概率論期末模擬題

1、模擬試題(一)參考答案.單項(xiàng)選擇題(每小題 2分，共16分)1P(AB)(B)(D)1、設(shè)A, B為兩個(gè)隨機(jī)事件，若(A) A與B互不相容(C) P(A) 0或 P(B) 00,則下列命題中正確的是(A與B獨(dú)立AB未必是不可能事件解 若AB為零概率事件，其未必為不可能事件.本題應(yīng)選D.2、設(shè)每次試驗(yàn)失敗的概率為(A) 3(1 p) (B)(1解所求事件的對(duì)立事件為 選C.p,則在3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中至少成功一次的概率為(p)3 (C)1 p3 (D) c3(i p)p23次都不成功”，其概率為p3,故所求概率為13p .右直接從正面去求較為麻煩.本題應(yīng)3、若函數(shù)y f (x) 是(A)(C)f

2、(x)非負(fù)f (x)單調(diào)非降隨機(jī)變量的概率密度，則下面說法中一定成立的是(B) f(x)的值域?yàn)?,1(D) f(x)在()內(nèi)連續(xù)由連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度的定義可知,f (x)是定義在()上的非負(fù)函數(shù)，且滿足f(x)dx 1,所以A定成立.而其它選項(xiàng)不一定成立.例如服從,1上的均勻分布的隨機(jī)變量的概率密度3 2f(x) 6,12,0,其他,11在x -與x 處不連續(xù)，且在這兩點(diǎn)的函數(shù)值大于 321.因而本題應(yīng)選A.14、若隨機(jī)變量X的概率密度為 f(x) =e2.(x 3)2-4)，則Y) N(0,1)(A) X 3、2(B)X-(C)X32、2(D)解 X的數(shù)學(xué)期望EX3,方差DX 四,5、

3、若隨機(jī)變量 X,Y不相關(guān)，則下列等式中不成立的是(X 3r= ,則其服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.故本題應(yīng)選 A.)(A) COV(X,Y) 0(C) DXY解因?yàn)閏ov(X,Y)D(X Y)DX DY0,故DX . DYDX但無論如何，都不成立0,(B)(D)D(XEXYY)EXDX DYEYDY 2cov(X,Y)DXDXY DX DY.故本題應(yīng)選C.6、設(shè)樣本X1,X2,Xn取自標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布總體 X ,又X,S分別為樣本均值及樣本標(biāo)準(zhǔn)差，則(A)X N(0,1)(B) nXN(0,1)(C)nXi2 i 12(n)心、X 八(D) t( n 1)St(nS1),只有C選項(xiàng)成立.本題應(yīng)選C.1、X N

4、(0, -) , nX N(0,n), n7、樣本 X1,X2,Xn (n 3)取自總體X ,則下列估計(jì)量中,)不是總體期望 的無偏估計(jì)量(A)(C)nXii 10.1(6Xi 4Xn)(B)由無偏估計(jì)量的定義計(jì)算可知,(D)nXi X2 X3Xi不是無偏估計(jì)量，本題應(yīng)選A.7i 18、在假設(shè)檢驗(yàn)中，記 Ho為待檢假設(shè)，則犯第一類錯(cuò)誤指的是(A)(C) 解Ho成立，經(jīng)檢驗(yàn)接受 HoHo不成立，經(jīng)中驗(yàn)接受 Ho 棄真錯(cuò)誤為第一類錯(cuò)誤，本題應(yīng)選(B)(D)Ho成立，經(jīng)檢驗(yàn)拒絕 HoHo不成立，經(jīng)卞驗(yàn)拒絕 HoB.二.填空題(每空2分，共14分)同時(shí)擲三個(gè)均勻的硬幣，出現(xiàn)三個(gè)正面的概率是，恰好出現(xiàn)一

5、個(gè)正面的概率是1. 38, 82、設(shè)隨機(jī)變量 X服從一區(qū)間上的均勻分布，且1,， 、，EX 3, DX ,則X的概率密度為3設(shè)X a,b,則 EXV 3,DX(b a)212所以X的概率密度為f (x)2x4,其他.3、設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布,Y服從參數(shù)為4的指數(shù)分布，則 E(2X23Y)4、一一 2E(2X設(shè)隨機(jī)變量-23Y) 2EX_23EY 2 DX (EX ) 3EYX和Y的數(shù)學(xué)期望分別為一2和2,方差分別為7.4和4,而相關(guān)系數(shù)為一0.5 ,則根據(jù)切比雪夫不等式，有P|X Y| 6 解 根據(jù)切比雪夫不等式,P|X Y| 6D(X Y) DX DY 2cov(X,Y)5、6、

