2016初中聯(lián)賽試題及答案

1、2016年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題第一試(3 月 20 日上午 8:30 - 9:30)、選擇題（本題滿分 42 分，每小題 7 分）（本題共有 6 個(gè)小題，每題均給出了代號(hào)為ABC, D的四個(gè)答案，其中有且僅有一個(gè)是正確的將你所選擇的答案的代號(hào)填在題后的括號(hào)內(nèi)每小題選對(duì)得 7 分；不選、選錯(cuò)或選出的代號(hào)字母超過一個(gè)（不論是否寫在括號(hào)內(nèi)），一律得 0 分.）11.用x表示不超過x的最大整數(shù)，把x x稱為x的小數(shù)部分.已知t，a是t2 V31 1的小數(shù)部分，b是t的小數(shù)部分，貝 U 丄丄（）2b aA.1C.1 D.、32 22.三種圖書的單價(jià)分別為 10元、15 元和 20 元，某學(xué)校計(jì)劃恰好

2、用500 元購買上述圖書 30本，那么不同的購書方案有（A. 9種B. 10種C. 11種D.12種3（A）.如果一個(gè)正整數(shù)可以表示為兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的立方差，則稱這個(gè)正整數(shù)為“和諧數(shù)”.3333如：2 1 （ 1） ,26 3 1 ,2和26均為“和諧數(shù)”.那么，不超過2016的正整數(shù)中，所有的“和諧數(shù)”之和為A. 6858 B. 6860 C. 9260 D. 926223(B).已知二次函數(shù)y ax bx 1(aa b為整數(shù)時(shí)，ab()13A. 0 B. C. D. 244AB,交AB于點(diǎn)C，連接AO并延長交e O于點(diǎn)E,若AB 8,CD 2,則BCE的面積為A. 12 B.15C.16 D

3、.185.如圖，在四邊形ABCD中，BAC0）的圖象的頂點(diǎn)在第二象限，且過點(diǎn)(1,0).當(dāng)4.已知e O的BDC 900,AB AC、5,CD 1,對(duì)角線( )的交點(diǎn)為M，則DMA辱負(fù)23C套D.12 26.設(shè)實(shí)數(shù)x, y,z滿足x y z 1,則M xy 2yz 3xz的最大值為()123A. B. C. D.1234二、填空題(本題滿分28分，每小題7分)(本題共有 4 個(gè)小題，要求直接將答案寫在橫線上.)1.【1(A)、2(B)】已知ABC的頂點(diǎn)A、C在反比例函數(shù)y(x 0)的圖象上，xACB 900,ABC 300,AB x軸，點(diǎn)B在點(diǎn)A的上方，且AB 6,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為.1(B).已

4、知ABC的最大邊BC上的高線AD和中線AM恰好把BAC三等分，AD、3,則AM.2(A).在四邊形ABCD中，BC/AD,CA平分BCD,0為對(duì)角線的交點(diǎn)，CD AO, BC OD,則ABC.3.【3(A)、4(B)】有位學(xué)生忘記寫兩個(gè)三位數(shù)間的乘號(hào)，得到一個(gè)六位數(shù)，這個(gè)六位數(shù)恰 好為原來兩個(gè)三位數(shù)的乘積的3 倍，這個(gè)六位數(shù)是.3(B).若質(zhì)數(shù)p、q滿足：3q p 40, p q 111,則pq的最大值為.4(A).將 5 個(gè) 1、5 個(gè) 2、5 個(gè) 3、5 個(gè) 4、5 個(gè) 5 共 25 個(gè)數(shù)填入一個(gè) 5 行 5 列的表格內(nèi)(每 格填入一個(gè)數(shù))，使得同一列中任何兩數(shù)之差的絕對(duì)值不超過2.考慮每

