第7章 因子分析[沐風(fēng)教學(xué)]

1、 第一節(jié) 因子分析方法 第二節(jié) 因子分析模型 第三節(jié) 因子分析模型的解 第四節(jié) 方差最大正交旋轉(zhuǎn) 第五節(jié) 因子得分 推薦閱讀第四章 因子分析1教育專(zhuān)類(lèi)第一節(jié) 因子分析方法 因子分析因子分析概念起源于20世紀(jì)初Karl Pearson 和Charles Spearmen等人關(guān)于智力測(cè)驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)分析。 因子分析是主成分分析的推廣和發(fā)展，它是將具有錯(cuò)綜復(fù)雜的關(guān)系變量（或樣品）綜合為較少幾個(gè)因子，以再現(xiàn)原始變量與因子之間的相互關(guān)系，同時(shí)根據(jù)不同因子還可以對(duì)變量進(jìn)行分類(lèi)，它也是屬于多元分析中處理降維的一種統(tǒng)計(jì)方法。 因子分析是通過(guò)研究眾多變量之間的內(nèi)部依賴(lài)關(guān)系，探求觀測(cè)數(shù)據(jù)中的基本結(jié)構(gòu)，并用少數(shù)幾個(gè)“抽象

2、”的變量來(lái)表示其基本結(jié)構(gòu)。這幾個(gè)抽象的變量被稱(chēng)為因子，它能反映原來(lái)眾多變量的主要信息。 因子分析的研究?jī)?nèi)容十分豐富，常用的因子分析類(lèi)型是R型因子分析（對(duì)變量作因子分析）和Q型因子分析（對(duì)樣品作因子分析）。2教育專(zhuān)類(lèi) 例如：某公司對(duì)100名招聘人員的知識(shí)和能力進(jìn)行測(cè)評(píng)，主要測(cè)評(píng)六個(gè)方面的內(nèi)容：語(yǔ)言表達(dá)能力、邏輯思維能力、判斷事物的敏捷和果斷程度、思想修養(yǎng)、興趣愛(ài)好、生活常識(shí)等，我們將每一個(gè)方面稱(chēng)為因子，顯然這里所說(shuō)的因子不同于回歸分析中的因素，因?yàn)榍罢呤潜容^抽象的一種概念，而后者有著極為明確的實(shí)際意義。假設(shè)100人測(cè)試得分xi可以用上述六個(gè)因子表示成線(xiàn)性函數(shù)：.06100, 2 , 1 ,262

3、1621662211），（定稱(chēng)為特殊因子。通常假含的部分，識(shí)不能被前六個(gè)因子包個(gè)應(yīng)試人員的能力和知是第的能力。個(gè)應(yīng)試人員在六個(gè)方面載荷，它表示第稱(chēng)為因子，們的系數(shù)通常稱(chēng)為公共因子，它是共有因子，個(gè)因子，它對(duì)所有表示，其中iiiiiiiiiiiiNiiaaaXFFFiFaFaFaX3教育專(zhuān)類(lèi)因子分析的基本思想是把每個(gè)研究變量分解為幾個(gè)影響因素變量，將每個(gè)原始變量分解成兩部分因素，一部分是由所有變量共同具有的少數(shù)幾個(gè)公共因子組成的，另一部分是每個(gè)變量獨(dú)自具有的因素，即特殊因子。Xi=aijFj+ei因子分析即是通過(guò)變量的相關(guān)系數(shù)矩陣內(nèi)部結(jié)構(gòu)的研究，找出能夠控制所有變量的少數(shù)幾個(gè)隨機(jī)變量去描述多個(gè)變

4、量之間的相關(guān)關(guān)系，這里這少數(shù)幾個(gè)隨機(jī)變量是不可觀測(cè)的，通常稱(chēng)為因子，然后根據(jù)相關(guān)性的大小把變量分組，使得同組內(nèi)的變量之間相關(guān)性較高，不同組的變量相關(guān)性較低。R型從相關(guān)矩陣出發(fā)，Q型從相似系數(shù)矩陣出發(fā)。4教育專(zhuān)類(lèi)第二節(jié) 因子分析模型 一、因子分析模型 X*:標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)據(jù)，F(xiàn)：公共因子，e：特殊因子 x1*=a11F1+a12F2+a1mFm+e1 x2*=a21F1+a22F2+a2mFm+e2 xp*=ap1F1+ap2F2+apmFm+ep X*=AF+ e 或X*=FA+ e5教育專(zhuān)類(lèi) 其中X*=(x1*,x2*,xp*), F=(F1,F2,Fm) e =(e1,e2,ep) a11

