十大高中平面幾何幾何定理匯總及證明

1、高中平面幾何定理匯總及證明之助阻及廣創(chuàng)作1.時(shí)間：二O二一年七月二十九日2.共邊比例定理有公共邊AB的兩個(gè)三角形的極點(diǎn)分別是P、Q,AB與PQ的連線交于點(diǎn)M,則有以下比例式成立： PAB的面積： QAB勺面積=PMQM.證明：分如下四種情況，分別作三角形高，由相似三角形可證SJA PAB=(SPAM- SJA PMB)=(SAPAM/SPMB-1) XSAPMB=(AM/BM-1) X SzPMB等高底共線，面積比=底長(zhǎng)比)同理,SQAB=(AM/BM1) XSAQMB所以,SzPAB/SQAB=SPMB/SXQMB=PM/QM高底共線 ，面積比=底長(zhǎng)比)定理得證！特殊情況：當(dāng)PB/ AQ時(shí)，

2、易知 PAB與4QAB的高相等，從而SJAPAB=SQAB反之,SPAB=SQAB貝U PB/ AQ.3.正弦定理在任意一個(gè)平面三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦值的比相等且即是外接圓半徑的 2 倍"，即 a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2r=R （r為外接圓半徑,R為直徑）證明：現(xiàn)將 ABC做其外接圓，設(shè)圓心為O.我們考慮/C及其對(duì)邊AB.設(shè)AB長(zhǎng)度為c.若/C為直角，則AB就是。0的直徑，即c= 2r.sinC二1 （特殊角正弦函數(shù)值）c=2R若/ C為銳角或鈍角，過B作直徑BC'交00于C',連接C'A,顯然BC'= 2r=R.若

3、/C為銳角，則C'與C落于AB的同側(cè)，此時(shí)/ C'=/C （同弧所對(duì)的圓周角相等）C _ C在RtABC'中有標(biāo)'而7="若/C為鈍角，則C'與C落于AB的異側(cè)，BC的對(duì)邊為a,此時(shí)/ C'=/A,亦可推出 .考慮同一個(gè)三角形內(nèi)的三個(gè)角及三條邊，同理，分別列式可得sin A sin B蛀nC4 .分角定理在4ABC中,D是邊BC上異于B,C或其延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)連結(jié) AD,則有 BD/CD=(sin/BAD/sin/CAD)*(AB/AC).證明：SJA ABD/SX ACD=BD/C D(1.1)SJAABD/SXACD=(1/2) XA

4、BX ADX sin /BAD/(1/2)XACX ADX sin / CAD=(sin / BAD/sin / CAD) 乂 (AB/AC) (1.2)由1.1式和1.2式得BD/CD=(sin / BAD/sin / CAD) 乂 (AB/AC)5 .張角定理在4ABC中,D是BC上的一點(diǎn)，連結(jié)AD.那么泡棗+節(jié)件=胃”證明：柒設(shè)/ 1=/ BAD,/ 2=/ CAD由分角定理，SJA ABD/SX ABC=BD/BC=(AD/AC)*(sinZ 1/sin / BAC)f(BD/BC)*(sin / BAC/AD尸sin/ 1/AC (1.1)SJA ACD/SX ABC=CD/BC=(

5、AD/AB)*(sinZ 2/sin / BAC)f(CD/BC)*(sin / BAC/AD尸sin/ 2/AB (1.2)(1.(1) (1.2)式即得 sin/1/AC+sin/2/AB=sin/BAC/AD6 .帕普斯定理直線11上依次有點(diǎn) A,B,C,直線12上依次有點(diǎn) D,E,F,設(shè)AE,BD交于 G,AF,DC交于 I,BF,EC 交于 H,則 G,I,H 共線.7 .蝴蝶定理設(shè)S為圓內(nèi)弦AB的中點(diǎn)，過S作弦CF和DE.設(shè)CF和DE各相交AB于 點(diǎn)M和N,則S是MN的中點(diǎn).證明：過 O作 OLA ED,OT! CF,垂足為 L、T,連接 ON,OM,OS,SL,ST,易明AESW