5、列中各數(shù)之和，設(shè)這5 個(gè)和的最小值為M,則M的最大值為.第二試(3 月 20 日上午 9:50 11:20)一、(本題滿分 20 分)已知a,b為正整數(shù)，求M 3a2ab22b 4能取到的最小正整數(shù)值.二、(本題滿分 25 分)(A).如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的e O上，CD AB于點(diǎn)D,點(diǎn)E在BD上，AE AC,四邊形DEFM是正方形，AM的延長線與e O交于點(diǎn)N.證明：FN DE.(B).已知：a b e 5, a2b2e215, a3b3e347.求(a2ab b2)(b2be c2)(c2ca a2)的值.三、(本題滿分 25 分)(A).已知正實(shí)數(shù)x, y, z滿足：xy yz zx

6、 1,且2 2 2 2 2 2(X l)(y 1) (y 1)(Z1) (z 1)(X1)4xyyzzx1 1 1(1) 求的值.xy yz zx(2) 證明：9(x y)(y z)(z x) 8xyz(xy yz zx).(B).如圖，在等腰ABC中，AB AC .5,D為BC邊上異于中點(diǎn)的點(diǎn)，點(diǎn)C關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E,EB的延長線與AD的延長線交于點(diǎn)F,求AD AF的值.2016年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題及詳解第一試（3 月 20 日上午 8:30 - 9:30）、選擇題（本題滿分 42 分，每小題 7 分）1口稱為x的小數(shù)部分已知t -，a是2 V3（ ）3234,即3 t 4,又

7、、3 3,b t （ 4）2, 31 1-,故選 A.2某學(xué)校計(jì)劃恰好用500 元購買上述圖書 30（ ）A. 9種B. 10種 【答案】C.C. 11種D. 12種（本題共有 6 個(gè)小題，每題均給出了代號(hào)為AB,C D的四個(gè)答案,其中有且僅有一個(gè)是正確的.將你所選擇的答案的代號(hào)填在題后的括號(hào)內(nèi)每小題選對(duì)得 7 分；不選、選錯(cuò)或選出的代號(hào)字母超過一個(gè)（不論是否寫在括號(hào)內(nèi)），一律得 0 分.）【解析】設(shè)購買三種圖書的數(shù)量分別為x,y, z,則x y z 3010 x 15y 20z 500即y z3y 4z30 x100 2x，解得20 2x10 x依題意得,x, y, z為自然數(shù)（非負(fù)整數(shù)）1

8、1t的小數(shù)部分，b是t的小數(shù)部分，則2ba1.3d廠A.B.C.1 D.322【答案】A.【解析】Qt12、3,1.32,2氣3a t 3.3 1.t2、3, 2J31,421 1112332b a2（2、；3）、3 1222.三種圖書的單價(jià)分別為10 元、 15 元和 20 元，1.用x表示不本，那么不同的購書方案有QOC為ABE的中位線，BE 2OC 6.Q AE是e O的直徑，B 90,故0 x 10, x有11種可能的取值(分別為0,1,2丄，9,10),對(duì)于每一個(gè)x值，y和z都 有唯一的值(自然數(shù))相對(duì)應(yīng).即不同的購書方案共有 11 種，故選 C.3(A).如果一個(gè)正整數(shù)可以表示為兩

9、個(gè)連續(xù)奇數(shù)的立方差，則稱這個(gè)正整數(shù)為“和諧數(shù)”.如：2 13( 1)3,26 3313,2和26均為“和諧數(shù)”.那么， 不超過2016的正整數(shù)中，所有的“和諧數(shù)”之和為()A. 6858 B. 6860 C. 9260 D. 9262【答案】B.3322【解析】(2k 1) (2 k 1)(2k 1) (2 k 1) (2 k 1) (2 k 1)(2k 1) (2k 1)2 22(12k1)(其中k為非負(fù)整數(shù))，由2(12k1) 2016得，k 9k 0,1,2丄,8,9，即得所有不超過 2016 的“和諧數(shù)”，它們的和為3(B).已知二次函數(shù)yax2bx1(a0)的圖象的頂點(diǎn)在第二象限，且

