八年級(jí)下2代數(shù)方程知識(shí)點(diǎn)及應(yīng)用題

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案代數(shù)方程降次的方法：因式分解，換元化歸思想：高次化低次: 分式化整式: 無(wú)理化有理: 多元化一元:化整式的方法：去分母，換元 化有理方程的方法：平方法，換元 代入和加減消元一、一元一次方程和一元二次方程的解法1、一元二次方程的解法主要有四種：(1)直接開平方法：適用于(mx+rn) 2=h (h > 0)的一元二次方程。(2)配方法：適用于所有化為一般形式后的一元二次方程。但是，具有二次項(xiàng)系數(shù)為1, 一次項(xiàng)系數(shù)為偶數(shù)特點(diǎn)的一元二次方程，用配方法解才較簡(jiǎn)便。配方法是通過(guò)配方將一元二次方程化成(mx+n) 2=h (h>0)的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程

2、的方法叫配方法。其基本步驟是：首先在方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)，把二次項(xiàng)系數(shù)化為1;把常數(shù)項(xiàng)移到等式的右邊；方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；方程左邊寫成完全平方式，右邊化簡(jiǎn)為常數(shù)；利用直接開平方法解此方程用配方法解一元二次方程要注意，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不為1時(shí)，一定要化為1,然后才能方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方(3)公式法：2適用于解一般形式的一元二次方程。利用公式x b一4ac b2 4ac 0可以解2a所有的一元二次方程。注意：當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，方程才有實(shí)數(shù)解；當(dāng) b2-4ac<0時(shí)，原方程無(wú)實(shí)數(shù)解。(4)因式分解法：適用于方程右邊是 0,左邊是易于分解成兩個(gè)一次因式

3、乘積的一元二次方程。2、含字母系數(shù)的整式方程的解法 3、特殊的高次方程的解法(1)二項(xiàng)方程ax n b 0(a0,b 0)的解法二項(xiàng)方程的定義：如果一元n次方程的一邊只有含未知數(shù)的一項(xiàng)和非零的常數(shù)項(xiàng)，另外一邊是零，那么這樣的方程叫做二項(xiàng)方程。關(guān)于x的一元n次二項(xiàng)方程的一般形式是ax n b 0(a 0, b 0,n 是正整數(shù))二項(xiàng)方程的解法及根的情況：一般地，二項(xiàng)方程 axn b 0(a 0,b 0)可變形為xn -a可見，解一元n次二項(xiàng)方程，可以轉(zhuǎn)化為求一個(gè)已知數(shù)的n次方根，運(yùn)用開方運(yùn)算可以求出這個(gè)方程的根。二項(xiàng)方程的根的情況：對(duì)于二項(xiàng)方程axn b 0(a0,b 0),當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，方程只

4、有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根。當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，如果ab 0,那么方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)；如果ab 0,那么方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。(2)因式分解法解高次方程解高于一次的方程，基本思想就是是“降次”，對(duì)有些高次方程，可以用因式分解的方法降次。用因式分解的方法時(shí)要注意：一定要使方程的一邊為零，另一邊可以因式分解。例題解下列方程：(1) 2x3+7x2-4x=0(2) x3-2x2+x-2=0解：(1)方程左邊因式分解，得x(2x2+7x-4)=0 x(x+4)(2x-1)=0得 x=0 或 x+4=0 或 2x-1=0，原方程的根是 x=0 , x=-4 , x=- 注意：不要漏掉x=0這個(gè)根！2

5、(2)方程左邊因式分解，得(x 3-2x2) +(x-2)=0 x 2(x-2)+(x-2)=0(x-2 ) (x 2+1)=0即 x-2=0 或 x2+1=0解方程x-2=0得x=2 方程x2+1=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根所以，原方程的根是 x=2、可化為一元二次方程的分式方程的解法1.適宜用“去分母”的方法的分式方程解分式方程，通常是通過(guò)方程兩邊同乘以方程中各分式的最簡(jiǎn)公分母，約去分母，化為整式方程來(lái)解。解分式方程要注意驗(yàn)根！例題解下列方程4 x 3 x 45Z 2x 5 12 x x 17 60分析：本例是一道分式方程，通常采用去分母法。(1)首先應(yīng)觀察各項(xiàng)分母，如能分解因式必須先分解因式，如本例x

