新思維第三講_軸對(duì)稱相關(guān)

1、新思維軸對(duì)稱講義 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】本章主要介紹軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形，研究圖形的一種特殊的對(duì)稱以及其性質(zhì)。進(jìn)一步詳細(xì)介紹線段、角、等腰三角形、等腰梯形的對(duì)稱性?！緦W(xué)習(xí)重點(diǎn)、難點(diǎn)】等腰三角形、等腰梯形的軸對(duì)稱性。【探究過程】1.軸對(duì)稱：如果把一個(gè)圖形沿著 后，能夠 重合，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線成軸對(duì)稱，這條直線叫做 ，兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做 。lAB2.軸對(duì)稱圖形：如果把一個(gè)圖形沿著 ，直線兩旁的部分能夠 ，那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做 。3.軸對(duì)稱的性質(zhì)： 成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形 。如果兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是 。4線段的垂直平分線：垂直并且平分一條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分

2、線。（也稱線段的中垂線） lABM5線段的軸對(duì)稱性：線段是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸有兩條，一條是 ，另一條是 。線段的垂直平分線上的點(diǎn)到 相等。到 的點(diǎn)，在這條線段的 上。結(jié)論：線段的垂直平分線是到線段兩端距離相等的點(diǎn)的集合6角的軸對(duì)稱性：角是 圖形，對(duì)稱軸是 。角平分線上的點(diǎn)到 相等。到 的點(diǎn)，在 上。結(jié)論：角的平分線是到角的兩邊距離相等的點(diǎn)的集合7等腰三角形：有 的三角形叫等腰三角形，其中相等的邊叫做腰，另一條邊叫做底。等腰三角形是 ，對(duì)稱軸是 。等腰三角形 相等， 相等（簡(jiǎn)稱 ）；等腰三角形的 互相重合。（三線合一）8如果一個(gè)三角形 ，那么 （簡(jiǎn)稱 ）；9等邊三角形是特殊的 ，具備 的一切性質(zhì)

3、。除此之外，等邊三角形有 ， ， 。10等邊三角形的判定： 是等邊三角形； 的三角形是等邊三角形； 是等邊三角形。11 的四邊形叫做梯形。平行的兩條邊叫做梯形的上底和下底，不平行的兩條邊叫做腰。腰和底的夾角叫做底角。兩底之間的距離叫做梯形的高。12 叫做等腰梯形。13等腰梯形是 ，有一條對(duì)稱軸，是 。等腰梯形 ， ，對(duì)角線 。14等腰梯形的判定： 的梯形是等腰梯形； 的梯形是等腰梯形；【等腰、等邊、等腰梯形】1、下列說法正確的是（ ） A、等腰三角形的一個(gè)角的平分線是它的對(duì)稱軸;B、有一個(gè)內(nèi)角是60°的三角形是軸對(duì)稱圖形;C、等腰直角三角形是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸是斜邊上的中線所在的

4、直線;D、等腰三角形有三條對(duì)稱軸2、（1）已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是4和6，則第三邊的長(zhǎng)是 （2）已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是4和9，則周長(zhǎng)是 （3）已知等腰三角形的周長(zhǎng)為8，邊長(zhǎng)為整數(shù)，求這個(gè)三角形的腰長(zhǎng) （4）知等腰三角形的腰長(zhǎng)為10，腰上的高為6，則它的底邊的長(zhǎng)為 （5）若等腰三角形的周長(zhǎng)是20cm ,一邊長(zhǎng)是6cm, 其他兩邊的長(zhǎng)為 （6）在等腰三角形中一個(gè)角是700，則另兩個(gè)角分別為 （7）若等腰梯形的三邊分別為3、4、11，則這個(gè)等腰梯形的周長(zhǎng)為 （8）等腰梯形的對(duì)角線互相垂直且長(zhǎng)度為3，則梯形的面積為 ，高為 （9）等腰梯形的上底是4cm，下底是10cm，一個(gè)底角是，則等腰梯形

5、的腰長(zhǎng)是 （10）正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)P與點(diǎn)A、B組成等邊三角形，則三角形PCD三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別 為 、 、 . （11）如圖，ABC中，AB=AC，ABC=36°，D，E為BC上的點(diǎn)，且BAD=DAE=EAC，則圖中共有等腰三角形 個(gè) （12）已知ABC中BAC=140°，AB、AC的垂直平分線分別交BC于E、F.則EAF= （13）已知ABC中AB=AC=10，DE垂直平分AB，交AC于E.已知BEC的周長(zhǎng)是16，ABC的周長(zhǎng)為 （14） 如圖所示，P是等邊ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PAPBPC =345，則APB= （15）如圖所示，在ABC中， AB的垂直平分線分別交AB

