2020年上海市黃浦區(qū)中考數(shù)學一模試卷

1、2020 年上海市黃浦區(qū)中考數(shù)學一模試卷(滿分 150 分，考試時間100 分鐘)考生注意：1 本試卷含三個大題，共25 題；2 答題時，考生務必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，在草稿紙、本試卷上答題一律無效；3 除第一、二大題外，其余各題如無特別說明，都必須在答題紙的相應位置上寫出證明或計算的主要步驟一、選擇題(本大題共6 小題，共24 分)1. 已知線段?= 2， ?= 4，如果線段b是線段 a和 c的比例中項，那么線段c的長度是()A. 8B. 6C. 22D. 22. 在 ? ? ?中，? ?=? 90°，如果 ?= ?， ?=? ?，那么AC的長為 ( )A. ? ?B

2、. ? C. ? D. ?3. 已知一個單位向量?，設?、 ? ?是非零向量，那么下列等式中正確的是( )111A. |?| ?= ? B. |? |?= ? C. |?|?= ?D. |?| ?= |?|? ?4. 已知二次函數(shù)?= ?2，如果將它的圖象向左平移1 個單位，再向下平移2個單位，那么所得圖象的表達式是( )A. ?= (?+ 1) 2 + 2B. ?= (?+ 1) 2 - 2C. ?= (?- 1)2 + 2D. ?= (?- 1)2 - 25.在 ?與? ?中， ? ?=? ?= 60°， ?= ?，如果? ?= 50° ，那么 ?的度數(shù)?第 5 頁，共

3、 18 頁是()A. 50°B. 60°C. 70°D. 806. 如圖 1 ， 點 D 、 E 分別在 ?的兩邊?BA、 CA的延長線上，下列條件能判定?/?()?A. ?B.?C.?= ?D.?= ?二、填空題(本大題共12 小題，共48.0 分)7. 計算：2(3?- 2? )? + (?- 2?) =8. 如圖 2，在 ?中，點?D、 E 分別在 ?的兩邊?AB、 AC 上，且?/?，如果 ?= 5， ?= 3， ?= 4，那么線段BC 的長是 9.如圖3，已知?/?/?，它們依次交直線?1?、 ?2?于點A、 B、 C 和點D、 E、 ?如.? 2果 ?

4、= 2， ?= 15，那么線段DE 的長是 ? 3?10.點 P 是線段 AB 的黃金分割點（?> ?，則 ）?=11. 寫出一個對稱軸是直線?= 1 ，且經(jīng)過原點的拋物線的表達式12. 如圖4，在? ?中，? ?=?90 °，?，垂足為點?D，如果?=4，sin ?=?23，那么線段AB 的長是 113. 如果等腰 ?中，? ?= ?= 3， cos ?= 3，那么cos ?=?14. 如圖5，在 ?中，? ?= 12， BC 上的高 ?= 8，矩形DEFG 的邊 EF 在邊 BC上，頂點D、 G 分別在邊AB、 AC 上設 ?= ?，矩形DEFG 的面積為y，那么y關于 x

5、 的函數(shù)關系式是. （不需寫出x的取值范圍）15. 如圖6， 將一個裝有水的杯子傾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一個寬?=6厘米，長 ?= 16 厘米的矩形當水面觸到杯口邊緣時，邊 CD 恰有一半露出水面，那么此時水面高度是厘米16. 在 ?中，?=12，?=9，點 D、 E 分別在邊AB、AC 上， 且 ?與?相?似，如果?= 6，那么線段AD 的長是 17. 如圖 7， 在 ?中，? 中線BF、 CE 交于點 G， 且 ? ?，?如果?= 5， ?= 6，那么線段CE 的長是 ?318. 如圖， 在 ?中，?= ?，?點D、 E 在邊 BC 上， ?=?=?30°，且?=2，

6、?那么?的值是?87 小題，共78 分）19. （本題滿分10 分）?30 °計算：?°6-0?6° 0- ?4520. （本題滿分10 分）?1如圖， 點 E 在平行四邊形ABCDCD 上， 且 ?= 12， 設 ?=?， ?= ? ?（1） 用 ?、 ? ?表示?；?（ 直接寫出答案）（2） 設 ?= ?，在答題卷中所給的圖上畫出?- 3?的結(jié)果21. （本題滿分10 分）某數(shù)學小組在郊外的水平空地上對無人機進行測高實驗如圖， 兩臺測角儀分別放在 A、 B 位置， 且離地面高均為1 米 （即 ?= ?= 1 米 ）， 兩臺測角儀相距50米 （即 ?=50 米

