第一輪復(fù)習(xí)自己整理絕對(duì)經(jīng)典立體幾何文科--第一輪

1、立體幾何題型總結(jié)（2 015版文科）重要定理：直線與平而垂直的判立泄理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這兩條直線垂直于這個(gè) 平面.直線和平而平行性質(zhì)泄理:如果一條直線和一個(gè)平而平行,經(jīng)過這條直線的平而和這個(gè)平面相交,那么這條直線和 交線平行.平面平行判定左理:如果一個(gè)平而內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平而，那么這兩個(gè)平而平行.兩個(gè)平而垂直性質(zhì)判泄:如果一個(gè)平面與一條直線垂直,那么經(jīng)過這條直線的平而垂直于這個(gè)平面.兩個(gè)平而垂直性質(zhì)肚理:如果兩個(gè)平而垂直，那么在一個(gè)平而內(nèi)垂直于它們交線的直線也垂直于另一個(gè)平而推論:如果兩個(gè)相交平而都垂直于第三平而,則它們交線垂直于第三平而. 證

2、明：如圖,找O作OA、OB分別垂直于12,因?yàn)?PMU0.Q4 SPMUC（QB丄 則 PM 丄OAPM 丄08.一：夾角問題異而直線所成的角、直線與平而所成的角、二面角的取值范帀依次 直線的傾斜角、A到Z2的角、1 1J的夾角的取值范用依次是0,咒）,0,咒）,0,?）2異面直線所成角：范圍:（0o,90°（1）平移法:在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點(diǎn)，作另一條的平行線構(gòu)成三角形;解三角形求出角。（常用到余弦能理co S-E產(chǎn)）（2）補(bǔ)形法:把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等,其目的在于容易 發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系；（3）向量法。轉(zhuǎn)化為向量的夾

3、角cos。=AB ACRR（計(jì)算結(jié)果可能是其補(bǔ)角）直線與平面所成的角L£丄巫1斜線和平面所成的是一個(gè)直角三角形的銳角,它的三條邊分別是平面的垂線段、斜 線段及斜線段在平而上的射影。通常通過斜線上某個(gè)特殊點(diǎn)作出平而的垂線段,垂足和 斜足的連線,是產(chǎn)生線面角的關(guān)鍵；向量法:設(shè)直線/的方向向量為幾平而的法向量為亓，/與所成的角為與亓的夾角為0則有Sin = ICOS =二面角a-l-卩的平面角® 0 «9« 180（1）左義法:在棱/上取一點(diǎn)P，兩個(gè)半平面內(nèi)分別作/的垂線（射線）m、m貝IJ射線m和】的夾角&為二而角Q -I-的平而角O（2）三垂線法：

4、（三垂線定理法:A 作或證AB丄于B,作BO丄棱于O,連A0,則Ao丄棱/, ZAOB為所 求）向量法:設(shè)斤，加是二面角a-l-0的兩個(gè)而.0的法向量,則向Ml的夾角（或其補(bǔ)角）就是二而角的平面角的大小若二面角&一/一 0的平而角為0,則ICOS切=«.71I «2二、空間距離問題兩異面直線間的距離方法一：轉(zhuǎn)化為線而距離。如圖,m和n為兩條異而直線，ua且加a,則異而直m 和n之間的距離可轉(zhuǎn)化為宜線m與平而&之間的距離。方法二:高考要求是給出公垂線,所以一般先利用垂直作出公垂線,然后再進(jìn)行計(jì)算，直接計(jì) 算公垂線段的長度。點(diǎn)到直線的距離：一般用三垂線左理作岀垂

5、線再求解；向量法:點(diǎn)到直線距離:在直線/上找一點(diǎn)P,過左點(diǎn)A且垂直于直線/的向雖為亓，則左點(diǎn)A到直線/的距離為=PAllCOS(PAji)I =PAn點(diǎn)到平面的距離方法一:幾何法。步驟1:過點(diǎn)P作PO丄于O,線段PO即為所求。步驟2：計(jì)算線段Po的長度。（直接解三角形：等體積法和等面積法；換點(diǎn)法）等體積法步驟：在平而內(nèi)選取適當(dāng)三點(diǎn)，和已知點(diǎn)構(gòu)成三棱錐;求岀此三棱錐的體積V和所取三點(diǎn)構(gòu)成三角 形的而積S;由V=Is.h,求出h即為所求這種方法的優(yōu)點(diǎn)是不必作出垂線即可求點(diǎn)而距離.方法二:坐標(biāo)法。線面距.面面距均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距 P三、平行與垂直問證明直線與平面的平行：（1）轉(zhuǎn)化為線線平行：（2）轉(zhuǎn)化