6、、BC于點(diǎn)M、E；AC的垂直平 分線分別交AC、BC于點(diǎn)N、F，如果B=27°，BAC=2C，EAF的度數(shù) 若BC=28cm，那么AEF的周長(zhǎng)= ACPB【對(duì)稱最值專題】1.1、已知直線及其兩側(cè)兩點(diǎn)A、B，如圖.（1）在直線上求一點(diǎn)P，使PA=PB；（2）在直線上求一點(diǎn)Q，使平分AQB 1.2、如圖所示，已知 AOB及點(diǎn)M,在AO，BO分別找一點(diǎn)P，Q，使得MP+MQ最短。 1.3、如圖：已知AOB和C、D兩點(diǎn)，求作一點(diǎn)P，使PC=PD，且P到AOB兩邊的距離相等AC··DOB1.4 如圖，已知平面直角坐標(biāo)系中，A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2，-3),B(4，-1)

7、.(1) 若P(x，0)是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PAB的周長(zhǎng)最短時(shí)，求x的值。(2) 若C（a，0），D（a+3,0）是x軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四邊形ABCD的周長(zhǎng)最短時(shí)，求a的值。(3) 設(shè)M,N分別為x軸y軸上的動(dòng)點(diǎn)，問：是否存在這樣的點(diǎn)M（m，0）和（0，n），使四邊形ABMN的周長(zhǎng)最短？若存在，求出m，n的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。 2、如圖，若AOB=45°，其內(nèi)部有一點(diǎn)P，OP=10，在AOB的兩邊上有點(diǎn)Q,R（均不同于O），則PQR周長(zhǎng)的最小值為_.（河南省中考題）3、如圖，在ABC中，AB=BC=2，ACB=90°,D是BC邊的中點(diǎn)，E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，則EC+E

8、D的最小值是_.（河南省中考題）4、 在直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)A(-8，3),B(-4，5)以及動(dòng)點(diǎn)C（0，n），D（m，0），則當(dāng)四邊形ABCD的周長(zhǎng)最小時(shí)，比值為 5、河岸l同側(cè)的兩個(gè)居民小區(qū)A,B到河岸的距離分別為a米，b米（如圖所示，AA´=a米，BB´=b米），A´B´=c米，現(xiàn)欲再河岸邊建一個(gè)長(zhǎng)度為s米的綠化帶CD（寬度不計(jì)），使C到小區(qū)A的距離為與D到小區(qū)B的距離之和最小。（江蘇省競(jìng)賽題）（1） 在圖中畫出綠化帶的位置，并寫出畫圖過程；（2） 求AC+BD的最小值?！緦?duì)稱中的動(dòng)點(diǎn)專題】1、如圖，在梯形ABCD中，ADBC，AD3，CD5，B

9、C10，梯形的高為4動(dòng)點(diǎn)M從B點(diǎn)出發(fā)沿線段BC以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)N同時(shí)從C點(diǎn)出發(fā)沿線段CD以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(秒)(1)當(dāng)MNAB時(shí)，求t的值；(2)試探究：t為何值時(shí)，CMN為等腰三角形2、 如圖，在RtABC中，C=90°，AB =20，AC=10，點(diǎn)M在邊AB上，且AM=6：（1） 動(dòng)點(diǎn)D在邊AC上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)A、C均不重合，設(shè)CD=x。 設(shè)ABC與ADM的面積之比為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（寫出自變量x 的取值范圍） 當(dāng)x取何值時(shí)，ADM是等腰三角形？寫出你的理由；（2） 如圖，在以圖中的直角邊為一組鄰邊的矩形中，

10、動(dòng)點(diǎn)D在矩形邊上運(yùn)動(dòng)一周，能使AMD是以M為頂角的等腰三角形共有多少個(gè)？3、如圖所示，在梯形ABCD中，AD/BC，A= ，AD=21，BC=24，點(diǎn)M從點(diǎn)A開始沿AD邊向點(diǎn)D以1/的速度移動(dòng)，點(diǎn)N從點(diǎn)C開始沿CB邊向點(diǎn)B以2/的速度移動(dòng)，如果M、N兩點(diǎn)分別從A、C同時(shí)出發(fā)，試探索：經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間梯形MBND為等腰梯形。 3、如圖，在等腰梯形中，等腰直角三角形的斜邊，點(diǎn)與點(diǎn)重合，和在一條直線上，設(shè)等腰梯形不動(dòng)，等腰直角三角形沿所在直線以的速度向右移動(dòng)，直到點(diǎn)與點(diǎn)重合為止（1）等腰直角三角形在整個(gè)移動(dòng)過程中與等腰梯形重疊部分的形狀由 形變化為 形；（2）設(shè)當(dāng)?shù)妊苯侨切我苿?dòng)時(shí)，等腰直角三角形與等