7、）.在某一時刻無人機位于點?（點C 與點A、 B 在同一平面內(nèi)）， A處測得其仰角為30°，B 處測得其仰角為45°. (參考數(shù)據(jù)：2 1.41 ， 3 1.73， ?400°.64， ?4 0 0°.77，?4 0 0°.84)（1） 求該時刻無人機的離地高度；（單位：米，結(jié)果保留整數(shù)）（2） 無人機沿水平方向向左飛行2 秒后到達點?（點 F 與點A、 B、 C 在同一平面內(nèi)），此時于 A 處測得無人機的仰角為40°，求無人機水平飛行的平均速度（單位：米/秒，結(jié)果保留整數(shù)）22. （本題滿分10 分）在平面直角坐標系xOy中，已知拋

8、物線?=- 14 ?2 - ?+ 2，其頂點為A25. (本題滿分14 分)第 9 頁，共 18 頁23. (本題滿分12 分)已知：如圖，在平行四邊形ABCD 中，過點C 分別作AD 、 AB 的垂線，交邊AD 、 AB 延長線于點E、 F(1) 求證： ?= ?；? ?2? ?(2) 聯(lián)結(jié) AC，如果?= ?，求證： ?2? = ? ?24. (本題滿分12 分)在平面直角坐標系xOy中， 平移一條拋物線，如果平移后的新拋物線經(jīng)過原拋物線頂點，且新拋物線的對稱軸是y軸，那么新拋物線稱為原拋物線的“影子拋物線”(1) 已知原拋物線表達式是?= ?2 - 2?+ 5，求它的“影子拋物線”的表達

9、式；(2) 已知原拋物線經(jīng)過點(1,0) ， 且它的“影子拋物線”的表達式是 ?= -?2 + 5， 求原拋物線的表達式；(3) 小明研究后提出： “如果兩條不重合的拋物線交 y軸于同一點，且它們有相同的“影子拋物線”，那么這兩條拋物線的頂點一定關于 y軸對稱”你認為這個結(jié)論成立嗎？請說明理由如圖， ?是邊長為?2 的等邊三角形，點D 與點 B 分別位于直線AC 的兩側(cè)，且?= ?，聯(lián)結(jié)?BD、 CD， BD 交直線 AC 于點E(1) 當 ?=?90°時，求線段AE 的長(2) 過點A作 ? ?，垂足為點?H，直線 AH 交 BD 于點 F，? 當 ?<?120°時

10、，設 ?=?，?=?(?其中?表示?的面積，? ?表示? ?的面積?)，求 y關于 x的函數(shù)關系式，并寫出x的取值范圍； 當 ? ?=? 7時，請直接寫出線段AE 的長? ?答案和解析1 .【答案】A【解析】解：若 b 是 a、 c的比例中項，即 ?2 = ? ?4 2 = 2?，解得 ?= 8，故選：A根據(jù)比例中項的定義，若b 是 a， c的比例中項，即?2 =本題主要考查了線段的比例中項的定義，注意線段不能為負2 .【答案】B解：由題意，得?=?，?= ?=?， ?故選：B根據(jù)余弦是鄰邊比斜邊，可得答案本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，利用余弦的定義是解題關鍵3 .【答案】B1解：A、?與 ?

11、的模相等，方向不一定相同故錯誤?B 、正確C 、|?| ?與? ?的模相等，方向不一定相同，故錯誤D 、|?1?| ?與 |?1?| ?的模相等，方向不一定相同，故錯誤故選：B根據(jù)平面向量的性質(zhì)一一判斷即可本題考查平面向量，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型4 .【答案】B【解析】解：二次函數(shù)?= ?2，將它的圖象向左平移1 個單位，再向下平移2 個單位后得到的解析式為?= (?+ 1) 2 - 2故選：B根據(jù)平移的規(guī)律即可求得答案本題主要考查二次函數(shù)的圖象與幾何變換，掌握平移的規(guī)律是解題的關鍵，即“左加右減，上加下減”5 .【答案】C解： ?= ?= 60° ，? ?=