5、a12 a1m A= a21 a22 a2m ap1 ap2 apm (mp) A稱(chēng)為因子載荷矩陣或因子負(fù)荷矩陣， aij是第i個(gè)變量在第j個(gè)因子上的負(fù)荷。6教育專(zhuān)類(lèi) x*、F、 e滿(mǎn)足下列性質(zhì)： (1)E(x*)=0 E(x)=0 (2)E(F)=0, E(e)=0 (3) cov(F)=I, 即各個(gè)公共因子不相關(guān)且方差為1。 （4）cov(e)=2I，即各個(gè)特殊因子不相關(guān)，方差要求相等。 (5)cov(ei,F)=0 ，即公共因子與特殊因子是不相關(guān)的。7教育專(zhuān)類(lèi) 因子分析的目的就是通過(guò)模型X*=AF+ e 以F代替X* ，由于mp,從而達(dá)到簡(jiǎn)化變量維數(shù)的目的。 因子分析和主成分分析有很多相

6、似之處，在求解過(guò)程中，二者都是從一個(gè)協(xié)方差陣（或相似系數(shù)陣）出發(fā)，但兩種模型是有區(qū)別的，主成分分析的數(shù)學(xué)模型實(shí)質(zhì)上是一種變換，將原來(lái)坐標(biāo)變換到變異程度大的方向上去，相當(dāng)于從空間上轉(zhuǎn)換觀看數(shù)據(jù)的角度，突出數(shù)據(jù)變異的方向，歸納重要的信息。在主成分分析中每個(gè)主成分相應(yīng)的系數(shù)aij是唯一確定的。而因子分析模型是描述原指標(biāo)x協(xié)方差陣結(jié)構(gòu)的一種模型，是從顯在變量去提煉潛在因子的過(guò)程，因子的個(gè)數(shù)m取多大是要通過(guò)一定的規(guī)則確定的。因此，在因子分析中因子載荷陣不是唯一的。一般來(lái)說(shuō)，作為自變量的因子F1，F(xiàn)2, ,Fm是不可觀測(cè)的。8教育專(zhuān)類(lèi) 二、因子載荷量的統(tǒng)計(jì)意義與性質(zhì) 1、因子載荷aij的統(tǒng)計(jì)意義 xi*=

7、ai1F1+ai2F2+aimFm+eiCov(xi*,Fj)=cov(aikFk+ei,Fj) =cov(aikFk,Fj)+cov(ei,Fj) =aij r=aijijjijiaFxFxr)var(*)var()*,cov( 第第i個(gè)變量與第個(gè)變量與第j個(gè)公共因子的相關(guān)系數(shù)個(gè)公共因子的相關(guān)系數(shù)即可以表示為即可以表示為xi*依賴(lài)依賴(lài)Fj的份量（比重）。的份量（比重）。9教育專(zhuān)類(lèi) 在各公共因子不相關(guān)的前提下，aij是xi*與Fj的相關(guān)系數(shù)，表示xi*依賴(lài)于Fj的程度。反映了第i個(gè)原有變量在第j個(gè)公共因子上的相對(duì)重要性。因此， aij的絕對(duì)值越大，則公共因子Fj與原有變量Xi的關(guān)系越強(qiáng)。10教

8、育專(zhuān)類(lèi) 2、變量共同度及其統(tǒng)計(jì)意義 因子載荷陣A中第 i行元素的平方和稱(chēng)為xi* 的共同度共同度。 h12=a112+a122+a1m2 h22=a212+a222+a2m2 。 hp2=ap12+ap22+apm211教育專(zhuān)類(lèi)1)var()var()var()var(22221*iiiijijijimjjijihaeFaeFaX因?yàn)閤i*已經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化 這說(shuō)明變量xi*的方差由兩部分組成：第一部分為共同度hi2 ，它刻劃了全部公共因子對(duì)變量xi*的總方差所作的貢獻(xiàn)，反映了公共因子對(duì)變量xi*的影響程度。第二部分為特殊因子ei對(duì)變量xi*的方差所作的貢獻(xiàn)。12教育專(zhuān)類(lèi)hi2反映了全部公共因子對(duì)變量