6、2-17x+60可分解因式為(x-5 ) (x-12 ).(2)分解因式后再找各分母的最小公倍式.如本例為“(x-5) (x-12)” .(3)用此整式去乘方程的每一項(xiàng)，便可約去分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解(4)最后應(yīng)檢驗(yàn)，至此例可找到本例完整解在去分母的過(guò)程中要注意兩點(diǎn)：(1)必須注意符號(hào)的變化規(guī)律(如本例"12-x”與“ x-12'的關(guān)系)；(2)用整式乘以方程的每一項(xiàng)，一項(xiàng)都不能漏.2.適宜用“換元法”的分式方程適宜用換元法的分式方程有兩種，一是二次項(xiàng)與一次項(xiàng)相同 的，采取同底換元法；二是不看系數(shù)，方程的 未知項(xiàng)呈倒數(shù)關(guān)系 的，可采取倒數(shù)換元法，下面的例題中的兩個(gè)

7、方程，分別具有這兩種特點(diǎn)。例題解下列萬(wàn)程:2(1)x 1(1)分析：觀察方程 元法為宜.2)分析：觀察方程(5 1 6 0;(2) 8(x： 2x)岑11.x 1x 1 x 2x(1)可發(fā)現(xiàn)二次項(xiàng)底數(shù)與一次項(xiàng)未知底數(shù)相同，因而，可考慮同底換x2 2xx2 12)可發(fā)現(xiàn)這個(gè)方程左邊兩個(gè)分式中的x 2與 一一L互為倒數(shù)，x 1 x 2x根據(jù)這個(gè)特點(diǎn)，可以用倒數(shù)換元法來(lái)解.由此可以看出，解分式方程“轉(zhuǎn)化”為整式方程(一元一次方程或一元二次方程)用去分母法是基礎(chǔ)方法， 解分式方程應(yīng)首先考慮用基本方法求解，然后再根據(jù)分式方程特點(diǎn)， 考慮換元法，便可達(dá)到轉(zhuǎn)化的目的，找到思路.對(duì)于解題過(guò)程的每一個(gè)步驟都不能

8、疏忽，才能正確求解.三、無(wú)理方程的解法解無(wú)理方程的基本思路是把無(wú)理方程化為有理方程，通常采用“兩邊平方”的方法解。對(duì)有些特殊的無(wú)理方程，可以用“換元法”解。解無(wú)理方程一定要驗(yàn)根 ！ 在初中階段，我們主要學(xué)習(xí)下面兩種無(wú)理方程的解法。1 .只有一個(gè)含未知數(shù)根式的無(wú)理方程當(dāng)方程中只有一個(gè)含未知數(shù)的二次根式時(shí)，可先把方程變形，使這個(gè)二次根式單獨(dú)在一邊然后方程的兩邊同時(shí)平方，將這個(gè)方程化為有理方程。例題解下列方程：(1) 243 X 6(2) 3 J2x 3 x解：(1)兩邊平方，得 4 (x-3) =(x-6) 2 整理，得 x2-16x+48=0解這個(gè)方程，得 x 1=4, x2=12經(jīng)檢驗(yàn)，x=4

9、是增根，舍去；x=12是原方程的根。所以，原方程的根是x=12(2)原方程可變形為3 x v,2x3兩邊平方，得 (3-x)2=2x-3整理，得 x2-8x+12=0 解得 x1=2, x2=6經(jīng)檢驗(yàn)，x=2是原方程的根；x=6是增根，舍去。所以，原方程的根是x=22 .有兩個(gè)含未知數(shù)根式的無(wú)理方程當(dāng)方程中有兩個(gè)含未知數(shù)的二次根式時(shí)，可先把方程變形，使一個(gè)二次根式單獨(dú)在一邊，另外一個(gè)二次根式在方程的另一邊；然后方程的兩邊同時(shí)平方，將這個(gè)方程化為有理方程。例題解下列方程：(1)4x2 V2x10( 2)&2 4x0解：(1)原方程可變形為Jx2 2 v12x 1兩邊平方，得 x 2-2=