12、 ?， ? ?， ? ?=? ?=? 50°， ?=? ?=? 180° - 60°- 50° = 70°故選： C根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)解答即可考查了相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等；相似三角形(多邊形 )的周長的比等于相似比；相似三角形的對應線段(對應中線、對應角平分線、對應邊上的高)的比也等于相似比；相似三角形的面積的比等于相似比的平方6 .【答案】D【解析】解： ?=? ?， ? ?當 =，? ?即 ?= ?，? ?/?， ?故選： D根據(jù)平行線分線段成比例定理、平行線的判定定理判斷即可本題考查的是平行線分線

13、段成比例定理、平行線的判定定理，掌握相關的判定定理是解題的關鍵7 .【答案】-3? + 4?【解析】解：2(3?- 2? ?) + (?- 2?) = 6?- 4?+ ?- 2?= -3? + 4?，故答案為-3? + 4?根據(jù)平面向量的加法法則計算即可本題考查平面向量的加法法則，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型第 13 頁，共 18 頁解： ?/?， ? ?，? ?= ?45=，? 832?= 352，32故答案為352證明 ? ?，利用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題?本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關鍵是正確尋找相似三角形解決問題9.【答案】 6【解析】解： ?/?/?，

14、? ? 2 ?= ?= 3， ?= 15 ，?2， ? ?-? 15-?3解得： ?= 6，故答案為：6根據(jù)平行線分線段成比例解答即可掌握平行線分線段所得線段對應成比例是解題的關本題主要考查平行線分線段成比例，鍵10.【答案】5-1【解析】解： 點 P 是線段 AB 的黃金分割點(?> ?， ) ?= ?= 5-1 ? ?2故答案為5-1 2把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值5-1 叫做黃金比2本題考查了黃金分割的定義，牢記黃金分割比是解題的關鍵11 .【答案】答案不唯一( 如 ?= ?2 - 2?)【解析】解：符合

15、的表達式是?= ?2 - 2?，故答案為?= ?2 - 2?此題是一道開放型的題目，答案不唯一，只要寫出一個符合的即可本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，能熟記二次函數(shù)的性質(zhì)的內(nèi)容是解此題的關鍵12 .【答案】25?=4， sin?=?32，解：在? ? ?中，?第 31 頁，共 18 頁28?= ?× sin ?=?4 × 3 = 3，?= ?2?- ?2? = 45，3 ?=?90°， ? ?， ? ?=? ?，?在 ? ? ?中， ?=sin ?32 = 2 5，故答案為：25在 ? ? ?中， ? 根據(jù)直角三角形的邊角關系求出CD， 根據(jù)勾股定理求出BD， 在在?

16、?中，再求出 ?AB 即可考查直角三角形的邊角關系，勾股定理等知識，在不同的直角三角形中利用合適的邊角關系式正確解答的關鍵713 .【答案】9【解析】解：過點A作 ? ?，垂足為?D，過點C 作 ? ?，垂足?為 E， ?=?90 °?1在 ?中， ? cos ?=? ?= 3，?= 1 ?= 1 3?= ?， ?= 2，?= ?2?- ?2? = 32 - 12 = 2212 ?=1?，?2，?=? 2×2 2? =3=?= ?2?- ?2?= 73? 737 cos ?=? ?= 3 = 9，故答案為79過點 A作 ? ?，?垂足為D， 過點 C 作 ? ?，?垂足為E

17、， 根據(jù)余弦的定義求得BD，即可求得BC，根據(jù)勾股定理求得AD，然后根據(jù)三角形面積公式求得CE，進一步求得AE ，根據(jù)余弦的定義求得cos ?的值 ?本題考查了解直角三角形，屬于基礎題，關鍵是掌握等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，三角形面積公式314 .【答案】?= - 2?2 + 12?解： 四邊形 DEFG 是矩形， ?= 12， BC上的高 ?= 8， ?= ?， 矩形 DEFG y，?/?， ? ?， ?8-?=，8123(8-?)得 ?=2 ，3(8-?) ?= ?23 ?2 + 12?，故答案為：?= - 23 ?2 + 12?根據(jù)題意和三角形相似，可以用含x的代數(shù)式表示出DG，然后根據(jù)