6、ACSFES/CS=ED/FCi根據(jù)垂徑定理得：LD=ED/2,FT=FC/2ES/CS=EL/CT又E=ZC.ESP ACST /SLN之 STMVS是AB的中點(diǎn)所以O(shè)SLAB ./OSN=OLN=90 .O,S,N,L四點(diǎn)共圓，（一中同長(zhǎng)）同理,O,T,M,S四點(diǎn)共圓 . / STM= SOMI/ SLN之 SON /SONNSOM. OSL AB .MS=NS8 .西姆松定理過三角形外接圓上異于三角形極點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊或其延長(zhǎng)線上的 垂線，則三垂足共線.（此線常稱為西姆松線）.證明：若L、M N三點(diǎn)共線，連結(jié)BP,CP,則因PL± BC,PMLAC,PNLAB,有 B L、P

7、、N 和 P、C、L分別四點(diǎn)共圓，有/ NBP = / NLP= / MLP= / MCP.故A、B、P、C四點(diǎn)共圓.若A、P、B、C四點(diǎn)共圓，則/NBP= /MCP.因 PL±BC,PMLAC,PNLAB,有B、L、P、N和P、M C L四點(diǎn)共圓，有/ NBP = / NLP= / MCP=/ MLP.A故L、M N三點(diǎn)共線.西姆松逆定理：若一點(diǎn)在三角形三邊所在直線上的射影共線，則該點(diǎn)在此三角形的外接圓上.證明：PMLAC,PNLAB，所以 A,M,N,P 共圓9 .清宮定理C的兩點(diǎn),P關(guān)于三邊BG CA AB的對(duì)稱時(shí)間:設(shè)P、Q為 ABC的外接圓上異于 A、B、點(diǎn)分別是LK V、

8、W,且QU QM QW分別交三邊BG CA AB或其延長(zhǎng)線于口 E、F,則口 E、F在同一直線上.證明：A、B、P、C四點(diǎn)共圓，因此/PCEW ABP點(diǎn)P和V關(guān)于CA對(duì)稱所以/ PCV=Z PCE又因?yàn)镻和W于AB對(duì)稱，所以/PBW=2 ABP從這三個(gè)式子，有/ PCVW PBW另一方面，因?yàn)? PCQ和/ PBQB是弦PQ所對(duì)的圓周角，所以/ PCQ= PBQ兩式相加，有/ PCV+ PCQ= PBW+ PBQ即/ QCV=QBW即4QCV和zQBWt一個(gè)頂角相等，因此可是CV=CF, BW=BP,所以同理S&QAW AP AQ 為gu BP .BQS&QCU UP.CQ,見

9、p. 肝才Q于是根據(jù)梅涅勞斯定理的逆定理，D、E、F三點(diǎn)在同一直線上.10 .密克定理三圓定理：設(shè)三個(gè)圓 C1, C2, C3交于一點(diǎn)O,而M, N, P分別是C1和C2, C2和C3, C3和C1的另一交點(diǎn).設(shè)A為C1的匕云點(diǎn)，直線MA交C2于B,直線PA交C3于C.那么B, n，C這三點(diǎn)共線.才逆定理：如果是三角形，M, N, P三點(diǎn)分別在邊 AB,二克2之三也建BC, CA上，那么AAMP ABMN zCPN的外接圓交于一點(diǎn)O.完全四線形定理如果ABCDE展完全四線形，那么三角形的外接圓交于一點(diǎn)O,稱為密克點(diǎn).四圓定理設(shè)C1, C2,C3, C4 為四個(gè)圓,A1和B1是C1和C2的交點(diǎn)，

10、A2和B2是C2和C3的交點(diǎn),A3和B3是C3和C4的交點(diǎn),A4和B4是C1和C4的交點(diǎn).那么A1, A2, A3, A4 四點(diǎn)共圓當(dāng)且僅當(dāng)B1, B2, B3, B4四點(diǎn)共圓.證明：在4ABC的BC,AC,AB邊上分別取點(diǎn) W,M,N,對(duì)AMNaBWM口ACW分別作其外接圓，則這三個(gè)外接圓共點(diǎn).該定理的證明很簡(jiǎn)單，利用“圓內(nèi)接四邊形對(duì)角和為180度”及其逆定理.現(xiàn)在已知U是叫和9的公共點(diǎn).連接UMff口 UN,丁四邊形BNUWR四邊形CMU府別是叫和卬工的內(nèi)接四 邊形, / UWB + UNBN UNB廿 UNA=180 度同理/ UWB +UWC=UWC+UMC=180 度. / UWB