11、腰梯形重疊部分的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)時(shí)，求等腰直角三角形與等腰梯形重疊部分的面積A（N）MPDCBANMPDCB 【軸對(duì)稱雜題】1、如圖，在矩形ABCD中，將ABC繞AC對(duì)折至AEC位置，CE與AD交于點(diǎn)F，試說明EF=DF.2、如圖，在ABC中，C=90°,BC=6，D,E分別在AB,AC上，將ABC沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A´處，若A´為CE的中點(diǎn)，則折痕DE的長(zhǎng)為 （河北省中考題）3、如圖，在MON的兩邊上順次取點(diǎn)，使 DE=CD=BC=AB=OA，若MON=22°，則NDE= .4、（高中恰存在、最多問題）在MAN中加入長(zhǎng)度相同

12、的小棒，已知AB=BC=CD=DE=EF=., （1） 此角中只能放3根，求范圍？（2） 此角中恰能放6根，求范圍？（3） 此角至少能放9跟，求范圍？5、如圖，在ABC中，A=45°，邊AC的垂直平分線交邊AB于E點(diǎn)，交CB的延長(zhǎng)線于F點(diǎn)，垂足為D (1)求CEF的度數(shù)；（2）若AB=AC,試比較EC與EF的大小，說明理由；（3）若EC=EF，試比較AB與AC的大小，說明理由6、如圖，四邊形ABCD中，BAD=120°,B=D=90°,在BC,CD上分別找一點(diǎn)M,N，使AMN周長(zhǎng)最小時(shí)，則AMN+ANM的度數(shù)為（ ）(2012年蘭州市中考題) A130°

13、 B120° C 110° D 100° 7、在平面直角坐標(biāo)系中，直線LG過點(diǎn)M(3，0),且平行于Y軸。（南京市中考題）（1） 如果ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(-2，0),B(-1，0),C(-1，2)，ABC關(guān)于Y軸對(duì)稱圖形是,關(guān)于直線L的對(duì)稱圖形是,寫出的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2） 如果點(diǎn)P的坐標(biāo)是（-a,0）,其中a0,點(diǎn)P關(guān)于Y軸的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn),求P的長(zhǎng)。試一試 對(duì)于（2），隨著a的取值不同，與M有不同的位置關(guān)系。8、（1）已知：如圖，AB=AC，BD平分ABC，CD平分ACB，過D作EFBC交AB于E，交AC于F，則圖中有幾個(gè)等腰

14、三角形?選出其中一個(gè)進(jìn)行說理。（2） 如圖，AB=AC，BF 平分ABC交AC于F，CE平分ACB交AB于E，BF和BE交于點(diǎn)D，且EFBC，則圖中有幾個(gè)等腰三角形?（3）如圖，若將第7題中的AB=AC去掉，其他條件不變，情況會(huì)如何?若ABC的周長(zhǎng)為17，BC7，你能求出AEF的周長(zhǎng)嗎？ 【打桌球趣味】1、如圖，在長(zhǎng)方形球臺(tái)ABCD上，現(xiàn)在要擊打P球，使它依次碰撞球臺(tái)的AB邊，BC邊，CD邊，AD邊后，恰好撞到Q球，求P求打擊的路線。解 作法：（1） 作點(diǎn)P關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)，再作點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)；（2） 作點(diǎn)Q關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn),再作點(diǎn)關(guān)于DC的對(duì)稱點(diǎn);（3） 鏈接，分別交BC,CD于F,G,

15、鏈接F交AB于點(diǎn)E,G交AD于點(diǎn)H，折線PEFGHQ即為所求的路線。需要指出的是，上面求得的路線，恰好也是一條最短的路線。拓展 （1）如圖，當(dāng)母球P再AB邊中（不包括點(diǎn)A,B），先撞擊BC邊，反射到CD邊，再反射到AD邊，最后回到出發(fā)點(diǎn)，問母球P的初始路線應(yīng)該滿足什么條件？（2） 如圖，給出一張長(zhǎng)，寬分別為a，b（=）的臺(tái)球桌，母球P從桌的一個(gè)角落，以45°角擊出，再桌子邊緣回彈若干次后，最終必將落入角落的一個(gè)球袋，問球落入球袋前，再桌子邊緣回彈多少次？2、如圖是一個(gè)精光改造的臺(tái)球桌面的示意圖，圖中四個(gè)角上的陰影部分分別表示四個(gè)入球孔。如果一個(gè)球按如圖中所示的方向被擊出（球可以經(jīng)多次