6、為而而平行. 證明平面與平面平行：（1）轉(zhuǎn)化為線面平行；（2）轉(zhuǎn)化為線而垂直.PO丄a=> / 丄 In I 丄 OA/丄GHIU a證明線線垂直：（1）轉(zhuǎn)化為相交垂直；（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直；（3 ）轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直; 方法（2）：用線而垂直實(shí)現(xiàn)。方法（3）：三垂線定理及其逆立理。IUa證明線面垂直：（I）轉(zhuǎn)化為該直線與平而內(nèi)相交二直線垂直；（2）轉(zhuǎn)化為該直線與平而的一條垂線平行：（3） 轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個(gè)平行平而；（4）轉(zhuǎn)化為該直線與兩個(gè)垂直平而的交線垂直 方法（1）：用線線垂直實(shí)現(xiàn)。G丄0=> /丄 a a r = m => I 丄 / 丄 mJ /丄4C

7、/丄ABACoAB=AAC. AB U a面面垂直：方法一：用線面垂直實(shí)現(xiàn)。'丄° = 丄0/u0j "方法二：用面而垂直實(shí)現(xiàn)。方法二：計(jì)算所成二面角為直角。題型一：空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖、旋轉(zhuǎn)體、斜二測(cè)法了解柱、錐、臺(tái)、球體及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征,并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中的簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu)。 能畫出簡(jiǎn)單空間幾何體的三視圖，能識(shí)別上述三視圖所表示的立體模型,會(huì)用斜二測(cè)畫法畫出它們的直觀圖。能 用平行投影與中心投影兩種方法畫出簡(jiǎn)單空間幾何體的三視圖與直觀圖。了解空間幾何體的不同表示形式。會(huì) 畫某建筑物的視圖與直觀圖。例1 將正三棱柱截去三個(gè)角（如圖1所示A,

8、B9C分別是AGH/三邊的中點(diǎn)）得到幾何體如圖2,則該幾何體A.B.C.D.按圖2所示方向的側(cè)視圖（或稱左視圖）為（圖1圖2例2.由大小相同的正方體木塊堆成的幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體中正方體木塊的個(gè)數(shù)正視圖左視圖 俯視圖例3已知一個(gè)正四而體，其三視圖均為邊長為2的正方形,則這個(gè)正四而體的外接球的體積為.例10：如圖是一個(gè)幾何體的三視圖,根擁圖中數(shù)拯，可得該幾何體的表而積為（）A. 2W. 16;TC. 32rAD.8r側(cè)視圖例5：四棱錐P-ABCD的頂點(diǎn)P在底而ABCD中的投影恰好是A,英三視圖如圖, 則四棱錐P-ABCD的表而積為（）A. 3a2B. 2a2C. 3a2 + y2a

9、2D. 2a2+y2a2左視圖例6：三棱柱ABC-AIBlCI的體積為V, P、Q分別為AA, CC,上的點(diǎn)，且滿足A P=C1Q,則四棱錐B-APQC的體積是例7：如圖，斜三棱柱ABC-AIBICI中，底面是邊長為a的正三角形,側(cè)棱長為b,側(cè)棱AA'與底面相鄰兩邊AB、AC都成4 5。角，求此三棱柱的側(cè)面枳和體枳.例&如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)（單位：Cm）,可知幾何體的體枳是主視圖側(cè)視圖俯視圖真題：201 5奇考新課標(biāo)1 ,文6九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題:“今有委米依垣 內(nèi)角，下周八尺，高五尺,問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋

10、內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一）， 米堆底部的弧長為8尺,米堆的髙為5尺,米堆的體枳和堆放的米各為多少?“已知1斛米的體積約為1.6 2立方尺, 圓周率約為3,估算出堆放的米有（）A. 14 斛B.22 斛C.36 斛D.66 斛2 015高考浙江，文2某幾何體的三視圖如圖所示(單位:Cm ),則該幾何體的體枳是()32A. 8 cm3B 12 cm3C . cm33rx 403DCm2015髙考浙江,文7如圖,斜線段AB與平而所成的角為60 , B為斜足,平面上的動(dòng)點(diǎn)P滿足ZPAB = 30側(cè)點(diǎn)P的軌跡是(A 直線B.拋物線)C橢圓2015髙考新課標(biāo)1,文11】圓柱被一個(gè)平而

11、截去一部分后與半球(半徑為小組成一個(gè)幾何體,該幾何體的三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示,若該幾何體的表面積為16 + 20G則廠=()(A) 1(B) 2(C) 4(D) 8【2 015高考陜西，文5 一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為()A.3t BA C.2r+4 D 3龍+4俯視圖2015高考福建,文9】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表而枳等于( )A.8 + 22 B.ll + 22 C. 14 + 2D.152015髙考湖南,文10某工作的三視圖如圖3所示，現(xiàn)將該工作通過切削,加工成一個(gè)體積盡可能大的正方體新工件,并使新工件的一個(gè)而落在原工作的一個(gè)而內(nèi),則原工件