6、6236121假設(shè)隨機(jī)變量 X服從分布t(n),則服從分布X2(并寫出其參數(shù))Y 99設(shè) X 萬 t(n),其中 Y N(0,1) , Z ”)，且丫 212(1),從而-7X/ F(n,1).設(shè)Xi,X2, ,Xn (n 1)為來自總體X的一個(gè)樣本，對(duì)總體方差DX進(jìn)行估計(jì)時(shí)，常用的無偏估計(jì)量是P(B) P(A)P(B|A) P(A)P(B|A) 0.1 0.9 0.9 0.2 0.27.P(A|B)P(AB)P(B)P(A)P(B| A) 1P?B)34 .(本題8分)兩臺(tái)車床加工同樣的零件，第一臺(tái)出現(xiàn)廢品的概率為0.03 ,第二臺(tái)出現(xiàn)廢品的概率為0.02.加工出來的零件放在一起.又知第一臺(tái)

7、加工的零件數(shù)是第二臺(tái)加工的零件數(shù)的2倍.求：(1)任取一個(gè)零件是合格品的概率，(2)若任取一個(gè)零件是廢品，它為第二臺(tái)車床加工的概率 解 設(shè)A, A2分別表示第一臺(tái)，第二臺(tái)車床加工的零件的事件.B表示產(chǎn)品是合格品的事件10.98 0.973.3(1)由全概率公式可得P(B)P(A1)P(B|A1) P(A2)P(B|A2) - 0.973(2) P(A2 |B)P(2B)P(B)P(A2)P(B|A2)P(B)1一 0.0230.247.1 0.9735 .(本題14分)袋中有4個(gè)球分別標(biāo)有數(shù)字 上標(biāo)有的數(shù)字，求：1,2,2, 3,從袋中任取一球后，不放回再取一球，分別以X,Y記第一次，第二次取

8、得球X,Y的邊緣分布;(X,Y)的聯(lián)合分布;(2)3)P(Y1)P(Y2)12 P(Y3)141.4(3)因?yàn)镻(X1,Y1)1 016P(X1)P(Y1),故X,Y不獨(dú)立.E(XY)261122261126 .(本題12分)設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)Ax2e |x1)，試求：(1) A 的值；(2) P( 12)；2 .X的密度函數(shù)解(1)因 f (x)dx 2Axdx 4A 1,從而 A1一;4(2) P 1 X 221f (x)dx1 0x2exdx4 12x2e xdx0(3)當(dāng) y 0時(shí)，F(xiàn)y(y)Fy(y) P(Y y)Fx(,y)所以，兩邊關(guān)于y求導(dǎo)可得，5 2-e20;當(dāng)

9、P(X25-e 4y 0時(shí),y)p(fY(y)14y故Y的密度函數(shù)為0,fY(y)4'Fx( Jy),12-y七.(本題6分)某商店負(fù)責(zé)供應(yīng)某地區(qū)14y11yy e2, y 40,0.1000人商品，某種產(chǎn)品在一段時(shí)間內(nèi)每人需用一件的概率為0.6.假定在這段時(shí)間，各人購(gòu)買與否彼此無關(guān)，問商店應(yīng)預(yù)備多少件這種商品，才能以99.7%的概率保證不會(huì)脫銷？(假定該商品在某一段時(shí)間內(nèi)每人最多買一件).解設(shè)Xi0,第i人不購(gòu)買該種商品，1,第i人購(gòu)買該種商品(i 1,2, ,1000 ) , X表示購(gòu)買該種商品的人數(shù)，則X B(1000,0.6).又設(shè)商品預(yù)備n件該種商品,P(X n) P(依題意

10、,EX由中心極限定理可得查正態(tài)分布表得(n 600)240n 600.240n EX) p(X 600 n 600),DX 240， 2400.997.2.75,解得 n 642.6 643件.八.(本題10分)一個(gè)罐內(nèi)裝有黑球和白球，黑球數(shù)與白球數(shù)之比為(1)從罐內(nèi)任取一球，取得黑球的個(gè)數(shù)X為總體，即X1,0,黑球，,_ 求總體X的分布;白球，(2)從罐內(nèi)有放回的抽取一個(gè)容量為n的樣本X1,X2,Xn,其中有m個(gè)白球，求比數(shù) R的最大似然估計(jì)值.即P(Xx)(2) L(R)P(Xi1xi)兩邊取對(duì)數(shù)，ln L(R)R xi兩邊再關(guān)于R求導(dǎo)，并令其為一(x 0,1);Rx(1 R)nnln(1