11、= UMC./ UMC +UMA=180度/ UNA廿 UMA=180度,這正說(shuō)明四邊形 ANU雇一個(gè)圓內(nèi)接四邊形，而該圓必是卬3,U必在股上.11 .婆羅摩笈多定理圓內(nèi)接四邊形ABCD的對(duì)角線Ad BD,垂足為M.EF,BC,且 M在EF上.那么F是A D的中點(diǎn).證明：. ACL BD,MEL BC ./ CBD=/CME / CBD= CAD/ CME= AMF ./CAD=AMF .AF=MF . / AMD=90 ,同時(shí)/ MAD+ MDA=90./ FMD= FDM .MF=DF即F是AD中點(diǎn)逆定理：若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線相互垂直，則一邊中點(diǎn)與對(duì)角線交點(diǎn)的連線垂直于對(duì)邊.證明：. M

12、AL MD,F 是 AD中點(diǎn) .AF=MF / CADE AMF / CADE CBD / AMF= CME /CBDMCME / CME+ BME= BMC=90 / CBD+ BME=90/.EF± BC12 .托勒密定理兩組對(duì)邊乘積之和（一組對(duì)邊所包矩形的面積與另一圓內(nèi)接四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積（兩對(duì)角線所包矩形的面積 ）即是組對(duì)邊所包矩形的面積之和 ).圓內(nèi)接四邊形 ABCD求證：AC BD=AB CD+AD BC證明：過 C作CP交BD于P,使/ 1=/ 2,又/3=/ 4,.ACS ABCP得 AC: BC=AD BP,AC- BP=AD BC .又 / ACB= DC

13、P/5=/ 6,.AC以ADCP 彳導(dǎo) AC CD=AB DP,AC- DP=AB CD . + 得 AC(BP+DP)=AB CD+AD BC即 AC BD=AB CD+AD BC13 .梅涅勞斯定理當(dāng)直線交 A4BC三邊所在直線a枳于點(diǎn)口. E, r梅涅勞斯逆定理：若有三點(diǎn)F、D E分別在邊三角形的三邊 AB BGCA或其延長(zhǎng)線上，且滿足 AF/FBX BD/DCX CE/EA=1則 F、D E三點(diǎn)共 線.證明：先假設(shè) E、F、D三點(diǎn)不共線，直線DE與AB交于P.由梅涅勞斯定理的定理證明(如利用平行線分線段成比例的證明方法) 得：(AP/PB)(BD/DC)(CE/EA)=1.1x. (A

14、F/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1./RC tlAP/PB=AF/FB ;(AP+PB)/PB=(AF+FB)/FB ;AB/PB=AB/FB ;PB=FB;即P與F重合.時(shí)間：二O二一年七月二十九日 D、E、F三點(diǎn)共線.14 .塞瓦定理在 ABC內(nèi)任取一點(diǎn) O,延長(zhǎng)AO BO CO分別交對(duì)邊于D E、F,則(BDZDC)X (CE/EA) X (AF/FB)=1.ADC被直線BOE0f截， .(CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 ABD被直線 COFJf截,(BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1 /約分得：(DB/CD)X (CE/EA) X (AF/FB)

15、=115 .圓哥定理相交弦定理：如圖I ,AB、 CD為圓O的兩條任意弦.相交于點(diǎn)P,連接AD BC,由于/B與/D同為弧AC所對(duì)的圓周角，因此由圓周角定理知：/ B=/ D,同理/A=/ C,所FA RD-以 APADAPCB.所以有：而甌 即：PAxPE=PCxPD.割線定理：如圖H，連接 AD BC.可知/B=/ D,又因?yàn)?P 為公共角，所以有AP4DAPCB,同上證得 PAxPB = PCxPD.切割線定理：如圖田，連接 AC AD./PAC為切線PA與弦AC組成的弦 切角，因此有/ PBCW D,又因?yàn)? P為公共角，所以有P4c &PDA,易證圖IV ,PA、PC均為切線