10、過點(diǎn)(1,0).a b為整數(shù)時(shí)，ab( )1 A.0 B. C.3D.244【答案】B.【解析】依題意知a 0,b0,ab 10,故b 0,且b a 1，2aa b a ( a1) 2a1，于是1 a0,1 2a 1 1又a b為整數(shù)，2a 10,故a11b, ab，故選 B.2413( 1)3(3313) (5333) L(173153) (193173) 1931 6860.故選 B.4.已知e O的半徑OD垂直于弦AB,交AB于點(diǎn)C， 連接AO并延長交e O于點(diǎn)E, 若AB 8,CD 2,則BCE的面積為()QOC為ABE的中位線，BE 2OC 6.Q AE是e O的直徑，B 90,【解

11、析】設(shè)OC x,則OA OD x 2,QODAB于C,AC CB1-AB 4,2在Rt OAC中，OC2AC2OA2,即x242(x 2)2,解得x3，即OC 3A. 12 B.15C.16 D.18(第 4 題答案圖)SBCE2CB2BE - 4212.故選 A.5.如圖，在四邊形ABCD中,BAC BDC 900,AB AC . 5,CD 1,對(duì)角線的交點(diǎn)為M，則DM(D.-2D（第5題答案圖）【答案】D.AHBD于占J八、 、H,則AMHCMD ,AHCDAMCMQCD1,AHAMCMAM x,則CM 5x,AH在Rt ABM中，BM AB2AM2 x25,則AHAB5xx2J,顯然xO

12、，化簡整理得2x25、5x10 0解得x-,（x 2-、5不符合題意，舍去），故2AMBMCM丄,在Rt CDM中,2DM CM2CD2故選 D.26.設(shè)實(shí)數(shù)x, y, z滿足x y z1,則M xy2yz 3xz的最大值為123A. B. C. D.1234【答案】C.【解析】M xy (2 y 3x)z xy (2 y 3x)(1x y)3x24xy2y23x 2y22依題意知n m 0,故CDn m,AD遼乜，于是m n33n m.=.=2解得j.32-33m n21（B）.已知ABC的最大邊BC上的高線AD和中線AM恰好把BAC三等分,22211-23x 2 x1yxyx 3x2222

13、2221212 y x1133yx xx -x222244當(dāng)且僅當(dāng)x1,y0時(shí)，M取等號(hào)，故Mmax3故選 C.24二、填空題（本題滿分28分，每小題7分）（本題共有 4 個(gè)小題，要求直接將答案寫在橫線上.）1.【1（A）、2（B）】已知ABC的頂點(diǎn)A、C在反比例函數(shù)y丄3（x 0）的圖象上，xACB 90,ABC 300,AB x軸，點(diǎn)B在點(diǎn)A的上方，且AB 6,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為.【答案】2【解析】如圖，過點(diǎn)C作CD AB于點(diǎn)D.在Rt ACB中，BCAB cos ABC 3. 3（第 1題答案圖）在Rt BCD中，CDBC sin B9BD BC cosB ,2ADAB BD3,設(shè)C m,U

14、 ,A n二2mn2，故點(diǎn)C的坐標(biāo)為2.3222AD 3,則AM【答案】2.【解析】C D AfB(第 1 題答案圖 1 )(第 1 題答案圖 2)【答案】167334.依題意得BADDAMMAC,ADBADC 900,故ABCACB.(1)若ABCACB時(shí)，如答案圖 1 所示，ADM也ADB,BDDM1CM2ADDM11又AM平分DAC,，在Rt DAC中,即cosDACACCM22DAC 600,從而BAC900, ACD 300.在Rt ADC中，CDADtanDAC ,3 tan 60o3,DM1.在Rt ADM中，AMAD2DM22.(2)若ABCACB時(shí),如答案圖2 所示.同理可得

