2020屆河南省高三3月聯(lián)合檢測數(shù)學(xué)(文科)試題

1、絕密啟用前2020屆河南省高三3月聯(lián)合檢測數(shù)學(xué)（文科）試題試卷副標題題號一一三總分得分考試范圍：xxx;考試時間：100分鐘；命題人：xxx注意事項：1 .答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2 .請將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）請點擊修改第I卷的文字說明評卷人得分、單選題x1,已知集合 A 1,2,3,6 , B x|24 ,則 AI BB. 3,6C. 1,22.若等差數(shù)列的前兩項分別為1, 3,則該數(shù)列的前10項和為（A 813.設(shè)復(fù)數(shù)90C 100D. 2,3,6121bi (a,bR）,定義區(qū)b ai.若旦3.i5B.3.i5D.4.書架上有兩套我國四大名著,事件N表示

2、本是西游記有一本紅樓夢現(xiàn)從中取出兩本.設(shè)事件,一本是水滸傳F列結(jié)論正確的是（A . M與P是互斥事件C. N與P是對立事件5.若雙曲線B.1的一條漸近線方程為表不兩本都是紅樓夢”；事件P表示取出的兩本中至少M與N是互斥事件P兩兩互斥3x 2yB.C.6.已知底面是等腰直角三角形的三棱錐P-ABC的三視圖如圖所示，俯視圖中的兩個小三角形全等，則（試卷第8頁，總5頁.一. .一 ,8A . PA, PB, PC兩兩垂直B,三棱錐 P-ABC的體積為-3C. | PA| |PB| |PC |肥D.三棱錐P-ABC的側(cè)面積為3757 .如圖，在等腰直角ABC中，D, E分別為斜邊BC的三等分點（D靠近

3、點B）,過E作AD的垂線，垂足為F ,則拜 （）A3 uuiv 1 UULV A. -AB -AC554 uuu 8 uuv C AB AC 15152 uuv 1 ULUV B. -AB -AC558 uuv 4 uuv D. AB AC 1515In x8 .函數(shù)f x x 一的圖象大致為（）x9.設(shè)不等式組C.A .B.D.表布的平面區(qū)域為0C： x2y2 4的內(nèi)部隨機選取一點P ,則P取自 的概率為（）5A . 一24B.24C.112417D . 一24O 線O:號O 線O訂 O裝考:級 班:名 姓核訂 O裝O 學(xué)O 外 O 內(nèi)O10.張衡是中國東漢時期偉大的天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家，他曾經(jīng)

4、得出圓周率的平方除以十戶A BCD的每個頂點都在球 。的球面上，AB 底面BCD,BC CD ,且 ABCDJ3, BCA . 30B.10.104x3,x 011 .已知函數(shù)f x22xlog9 x等于八分之五.已知三棱錐為（）2,利用張衡的結(jié)論可得球。的表面積為（）C. 33D. 12M9,xf x的零點所在區(qū)間12.已知直線y= kB.1,0D. 4,5(x 1)與拋物線C： y2=4x交于A, B兩點,直線y=2k (x- 2)與拋物線D: y2=8x交于M,N兩點，設(shè) 入 =|AB|一 2|MN|,則（B.C. - 12V 入v 0D.七-12請點擊修改第II卷的文字說明評卷人得分1

5、3.函數(shù)f二、填空題14.函數(shù)f15.在正方體貝U tan第II卷（非選擇題）x 9x2 &1的最小值為sin4x的圖象的對稱軸方程為ABCD A1B1C1D1中，設(shè)BC1 , BD1與底面ABCD所成角分別為16.在數(shù)列an中，a1卜列四個結(jié)論：a2所有正確結(jié)論的編號是評卷人得分三、解答題1 , an 0,曲線y x3在點an,a3處的切線經(jīng)過點 a1,0 ,2K1公一;a3一；區(qū)33ai65 .；數(shù)列 an是等比數(shù)列；其中2717.為了解某中學(xué)學(xué)生對中華人民共和國交通安全法的了解情況，調(diào)查部門在該校進行了一次問卷調(diào)查（共 12道題），從該校學(xué)生中隨機抽取 40人，統(tǒng)計了每人答對的O