16、，則/ PAOM PCO=90 ,在直角三角形中：OC=OA=R,POl公共邊，因此APAOMA叱。所以PA=PC所以<PA2 - PC2,/,2人同5二2。*2。是普遍成立的.弦切角定理：弦切角的度數(shù)即是它所夾的弧所對(duì)的圓心角度數(shù)的一半即是它所夾的弧所對(duì)的圓周角度數(shù).點(diǎn)對(duì)圓的哥P點(diǎn)對(duì)圓O的哥界說(shuō)為。巴d點(diǎn)P在圓O內(nèi)-P對(duì)圓O的哥為負(fù)數(shù)；點(diǎn)P在圓O外-P對(duì)圓O的哥為正數(shù)；點(diǎn)P在圓O上f P對(duì)圓O的哥為0.三角形五心：內(nèi)心：三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)外心：三角形三條邊的垂直平分線(中垂線)的相交點(diǎn)重心：三角形三邊中線的交點(diǎn)垂心：三角形的三條高線的交點(diǎn)旁心：三角形的旁切圓(與三角形的一邊和其

17、他兩邊的延長(zhǎng)線相切的圓)的圓心九點(diǎn)圓心：三角形三邊的中點(diǎn)，三高的垂足和三個(gè)歐拉點(diǎn) 連結(jié)三角形各極點(diǎn)與垂心所得三線段的中點(diǎn)九點(diǎn)共圓的圓心16 .根心定理三個(gè)兩兩分歧心的圓，形成三條根軸，則必有下列三種情況之一：(1) 三根軸兩兩平行；(2)三根軸完全重合；(3)三根軸兩兩相交，此時(shí)三根軸必匯于一點(diǎn)，該點(diǎn)稱為三圓的根心平面上任意三個(gè)圓，若這三個(gè)圓圓心不共線，則三條根軸相交于一點(diǎn)這個(gè)點(diǎn)叫它們的根心；若三圓圓心共線 ，則三條根軸互相平行.根軸界說(shuō)：A與B的根軸L1:至U A與B的切線相等的點(diǎn).B與C的根軸L2:至U B與C的切線相等的點(diǎn).證明設(shè)A、B、C三個(gè)圓，圓心不重合也不共線.考察L1與L2的交點(diǎn)

18、P.因?yàn)镻在L1上，所以：P到A的切線距離=P到B的切線距離.因?yàn)镻在L2上，所以：P到B的切線距離=P到C的切線距離.所以：P到A的切線距離=P到B的切線距離=P到C的切線距離.也就是：P到A的切線距離=P到C的切線距離.所以：P在A與C的根 軸上.所以：三個(gè)根軸交于一點(diǎn).17.雞爪定理設(shè)4ABC的內(nèi)心為I, ZA內(nèi)的旁心為J,AI的延長(zhǎng)線交三角形外接圓于K,貝U KI=KJ=KB=KC.證明：由 內(nèi) 心和旁心的界說(shuō)可知/ IBC=Z ABC/2, / JBC=(180- / ABC)/2 /舊C+/JBC玄 ABC/2+90 -/ABC/2=90 =/IBJ同理，/ICJ=90°

19、 / IBJ+/ICJ=180 IBJC四點(diǎn)共圓，且IJ為圓的直徑 AK 平分/ BAC . KB=KC(相等的圓周角所對(duì)的弦相等)又/ IBK=/ IBC+Z KBC= ABC/2+/ KAC= ABI+/ BAKh KIBKB=KI由直角三角形斜邊中線定理逆定理可知K是IJ的中點(diǎn)KB=KI=KJ=KC逆定理：設(shè) ABC中/ BAC的平分線交 ABC的外接圓于 K.在AK及延 長(zhǎng)線上截取 KI=KB=KJ,其中I在zABC的內(nèi)部,J在 ABC的外部.則I 是AABC的內(nèi)心，J是4ABC的旁心.證明：利用同一法可輕松證明該定理的逆定理.取 ABC的內(nèi)心I'和旁心J,根據(jù)定理有 KB=K

20、C=KI'=KJ'又KB=KI=KJ/. I和I'重合,J和J'重合即I和J分別是內(nèi)心和旁心18.費(fèi)爾巴哈定理三角形的九點(diǎn)圓與其內(nèi)切圓以及三個(gè)旁切圓相切設(shè) ABC的內(nèi)心為I,九點(diǎn)圓的圓心為 V.三邊中點(diǎn)分別為L(zhǎng),M,N,內(nèi)切圓與三邊的切點(diǎn)分別是 P,Q,R,三邊上的垂足分別為 D,E,F.無(wú)妨設(shè)AB>AC.丁 y：假設(shè)。I與。V相切于點(diǎn)T,那么LT與。I相.>.交，設(shè)另一個(gè)交點(diǎn)為S./盧.；-一'- - 一UL I F 曲過點(diǎn)S作。I的切線，分別交AB和BC于V,U,連接AU.又作兩圓的公切線 TX,使其與邊AB位于LT的同側(cè).由假設(shè)知/ X