11、 R),0,得xin1 R從而RXi,又由樣本值知,xi nnxi九.（本題14分）m,故估計(jì)值為|? - 1m對(duì)兩批同類電子元件的電阻進(jìn)行測(cè)試，各抽6件,測(cè)得結(jié)果如下（單位A 批:0.140 , 0.138 , 0.143 , 0.141 ,B 批:0.135 , 0.140 , 0.142 , 0.136 ,0.144 ,0.138 ,0.137 ;0.141.已知元件電阻服從正態(tài)分布，設(shè)0.05,問:(2)兩批電子元件的電阻的方差是否相等兩批電子元件的平均電阻是否有顯著差異t t0.025 (10)2.2281F 0.025 H。:2,H 1:(5,5)2 17.15)22 .檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

12、為S2S2 F (5, 5)（在H 0成立時(shí)），由 0.05,查得臨界值F /2Fo.025(5,5)7.15 ,Fi/217.15由樣本值算得F 0.00000750.00000780.962,由于Fi/2F /2 ,故不能拒絕H10,即認(rèn)為兩批電子元件的電阻的方差相等.(2) H0: i統(tǒng)計(jì)量查表得臨界值t /2Si2s；6 t0.025(10) 2.228.再由樣本值算得t(10)（在H 0成立時(shí)），0.1405 0.139°j=1.148,0.0000075 0.0000078因?yàn)閨T | t ，故接收Ho .即認(rèn)為兩批電子元件的平均電阻無顯著差異9模擬試題（二）參考答案.單

13、項(xiàng)選擇題（每小題 2分，共16分）111.設(shè)A, B,C表示3個(gè)事件，則ABC表示（）（A） A, B,C中有一個(gè)發(fā)生（C） A, B,C都不發(fā)生（D）(B)A, B,C中不多于一個(gè)發(fā)生A, B, C中恰有兩個(gè)發(fā)生解本題應(yīng)選C.2.已知P(A)P(B)小 7(A) 一18(B)13，p(a|b)1118(C)1 1,則 P(AB)=(61(D)解 P(AB)P(A)P(B| A)P(A B)P(A B) 1P(A7B) 1 P(A) P(B) P(AB)18故本題應(yīng)選A.3.設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X與Y分別服從正態(tài)分布N(0,1)和 N(1,1)，則()(A)PX Y 0(C)PX Y 0(

14、B)(D)X Y N(1,2), XY N(PX Y 1PX Y 11,2）,故本題應(yīng)選B.4.設(shè)X與Y為兩隨機(jī)變量，且DX4,DY 1, XY 0.6,則 D(3X 2Y)(A) 40(B) 34解 COV(X,Y) XY DX D(3X 2Y) 9DX 4DY 故本題應(yīng)選C.(C) 25.6(D) 17.6V'DY 1.2, 12cov(X,Y)25.6.5.若隨機(jī)變量X服從參數(shù)為 的泊松分布，則2 X的數(shù)學(xué)期望是（(A)(B)-(C)_2(D)解 EX2DX (EX)22 ,本題應(yīng)選D.6.設(shè) X1,X2,Xn是來自于正態(tài)總體N（ , 2）的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本， X為樣本方差，記S12

15、1 n- 2ni1(Xi X)S2n2(Xi X)1S31 n一(Xi )S2n(Xi )21則服從自由度為n 1的t分布的隨機(jī)變量是X(A) t S1 / n 1(C) t X ,(B) t S2 / n 1、 X(D) t S4/ . n 12、1n- 2解 X N(,)， (Xi X)2t(n 1),再由t分布的定義知，本題應(yīng)選 B. ni i7.設(shè)總體X均值與方差 總體方差2的矩估計(jì)量是(A) X1n2(C) 一 (Xi X)2 n 1 i i解本題應(yīng)選D.2 .都存在，且均為未知參數(shù)，而12(B) (Xi )n i 11 n2(D)(Xi X)2n i 1X1,X2,Xn是該總體的一