15、AM2.綜上所述，AM2.ABCD中，BC/AD,CA平分BCD,0為對(duì)角線的交點(diǎn)，2(A).在四邊形CD AO, BC0D,則ABC【解析】設(shè)OCD,ADO,QCA平分BCD,OCDOCB5cQ BC/AD,ADOOBC,DAOOCB,(第 2 題答案圖)OCDDAO,ADCD,QCDAO,ADAO,ADOAODBOCOBC5OC BC,Q BC OD,OCOD,ODCOCDQ BOCODCOCD,BOCOBCOCB180o2 ,2180o,解得36o,72o,DBCBCD72o5BD CDAD,ABD._ _ o18054254 ,故ABCABDDBC126o.【答案】1260.3.【3(

16、A)、4(B)】有位學(xué)生忘記寫兩個(gè)三位數(shù)間的乘號(hào)，得到一個(gè)六位數(shù)，這個(gè)六位數(shù)恰 好為原來兩個(gè)三位數(shù)的乘積的3 倍，這個(gè)六位數(shù)是【解析】設(shè)兩個(gè)三位數(shù)分別為x, y，則1000X y 3xy，y 3xy 1000 x(3y 1000)x,故y是x的正整數(shù)倍，不妨設(shè)y tx(t為正整數(shù))，代入得1000 t 3tx,x1000QX是三位數(shù)，x1000上100，解得3t3t1000t,Qt為正整數(shù)，t的可能取值為1,2,3.驗(yàn)證可知，只有t 2符合，此時(shí)299x 167, y 334.故所求的六位數(shù)為167334.3(B).若質(zhì)數(shù)p、q滿足：3q p4 0, pq 111,則pq的最大值為.【答案】1

17、007.【解析】由3q p 40得，p3q 4,pq2q(3q 4) 3q 4q 3 q22343,因q為質(zhì)數(shù)，故pq的值隨著質(zhì)數(shù)q的增大而增大, 當(dāng)且僅當(dāng)q取得最大值時(shí)，pq取得最大值.又p q 111，3q 4 q111,q283，因q為質(zhì)數(shù)，故q的可能取值為423,19,17,13,11,7,5,3,2，但q23時(shí)，p3q4655 13不是質(zhì)數(shù)，舍去當(dāng)q 19時(shí)，p 3q 4 53恰為質(zhì)數(shù).故qmax19,( pq)max53 19 1007.4(A).將 5 個(gè) 1、5 個(gè) 2、5 個(gè) 3、5 個(gè) 4、5 個(gè) 5 共 25 個(gè)數(shù)填入一個(gè) 5 行 5 列的表格內(nèi)(每 格填入一個(gè)數(shù))，使得

18、同一列中任何兩數(shù)之差的絕對(duì)值不超過2.考慮每列中各數(shù)之和，設(shè)這5 個(gè)和的最小值為M,則M的最大值為.【答案】10.【解析】(依據(jù) 5 個(gè) 1 分布的列數(shù)的不同情形進(jìn)行討論，確定M的最大值.(1) 若 5 個(gè) 1 分布在同一列，則M 5；(2) 若 5 個(gè) 1 分布在兩列中，則由題意知這兩列中出現(xiàn)的最大數(shù)至多為3,故2M 5 1 5 3 20,故M 10;(3) 若 5 個(gè) 1 分布在三列中，則由題意知這三列中出現(xiàn)的最大數(shù)至多為3，故3M 5 1 5 2 5 3 30,故M 10;若 5 個(gè) 1 分布在至少四列中，則其中某一列至少有一個(gè)數(shù)大于3，這與已知矛盾第二試(3 月 20 日上午 9:50