18、矩形面積公式，即可得到 y 與 x 的函數(shù)關系式本題考查根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關系式、相似三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答15 .【答案】 9.6【解析】解：如圖所示：作? ?于點?E，1由題意可得，?= 6?， ? ?= 21 ?= 8?， ?故 BF= ?2?+ ?2? = 6 2 + 82 = 10(?)，可得： ?=? ?， ? ?= ?， ?故 ? ?，? ?=，? ?610 ?= 16 ，解得： ?= 9.6故答案為：9.6直接利用勾股定理得出BF 的長，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出答案此題主要考查了勾股定理的應用以及相似三角形的判定與性質(zhì)，

19、正確把握相關性質(zhì)是解題關鍵16 .【答案】 8或 92【解析】解：如圖 ?=? ?，? 當 ? ?，? ?，? ?12?即 12 = ?， ? 96解得： ?= 8， 當 ? ?，? ?=，? ?即 12 = 6 ，9?9解得： ?= 29，故答案為：8 或 92分類討論：當 ? ?和當 ? ? ?，?根據(jù)相似的性質(zhì)得出兩種比例式進而解答即可本題考查了相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等917 .【答案】2解：如圖，延長AG 交 BC 于 K點 G 是 ?的重心，?=2?，? ?= 2?， ? ?= 2?， ?= 5， ?= 6，5?=5， ?= 4，2? ?， ? ?=?

20、90?= 2?= 5， ?= ?2?- ?2? = 5 2 - 42 = 3，?=1 ?= 3，2239?= 3 + = 22故答案為92如圖，延長AG 交 BC于 ?.根據(jù)重心的性質(zhì)以及勾股定理即可解決問題本題考查三角形的中線的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型18 .【答案】1318 3 - 1解： ?=?， ?=? ?=?30 °，?=?=? 30°，?=?=? ?， ?=?，? ?， ?=? ?= ?， ?2? = ?× ?， ? ? ?，?，? ?2? = ?× ?， ? ?2? = ?= (23)2 = 49

21、，設 ?= 9?，則?= 4?，? ?=，? ?= ?× ?= 3 × 4?= 6?， ?2作 ? ?于? M，如圖所示：?= ?， ?=?=1 ?，?2 ?=? 30°，1?= 2 ?= 3?， ?= 3?= 3 3?，?= 2?= 6 3?，?= ?+ ?- ?= 13?- 6 3?，133- 1；18 -?13?-6 3?=6 3?故答案為：133 - 118證明 ?，?得出?2?=?×?，?同理 ? ?，?得出?2? =?×?，?2? 9?得出?2? =?=94，設?=9?，則?= 4?，求出?=?×?= 6?，作?于?11M

22、， 由等腰三角形的性質(zhì)得出?= ?= 2 ?，?由直角三角形的性質(zhì)得出?= 2 ?= 3?， ?= 3?= 3 3?， 得出 ?= 2?= 63?， 求出 ?= ?+ ?-? ?= 13?- 6 3?，即可得出答案本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識；證明三角形相似是解題的關鍵319 .【答案】解：原式=23 - 1 3- 23= 0【解析】代入特殊角的三角函數(shù)值求值本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解答本題的關鍵是掌握幾個特殊角的三角函數(shù)值20 .【答案】解： (1) ?= 12，即?= 21 ?，?= 1?，? 223?= 31 ?+ ?(2) 如圖所示：

23、即為?- 3?的結(jié)果(2) 根據(jù)向量定理即可畫出(1) 根據(jù)平面向量的平行定理即可表示；本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、平面向量，解決本題的關鍵是準確畫圖21.【 答案】 解： (1) 如圖， 過點 C 作 ?，垂足為點?H， ?=?45 °， ?= ?，?設 ?= ?，則?= ? 在 ? ?中， ? ?=?30°， ?= 3?= 3?+ 3?= 50解得： ?= 50 18， 18+ 1 = 19答：計算得到的無人機的高約為19m；(2) 過點 F 作 ? ?，垂足為點 ?G，?在 ?中，? tan ?=?，?18?= ?°40 0.84 21.4又 ?= 3? 3

24、1.14 31.14-21.42 5，或 31.14+21.4 26答：計算得到的無人機的平均速度約為5 米 / 秒或 26 米 / 秒【解析】(1) 如圖，過點C 作 ? ?，垂足為點?H，設 ?= ?，則?= ?解直角三角.形即可得到結(jié)論；(2) 過點 F 作 ? ?，垂足為點 ?G，解直角三角形即可得到結(jié)論本題考查解直角三角形的應用，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考?？碱}型22.【答案】解： (1) 拋物線 ?= - 41 ?2 - ?+ 2 = - 14 (?+ 2)2 + 3的開口方向向下，頂點A 的坐標是(-2,3) ，拋物線的變化情況是：在對稱軸直