16、個(gè)樣本,X為樣本方差，則158.在假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，若增大樣本容量，則犯兩類錯(cuò)誤的概率()(A)都增大(B)都減小(C)都不變(D) 一個(gè)增大一個(gè)減小解本題應(yīng)選B.二.填空題(每空2分，共14分)1 .設(shè)10件產(chǎn)品中有4件不合格品，從中任取 2件，已知所取2件中有1件是不合格品，則另外 1件也是不合格品的概率 為.解 設(shè)A表示兩件中有一件不合格品,B表示兩件都是不合格品.則所求的極限為P(B | A)P(AB)P(A)P(B) 1P(A) 52 .設(shè)隨機(jī)變量X服從B(1,0.8)分布，則X的分布函數(shù)為 0,x 0,解 X服從0-1分布，其分布函數(shù)為 f(x)0,2, 0x1,1x 1.3若隨機(jī)變量

17、X服從均值為2,方差為 2的正態(tài)分布，且 P0 X 40.6,則PX 0=.解 2 ,即其密度函數(shù)關(guān)于 x 2對(duì)稱.由對(duì)稱性知PX 00 0.2.24 .設(shè)總體X服從參數(shù)為p的01分布，其中p(0 p 1)未知.現(xiàn)得一樣本容量為 8的樣本值：0, 1, 0, 1, 1,0, 1, 1,則樣本均值是 ,樣本方差是 .解由定義計(jì)算知X 5; S2.856105 .設(shè)總體X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，現(xiàn)從 X中隨機(jī)抽取10個(gè)樣本，根據(jù)測(cè)得的結(jié)果計(jì)算知xi 27,那么 的矩i 1估計(jì)彳1為.110X 276.設(shè)總體X N( , 2),且2未知，用樣本檢驗(yàn)假設(shè) H。：0時(shí)，采用的統(tǒng)計(jì)量是 t(n1) ( H0

18、為真時(shí)).三.(本題8分)設(shè)有三只外形完全相同的盒子，I號(hào)盒中裝有14個(gè)黑球，6個(gè)白球；n號(hào)盒中裝有 5個(gè)黑球，25個(gè)白球；出號(hào)盒中裝有8個(gè)黑球，42個(gè)白球.現(xiàn)在從三個(gè)盒子中任取一盒，再?gòu)闹腥稳∫磺?，?1)取到的球是黑球的概率;(2)若取到的是黑球，它是取自I號(hào)盒中的概率解 設(shè)A, A2,A3分別表示從第I , n,出號(hào)盒中取球，(1)由全概公式可得_ _3 _ _1 14 1 518P(B)P(AJP(B|A)i 13 20 3 30 3 50(2)由貝葉斯公式得P(AJB) P(A1)P(B1A) 0.682.P(B)四.(本題6分)設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為B表示取到黑球0.342;f(

19、x)1 Xcos,220,對(duì)X獨(dú)立地重復(fù)觀察 4次，用Y表示觀察值大于 一地次數(shù)，求Y2的數(shù)學(xué)期望31 x斛 P(X ) cos-dx3 i 22_2_2EY DY (EY) 5.五.(本題12分)(2)計(jì)算P(X Y)的值；在Y 2的條件下X的條件分布律.解(1) 因?yàn)?.2 0.5 0.4P(X 1)P(Y 0),P(X 1,Y 0) 0.1所以X ,Y不獨(dú)立；(2)P(XY) P(X1,Y1) P(X2,Y2)0.05 0.1 0.15;P(X1|Y 2)P(X1,Y 2)0357,P(Y 2)0.45972P(X 2|Y 2) 1.99六.(本題12分)設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密

20、度為f(x,y)212y , 0 y x 1,求:(1) X的邊緣密度函數(shù)fX(x);(2) E(XY); P(X Y 1).解(1)4x3 0x1,0, 其他.x 2 ,12y dy, 0 x 1fx(x) f (x, y)dy 0,0, 其他1 x 31(2) E(XY) dx 12xy3dy;002c1x27(3) P(X Y 1)1dx12y2dy -.21 x87 .(本題6分)部件包括10部分,每部分的長(zhǎng)度是一個(gè)隨機(jī)變量，它們相互獨(dú)立，且服從同一均勻分布，其數(shù)學(xué)期望為2mm均方差為0.05 ,規(guī)定總長(zhǎng)度為(20 0.1) mm寸產(chǎn)品合格，試求產(chǎn)品合格的概率10解 設(shè)Xi表示第i部分