19、 11:20)一、(本題滿分 20 分)已知a,b為正整數(shù)，求M 3a2ab22b 4能取到的最小正整數(shù)值【解析】解：因a,b為正整數(shù)，要使得M3a2ab22b 4的值為正整數(shù)，則有a 2.當(dāng)a 2時(shí)，b只能為 1,此時(shí)M 4.故M能取到的最小正整數(shù)值不超過4.當(dāng)a 3時(shí)，b只能為 1 或 2.若b 1,M 18;若b 2，則M 7.當(dāng)a 4時(shí)，b只能為 1 或 2 或 3.若b 1,M 38;若b 2, M 24;若b 3,則M 2.(下面考慮：M 3a2ab22b 4的值能否為 1？)(反證法)假設(shè)M 1，則3a2ab22b 4 1，即3a2ab22b 5，a(3a b2) 2b 5因b為

20、正整數(shù)，故2b 5為奇數(shù)，從而a為奇數(shù)，b為偶數(shù)，不妨設(shè)a 2m 1,b 2n，其中m,n均為正整數(shù)，則a(3a b2) (2m 1) 3(2m 1) (2n)24(3m23m 2mn2n2) 3即a(3a b2)被4除所得余數(shù)為 3,而2b 52(2 n) 54(n 1) 1被 4 除所得余數(shù)為 1,故式不可能成立，故M 1.因此，M能取到的最小正整數(shù)值為2.二、(本題滿分 25 分)(A).如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的eO上,CD AB于點(diǎn)D,點(diǎn)E在BD上,AE AC,四邊形DEFM是正方形，AM的延長線與e O交于點(diǎn)N.證明：FN DE.【證明】：連接BC、BN.Q AB為eO的直徑，CD

21、 AB于點(diǎn)DACB ANB ADC 90Q CAB DAC, ACB ADC, ACB s ADC,ACABAC,AC2AD ABAD由四邊形DEFM是正方形及CD AB于點(diǎn)D可知：點(diǎn)M在CD上，DEDMEF MFQ NABDAM ,ANBADM ,ANBsADMANABAD ABAM AN,2AC2AM ANADAM Q AEAC, AE2AMAN以點(diǎn)F為圓心、FE為半徑作e F,與直線AM交于另一點(diǎn)P,則e F與AB切于點(diǎn)E,即AE是e F的切線，直線AMP是e F的割線，故由切割線定理得AE2AM APAN AP,即點(diǎn)N與點(diǎn)P重合，點(diǎn)N在e F上，F(xiàn)N FE DE.(注：上述最后一段得證

22、明用了“同一法”)(B).已知：a b c 5,a2b2c215, a3b3c347.求(a2ab b2)(b2be c2)(c2ca a2)的值.【解析】由已知得ab bc ca 1 (a bc)2(a2b2c2) 5由恒等式a3b3c33abc (a b c)(a2b2c2ab bc ca)得，47 3abc 5 (15 5),abc 1又a2ab b2(a b c)(a b) (abbc ca)5(5c) 55(4c)同理可得b2bc c25(4 a),c2caa25(4b)原式=53(4 a)(4 b)(4 c) 125 64 16(a b c) 4(ab bc ca) abc125

23、64 16 5 4 5 ( 1) 625.【注：恒等式(t a)(t b)(t c) t3(a b c)t2(ab bc ca)t abc】三、(本題滿分 25 分)(A).已知正實(shí)數(shù)x, y, z滿足：xy yz zx 1,且【解析】(i)解：由等式(x2 1)(y2 1) (y2 1)(z2 1) (z2 1)(x2 1)4,xyyzzx222222去分母得z(x1)(y1) x( y 1)(z1) y(z 1)(x 1) 4xyz,2 2xyz2 2xy z2 2x yzx(y2z2)y(z22 2x ) z(xy2) 3xyz(x y z) xyz 0,xyz(xyyzzx) (xyz)(xyyzzx) (x yz)xyz0,xyz(x yz)( xyyzzx1) 0，Q xy yzzx1,xy yzzx1 0，