12、材料的利用率為(材料利用率=新工件的體枳/原工件的體積)(A、竺9側(cè)視圖24(-1)?【2 0 1 5髙考天津，文10 一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位：m),則該幾何體的體積為正視圖(2015高考四川,文14】在三棱住ABaAlBlCl中,ZBA C= 9 0° ,其正視圖和側(cè)視圖都是邊長為1的正方形,俯視圖是直角邊長為1的等腰直角三角形,設(shè)點(diǎn)MJV, P分別是AB, BCBC的中點(diǎn)側(cè)三棱錐MMN的體積斜二測(cè)法:S斜=2V例9:一個(gè)水平放置的平而圖形的斜二測(cè)直觀圖是一個(gè)底角為45°,腰和上底邊均為1的等腰梯形，則這個(gè)平而 圖形的而積是（）A. 1÷- B. 2

13、+ C. 1 + D. 1 + 2 2 2例10：對(duì)于一個(gè)底邊在X軸上的三角形，采用斜二測(cè)畫法作岀其直觀圖，其直觀圖而枳是原三角形而枳的 （）A. 2倍B.H倍C遲倍D.丄倍422例11 :如圖，已知四邊形ABCD的直觀圖是直角梯形AiBiCiDi, KAlBI=BICl=2AD1=2, 則四邊形ABCD的而積為（）A. 3 oB.3r（2）C.6錯(cuò)誤！ 。1）6例12：用斜二測(cè)畫法畫一個(gè)水平放置的平而圖形為如下圖的一個(gè)正方形，則原來圖形的形狀是（）旋轉(zhuǎn)體：例1 3：下列幾何體是旋轉(zhuǎn)體的是（）、CD = 22 , A£) = 2,例14:如圖，在四邊形ABCD中，ZDA3 = 90&

14、#176;,二./：.求四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積及體枳.真題:2015髙考山東，文9】已知等腰直角三角形的直角邊的長為，將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲而所恫成的幾何體的體積為（)(0)22(B) 4r型二：定義考察類題型例15：已知直線/、加，平面Q.",則下列命題中假命題是（）A 若 0,u,則/0 B.若 allP . I 丄 ,則/丄 0C.若/Ha、me: a 貝l Hmd.若cr丄0、ac卩=I、加Ua,加丄/,則加丄0例16：給左下列四個(gè)命題： 若一條直線與一個(gè)平而平行，那么過這條宜線的平而與這個(gè)而相較,則這線平行于交線 若一條直線與

15、一個(gè)平面垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任一宜線 若兩個(gè)平而平行,那么分別任這兩個(gè)平而內(nèi)的兩條直線平行 若兩個(gè)平面垂直,那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩直線垂直其中，為真命題的是（）A.錯(cuò)誤!和錯(cuò)誤！B錯(cuò)誤!和錯(cuò)誤!C.錯(cuò)誤!和錯(cuò)誤!D.錯(cuò)誤!和錯(cuò)誤!例17:已知2/是兩條不同直線，a、隊(duì)Y是三個(gè)不同平面，下列命題中正確的是（）A.若丄0, InUa,則加丄0圖若丄齊0丄兒則all C.若加H a Ju H隊(duì)則a H D. 丄 PjUa J 丄 c、ac0 = cn /丄0例18:已知加、“是兩條不同的直線,Q、0是兩個(gè)不同的平而,有下列命題:若 In ua、nll a、則 mH n ；若 In

16、Il a f InllPy 則 all 若m丄,加丄n ,則Wlla :若川丄a、!丄0,則all 其中真命題的個(gè)數(shù)是（）A. 1個(gè)B.2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)例19：如圖，四棱錐S-ABCD的底面為正方形，SD丄底而ABCD,則下列結(jié)論中不正確 的是（）A. AC 丄SBB. A B 平而SCDC、SA與平面SBD所成的角等于SC與平而SBD所成的角D. AB與SC所成的角等于De與SA所成的角A. AwaAW 0、B W , B G 0, => u 0例20：已知久0為不同的平而，A、B. M. N為不同的點(diǎn)，d為直線，下列推理錯(cuò)誤的是（）B. MW a、M 已 0、NWa.Nw 隊(duì)

17、 naQ3 = MNC. 4w,Aw0,=>0 = AD. A、B、MB、M w0,且 A. B、M 不共線=>a、0 重真題：2015高考浙江，文4】設(shè), 0是兩個(gè)不同的平而,/,加是兩條不同的直線,且IUa,加u0（）A.若/丄0,則丄0B.若G丄0,貝J丄加C. 若 lll 側(cè) allD.若 all ,則 IIIm20 15高考廣東，文6】若直線A和厶是異面直線/在平而Q內(nèi)，厶在平而“內(nèi)，/是平面與平而0的交線, 則下列命題正確的是（）A. /至少與71, II中的一條相交！/與人仏都相交C. I至多與1, I2中的一條相交D. /與,厶都不相交【20 1 5高考湖北,文5】

18、厶丄表示空間中的兩條直線，若r.llJ2是異面直q. I1J2不相交,則（）A. P是"的充分條件,但不是q的必要條件B. "是g的必要條件,但不是g的充分條件C. p是“的充分必要條件D Q既不是g的充分條件，也不是"的必要條件題型三：直線與平面、平面與平面平行的判定與性質(zhì)線線平行判定定理性 質(zhì) 定 理線線垂直-線吊岳平行線面i垂直面面平行判性 定質(zhì)定丨定面面垂直及其逆定理 三垂線定理（2）平面的法向量與平面0的法向證明平行的方法：線線平行:相似，全等；平行線判斷定理（內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)等），（髙中階段一般不考，只作為轉(zhuǎn)化的一個(gè)橋梁）。線面平行：（1 ）根