21、的長(zhǎng)度，i 1,2, ,10, X表示部件的長(zhǎng)度.由題意知EXi 2,DXi 0.0025,且XEX 20, DX0.025.由獨(dú)立同分布的中心極限定理知，產(chǎn)品為合格品的概率為X 200 1P(|X 20| 0.1)P(|).0.025.0.0250.1 2 () 1 0.4714.0.0258 .(本題7分)設(shè)總體X具有概率密度為f(x)kk 1x e(k 1)!Qx 0,其他,其中k為已知正整數(shù), 解設(shè)X1,X2,求的極大似然估計(jì).,Xn是來自總體X的樣本，當(dāng)Xi,X2,40時(shí)，似然函數(shù)nk nL()f(xi)nxi i 1(k 1)!n兩邊取對(duì)數(shù),ln L(nklnnln( k1)!nl

22、ni 1k xi關(guān)于求導(dǎo)，并令其為0,. 、 nk ln L()0,從而解得的極大似然估計(jì)為nknXii 1九.(本題14分)從某鋅礦的東、西兩支礦脈中，各抽取樣本容量分別為東支：xi 0.230, s：0.1337,(n1 9)9與8的樣本進(jìn)行測(cè)試，得樣本含鋅平均數(shù)及樣本方差如下(0.05)西支：x2 0.269, s220.1736,（奧 8）若東、西兩支礦脈的含鋅量都服從正態(tài)分布，問東、西兩支礦脈含鋅量的平均值是否可以看作一樣?（Fo.025（8,7） 4.53, Fo.025（7,8） 4.90, 1。.（同2.1315 ）解 本題是在未知方差，又沒有說明方差是否相等的情況下，要求檢驗(yàn)

23、兩總體均值是否相等的問題，故首先必須檢驗(yàn) 方差是否相等，在相等的條件下，檢驗(yàn)總體均值是否相等2第一步假設(shè)0：121),工F(n11,n2S2經(jīng)檢驗(yàn)，接受H0： 12第二步假設(shè)統(tǒng)計(jì)量T221 (n11)S1(n2 1)S2)t(nin22)經(jīng)檢驗(yàn)，接受十.（本題n2n1n220,即可認(rèn)為東、西兩支礦脈含鋅量的平均值相等.（請(qǐng)參見模擬試題（一）第九大題）5分)17設(shè)總體X的密度函數(shù)為其中為未知參數(shù)，Xi X21,2 ,證明4 一 4 . %X) 3EX3 f(x)0,Xn為來自總體X的樣本，證明：其它，4 一,X是的無偏估計(jì)量.34 -EX343xf (x)dx - 0 3x dx ,的無偏估計(jì)量

24、.模擬試題(三)參考答案.填空題(每小題2分，共14分)1 . 一射手對(duì)同一目標(biāo)獨(dú)立地進(jìn)行四次射擊，若至少命中一次的概率為80,則該射手的命中率為81解 設(shè)A表示一次射擊中擊中目標(biāo)，依題意，四次都沒擊中的概率為4801,一 人，一，人，一，P(A)4 1 一，解得P(A),從而射手的命中率為 P(A)8132 .若事件 A, B 獨(dú)立，且 P(A) p, P(B) q 則 P(A B)解 P(A B) P(A) P(B) P(A)P(B) 1 p pq.3 .設(shè)離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為0)的泊松分布，已知 P(X 1) P(X 2),則2解 P(X 1) e e2P(X 2),從而解得2.4

25、 .設(shè)相互獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量XY具有同一分布律，且 X1的分布律為：則隨機(jī)變量Z max X ,Y的分布律為 解 Z的可能取值為0, 1.P(Z 0) P(X0,Y 0) P(X 0)P(Y 0)191P(Z 1) 1 45 .設(shè)隨機(jī)變量X ,Y的方差分別為DX25, DY36,相關(guān)系數(shù)XY0.4,則 Cov(X,Y) =解 cov(X,Y)XYVDX VDY 12.6 .設(shè)總體X的期望值和方差 2都存在,總體方差2 ,k的無偏估計(jì)量是一 nn- 2皿(Xi X),則 ki 1解 knn 17.設(shè)總體X N (,n2(Xi X)2解 L20.單項(xiàng)選擇題(每小題2),未知,檢驗(yàn)2(n 1) (0