9、Xi*的影響，是全部公共因子對(duì)變量方差所做出的貢獻(xiàn)，或者說(shuō)Xi*對(duì)公共因子的共同依賴(lài)程度，稱(chēng)為公共因子對(duì)變量Xi*的方差貢獻(xiàn)。hi2接近于1，表明該變量的原始信息幾乎都被選取的公共因子說(shuō)明了。特殊因子的方差，反映了原有變量方差中無(wú)法被公共因子描述的比例。13教育專(zhuān)類(lèi) 3、公共因子的方差貢獻(xiàn)及其統(tǒng)計(jì)意義 因子載荷陣中第 j列元素的平方和稱(chēng)為公共因子Fj對(duì)xi* 的貢獻(xiàn)。 g1=a112+a212+ap12 g2=a122+a222+ap22 gm=a1m2+a2m2+apm2 gj表示第j個(gè)公共因子Fj對(duì)于X*的每一分量Xi*所提供的方差貢獻(xiàn)的總和。稱(chēng)第j個(gè)公共因子的方差貢獻(xiàn)。14教育專(zhuān)類(lèi)是衡量

10、某一公共因子相對(duì)重要性的指標(biāo)，gi越大，表明公共因子Fj對(duì)X*的貢獻(xiàn)越大，該因子的重要程度越高，或者說(shuō)對(duì)X*的影響和作用越大。pgFjj的方差貢獻(xiàn)率也是衡量公共因子相對(duì)重要性的另一指標(biāo)。15教育專(zhuān)類(lèi)4、正交因子載荷不具有唯一性AAeDAFADeEAFAEeEAFeEAFEeAFeAFEeAFEXEXEXEXDR)()()()()()(2)()2)()()()()(22222222*2*16教育專(zhuān)類(lèi) 但此公式并非唯一公式： 其中： 因子載荷的不唯一性，從表面上看是不利的，但當(dāng)因子載荷矩陣A的結(jié)構(gòu)不夠簡(jiǎn)化時(shí)，可以對(duì)A實(shí)行變換以達(dá)到簡(jiǎn)化的目的，使新的因子更具有鮮明的實(shí)際意義。)()(*AAAUAUA

11、UAUAARAUAIUU*,17教育專(zhuān)類(lèi)兩個(gè)變量xk*與xl*的相關(guān)系數(shù)和協(xié)方差等于因子載荷陣中第k行與第l列對(duì)應(yīng)元素乘積之和。qilikilqkqlklklkaaaaaaaaXXr12211*.),(18教育專(zhuān)類(lèi)例1某校對(duì)學(xué)生進(jìn)行了測(cè)量語(yǔ)言能力和數(shù)學(xué)能力的六項(xiàng)考試。考試成績(jī)都化為標(biāo)準(zhǔn)分。假定x1*,x2*,x3* 是語(yǔ)言能力的三項(xiàng)不同考試的標(biāo)準(zhǔn)分， x4*,x5*,x6*是數(shù)學(xué)能力的三項(xiàng)不同的標(biāo)準(zhǔn)分。通過(guò)部分學(xué)生這六項(xiàng)考試成績(jī)，得到相關(guān)系數(shù)矩陣： 依此得出因子載荷矩陣：172. 075. 049. 042. 028. 0178. 042. 036. 024. 0135. 030. 020.

12、0142. 028. 0124. 01R172. 0843. 0031. 0848. 0179. 0926. 0513. 0477. 0439. 0409. 0293. 0272. 0A19教育專(zhuān)類(lèi)據(jù)此可寫(xiě)出因子模型：621*6521*5421*4321*3221*2121*1172. 0843. 0031. 0848. 0179. 0926. 0513. 0477. 0439. 0409. 0293. 0272. 0effxeffxeffxeffxeffxeffx20教育專(zhuān)類(lèi) 還可求出各變量的共同度，各變量對(duì)應(yīng)的特殊因子方差，各公共因子方差貢獻(xiàn)率以及兩個(gè)公共因子的累計(jì)方差貢獻(xiàn)。變量ai1ai