6、O線線OX 題X O X 答X 訂 X 內(nèi)X訂 X 線XOX 訂X X 謝O 衣 X X 在 X 裝X 要 X裝 X 不X OX 請XO 內(nèi) O 外O題數(shù)，將統(tǒng)計結(jié)果分成0,2 , 2,4 , 4,6 , 6,8 , 8,10 , 10,12六組，得到如下頻率分布直方圖.(1)若答對一題得10分，未答對不得分，估計這 40人的成績的平均分(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)；(2)若從答對題數(shù)在 2,6內(nèi)的學(xué)生中隨機抽取 2人，求恰有1人答對題數(shù)在 2,4內(nèi) 的概率.18 . a, b, c分別為 ABC 內(nèi)角 A, B, C 的對邊.已知 a= 3, csinC asinA bsinB

7、, 且 B = 60° .(1)求 ABC的面積；(2)若D, E是BC邊上的三等分點，求 sin DAE.19 .如圖，在四棱錐 P ABCD 中，AP 平面 PCD, AD/BC, AB BC,1AP AB BC AD, E為AD的中點，AC與BE相交于點O.(1)證明：PO 平面ABCD.(2)若OB 1,求點C到平面PAB的距離.32420.已知函數(shù)f x x ax .27(1)若f x在a 1,a 3上存在極大值，求 a的取值范圍；23(2)若x軸是曲線y f x的一條切線，證明：當(dāng) x 1時，f x x空.2722321.已知橢圓C ：勺 4 1 a b 0過點1不，過坐

8、標原點。作兩條互相垂直 a2 b22的射線與橢圓C分別交于M , N兩點.(1)證明：當(dāng)a2 9b2取得最小值時，橢圓 C的離心率為 叵.2(2)若橢圓C的焦距為2,是否存在定圓與直線 MN總相切？若存在，求定圓的方程;若不存在，請說明理由.x 1 2cos22.在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為八.(為參數(shù)).以坐y 2sin標原點為極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐標系.已知點p的直角坐標為2,0，過P的直線l與曲線C相交于M , N兩點.(1)若l的斜率為2,求l的極坐標方程和曲線 C的普通方程;,uuuv（2）求 PMuuv 3/土 PN的值.23.已知函數(shù)f x 2x 1 2x

9、1 ,記不等式f x 4的解集為M(1)求 M ;(2)設(shè) a,b M ,證明：ab a b 1 0.本卷由系統(tǒng)自動生成，請仔細校對后使用，答案僅供參考參考答案1. . B【解析】【分析】解對數(shù)不等式求得集合 B,由此求得兩個集合的交集.【詳解】由 2x 22 4得8 x|x 2 ,所以 AI B 3,6 .故選：B【點睛】本小題主要考查交集的概念和運算，考查指數(shù)不等式的解法2. C【解析】【分析】先求得公差，然后根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式求得前10項的和.【詳解】一 .一一 一 一 ,10 9因為公差d 3 1 2,所以該數(shù)列的前 10項和為10 1 2 100.2故選：C【點睛】本小題主要考

10、查等差數(shù)列基本量的計算，考查等差數(shù)列前n項和公式，屬于基礎(chǔ)題.3. B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算法計算出日，再根據(jù)定義求出z.【詳解】解：因為縣,，所以圖5) 31。32_1)3，1 i 2 i2 i 2 i 2 i55 51 3則 z 1 3i .5 5故選：B.本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算，屬于基礎(chǔ)題.4. B【解析】【分析】由此確定正確選項M與N是互斥事件,根據(jù)互斥事件、對立事件的概念，對M, N,P三個事件進行分析，【詳解】由于事件M包含于事件P , M與P是既不是對立也不是互斥事件,N與P是互斥事件.所以A,C,D三個選項錯誤.故選：B【點睛】本小題主要考查對立事件和互斥事

11、件的辨析，屬于基礎(chǔ)題5. A【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線列方程，解方程求得m的值.【詳解】一八、1八c-由題意知雙曲線的漸近線方程為yx m 0 , 3x 2y m1 3 4一，解得 m -.m 29故選：A【點睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線，屬于基礎(chǔ)題6. C【解析】【分析】根據(jù)三視圖，可得三棱錐 P-ABC的直觀圖，然后再計算可得 .【詳解】解：根據(jù)三視圖，可得三棱錐P-ABC的直觀圖如圖所示，答案第25頁，總16頁其中D為AB的中點，PD 底面ABC. ,114所以三棱錐P-ABC的體積為 2 2 2 , 3 23AC |BC PD| 2, | AB 向廠商|PA| |PB| |