26、為真時(shí))2分，共16分)1. 6本中文書和4本外文書任意往書架上擺放，則2 ,應(yīng)選用的統(tǒng)計(jì)量是4本外文書放在一起的概率為(B) 1704!7! (C) 10!4!6!(A)10!解本題應(yīng)選C.2.若事件A,B相互獨(dú)立，則下列正確的是(A) P(B|A) P(A|B)(B) P(B|A)P(A)(C) P(A|B) P(B)(D) P(A| B) 1 P(A)27解 由獨(dú)立性的定義知，P(A| B) P(A) 1 P(A),故本題應(yīng)選 D.3.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n, p的二項(xiàng)分布，且 EX 1.6, DX 1.28,則n , p的值為()(A) n=8, p = 0.2(C) n=5, p

27、= 0.32(B) n =4 , p = 0.4(D) n=6, p = 0.3解由 np 1.6 , np(1 p)1.28,解得n=8, p = 0.2,本題應(yīng)選A.4.設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,1),其概率密度函數(shù)為 f (x),分布函數(shù)為F(x),則有(A) P(X0)P(X0)0.5(B) P(X2)P(X2)0.5(C) f (x) = f ( x) , x (,)(D) F( x) 1 F(x), x (,)解 EX 2,故其密度函數(shù)關(guān)于 x 2對(duì)稱，故本題應(yīng)選 B.5.如果隨機(jī)變量 X與Y滿足：D(X Y) D(X Y),則下列式子正確的是()(A) X與Y相互獨(dú)立(B)

28、 X與Y不相關(guān)(C) DY 0(D) DX DY 0解 由D(X Y) D(X Y),可得cov(X,Y) 0 ,從而可知 X與Y不相關(guān)，故本題應(yīng)選 B.n26.設(shè)X1,X2, Xn是來自總體X - N(2)的樣本，X為樣本均值，令 Y(Xi X)口2，則Y(A)2(n 1)(B)2(n)2、(C) N( ,)(D)N(解本題應(yīng)選A.7.設(shè) X1,X2,Xn是取自總體_2N(0,)的樣本，可以作為2 .一 、一的無偏估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)量是(1 n 2(A) Xi2n i 1X2(C)1nxi n i 1(D)nXi1解由無偏估計(jì)的定義及期望的性質(zhì)知,1 nE(_n i 1故本題應(yīng)選，2122Xi )

29、 EXi EXn i 1DX_ 2 (EX)DX故A選擇正確，同理驗(yàn)算其他選項(xiàng)，B, C, D均不正確.8.樣本(A)(C)A.X1,X2, ,Xn來自正態(tài)總體2),若進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，當(dāng)(, 一、，X)時(shí)，一般米用統(tǒng)計(jì)量tS/. n未知，檢驗(yàn) 2= 022未知，檢驗(yàn) =(B)(D)已知，檢驗(yàn)2已知，檢驗(yàn)解本題應(yīng)選C.(本題8分)有兩臺(tái)車床生產(chǎn)同一型號(hào)螺桿，甲車床的產(chǎn)量是乙車床的1.5倍，甲車床的廢品率為 2%,乙車床的廢品率為1%,現(xiàn)隨機(jī)抽取一根螺桿檢查，發(fā)現(xiàn)是廢品，問該廢品是由甲車床生產(chǎn)的概率是多少?解 設(shè)A1, A2分別表示螺桿由甲，乙車床生產(chǎn)的事件.B表示螺桿是廢品的事件.由貝葉斯公式可得

30、P(A |B)P(A)P(B|A1)P(A1)P(B| A1) P(A2)P(B|A2)50.02320.02 0.01554 .(本題8分)0.75.假設(shè)一部機(jī)器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.2 ,機(jī)器發(fā)生故障時(shí)全天停止工作.若一周五個(gè)工作日里無故障，可獲利潤(rùn)10萬元，發(fā)生一次故障獲利潤(rùn) 5萬元，發(fā)生兩次故障獲利潤(rùn) 利潤(rùn)是多少？0萬元，發(fā)生三次或三次以上故障就要虧損2萬元，問一周內(nèi)期望解 設(shè)X表示一周中所獲的利潤(rùn)，其分布律為1 5 0.2 0.840.855 0.2 0.84100.85從而由期望的定義計(jì)算可得EX 5.216.5 .(本題12分)1.設(shè)隨機(jī)向量X , Y的聯(lián)合分布為：1611

31、2616161216(2)X123Y123P111P111424424Y的邊際分布;X與Y不相互獨(dú)立.2.設(shè)隨機(jī)變量(X ,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為判斷X , Y是否獨(dú)立.Y的邊際分布為：(1) X的邊際分布為:(2)ef (x, y)=0,0 x其他,V，求概率P(X Y 1).解 P(X Y 1)12 dx0xe ydy12e 一2六.(本題8分)設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X的分布函數(shù)為：F(x)Bex2萬,0,求：(1)(2) 解系數(shù)A及B ;隨機(jī)變量X的概率密度；P( ,ln4 X In 9).(1)由分布函數(shù)的性質(zhì)知x2F( ) lim (A Be 2 ) A 1 ,0,0,lim F (x)x