10、2x+1整理，得 x 2-2x-3=0 解得 x 1=-1,x 2=3經(jīng)檢驗(yàn)，x=-1是增根，舍去；x=3是原方程的根。所以，原方程的根是 x=33 .適宜用換元法解的無(wú)理方程如果無(wú)理方程中，二次根式里面的未知項(xiàng)和二次根式外面的未知項(xiàng)相同，可以使用換元法來(lái)解。例題 解方程 2：'x2 2x 4 3x2 6x 4練習(xí)221.在方程3x5 nx 10中，使用換元法，則原方程化為關(guān)于y的方程是2.當(dāng) m=xm 32時(shí)，關(guān)于x的分式方程xx 610x 2沒(méi)有實(shí)數(shù)解.答案：4或-63.若關(guān)于x的方程<2 x Vx a 0有實(shí)數(shù)根，則 a的取值范圍是 答案：a>-22x4.用換元法解方

11、程 x 16xx 15 0時(shí)，可設(shè)=y,這時(shí)原方程變文檔-2,y2 6y 501答案：7答案：x 15.方程Jx0的根是 ； Vx x的根是； <X x的根是答案:0 ； 0 和 1 ； 06.無(wú)理方程<x2 6 ax的根為J3,則a的值為答案：3而1 12ab17.若a, b都是正實(shí)數(shù)，且a b,2. 2-a b ,則a b.答案： 28.若 a+b=1,且 a : b=2 : 5,貝U 2a-b=9.當(dāng) a=x a一 -2 Z時(shí)，方程 x x 20無(wú)實(shí)數(shù)根答案：-2,1x 1.8 x 110 .若x ，則 x答案：土 211 .下列方程中既不是分式方程，也不是無(wú)理方程的有()1

12、2x 3A. x 1b.2x2,3x2 3x 1 0C.xD.3x 5 x3F.2x _x 3x 22答案：A1212.方程 2(x 3)2x3(x 3)(x 3)4(x 3)的最簡(jiǎn)公分母是(A.24 (x+3) (x-3)C.24 (x+3) (x-3)B.(x+3)(x-3)D.122(x+3) (x-3) 2 答案：D13.觀察下列方程，經(jīng)分析判斷得知有實(shí)數(shù)根的是()0A. x 3B.x(x 3) 02_x2 x 2C. x 2D.答案:14.如果16 xA.1B.-115.方程2xA.0B.2C.C.016.設(shè)y=x2+x+1,則方程A.y2-y-2=0C.y2+y-2=0A.全體實(shí)數(shù)

13、那么x的值是（1的解是B.y2+y+2=0D.y2-y+2=04a2 12aD.4答案：AD.答案：BB.aD.A18.已知VA.19.關(guān)于A.x=a0)2-2x x可變形為答案：Aa的取值范圍是（>0,則相等關(guān)系成立的式子是R SSUSUxx的方程B.D.B.x=-aC.x 1=a； x2=- a D.x20. 一個(gè)數(shù)和它的算術(shù)平方根的A.0B.16C.0SUR SSU答案：Bx的根是（1=a； x2= a4倍相等,答案：D那么這個(gè)數(shù)是（或16D.4）或16答案：Cx11x5-2Z-Tr21. xx3x3x3；解 3(x 1) (x 1) x(x 5) , 3x 3 x 1 x2 5x

14、 ,x2 3x 4 0, (x 4)(x 1) 0 .x14,x21經(jīng)檢驗(yàn)知：x=1是增根，x=-4是原方程的根.22. Jx 5 J2x 72 .2 x23.x 41 x 6-2oh-2 724. x x 2 x 1 x 4 ；1625. x 1 1 x33xx 12 x26. x 1【應(yīng)用題知識(shí)講解】一、列方程(組)解應(yīng)用題的一般步驟有：(1)審題.弄清題中哪些是已知量，哪些是未知量，已知量與未知量之間有哪些關(guān)系，有些應(yīng)用題還需通過(guò)畫示意圖來(lái)幫助我們分析 .(2)設(shè)未知數(shù)，列出相關(guān)代數(shù)式.設(shè)未知數(shù)分為直接設(shè)未知數(shù)和間接設(shè)未知數(shù)，可根據(jù)題目的需要采取適當(dāng)?shù)脑O(shè)法.(3)找等量關(guān)系列方程(組).