13、2共同度特殊因子方差X1*X2*X3*X4*X5*X6*0.2720.4090.4770.9260.8480.8430.2930.4390.513-0.1790.0310.1720.160.360.490.890.720.740.840.640.510.110.280.26方差貢獻(xiàn)率45.9%10.1%56%44%累計(jì)方差貢獻(xiàn)率45.9%56%21教育專(zhuān)類(lèi)因子變量的特點(diǎn) 1、因子變量的數(shù)量遠(yuǎn)少于原有指標(biāo)變量的數(shù)量。 2、因子變量是對(duì)原始變量的重新組構(gòu)，能夠反映原有眾多指標(biāo)的絕大部分信息。 3、因子變量之間沒(méi)有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，對(duì)因子變量的分析能夠?yàn)檠芯抗ぷ魈峁┹^大的便利。 4、因子變量具有命名解釋

14、性。22教育專(zhuān)類(lèi) 要建立實(shí)際問(wèn)題的因子分析的具體模型，關(guān)鍵是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)估計(jì)載荷矩陣A。對(duì)A的估計(jì)方法有很多，這里主要介紹主成分法、主因子法。第三節(jié) 因子分析模型的解的估計(jì)量。是樣本。維是一組。對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正交化向量為的特征向量，為，因此是標(biāo)準(zhǔn)化處理后的數(shù)據(jù)由于，的協(xié)方差陣為設(shè)隨機(jī)向量SpxxxUUURXXXXXPppp),(,.),(*2*12121*21*23教育專(zhuān)類(lèi) 一、主成分分析法 在不考慮特殊因子的情況下：。的標(biāo)準(zhǔn)化正交特征向量的屬于特征值為矩陣的特征值，為矩陣iiipppppppRURAAUUUUUUUUUUUURUURURUUIR221122112221110)(24教育專(zhuān)類(lèi)ppU

15、UUA0000002121即：25教育專(zhuān)類(lèi)在考慮特殊因子的情況下：AAUUUUUUAARppppp22122112211當(dāng)未知時(shí)，可用樣本協(xié)方差陣S代替。26教育專(zhuān)類(lèi) 具體計(jì)算時(shí)，一般取前k個(gè)特征值所對(duì)應(yīng)的因子載荷矩陣A的前k個(gè)列向量組成的矩陣作為因子載荷矩陣，只要使累計(jì)貢獻(xiàn)率達(dá)到85以上。 確定公共因子的個(gè)數(shù)有兩種方法：一是根據(jù)具體問(wèn)題的專(zhuān)業(yè)理論來(lái)確定，二是利用主成分分析中選取主成分個(gè)數(shù)的方法。27教育專(zhuān)類(lèi) 二、主因子法二、主因子法 主因子法的基本思想是使用多元相關(guān)的平方作為對(duì)公因子方差的初始估計(jì)。初始估計(jì)公因子方差時(shí)多元相關(guān)系數(shù)的平方置于對(duì)角線(xiàn)上。這些因子載荷用于估計(jì)新公因子方差，替換對(duì)角

16、線(xiàn)上前一次的公因子方差估計(jì)。這樣的迭代持續(xù)到，本次到下一次迭代結(jié)果公因子方差的變化滿(mǎn)足提取因子的收斂判據(jù)。28教育專(zhuān)類(lèi) 1、給出共同度hi2的初步估計(jì)值hi*2 以第i個(gè)變量xi*與其它所有變量x1*,x2*,xi-1*,xi+1*,xp*回歸的復(fù)相關(guān)系數(shù)的平方作為初始估計(jì)值。 2、求出約化相關(guān)陣 計(jì)算i*=1-hi*2,再計(jì)算出R*=R- * 3、求出特征根和特征向量 由方程R*-I=0求出特征根，并利用特征根、特征向量求出因子載荷陣A1。29教育專(zhuān)類(lèi) 4、求出的估計(jì)，用估計(jì)值代替第二步的* 的估計(jì)： *（1）=R-A1A1 5、繼續(xù)第三步，直到A， 的估計(jì)達(dá)到穩(wěn)定為止30教育專(zhuān)類(lèi) 因子分析

17、的目標(biāo)之一就是要對(duì)提取的抽象的實(shí)際含義進(jìn)行合理的解釋。有時(shí)直接根據(jù)特征根、特征向量求解的因子載荷難以看出公共因子的含義。例如可能有些變量在多個(gè)公共因子上都有較大的載荷，有些公共因子對(duì)許多許多變量的載荷也不小，說(shuō)明它對(duì)多個(gè)變量都有較明顯的影響作用。這種因子模型反而是不利于突出主要矛盾和矛盾的主要方面的，也難對(duì)因子的實(shí)際背景進(jìn)行合理的解釋。這就需要通過(guò)某種方法是每個(gè)變量?jī)H在一個(gè)公共因子上有較大的載荷，而在其余的公共因子上的載荷比較小，至多達(dá)到中等大小。第四節(jié) 方差最大正交旋轉(zhuǎn)31教育專(zhuān)類(lèi)第四節(jié) 方差最大正交旋轉(zhuǎn)因子旋轉(zhuǎn)的目的： 使每個(gè)變量在盡可能少的因子上有比較高的載荷，讓某個(gè)變量在某個(gè)因子上的載