32、 0(2)x2lim (A Be 2 ) A Bx 0分布函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即為其概率密度，即0 F(0),從而 B1；x20,Tf (x) = xe ，0,其中七.P(Jn4 X（本題8分）.In 9)F( . ln9)Xi,X2, ,Xn為總體X的一個(gè)樣本,一 1F(ln4) 6X的概率密度為：x f (x)=0,0 x其他,1,0,求未知參數(shù)的矩估計(jì)量與極大似然估計(jì)量 .1一令EX x x、dx ；一 X ,從而解得 的矩估計(jì)量為01（1極大似然估計(jì)為：n1nxi廿.（具體做法類似與模擬試卷二第八題）ln Xi i 1八.（本題1。分）設(shè)某次考試的考生成績(jī)服從正態(tài)分布，從中隨機(jī)地抽取 在顯著水平

33、0.05下，是否可認(rèn)為全體考生的平均成績(jī)?yōu)榻饧僭O(shè) 0:70,選取統(tǒng)計(jì)量36位考生的成績(jī)，算得平均成績(jī)?yōu)?6.5分，標(biāo)準(zhǔn)差為15分，問70分?X ,，八，一T Lt（n 1） ,（0 為真時(shí)s/ . n在0.05下，查t分布的雙側(cè)臨界值表知 t0.025另一方面，計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的值2.0301|T|66.5 7015/ . 361.4 2.0301,從而接受原假設(shè)，即可認(rèn)為全體考生的平均成績(jī)?yōu)?0分.九.（本題1 2分）兩家銀行分別對(duì) 21個(gè)儲(chǔ)戶和16個(gè)儲(chǔ)戶的年存款余額進(jìn)行抽樣調(diào)查，測(cè)得其平均年存款余額分別為x = 2600元和y = 2700元，樣本標(biāo)準(zhǔn)差相應(yīng)地為 G 81元和S2105元，假設(shè)年

34、存款余額服從正態(tài)分布，試比較兩家銀行的儲(chǔ)戶的平均年存款余額有無顯著差異？（解此題要求檢驗(yàn) 10.10)2,由于t檢驗(yàn)必須在方差相等的條件下進(jìn)行，因此必須先檢驗(yàn)2 .21與2是否相等.第一步假設(shè)0:122F F(n 1,n2 1),S2經(jīng)檢驗(yàn)，接受H0:第二步假設(shè)統(tǒng)計(jì)量T/ ，/、 2,/、 21 (ni 1)si(n2 1)S2)t(n1n22)n2n1n2 2.（請(qǐng)參見模擬試題（一）第九大題）經(jīng)檢驗(yàn)，拒絕 0,即兩家銀行的儲(chǔ)戶的平均年存款余額有顯著差異十.（本題4分）為未知參數(shù),設(shè)總體X服從參數(shù)為的泊松分布,T(X)1,1,X為奇數(shù),X為偶數(shù),2證明：T（X）是e的一個(gè)無偏估計(jì)重.證明 ET

35、(X) T T(x)P(Xx 0x)nn1) en!2所以T （X）是e 的一個(gè)無偏估計(jì)重.模擬試題(三)參考答案29.填空題(每小題2分，共20分)1.設(shè) P(A)=0,4, P(B)=0,5,若 P(AB) 0.7，則 P(A B)解 P(A B) P(A) P(B) P(B)P(A|B) 0,552.若隨機(jī)變量 X服從二項(xiàng)分布，即 X B(5,0.1),則D(1 2X)解 D(1 2X) 4DX 4 5 0.1 0.9 1.8.3,三次獨(dú)立重復(fù)射擊中，若至少有一次擊中的概率為37 ,則每次擊中的概率為644.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度是：f(x)3x2,0,x 1,_'且 P(X a