12、PC| . 22.12 2 、,6,222Q PA PB AB , PA、PB不可能垂直，2衣，|DA | | DB | |DC | 我 ,即PA, PB, pc不可能兩兩垂直,1_Q S PBA 2 V2 222 , Q S PBC2S PAC2 .；6 2 12 2 、.5.三棱錐P-ABC的側(cè)面積為24 272 .故正確的為C.故選：C.【點睛】本題考查三視圖還原直觀圖，以及三棱錐的表面積、體積的計算問題，屬于中檔題7. D【解析】【分析】設(shè)出等腰直角三角形 ABC的斜邊長，由此結(jié)合余弦定理求得各邊長，并求得 cos DAE,uuur4 uuu-uuir4 uuur由此得到AFAD,進而

13、利用平面向量加法和減法的線性運算，將AFAD表示為55uur uuur以AB, AC為基底來表示的形式.設(shè) BC 6,則 AB AC 3衣,BD DE EC 2 ,AD AE ,BD2 BA2 2BD BA cos;而,cos DAE10 10 442 105所以AFAF4uur4 uuu所以AFAD.ADAE55uuuruuu1 uuu-BCuuu 1AB uuir uur2 uur因為ADABAC AB-AB333uuur42 uuur1 uur8 uuu 4uur所以AF-ABACAB -AC .5331515故選:D【點睛】1 uuur -AC , 3本小題主要考查余弦定理解三角形,考

14、查利用基底表示向量,屬于中檔題8. A根據(jù)函數(shù)fX的奇偶性和單調(diào)性，排除錯誤選項，從而得出正確選項因為f X，所以f X是偶函數(shù)，排除 C和D.1,故選:0時,ln x-2-，Xx3 21n X 13，XX 0,得0上遞增.所以0,1上遞減；令f ' X 0,得x 1 ,即f X在1處取得極小值，排除 B.本小題主要考查函數(shù)圖像的識別，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，屬于中檔題9. B畫出不等式組表示的可行域,求得陰影部分扇形對應(yīng)的圓心角， 根據(jù)幾何概型概率計算公式,計算出所求概率.作出 中在圓C內(nèi)部的區(qū)域，如圖所示,3因為直線x y 0 , x J3y 0的傾斜角分別為，一，4

15、63所以由圖可得P取自的概率為 V 67 .-2 24故選：B【點睛】本小題主要考查幾何概型的計算，考查線性可行域的畫法，屬于基礎(chǔ)題10. B【解析】【分析】 由BC CD,AB BC,AB CD判斷出球心的位置，由此求得求的直徑.利用張恒的結(jié)論求得冗的值，進而根據(jù)球的表面積公式計算出球的表面積【詳解】因為BC CD,所以BD "，又AB 底面BCD ,所以球O的球心為側(cè)棱 AD的中點,2利用張衡的結(jié)論可得 一16所以球O的表面積為410 10 .故選：B【點睛】本小題主要考查幾何體外接球表面積的計算,邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題 .考查中國古代數(shù)學(xué)文化，考查空間想象能力和11. A【解

16、析】【分析】首先求得x 0時，f X的取值范圍.然后求得x 0時，f X的單調(diào)性和零點，令Xf f X 0,根據(jù)“ X 0時，f X的取值范圍”得到f x 2log3X 9 3,禾IJ用零點存在性定理，求得函數(shù)y f f x的零點所在區(qū)間.【詳解】當(dāng) x 0時，3 f x 4.x2x當(dāng)x 0時，f x 2 log9 X 9 2log3 x 9為增函數(shù)，且f 3 0,則x 3是f X唯一零點.由于“當(dāng)X 0時，3 f x 4."，所以令 f f x 0,得 f x 2X log3x 9 3,因為 f 30 3,f 788 log 3 7 9 8 1.414 log 3 3 9 3.31

17、2 3,所以函數(shù)y f f x的零點所在區(qū)間為 3,2 .故選：A【點睛】本小題主要考查分段函數(shù)的性質(zhì)，考查符合函數(shù)零點，考查零點存在性定理，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題 12. D【解析】【分析】分別聯(lián)立直線與拋物線的方程，利用韋達定理，可得 AB 4 2 , AB 4 烏，然后 kk計算，可得結(jié)果.【詳解】設(shè) A,B X2, y2 ,y k( X 1)2 222聯(lián)立 k2x2 2k2 4 x k2 0y 4x2則 x x 2k 4 2 X x222 2 5kk因為直線y k x 1經(jīng)過c的焦點，一,4所以 AB x1 x2 p 4 . k-2同理可得MN 8

