)=ax+b在1，1上是減函數(shù)，于是g(1)g(x)g(1)，(1x1)，|f(x)|1 (1x1)，|c|1|g(x)|=|f(1)c|f(1)|+|c|2 綜合以上結(jié)果，當1x1時，都有|g(x)|2 證法二 |f(x)|1(1x1)|f(1)|1，|f(1)|1，|f(0)|1，f(x)=ax2+bx+c，|ab+c|1，|a+b+c|1，|c|1，因此，根據(jù)絕對值不等式性質(zhì)得 |ab|=|(ab+

6、c)c|ab+c|+|c|2，|a+b|=|(a+b+c)c|a+b+c|+|c|2，g(x)=ax+b，|g(±1)|=|±a+b|=|a±b|2，函數(shù)g(x)=ax+b的圖象是一條直線，因此|g(x)|在1，1上的最大值只能在區(qū)間的端點x=1或x=1處取得，于是由|g(±1)|2得|g(x)|2，(1x1 當1x1時，有01，10，|f(x)|1，(1x1)，|f |1，|f()|1；因此當1x1時，|g(x)|f |+|f()|2 (3)解 因為a0，g(x)在1，1上是增函數(shù)，當x=1時取得最大值2，即g(1)=a+b=f(1)f(0)=2 1f

7、(0)=f(1)212=1，c=f(0)=1 因為當1x1時，f(x)1，即f(x)f(0)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，直線x=0為f(x)的圖象的對稱軸，由此得0 ，即b=0 由得a=2，所以f(x)=2x21 例3設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0)，方程f(x)x=0的兩個根x1、x2滿足0x1x2 (1)當x0，x1時，證明xf(x)x1；(2)設(shè)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=x0對稱，證明 x0 解 (1)令F(x)=f(x)x，因為x1，x2是方程f(x)x=0的根，所以F(x)=a(xx1)(xx2) 當x(0，x1)時，由于x1x2，得(xx1)(xx2)0，又a0，得F(x)=a(xx1)(xx2)0，即xf(x)x1f(x)=x1x+F(x)=x1x+a(x1x)(xx2)=(x1x)1+a(xx2)0xx1x2，x1x0，1