19、據(jù)定理證明（線線=> 線面）；（2）通過而而平行的性質(zhì)泄理（面面n線面） 面面平行：（1）平面中分別有兩條相交線與平面”的兩條相交線平行 量平行例21:如圖，在四棱錐P-ABCD中，底WiABCD是邊長為的正方形, 側(cè)面陽D丄底面ABCD,且PA = PD = -AD,若E、F分別2為PC、BD的中點(diǎn).（1 ）求證：EF 平PAD;（2）求證:平PDC丄平面PAD.例22：如圖所示，在正方體ABCD-AIBICIDl , M, N分別是C1C, B1C1的中點(diǎn)，求證：MNlI平而A1BD.OBNC例23:如圖，直棱柱ABC-ABICI ,D,E分別是AB.(I) 證明 IBC./A1CD

20、(II) 求A到面ACD的距離例24 :如圖所示,在四棱錐O-ABCD中，底而ABCD四邊長為1的菱形，ZABC=-,OA丄底而ABCI),OA二2為OA的中點(diǎn),N為BC的中點(diǎn)4(I )證明：直線Nd N 平而OCD :(Il)求異面直線AB與MD所成角的大?。?In)求點(diǎn)B到平而OCD的距離匚例25：如圖,已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直,點(diǎn)M . N分別在對(duì)角線BD AE上,且例26：如圖,在正方體ABCD-Ai BIC D中川、N、P分別是GC、BG、GI兒的中點(diǎn)，求證:平面MNP 平面A 1BD.例27:已知四棱錐P-ABC D中，底而ABCD為平行四邊形.點(diǎn)隊(duì)N、Q分別

21、在PA. BD. PD上， 且PM： MA=BN: ND二 PQ:QD求證：平而 MNQ 平而 PBC.型四:線與面、面與面的垂直的證明方法三垂線定理:如果在平而內(nèi)的一條直線與平而的一條斜線在這個(gè)平而內(nèi)的射影垂直,則它也和這條直線垂直。 三垂線逆定理:如果：如果在平而內(nèi)的一條直線與平而的一條斜線垂直，則它也和這條直線在這個(gè)平而內(nèi)的射影 垂直。/o例2 8 ：直三棱柱ABC-A IBIC 1, AB丄BC,E是處C的中點(diǎn)，EDIAXC且交AC于D, AiA = AB = BC證明:B1C1/平而AIBC ; (II)證明：AlC丄平而EDBC例29：如圖所示，已知四棱錐P-ABCD的底而ABCD

22、是菱形:PA丄平而ABCD,PA = AD = AC ,點(diǎn)F為PC的中點(diǎn)(I) 求證：PA/平而BFD ;(II) 求證面PAC丄BFD例30:如圖，在棱長為d的正方體BCD-A1B1C1D1 , E、F、G分別 是CB、CD、CCl的中點(diǎn)。(1)求證:平面ABlDl 平面EFG ;(2)求證：£F丄平而AC例31:如圖，在三棱柱ABC-Ai側(cè)而ABBiAl, ACCIA均為正方ZBAC = 90 f點(diǎn)D是棱BIG的中點(diǎn).(I)求證：AQ丄平而BBCC ;(II)求證:ABi / 平而 AlDC ;例3 2 :如圖所示,四棱錐P-AB CD中.PA=AD=CD=2 A B=2,M為P

23、C的中點(diǎn)。求證：B M 平而PAD：(2)在側(cè)面PAD內(nèi)找一點(diǎn)N,使MN丄平® PBD；(3 )求直線PC與平而PBD所成角的正弦。例33:在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD是正方形,M4丄平ffilBCD , PD / MA , E、G F分別為ME、PE、PC的中點(diǎn),且 AD = PD = 2MA (I )求證：平面EFG丄平ffiPDC;(II)求三棱錐P - MA3與四棱錐P - ABCDffy體積之比.Cl例34：如圖,在直三棱柱ABC- A 1 B 1 Cl , AC=BC,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)。(1)求證:BCi /平面CAQ(2 )求證：平而CAiD丄平而AAlBIB例

24、35：如圖所示，已知矩形ABCD , A B=IO, BC=6,將矩形沿對(duì)角線BD把AABD折起，使A移到兒點(diǎn),C且人在平面BCD上的射影0恰好在C D上. (I )求證：BC 丄 AlDi(II)求證:平面AiBC丄平而AlBD ；(【)求三棱錐A-BCD的體積真題：20 15高考山東，文18】 如圖,三棱臺(tái)DEF-ABC中.AB = 2DE, G, H分別為AC, BC的中點(diǎn).(I) 求iiE: BD/平而 FG(II) 若CF丄3G A3丄BG求證:平而BeD丄平而EGHC型五：空間中的夾角知識(shí)點(diǎn)：夾角的分類:線線夾角、線而夾角、而而夾角三者在計(jì)算或證明時(shí)的轉(zhuǎn)換關(guān)系：而面k線面k線線計(jì)算