18、f， k所以 4 1612故選：D.【點睛】本題考查的是直線與拋物線的交點問題，運用拋物線的焦點弦求參數(shù)，屬基礎(chǔ)題。13. 9【解析】【分析】 結(jié)合f x的定義域，判斷出 f x的單調(diào)性，由此求得 f x的最小值.【詳解】9. f x的定義域為1, ，且f x在定義域上單調(diào)遞增，f x min f 1故答案為：9【點睛】本小題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性求最值，屬于基礎(chǔ)題k ._14. x k Z 8【解析】【分析】根據(jù)含有絕對值的三角函數(shù)的對稱性列方程，解方程求得f x的對稱軸.【詳解】kk ._依題意，令4x k Z ,得函數(shù)f x的對稱軸方程為xk Z .28故答案為：x k k Z8【點睛

19、】本小題主要考查含有絕對值的三角函數(shù)的對稱軸的求法，屬于基礎(chǔ)題15. 3 2反【解析】【分析】根據(jù)線面角的概念判斷出線面角，由此求得線面角的正切值，再結(jié)合兩角和的正切公式，求 得tan 的值.【詳解】因為CCi , DDi都與底面ABCD垂直,所以CBCi ,1DBDi , tan i, tan & ,所以tan3 2 2.故答案為：3 22HB2' y' 3x ,，曲線則a33a2an 1an . an0,則an是首項為1,公比為的等比數(shù)列,從而32a3ai365227本小題主要考查線面角的求法，考查兩角和的正切公式，屬于基礎(chǔ)題16. 【解析】【分析】33先利用導(dǎo)致求

20、得曲線 y x在點an,an處的切線方程，由此求得 an 1與an的遞推關(guān)系式,進而證得數(shù)列an是等比數(shù)列，由此判斷出四個結(jié)論中正確的結(jié)論編號3,3 3- 2y x在點an,an處的切線萬程為 y an 3an x an ,故所有正確結(jié)論的編號是 故答案為：本小題主要考查曲線的切線方程的求法，考查根據(jù)遞推關(guān)系式證明等比數(shù)列，考查等比數(shù)列通項公式和前n項和公式，屬于基礎(chǔ)題17. (1) 79；3(2)一5由此求得成績的平均分的估計值(1)首先根據(jù)頻率分布直方圖計算出答對題數(shù)的平均數(shù),(2)利用列舉法，結(jié)合古典概型概率計算公式，計算出所求概率(1)因為答對題數(shù)的平均數(shù)約為1 0.025 3 0.0

21、25 5 0.0375 7 0.125 9 0.1875 11 0.1 2 7.9.所以這40人的成績的平均分約為 7.9 10 79.(2)答對題數(shù)在 2,4內(nèi)的學(xué)生有0.025 2 40 2人，記為A, B;答對題數(shù)在 4,6內(nèi)的學(xué)生有0.0375 2 40 3人，記為c, d , e.從答對題數(shù)在2,6內(nèi)的學(xué)生中隨機抽取 2人的情況有 A, B , A,c , Ad , A,e ,B,e , c,d , c,e , d,e ,共 10種,恰有1人答對題數(shù)在2,4內(nèi)的情況有 A,c ,A,d , A,e , B,c , B,d , B,e ,共6種,6故所求概率P -10本小題主要考查利用

22、頻率分布直方圖估計平均數(shù), 考查計算古典概型概率問題，屬于基礎(chǔ)題.18. (1)西(2)巫434(1)根據(jù)正弦定理，可得 ABC為直角三角形,然后可計算b,可得結(jié)果.(2)計算AE,AD ,然后根據(jù)余弦定理，可得 cos DAE ,利用平方關(guān)系，可得結(jié)果(1) ABC 中，由 csinC = asinA+bsinB,利用正弦定理得 c2=a2+b2,所以 ABC是直角三角形.又 a=3, B = 60° ,所以 b a tan 60o 373;所以 ABC的面積為s 1ab 述 22(2)設(shè) D 靠近點 B,則 BD=DE = EC=1.AE Jb2 CE2 2由'AD 舊