25、線?= -2 左側(cè)部分是上升的，右側(cè)部分是下降的；點 B 的坐標可表示為(-2?2,3 - ?)，?=?2?，? ?代入 ?= - 41 ?2 - ?+ 2，得 3 - ?= - 14 (-2? - 2)2- (-2? - 2) + 2解得?1 = 0( 舍 )， ?2 = 1 ， 點 B 的坐標為(-4,2) 【解析】(1) 由二次函數(shù)的性質(zhì)可求解；(2) 如圖， 設直線 BC與對稱軸交于點D， 則 ? ?，?設線段AD 的長為m， 則 ?= ?cot ?=?2?，可求點B 坐標，代入解析式可求m的值，即可求點B 坐標本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的應用，利用參數(shù)求點B

26、 坐標是本題的關鍵23.【答案】解： (1) 四邊形 ABCD 是平行四邊形， ?/?， ? ?/?， ?， ? ?=? ?， ? ?=? ?=? ?，? ? ?，? ? ?， ? ?=? ?=?90 °，? ?，? ?=，? ?四邊形 ABCD 是平行四邊形，? ?， ? ? ?， ? ?= ?， ?= ? ? ?(2)? ?= ?=? ?=?90° ，? ?，?又 ? ?，? ?，? ? ?2?=，? ? ?2?與? ?等高， ? ? ?=，? ? ?2? ?2? = ?(1) 證明想辦法證明四邊形ABCD 是平行四邊形即可解決問題?2?(2) 由 ? ?， ? ? ?

27、，?推出 ? ?，?可得 ?=?2， 又 ? ? ?與 ?等高，推出? ? ?，可得結(jié)論?2?2? = ?本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考?？碱}型(24) 答案】解： (1) 原拋物線表達式是?= ?2 - 2?+ 5 = (?- 1)2 + 4 原拋物線頂點是(1,4) ，設影子拋物線表達式是?= ?2 + ?，將 (1,4) 代入 ?= ?2 + ?，解得?= 3，所以“影子拋物線”的表達式是 ?= ?2 + 3；(25) 設原拋物線表達式是?= -(? + ?)2 + ?，則原拋物線頂點是(-?, ?)，將 (

28、-?, ?代入)?= -?2+ 5，得 -(-?) 2 + 5 = ? ，將 (1,0) 代入 ?= -(? + ?)2 + ?， 0 = -(1 + ?)2 + ? ，? = 1? = -2 、 解得?1 = 1， ?2 = -2?1 = 4?2 = 1所以，原拋物線表達式是?= -(? + 1) 2 + 4或 ?= -(? - 2) 2 + 1；(26) 結(jié)論成立設影子拋物線表達式是?= ?2?+ ?原拋物線于.y軸交點坐標為(0, ?)則兩條原拋物線可表示為?1= ?2?+?1?+?與拋物線?2=?2?+?2?+?其中(a、?1?、?2、 c是常數(shù)，且? 0， ?1 ?2?)?1?(-?

29、1?4?-?12?)、 ?2(-?24?-?22?)12?4?22?4?將 ?1?、 ?2?分別代入?= ?2?+ ?，得?(-?(-4?-?12?4?4?-?22?4?消去 n 得?1?2 = ?2?2，?1? ?2?，?1? = -?2?2? 4?-?2 設 ?=?，則 ?=?，?2 4?-?22?1( 2?,4? ) ， ?2(- 2?, 4? ) ，?1、 ?2?關于y軸對稱?=【解析】(1) 設影子拋物線表達式是?= ?2 + ?，先求出原拋物線的頂點坐標，代入?2 + ?，可求解；(2) 設原拋物線表達式是?= -(? + ?)2 + ?，用待定系數(shù)法可求m， k，即可求解；(3) 分別求出兩個拋物線的頂點坐標，即可求解本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的應用，理解“影子拋物線”的定義并能運用是本題的關鍵25.【答案】解： (1) ?是等邊三角形，?= ?-?= 2?=? ?=? ?=?60 °?= ?， ?= ?， ? ?=? ?， ?=?15 ?+? ?+? ?+? ?=?180 °， ?=?90