16、反射），那么該球最后將落入的球袋是（ ）（河北省中考題）3、 臺(tái)球室一項(xiàng)高雅的體育運(yùn)動(dòng)，其中包含了許多物理學(xué)，幾何學(xué)知識(shí)。如圖是一個(gè)臺(tái)球桌，目標(biāo)球F于本球E之間有一個(gè)G球阻擋。（蘇州市中考題）（1） 擊球者想通過擊打E球先撞擊球臺(tái)的AB邊，經(jīng)過一次反彈后再撞擊F球，他應(yīng)將E球打到AB邊上的哪一點(diǎn)？請(qǐng)?jiān)趫D中用尺規(guī)作出這一點(diǎn)H，并作出E球的運(yùn)動(dòng)路線（不寫畫法，保留作圖痕跡）；（2） 如圖，現(xiàn)以D為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，記A（0,4）,C(8，0)E(4，3),F(7，1),求E球按剛才方式運(yùn)行到F球的路線長(zhǎng)度（忽略球的大?。?、如圖，一個(gè)臺(tái)球桌是直角三角形的，如果從斜邊上某點(diǎn)朝著垂直于斜邊的方向擊

17、出臺(tái)球，那么球再其他兩個(gè)直角邊上反彈后，又能回到斜邊上，請(qǐng)證明：臺(tái)球滾過的距離長(zhǎng)于擊球點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)（臺(tái)球反射時(shí)服從入射角等于反射角的規(guī)律）（俄羅斯薩文市競(jìng)賽題）【直角三角形初步探討】解讀課標(biāo)直角三角形是一類特殊三角形，有以下豐富的性質(zhì)：角的關(guān)系：兩銳角互余；邊的關(guān)系：斜邊的平方等于兩直角邊的平方和；邊角關(guān)系：30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。這些性質(zhì)廣泛應(yīng)用于線段計(jì)算，證明線段倍分關(guān)系，證明線段平方關(guān)系等方面。熟悉下列基本圖形，基本結(jié)論：1、我們知道 3，4,5是最簡(jiǎn)單的勾股數(shù)，折表明三邊長(zhǎng)為連續(xù)整數(shù)的直角三角形是存在的，并且只有一個(gè)（為什么？），由此研究邊長(zhǎng)為連續(xù)整數(shù)的三角形。問題

18、：（1） 三邊長(zhǎng)為連續(xù)整數(shù)的鈍角三角形存在嗎？如果存在，有多少個(gè)？（2） 三邊長(zhǎng)為連續(xù)整數(shù)的銳角三角形存在嗎？如果存在，有多少個(gè)？分析與解 對(duì)于（1），設(shè)三遍長(zhǎng)分別是x-1，x，x+1（x為大于1的整數(shù)），則（x+1）x+（x-1），整理得x（x-4）<0.0<x<4，x=2,3當(dāng)x=2時(shí)，邊長(zhǎng)為1，,23的三角形是不存在的故三邊長(zhǎng)為連續(xù)整數(shù)的鈍角三角形也只有一個(gè)，這個(gè)猜想是錯(cuò)誤的。實(shí)際上，這種銳角三角形有無(wú)數(shù)個(gè)，只要設(shè)x為大于4的整數(shù)，那么以x-1，x，x+1為三遍的三角形都為銳角三角形，（為什么？）2、 用直角邊分別為3和4的兩個(gè)直角三角形拼成凸四邊形，所得的四邊形的周長(zhǎng)

19、是 3、有一塊直角三角形的綠地，量得兩直角邊長(zhǎng)分別是6m，8m?，F(xiàn)在要將綠地?cái)U(kuò)充成等腰三角形，且擴(kuò)充部分是以8m為直角邊的三角形，則擴(kuò)充后等腰三角形的周長(zhǎng)為 4、在銳角三角形中，已知某兩邊a=1，b=3，那么第三邊的變化范圍是 5、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為矩形，點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為（3,0），（3,4），動(dòng)點(diǎn)M,N分別從O,B同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，其中，點(diǎn)M從O點(diǎn)出發(fā)沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)。點(diǎn)N從B出發(fā)沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)N作NPBC,交AC于P,連MP,若M,N兩動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了x秒。（蘇州市中考題）（1） 設(shè)MPA面積為y，試求y與x的函數(shù)關(guān)系試；（2） 請(qǐng)你探索：當(dāng)x為何值時(shí)，MPA是一個(gè)等腰三角形？【等邊三角形的探討】等邊三角形是特殊的等腰三角形，有以下豐富的性質(zhì)：1. 三邊相等，每個(gè)角都是60°；2. 每條邊上的高線，中線，所對(duì)角的平分線互相重合；3. 等邊三角形內(nèi)任意一點(diǎn)到三遍距離和是一個(gè)定值，等于一邊上的高。4. 若等邊三角形的邊長(zhǎng)為a，則等邊三角形的面積為 判定等邊三角形的基本方法有：1. 從邊入手，證明三邊相等；2. 從角入手，證明三角形相等或證明兩個(gè)角都是60°；3. 從邊角入手，有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形。雙等邊三角形以一個(gè)點(diǎn)為頂