15、(4)解方程(組).(5)檢驗(yàn).一要檢驗(yàn)所得的未知數(shù)的值是不是方程的解，二要檢驗(yàn)所得的未知 數(shù)的值是否符合題意.(6)寫出答案.二、應(yīng)用題通?？筛鶕?jù)不同的文字表述分為如下幾種類型，每種類型常用到一 些基本等量關(guān)系式，歸納如下：(1)行程問(wèn)題：路程二速度X時(shí)間，順流逆流航行問(wèn)題中：順流速度 力臺(tái)速十 水速，逆流速度=M速-水速；(2)工程問(wèn)題：工作總量=工作效率X工作時(shí)間(3)百分率問(wèn)題：新數(shù)二基數(shù)X (1 土百分率)(4)存款利率問(wèn)題：利息=本金X利率X所存期數(shù)，本息和二本金+利息=本金X (1+利率X所存期數(shù))(5)商品利潤(rùn)問(wèn)題：利潤(rùn)=成本價(jià)(或買入價(jià))x禾潤(rùn)率，銷售價(jià) =成本價(jià)+ 禾1潤(rùn)=

16、成本價(jià)X ( 1+利潤(rùn)率)【例題講解】1 .某校辦工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，第一季度產(chǎn)量為 25件，通過(guò)技術(shù)革新，二、三季 度產(chǎn)量都比前一季度增長(zhǎng)一個(gè)相同的百分率， 這樣到第三季度時(shí)三個(gè)季度共生產(chǎn) 91件產(chǎn)品，求增長(zhǎng)的百分率.2 .A、B兩地相距900千米，甲、乙兩車分別由A、B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，它 們?cè)谕局蠧處相遇，相遇后甲再過(guò)4小時(shí)到達(dá)B地，乙再過(guò)16小時(shí)到達(dá)A地, 求A、B距離及兩車速度.分析：據(jù)題意可找出以下兩個(gè)等量關(guān)系：(1)相遇時(shí)兩車所走的路程之和為900千米(路程關(guān)系)(2)兩車從出發(fā)到相遇所經(jīng)過(guò)的時(shí)間相等(時(shí)間關(guān)系)根據(jù)這兩個(gè)等量關(guān)系可列出方程組.3 .某項(xiàng)工程，若甲單獨(dú)做2天后，

17、剩下部分由乙去做，則乙還需要做的天數(shù)等于 甲單獨(dú)做完此項(xiàng)工程的天數(shù)；若乙單獨(dú)做2天后，剩余的工程由甲去做，則甲還 需3天完成.問(wèn)甲、乙單獨(dú)完成此工程各需多少大？4 .甲、乙兩店以同樣價(jià)格進(jìn)同一種貨物，甲店以20%勺利潤(rùn)加價(jià)出售，共獲利12000元，乙店以10%勺利潤(rùn)加價(jià)出售，十分暢銷，在相同時(shí)間，銷售量乙店比 甲店多100件，因而總利潤(rùn)比甲店多4000元，問(wèn)甲、乙兩店各售出多少件？每 件的售價(jià)各多少元？5 . 一桶內(nèi)裝滿了純農(nóng)藥液體，從中倒出5升后用水加滿，然后再倒出5升液體, 再用水加滿，這時(shí)桶內(nèi)純農(nóng)藥是原來(lái)的 竺，求該桶的容積.25分析：由于題目中給出的桶一開始裝滿純農(nóng)藥液體，所以該桶的容