18、荷趨于1，而在其他因子上的載荷趨于0。 要求每一列上的載荷大部分為很小的值，每一行中只有少量的最好只有一個(gè)較大的載荷值；每?jī)闪兄写筝d荷與小載荷的排列模式應(yīng)該不同。32教育專(zhuān)類(lèi)因子旋轉(zhuǎn)的方法：1.varimax:方差最大旋轉(zhuǎn)。簡(jiǎn)化對(duì)因子的解釋2.direct oblimin:直接斜交旋轉(zhuǎn)。允許因子之間具有相關(guān)性。3.quartmax:四次最大正交旋轉(zhuǎn)。簡(jiǎn)化對(duì)變量的解釋4.equamax:平均正交旋轉(zhuǎn)。5.promax:斜交旋轉(zhuǎn)方法。我們這里只介紹方差最大正交旋轉(zhuǎn)我們這里只介紹方差最大正交旋轉(zhuǎn)。33教育專(zhuān)類(lèi)兩因子的方差最大正交旋轉(zhuǎn)cossinsincos, 2 , 1,21222122211211

19、CAXpiahAaaaaaaAijijipp設(shè)正交矩陣除之。的元素用每行的共同度規(guī)范化處理。即每一行中的元素進(jìn)行造成的不平衡，需對(duì)的共同度之間的差異所?？紤]到各個(gè)變量按行計(jì)算的共同度對(duì)設(shè)因子載荷矩陣34教育專(zhuān)類(lèi)211211212112111211cossinsincoscossinsincosppppppbbbbaaaaaaaaACB35教育專(zhuān)類(lèi) 這樣做的目的是使因子載荷矩陣A的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化。換句話(huà)說(shuō)就是希望所得結(jié)果能使載荷矩陣的每一列元素盡可能向1和0兩極分化，即原始變量中一部分主要與第一因子有關(guān)，另一部分主要與第二因子有關(guān)，也就是要求（b112,bp12），（b122,bp22）這兩組的方差V

20、1，V2盡量大，為此正交旋轉(zhuǎn)分角度必須滿(mǎn)足旋轉(zhuǎn)后所得到因子載荷陣的總方差達(dá)到最大。36教育專(zhuān)類(lèi) pjjjpjjjpjjpjjjjjjjjjjjpiijpiiijpiiijjvDvCvBAhaavhahapBACpABDtgGVVGxxnSVjhbphbpV11221122122212221212212221222 2/ )(/240max12 , 111計(jì)算得：方差就是一元統(tǒng)計(jì)分析中的這里37教育專(zhuān)類(lèi)分子符號(hào)分母符號(hào)4 取值范圍取值范圍0/20/8/2 /8 /4- -/2-/4 -/8-/2 0-/8 0 根據(jù)公式的分子、分母的符號(hào)來(lái)確定角的取值范圍。38教育專(zhuān)類(lèi)多因子的方差最大正交旋轉(zhuǎn) 如

21、果公共因子多于2個(gè)，可以每次取2個(gè)因子，全部配對(duì)旋轉(zhuǎn)需要 次，全部旋轉(zhuǎn)完畢算一次循環(huán)，并記第一輪旋轉(zhuǎn)后的因子載荷矩陣記為A1。如果循環(huán)完畢得出的因子載荷陣還沒(méi)達(dá)到目的，則可以繼續(xù)進(jìn)行第二輪配對(duì)旋轉(zhuǎn)，新的因子載荷矩陣記為A2。 ，如此不斷重復(fù)旋轉(zhuǎn)循可得一系列因子載荷矩陣。 A1 ，A2， As 。 記V（s）為As各列元素平方的相對(duì)方差之和。則得到V值的一個(gè)升序列： V（1）V（2） V（3） V（s） 這是一個(gè)有界的單調(diào)數(shù)列，因此一定會(huì)收斂到每一個(gè)極限。實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)過(guò)若干次旋轉(zhuǎn)之后，若相對(duì)方差改變不大，則停止旋轉(zhuǎn)。2) 1(2mmcm39教育專(zhuān)類(lèi)第五節(jié) 因子得分 因子分析的數(shù)學(xué)模型是將變量表

