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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上向量與三角形內(nèi)心、外心、重心、垂心知識的交匯一、四心的概念介紹(1)重心中線的交點(diǎn):重心將中線長度分成2:1;(2)垂心高線的交點(diǎn):高線與對應(yīng)邊垂直;(3)內(nèi)心角平分線的交點(diǎn)(內(nèi)切圓的圓心):角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等;(4)外心中垂線的交點(diǎn)(外接圓的圓心):外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等。二、四心與向量的結(jié)合(1)是的重心.證法1:設(shè) 是的重心.證法2:如圖三點(diǎn)共線,且分為2:1是的重心(2)為的垂心.證明:如圖所示O是三角形ABC的垂心,BE垂直AC,AD垂直BC, D、E是垂足.同理,為的垂心(3)設(shè),是三角形的三條邊長,O是ABC的內(nèi)心為的內(nèi)心.證明:
2、分別為方向上的單位向量,平分,),令()化簡得(4)為的外心。典型例題:例1:是平面上一定點(diǎn),是平面上不共線的三個點(diǎn),動點(diǎn)滿足, ,則點(diǎn)的軌跡一定通過的( )A外心 B內(nèi)心 C重心 D垂心分析:如圖所示,分別為邊的中點(diǎn)./點(diǎn)的軌跡一定通過的重心,即選.例2:(03全國理4)是平面上一定點(diǎn),是平面上不共線的三個點(diǎn),動點(diǎn)滿足, ,則點(diǎn)的軌跡一定通過的( B )A外心 B內(nèi)心 C重心 D垂心分析:分別為方向上的單位向量,平分,點(diǎn)的軌跡一定通過的內(nèi)心,即選.例3:是平面上一定點(diǎn),是平面上不共線的三個點(diǎn),動點(diǎn)滿足, ,則點(diǎn)的軌跡一定通過的( )A外心 B內(nèi)心 C重心 D垂心 分析:如圖所示AD垂直BC,
3、BE垂直AC, D、E是垂足.=+=0點(diǎn)的軌跡一定通過的垂心,即選.練習(xí):1已知三個頂點(diǎn)及平面內(nèi)一點(diǎn),滿足,若實(shí)數(shù)滿足:,則的值為( )A2 B C3 D62若的外接圓的圓心為O,半徑為1,則( )A B0 C1 D3點(diǎn)在內(nèi)部且滿足,則面積與凹四邊形面積之比是( )A0 B C D4的外接圓的圓心為O,若,則是的( )A外心 B內(nèi)心 C重心 D垂心 5是平面上一定點(diǎn),是平面上不共線的三個點(diǎn),若,則是的( )A外心 B內(nèi)心 C重心 D垂心6的外接圓的圓心為O,兩條邊上的高的交點(diǎn)為H,則實(shí)數(shù)m = 7(06陜西)已知非零向量與滿足(+)=0且= , 則ABC為( )A三邊均不相等的三角形 B直角三角形C等腰非等邊三角形 D等邊三角形8已知三個頂點(diǎn),若,則為( )A等腰三角形 B等腰直角三
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