18、積就是一 開始的純農(nóng)藥液體量，不妨設(shè)該桶的容積為x升，則第一次倒出5升后，桶內(nèi)的 純農(nóng)藥量變?yōu)椋▁-5）開，此時(shí)用水加滿，桶內(nèi)就不再是純農(nóng)藥液體，純農(nóng)藥的 濃度變?yōu)?人速X100%第二次倒出的5升中含純農(nóng)藥量為5X （工通X100% .xx說(shuō)明：解應(yīng)用題所得的解不僅要適合列出的方程，同時(shí)還要考慮符合應(yīng)用題 的實(shí)際.6 .某電廠規(guī)定，該廠家屬區(qū)的每戶居民如果一個(gè)月用電量不超過(guò) A度，那么這個(gè) 月只要交10元用電費(fèi)，如果超過(guò)了 A度，則這個(gè)月除了仍要交10元用電費(fèi)外， 超出部分還要按每度0.01A元交費(fèi).（1）該廠某戶居民2月份用電90度,超過(guò)了規(guī)定的A度,則超過(guò)部分應(yīng)交電費(fèi) 元（用A表示）（2）

19、下表是這戶居民三、四月用電情況和交費(fèi)情況:月份用電量交電費(fèi)總數(shù)三月80度25元四月45度10元根據(jù)上表的數(shù)據(jù)，求電廠規(guī)定的A度是多少?分析：這是一道與日常生活密切相關(guān)的圖表信息類應(yīng)用題 ，這種類型的問(wèn)題是 近幾年中考中較熱門的問(wèn)題，值得同學(xué)們關(guān)注.【練習(xí)】一、選擇題：（每小題4分，計(jì)20分）1 .某件上衣標(biāo)價(jià)為132元，若降價(jià)以9折出售，仍可獲利10%則該上衣的 進(jìn)貨價(jià)是（）A 108 元 B 、105 元C 、106 元 D 、118 元2 .為慶祝建國(guó)五十三周年，國(guó)慶期間某商場(chǎng)的電視一律按原價(jià)九折銷售（即降價(jià)10%,若要使銷售總收入不變，那么銷售量應(yīng)增加（）1111A、8 B 、9 C 、

20、10 D 、113.要在規(guī)定日期內(nèi)完成一項(xiàng)工程，如甲隊(duì)獨(dú)做，剛好按期完成；如乙隊(duì)獨(dú)做， 則要超過(guò)規(guī)定時(shí)間3天才能完成；甲乙兩隊(duì)合作兩天，剩下的工程由乙隊(duì)獨(dú)做，則剛 好按期完成，那么求規(guī)定日期為 x天的方程是（）.2x21A x x 32x21C、 x x 34.某商店銷售一批皮衣，一月份的每件利潤(rùn)是售出價(jià)的 20%春節(jié)前后為了搞 促銷，二月份該商場(chǎng)在買入價(jià)不變的情況下，將每件皮衣的售出價(jià)調(diào)低了 10%結(jié) 果銷售量比一月份增加120%那么二月份的利潤(rùn)之比為（）A、5: 3 B 、11: 9 C 、11:10 D 、25: 275.商店購(gòu)進(jìn)某種商品的進(jìn)價(jià)是每件8元，銷售價(jià)是每件10元，現(xiàn)為了擴(kuò)大銷

21、 售量，將每件的售價(jià)降低 x%售，但要求賣出一件商品所獲利潤(rùn)是降價(jià)前所獲 禾I潤(rùn)的90%則x等于（）A、10B 、4 C 、2 D 、1.8二、列方程（組）解應(yīng)用題：（每小題4分，計(jì)20分）1.A、B兩地間的路程為150千米，甲、乙兩車分別從 A B兩地同時(shí)出發(fā)， 相向而行，2小時(shí)相遇.相遇后，兩車各以原來(lái)速度繼續(xù)行駛，甲車到達(dá)B后立即原路返回，返回時(shí)的速度是原來(lái)速度的 2倍，結(jié)果甲、乙兩車同時(shí)到達(dá) A地, 求甲車和乙車的速度.2.裝配車間原計(jì)劃在若干天內(nèi)裝配出 44臺(tái)機(jī)床，最初3天是按計(jì)劃進(jìn)行的，以 后為了趕進(jìn)度，每天多裝配2臺(tái)，因此提前2天且超額4臺(tái)完成了任務(wù)，問(wèn)原計(jì) 劃每天裝配多少臺(tái)機(jī)床？3 .已知甲