25、三種夾角的方法:勾股定理、向呈:、坐標(biāo)等，對(duì)于夾角問題我們一般分為三個(gè)步驟:找角,證明所找的角，計(jì)算所找角的大小(切記不可找出來之后不證明就開始計(jì)算)異面直線的夾角問題：例3 6：在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是一直角梯形，ABAD = 90*，D/ BeAB = BC = (IAD = Ia PA j_ 底面ABcQ, PD 與底而成 3 0°(1)若AE丄PD, E為垂足，求證：BE丄PD ;(2) 在(1 )的條件下,求異而直線AE與CD所成角的正切值：例3 7：如圖，已知P是平行四邊形ABCD所在平而外一點(diǎn)，1、N分別是AB、PC的中點(diǎn).(1) 求IiEiMN/平面PA

26、D； (2)若MN = BC = 4, PA = 43 ,求異而直線PA與MN所成的角的大小例3 8:如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形,MD丄平ABCD,NB丄平面ABCD,且MD=NB=I, E為BC的中點(diǎn)，求異面直線NE與AM所成角的余弦值例39：如圖,在正方體ABCD-AIBICIDI中，M . N分別是CD、CG的中點(diǎn)，貝IJ異而直線AM與DN所 成的角的大小是O例40：已知正四而體ABCD邊長均為,如圖所示，EF分別為AD.BC的中點(diǎn)，連接AF.CE,求異而 直線AFXE所成角的余弦值。例41：已知S是正三角形ABC所在平而外的一點(diǎn),如圖SA=SB=Se且ZASB = Z BS

27、C = ZCSA=* ,N分別是AB和SC的中點(diǎn).求異面直線SM與BN所成的角的余弦值.SA例42:已知三棱柱ABC-AlB1Ci的側(cè)棱與底而邊長都相等，人在底BC±的射影為BC的中點(diǎn),則異面直線AB與CCI所成的角的余弦值為()<c>4(D)I例43：如圖,在正方體ABCD-AB CD中，EF分別是AB',BC的中點(diǎn)。(1)若M為33'的中點(diǎn)，證明：平而EMF平面ABCD(2 )求異而直線EF與AD所成的角例44:如圖,四而體A BCD中,AB丄BC,AB丄BDBC丄C Dt且A B=BC= 6,BD = 8, E是AD中點(diǎn),求BE與C D所成角的余弦值

28、。A線面夾角(了解)：例45 :如圖，四棱錐P-ABCD中，底ABCD為菱形，PA丄底面ABCD, ACpQ, PA二AD二2, E是PC上的一點(diǎn), 設(shè)二而角A-PB-C為9 0° ,求PD與平而PBC所成角的大小。例4 6:如圖，直三棱柱ABC-AlBICI中，丄AC, D. E分別是必BlC的中點(diǎn),DE丄平BCC1(1) 證明:AB=AC(2) 設(shè)二面角A-BD-C為60°,求Ble與平而BCD所成的角的大小B真題:2 0 15髙考浙江，文18】如圖，在三棱錐ABC-AiBlG中,ZABC = 90 AB = AC = 2, AA1 = 4, A1在底ABC的射影為BC

29、的中點(diǎn)，D為EG的中點(diǎn).(1)證明：AD丄平面A1BC;(2)求直線AlB和平面BBICCI所成的角的正弦值.20 1 4高考，文18】如圖，四棱錐P-ABCD中，底而ABCD為菱形，PA丄底而ABCDy AC = 22, PA = 2. E是PC上的一點(diǎn)，PE = IEC.（DiiE明：PC丄平面BED：（H）設(shè)二而角A-PB-C為90 ,求Pr）與平而PBC所成角的大小。2015高考湖南,文1 8】（本小題滿分1 2分）如圖4 ,直三棱柱ABC-A咼G的底而是邊長為2的正三角形,EF分別是BC,CC的中點(diǎn)。（I）證明：平而AEF丄平而B1BCC1;（II）若直線AIC與平而AIABBI所成

30、的角為45：,求三棱錐F-AEC的體積。:點(diǎn)線距離（定義法、等體積法、向量法.空間坐標(biāo)法）；線面距離;面面距離。例47：已知正四棱柱ABCD-AlCiDl的地而邊長為1,則棱場(chǎng)為2,點(diǎn)E為CG的中點(diǎn)求點(diǎn)耳到平而BDE的距藹。E例48：已知正四棱柱BCD-AIBICIDI中，AB = 2, CC1=22, E為CG的中點(diǎn)，則直線AG與平而BED的距禽為()A. 2B IC. 2D. 1例49:在ABC中,AB=15, ZCA = 120°,若ABC所在平面外一點(diǎn)P到A、B、C的距離都是14,則P 到G的距離是()A. 13B. 1 1C. 9D. 7QA = 2, M為OA的中點(diǎn)，N為