22、示為公共因子的線(xiàn)性組合： Xi=ai1F1+ai2F2+aimFm i=1,2,p 由于公共因子能反映原始變量的相關(guān)關(guān)系，用公共因子代表原始變量時(shí)有時(shí)更有利于描述研究對(duì)象的特征，因而往往需要反過(guò)來(lái)將公共因子表示為變量的線(xiàn)性組合:即 Fi=i1X1+ i2X2+ ipXp i=1,2,m 上式稱(chēng)為因子得分函數(shù)，用它來(lái)計(jì)算每個(gè)樣本的公共因子得分。40教育專(zhuān)類(lèi) 由于因子得分函數(shù)中方程的個(gè)數(shù)m小于變量的個(gè)數(shù)p，因此不能精確計(jì)算出因子得分，只能對(duì)因子得分進(jìn)行估計(jì)。 估計(jì)因子得分的方法很多，如：巴特萊特因子得分、回歸法等。41教育專(zhuān)類(lèi) 一、巴特萊特因子得分 把一個(gè)個(gè)體的p個(gè)變量的取值X*當(dāng)作因變量，把求因

23、子解中得到的A作為自變量數(shù)據(jù)陣，對(duì)于這個(gè)個(gè)體在公因子上的取值 F，當(dāng)作未知參數(shù)，而特殊因子的取值看作誤差 e，于是得到如下的線(xiàn)性回歸模型： x*=AF+e，則稱(chēng)未知參數(shù)F為取值X*的因子得分。42教育專(zhuān)類(lèi)該方法也稱(chēng)為加權(quán)最小二乘法。求得最小。加權(quán)平方和，使得的一組取值也就是尋求計(jì)。最小二乘估計(jì)法進(jìn)行估對(duì)，因此可以采用加權(quán)個(gè)特殊方差可以不全相由于的近似解。到型相類(lèi)似的方法求解得采用與求解線(xiàn)性回歸模。我們其中由于ppiipiiiipppiiffffafafaxffffffpfffFpiDAFX,/)(,),(, 2 , 1,)(,*2112212211*212121243教育專(zhuān)類(lèi)是無(wú)偏的。分最小二

24、乘估計(jì)的因子得從條件意義上來(lái)說(shuō)加權(quán)）（）（的條件數(shù)學(xué)期望分因子得值已知的條件下，可得為相互獨(dú)立，則在與若）（得：由微積分求極值的方法（可以用矩陣表示為：因此加權(quán)平方和由于FFAFDAADAFAFEDAADAFFEFFFXDAADAFFAXDFAXfafafaxAFXpiipiiii)/()/(*)/)(,*111111111112212211*44教育專(zhuān)類(lèi) 二、回歸法因子得分 將公共因子F用變量表示的線(xiàn)性組合為： 因?yàn)橐蜃拥梅諪j的值是待估的，我們僅知道利用樣本值可得因子矩陣A=(aij)pm。由載荷的意義知：*2211BXxbxbxbFpjpjjjipjpijpijpijpjpjjijiij

25、rbrbxxEbxxEbxbxbxbxEFxEa11112211*)*(*)*(*)*(*()*(45教育專(zhuān)類(lèi) B的最小二乘估計(jì)為： 因子得分的估計(jì)為：ARXf1*ARB1得ARB 這就是估計(jì)因子得分的計(jì)算公式。也稱(chēng)為湯姆森因子得分。46教育專(zhuān)類(lèi)因子分析的基本步驟 1、將原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化。 2、建立變量的相關(guān)系數(shù)矩陣R=(rij)。nkkjkinkjkjnkikinkjkjikiijxxnxxxxxxxxr1121211)()()( 若作Q型因子分析，則建立樣品的相似系數(shù)矩陣Q。47教育專(zhuān)類(lèi) 3、求R的特征值及相應(yīng)的單位特征向量。pppppppuuuuuuuuuUuuu21222211121121p21.,單位特征向量記為，特征值記為根據(jù)累計(jì)貢獻(xiàn)率的要求，使累計(jì)貢獻(xiàn)率達(dá)到85以上，取前m個(gè)特征值及相應(yīng)