21、TL=/ LDT而TX和SV都是。I的切線，且與弦ST所夾的圓弧相同，于是/ XTL=/ VST因此/ LDT之 VST則/UDT廿 UST=180這就是說(shuō),S,T,D,U共圓.而這等價(jià)于：LUX LD=LS< LT又 LP2=LS< LT故有 LP2=LU< LD另一方面,T是公共的切點(diǎn)，自然在。V上，因此L,D,T,N共圓，進(jìn)而有f/LTD4 LND."秘由已導(dǎo)出的S,T,D,U共圓，得“：111/LTD玄 STD=180 -/SUD= VUB=/AVU ZB而/ LNDh NLB- / NDB=ZACB /NBD二/ C 一 / B（這里用了 LN/ AC,以

22、及直角三角形斜邊上中線即是斜邊的一半） 所以，就獲得/AVUWC注意到AV,AC,CU,UV均與。I相切，于是有ZAIR=Z AIQZUIS=Z UIP /RIS=/QIS 三式相加，即知 /AIU=180也即是說(shuō),A,I,U三點(diǎn)共線.另外,AV=AC,這可由 AIV二AAIC獲得.（這說(shuō)明，公切點(diǎn)T可如下獲得： 連接AI,并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)U, 過點(diǎn)U作。I的切線，切點(diǎn)為S,交AB于V,最后連接LS,其延長(zhǎng)線與。I的交點(diǎn)即是所謂的公切點(diǎn)T.）連接CV,與AU交于點(diǎn)K,時(shí)間：二O二一年七月二十九日則K是VC的中點(diǎn).前面已獲得：LP2=LIX LD而2LP=(BL+LP)-(CL-LP)=BP-C

23、P=BR-CQ=(BR+AR)-(CQ+AQ)=AB-AC=AB-AV=BV即 lp=Ibv然而LK是ACBV的中位線于是LK=BV因之LP=LK故 LK2=LIX LD由于以上推導(dǎo)均可逆轉(zhuǎn)，因此我們只需證明：一LK2=LIX LD.往證之這等價(jià)于：LK與圓KUD相切于是只需證：/ LKU之KDU再注意到LK/ AB （ LK是4CBV的中位線），即有/ LKU之 BAU又AU是角平分線，于是/ LKU之 CAUN CAK于是又只需證：/ CAK= KDU即證：/CAK+CDK=180這即是證：A,C,D,K四點(diǎn)共圓由于 AKI KC （易彳#） ,AD± DC所以A,C,D,K確實(shí)

24、共圓.這就證明了與。V內(nèi)切.旁切圓的情形是類似的.證畢另略證：OI2=R2-2RrIH2=2r2-2Rr'OH2=R2-4Rr'(其中r '是垂心H的垂足三角形的內(nèi)切圓半徑，R、r是三角形ABC外接圓和內(nèi)切圓半徑)FI2=1/2(OI2+IH2)-1/4OH2=(1/2R-r)2FI=1/2R-r這就證明了九點(diǎn)圓與內(nèi)切圓內(nèi)切(九點(diǎn)圓半徑為外接圓半徑一半.F是九點(diǎn)圓圓心，I為內(nèi)心)19 .莫利定理將三角形的三個(gè)內(nèi)角三等分，靠近某邊的兩條三分角線相交獲得一個(gè)交點(diǎn)，則這樣的三個(gè)交點(diǎn)可以構(gòu)成一個(gè)正三角形證明：設(shè)4 ABC中,AQ,AR,BR,BP,CP,CQ為各角的三等分線，三邊長(zhǎng)為a,b,c,三內(nèi)角為 3%,33,3丫，則 + 3 +丫 =60° .在 ABC中,由正弦定理,得AF=csin B /sin( % + B ).不失一般性，4ABC外接圓直徑為1,則由正弦定理，知c=sin3 丫 ,所以AF= (sin3 丫 *sin B ) /sin