31、BC的中點(diǎn)D例50：如圖，在四棱錐O -AECD中，底而ABCD四邊長為1的菱形，ZABC = -I OA丄底iABCD ,(【)證明：直線MNIl平面OCD J()求異而直線AB與MD所成角的大小;(IIl)求點(diǎn)B到平而OCD的距離。例 51： 和B 為平而， = ,A,AB=5,A> B 在棱 1 上的射影分別為 A' , B ' , AA' =3, BB'2兀=2.若二而角a-的大小為-廠 求,點(diǎn)B到平而CC的距離為 例52:P為矩形ABCD所在平而外一點(diǎn)，且PA丄平而ABCD, P到B, C , D三點(diǎn)的距離分別是5, 7 , 13,5ljP到A點(diǎn)

32、的距離是(A. bB. 2D.4例53：如圖，在四棱錐O-ABCQ中,底面A3CQ四邊長為1的菱形，ZABC = -. OA丄底ABCD,4QA = 2, M為OA的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)(I)證明：直線MN 平面OCD ；(H)求異面直線AB與MD所成角的大?。?IlI)求點(diǎn)B到平而OCD的距禽例 54：如圖，直四棱柱 ABCD - AiBi CIDX 中，ABCD, AD 丄 AB, AB= 2 t AD=V 2, AA=3, E 為CD 上一點(diǎn),DE=1,EC=3(1) 。證明：BE丄平面BBCC;(2) 求點(diǎn)Bl到平面EAiCl的距離例55：如圖，已知多而體ABC-DEFG中，AB、AC

33、、AD兩兩互相垂直,平而ABC 平而DEF&平而BEF 平而ADGC, AB=AD=DG二2, AC=EF=IoG(1) 試判斷CF是否與平而ABED平行?并說明理由;(2) 求多面體ABC-DEFG的體枳。例 56:如圖，四面體 ABCD 中，0、E分別是 BD. BC 的中點(diǎn)，CA = CB = CD = BD = 2、AB = AD = JLE(I)求證：40丄平而BCD：(I I )求點(diǎn)E到平而ACD的距離。例 57：如圖，在四棱錐 P-ABCD 中，PD丄平面 ABCD, PD =DC二BC二 1, A B = 2 , ABDC, ZBCD= 9 0%(1) 求證:PC丄BC

34、;(2) 求點(diǎn)A到平而PBC的距離。題型七:求體積問例58:如圖，ABEDFC為多而體，平而ABED與平而ACFD垂直，點(diǎn)O在線段AD ±9 OA = . OD = 2, OAB, OAC,ODE, 0D F 都是正三角形。M( 9(I )證明直線BC/EF ； (II)求棱錐F-OBED的體積例59：如圖，三棱柱ABC-AIBICl,側(cè)棱垂直底而，ZACB=90° ,AC=BC=錯(cuò)課!AA“ D是棱AA,的中點(diǎn) 證明：平面BDCI丄平面B D C(II) 平而BDCI分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比真題：2015高考北京，文18 (本小題滿分1 4分)如圖，在三棱錐V

35、-ABC中，平而VAB丄平而ABC, VAB為等邊三角形，AC丄BC且AC = BC =近，0, M分別為AB, VA的中點(diǎn).(I)求證：VB/平而MoC； ( I I )求證:平面MOC丄平而VAB ： (III)求三棱錐V-ABC的體積.2015髙考新課標(biāo)1,文18(本小題滿分1 2分)如圖四邊形ABCD為菱形，G為AQ與BD交點(diǎn),BE丄平面ABCD.(I)證明:平而AEe丄平而BED ；(I I)若 ZABC = I2( , AE = EC,三棱錐 E-ACD 的體積為求該三棱錐的側(cè)而積.2015高考重慶，文20】如題(20)圖，三棱錐P-A BC中，平而PAC丄平而ABCZABC =

36、-,點(diǎn)D. E在2線段AC上，且AD=DE=EC=2, PD=PC=4,點(diǎn)F在線段AB上,且E F/ BC(I)證明：AB丄平面PFE.(II)若四棱錐P-DFBC的體積為7,求線段BC的長.型八:翻折與展開問題及探索問例6 O:如圖所示,等腰ABC的底邊AB = 6艮 髙CD = 3 ,點(diǎn)E是線段BD上異于點(diǎn)B, D的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)F在BC邊匕 且EF丄AB.現(xiàn)沿EF將EF折起到ZkPEF的位置,使卩£丄AE,記BE = x, VZcV)表示四棱錐P-ACFE的體積(1)求H(X)的表達(dá)式：(2)當(dāng)X為何值時(shí)，V(X)取得最大值？當(dāng)H(X)取得最大值時(shí)，求異而直線AC與PF所成角的余弦值