23、CD2 后AE2 AD2 DE229.217所以 cos DAE 2AE AD434所以sinDAE ,1 cos DAE3,651434【點睛】本題考查正弦定理的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題19. (1)證明見解析;(1)首項通過證明AP CD,CD / /BE ,證得AP BE ,然后通過證明四邊形 ABCE是正方形證得BE AC,由此證得BE平面APC,所以BE PO.通過證明 PAC為等 腰直角三角形證得 PO AC ,由此證得PO 平面ABCD.(2)利用等體積法，由Vc pab Vp abc列方程，解方程求得點 C到平面PAB的距離.【詳解】(1)證明： AP 平面 PCD, AP CD .1，

24、一一., AD/BC , BC AD, 四邊形BCDE為平行四邊形， 2BE/CD ,AP BE .1 ，又AB BC, AB BC AD ,且 E 為 AD 的中點，2，四邊形ABCE為正方形，BE AC.又 AP AC A, BE 平面 APC ,則 BE PO .AP 平面 PCD, AP PC ,又 AC &AB &AP，PAC為等腰直角三角形， O為斜邊AC上的中點， . PO AC 且 ACI BE O,.PO 平面 ABCD.(2)解： OB 1 , PA PB AB 行.設(shè)C到平面PAB的距離為d ,由 VC PAB VP ABC ,/曰 1、,3- 2倚.2

25、d34【點睛】本小題主要考查線面垂直的證明，考查點面距的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力, 屬于中檔題.20. (1)9,0 U 0,1 ; (2)證明見解析【解析】【分析】(1)求得f x的導(dǎo)函數(shù)f x ,對a分成a 0,a 0,a 0三種情況，結(jié)合f x在a 1,a 3上存在極大值，求得 a的取值范圍.(2)首先根據(jù)x軸是曲線y f x的一條切線求得a的值，構(gòu)造函數(shù)23g x f x x 23 ,利用導(dǎo)數(shù)求得g27x在區(qū)間1,上的最小值為0,由此證得g x 0,從而證得不等式成立(1)解：f ' x- 23x 2ax x 3x 2a ,令 f ' x2a3當(dāng)a 0時，f

26、' x 0 , f x單調(diào)遞增,f x無極值，不合題意;當(dāng)a 0時,則a 1 00處取得極大值,f x在x 處取得極小值，在 x3a 3,又 a 0,所以 0 a 1；2a 當(dāng)a 0時，f x在x 處取得極大值，在 x 0處取得極小值,3i 2a則al 2 3,又20,所以920.3綜上，a的取值范圍為9,0 U 0,1 .(2)證明：由題意得0,或r 40 , IP 270(不成立)，或434 ca 0 ,2727解得a設(shè)函數(shù)2327gx 3x 1所以1時,g0;當(dāng)1 時，g' x0.在x 1處取得極小值，且極小值為0.又g 10,所以當(dāng)x 1時，g x 0, 一23故當(dāng)x

27、1時，f x x.27【點睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題21. (1)證明見解析；(2)存在，x2212y 7求得a2 9b2取得最小, ，3 、19(1)將點1三 代入橢圓萬程得到 2 2 1,結(jié)合基本不等式,2a2 4b2值日a2 2b2,進而證得橢圓的離心率為(2)當(dāng)直線MN的斜率不存在時，根據(jù)橢圓的對稱性，求得 O到直線MN的距離.當(dāng)直線MN的斜率存在時，聯(lián)立直線 MN的方程和橢圓方程，寫出韋達定理，利用 OM ON ,則xx2 y1y2 0列方程，求得 m,k的關(guān)系式，進而求得 O到直線MN的距離 根據(jù)上述分 析判斷出所求的圓存在，進而求得定圓的方程【詳解】(1)證明:橢圓C經(jīng)過點94b222a 9b12 a94b29b28549b2-2a9a24b285449b22 a9a24b21215當(dāng)且僅當(dāng)9b2-Ta2b2 時,此時橢圓C的離心率2 a也2(2)解:.橢圓C的焦距為2, ab294b2b23.當(dāng)直線MN的斜率不存在時,由對稱性,Xo,XoXo, Xo .N在橢圓C上，2X02X0312T，O到直線MN的距離當(dāng)直線Xo122 21MN的斜率存在時,kx m2y34k2MN的方程為yX2 8kmX4m2kx m.1228km4k224m2 1