36、) 0.784,貝U a 其他，解由P(Xa) 0.784知,1.故P(X a)13x2dx 10.784,從而0.6.5.利用正態(tài)分布的結(jié)論，有12 2(x 4x24)e(x 2)22 dx1 c t21 t2e 2dt2DX(EX)2 1,這里 X N(0,1).6.設(shè)總體X的密度函數(shù)為：f(x)0,0x1,其他，(其中為參數(shù)L(X,x2,外；0) ,x1,x2, ,xn是來自總),的樣本觀測(cè)值，則然函數(shù)xi17.設(shè) X , 關(guān)系.Y是二維隨機(jī)向量,DX , DY都不為零,若有常數(shù)a 0與b使P(Y aXb)解完全相關(guān).8.若 X N(2) , X1,X2,Xn是來自總體 X的樣本，X ,

37、 S2分別為樣本均值和方差，則(XS分布.解t(n1).9.設(shè) X N(2、1), Y N(2、2), X與Y相互獨(dú)立.從X , Y中分別抽取容量為n1,1的樣本，樣本均值分別Y服從分布解N( 12_1_2,n12一.n210.設(shè)隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù)為0.9 ,若Z X 0.4 ,則Y與Z的相關(guān)系數(shù)為解 cov(Y,Z) cov(Y,X 0.4) cov(Y,X) 0.9.單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共12分）1.設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望EX與DX2均存在，由切比雪夫不等式估計(jì)概率PX EX4 為（）(A)116(B)16(C)1516(D)15161 i31解本題應(yīng)選C.2. A,B為隨機(jī)隨機(jī)

38、事件，且 BA,則下列式子正確的是（）.(A) P(A B) P(A)(C) P(AB) P(A)解本題應(yīng)選A.(B) P(B A) P(B) P(A)(D) P(BA) P(B)Ax B,0,(A)A1,B0.5(B) A(C)A0.5,B1(D) A解令10(AxB)dx 1,1o (Ax B)xdx3.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f （x）0 x 17甘/山且EX ,則().其他，120.5,B 11,B 0.5,解得A 1, B 0.5 ,故本題應(yīng)選D.124 .若隨機(jī)變量X與Y不相關(guān)，則有().(A) D(X 3Y) D(X) 9D(Y)(B) D(XY) D(X) D(Y)(C) EX

39、 E(X)Y E(Y)0(D) P(Y aX b) 1解本題應(yīng)選C.，則 Fi (n1，n2)( ).5 .已知隨機(jī)變量f F（n1，n2）,且PF 5（由，血）(A)1F (5，山)(B)1Fi (n2,n1)(C)1F (n2,n1)(D)Fi(%,1)6.將一枚硬幣獨(dú)立地?cái)S兩次，記事件：A1次, A正面出現(xiàn)兩次,則事件（）.（A） Ai,A2,A3 相互獨(dú)立（B）（C） Ai,A2,A3 兩兩獨(dú)立（D）1_1_解p（Ai）2 p（A2）2, p（A3）題應(yīng)選C.擲第一次出現(xiàn)正面, A2 擲第二次出現(xiàn)正面, A3 正、反面各出現(xiàn)一A2,A3, A4相互獨(dú)立A2,A3, A4兩兩獨(dú)立11-,

40、P（A4） 7 ,再由事件獨(dú)立的充分必要條件可知A1,A2,A3兩兩獨(dú)立，本三.計(jì)算題（每小題8分，共48分）1.某廠由甲，乙，丙三個(gè)車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，它們的產(chǎn)量之比為3:2:1 ,各車間產(chǎn)品的不合格率依次為8% 9% 12%.現(xiàn)從該廠產(chǎn)品中任意抽取一件，求 :（1）取到不合格產(chǎn)品的概率；（2）若取到的是不合格品，求它是由甲廠生產(chǎn)的概率.解（1）運(yùn)用全概率公式，0.09;（2）運(yùn)用貝葉斯公式，0.44.（具體做法參見模擬試卷（一）第四題）2.一實(shí)習(xí)生用一臺(tái)機(jī)器接連獨(dú)立地制造三個(gè)同樣的零件，第i個(gè)零件是不合格品的概率為Pi(i 1,2,3),以 X表示三個(gè)零件中合格品的個(gè)數(shù)，求 ：(1) X的概率分布；(2) X的方差DX .(2)EX2112401231241124EX112 -241233 ,4123.設(shè)總體XN(0,2),解似然函數(shù)L(2)兩邊取對(duì)數(shù)2 lnL( 2)41n2關(guān)于2求導(dǎo),并令其為零，得7,故2DXEX2(EX)20.521.2為未知參數(shù),n2 xii 1Xi,X2, , xn是來自總體X的一組樣本值，求2的最大似然估計(jì).n2/en2 為i 121n2xin 21 i 1為22(