37、.例61:在直角梯形ABEF中(圖中數(shù)字表示線段的長度)，將直角梯形DCEF沿CD折起，使平而DCEF丄平而ABCD,連結(jié)部分線段后用成一個(gè)空間幾何體,(I )求證：3E平而ADF；(II)求三棱錐F-BCE的體積例62：正方形A BCD的邊長為1,分別取邊BC、CD的中點(diǎn)E、F,連接AE、EF. AF.以AE、EF、FA為折痕, 折疊這個(gè)正方形，使點(diǎn)B、C、D重合于一點(diǎn)P,得到一個(gè)四面體,如圖(2)所示.(1)求證：AP丄EF;(2 )求證：平面AP E丄平而APF22例63:如圖4,在邊長為1的等邊三角形ABC中，DE分別是AB. AC邊上的點(diǎn)，AD = AEy F是3C的中點(diǎn)，AF與DE

38、交于點(diǎn)G ,將ABF沿AF折起,得到如圖5所示的三棱錐A 一 BCF ,其中BC =證明：DE/平面BC(2)證明：CF丄平而ABF ;2當(dāng)AD = -時(shí)，求三棱錐F-DEG的體積汗陽圖乙例68:如圖甲，在直角梯形P3CD中，PBIlCD. CD丄BC、BC = PB = ICDy A是PB的中點(diǎn)現(xiàn)沿AD把平而P4D折起,使得QA丄仙(如圖乙所示)，E、F分別為BC、AB邊的中點(diǎn).求證：PA丄平而ABCD；(2) 求證:平面PAE丄平而PDE ；(3) 試探究在PA上是否存在一點(diǎn)G ,使得FG/平而PDE, 并說明理由.真題：2 015髙考陜西.文18】如圖1在直角梯形ABCD中，ADH BC

39、yZBAD = -,AB = BC =-AD = a .E是 2 24D的中點(diǎn),O是OC與BE的交點(diǎn),將AABE沿BE折起到圖2中AAlBE的位置,得到四棱錐A - BCDE .(I)iE明:CD 丄平而 ApC (II)當(dāng)平而AlBE丄平而BCDE時(shí)，四棱錐AI-BCDE的體積為362 ,求"的值A(chǔ)1(A)【2014髙考,文19】如圖所示：邊長為2的正方形ABFC和髙為2的直角梯形ADEF所在的平而互相垂直且DE = 2 , ED/AF 且ZDAF二90°。(1) 求BD和而BEF所成的角的余弦；(2)線段EF上是否 存在點(diǎn)P使過P、A、C三點(diǎn)的平面和直線DB垂直,若存在

40、， 求EP與PF的比值；若不存在,說明理由。2 0 15髙考安徽，文1 9】如圖,三棱錐P-SBC中¾丄平而AB CPA = ,AB = IMC = ZZBAC = 60 .(【)求三棱錐P-A BC的體枳;(II)證明：在線段PC上存在點(diǎn)M,使得AC丄BW 并求空的值.MC2015髙考福建,文20】如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是圓O上異于的點(diǎn),PO垂直于圓O所在的平而, 且 PO = OB = I.(I)若D為線段AC的中點(diǎn)，求UEAC丄平而PDO; (II)求三棱錐P-ABC體積的最大值：(In)若BC =邁點(diǎn)E在線段PB上，求CE+OE的最小值.(1)球的截面(一圓)的性質(zhì):球

41、心O與圓心0的連線OS與圓而垂直球心與圓面的距離d = R2-r2(2)球而上兩點(diǎn)A, B的球而距離圧義:經(jīng)過A, B兩點(diǎn)的大圓的劣弧長求法:利用大圓O與小圓°】的公共弦AB,注意劣弧A B所對(duì)的圓心角是角AoB而不是角AsB(3)經(jīng)度與緯度緯度:某點(diǎn)P的緯度就是指經(jīng)過這點(diǎn)的球半徑與經(jīng)過這點(diǎn)的緯度圈所在的平而的夾角經(jīng)度：某點(diǎn)P的經(jīng)度就是指經(jīng)過這點(diǎn)的經(jīng)線與地軸確龍的半平而與0°經(jīng)線與地軸確龍的半平而所在的二面角的大小.(4) 球內(nèi)接長方體的性質(zhì)：長方體的中心就是球心，長方體的對(duì)角線長就是球的直徑(5) 正四而體的內(nèi)切球與外接球的性質(zhì)：它們是同心球,球心在正四體的髙線上，內(nèi)切球

42、與外接球的半徑的和等于正四而體的高,求解時(shí)可利用等體積法.(6 )球體積V = -R球的表而積S = 4* 弧長公式l = aR = - 3180一:外接球的有關(guān)問題棱錐的內(nèi)切、外接球問題例69:正四而體的外接球和內(nèi)切球的半徑是多少？例70：設(shè)棱錐M-ABCD的底而是正方形,且MA = M£，MA丄A3,MEB如果D的而積為1,試求能夠放入這個(gè)棱錐的最大球的半徑.例7個(gè)長方體的各頂點(diǎn)均在同一球而上,且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱長分別為1,2,3,則此球的表而積為例72：已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球而上的正四棱柱髙為4,體積為1 6 ,則這個(gè)球的表而積為（）D. 32;TB. 20”例7 3： 個(gè)六棱

43、柱的底而是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底而，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球而上,且該六棱柱9的體積為-，底而周長為3,則這個(gè)球的體積為8例74:正四棱錐S-AECD的底而邊長和各側(cè)棱長都為丁夕，點(diǎn)S、4、B、C、D都在同一球面上,則此球的體積為例75：表而積為23的正八而體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球而上,則此球的體積為2二：球類的截面問題例7 6：球而上有三點(diǎn)A、B、C組成這個(gè)球的一個(gè)截面的內(nèi)接三角形三個(gè)頂點(diǎn),英中AB= 18, BC = 24、 AC = 30.球心到這個(gè)截而的距離為球半徑的一半,求球的表面積.例77：過球O表而上一點(diǎn)A引三條長度相等的弦AB. AC. AD.且兩兩夾角都為60。.若球

44、半徑為R ,求弦 AB的長度例78:已知球。的面上四點(diǎn)A、B、C、D, DA丄平面ABCAB丄BC, DA=AB=BC=3則球°的體積 等于.例 79:已知點(diǎn) A、B. C、D 在同一個(gè)球而上，ABdTlRiBCD, BCdDC,若 AB = 6, AC=213 ,AD=8 則 球的體積是例8 0:球而上有3個(gè)點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)的球面距藹都等于大圓周長的丄，經(jīng)過3個(gè)點(diǎn)的小圓的周長為4兀,求這個(gè)球的半徑.例81： 一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的球而上,其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，則該正三棱錐的體積是（）例82：直三棱柱ABC-AIBICI的各頂點(diǎn)都在同一球而上,若AB =

45、 AC = AAI =2, ZBAC = I20o 9則此球的 表面積等于例83：正三棱柱ABC-AIBICI內(nèi)接于半徑為2的球，若人B兩點(diǎn)的球而距離為;T,則正三棱柱的體積為例84:用兩個(gè)平行平而去截半徑為R的球而，兩個(gè)截而圓的半徑為r1 = 24Cm , r2=5cm.兩截而間的距離為 d = 21 Cm.求球的表面枳.三:球面距離例8 5：過球面上兩點(diǎn)作球的大圓,可能的個(gè)數(shù)是（）.A.有且只有一個(gè)B. 一個(gè)或無窮多個(gè) C.無數(shù)個(gè)D.以上均不正確例86:已知A. B是半徑為的球O的球而上兩點(diǎn),它們的球而距離為-R.求過A、B的平而中,與球心的最大距離是多少？例8 7：在球心同側(cè)有相距9c7

46、"的兩個(gè)平行截而,它們的而積分別為49tvrr和400加.求球的表面積.例88：如圖球0的半徑為2,圓Ol是一小圓，QO =血，A、B是圓Q上兩點(diǎn),若A, B兩點(diǎn)間的球而距離為學(xué),則 ZAOIB二例8 9：在半徑為3的球而上有A,B,C三點(diǎn)，ABC = 90BA = BC ,球心O到平而ABC的距離是羋，則3、C兩點(diǎn)的球而距離是（D. 2例90：在矩形ABCD中，A3 = 4,3C = 3,沿AC將矩形ABCD折成一個(gè)直二而角B ACD,則四而體四：其它問題ABCD的外接球的體積為（）125A. 12125C. D.125并放入一個(gè)半徑為,的鐵球，這時(shí)水面恰例9 1：-個(gè)倒圓錐形容器

47、,它的軸截而是正三角形，在容器內(nèi)注入水,好和球而相切問將球從圓錐內(nèi)取岀后,圓錐內(nèi)水平而的高是多少?例92 :個(gè)六棱柱的底而是正六邊形，其側(cè)棱垂直底而已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球而上,且該六棱柱的9體積為-，底而周長為3,則這個(gè)球的體積為8 例93： （2 012新課標(biāo)理）已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的求面上，AABC是邊長為1的正三角 形，SC為球O的直徑，且SC = I M此棱錐的體積為（）A渥B.逅C.旦D.6632例94： （2 0 12遼寧文）已知點(diǎn)P,A, B, C, D是球O表而上的點(diǎn)，PA丄平面ABCD,四邊形ABCD是邊長為2 J亍 正方形.若PA = 26,則AOAB的面積為.例95:在底而邊長為2的正方體容器中，放入大球，再放入一個(gè)小球,正好可以蓋住蓋子（小球與大球都與蓋子 相切），求小球的半徑。例96:自半徑為R的球而上一點(diǎn)M ,引球的三條兩兩垂直的弦MAMC,求MA2+ MB2 +MC2的值.例97：在棱長為1的正方體內(nèi)有兩個(gè)球相外切且又分別與正方體內(nèi)切（ 1 ）求兩球半徑之和：（2）球的半徑為多少 時(shí)，兩球體積之和最小.例98:有一個(gè)水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器髙8 cm,將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球而恰好接