整理02可分離變量的微分方程

1、精品文檔第二節(jié)可別離變量的微分方程微分方程的類(lèi)型是多種多樣的,它們的解法也各不相同從本節(jié)開(kāi)始我們將根據(jù)微分方程的不同類(lèi)型,給出相應(yīng)的解法本節(jié)我們將介紹可別離變量的微分方程以及一些可以化為 這類(lèi)方程的微分方程,如齊次方程等分布圖示可別離變量微分方程例1例2例3例4例5例6齊次方程例7例8例9例10例11可化為齊次方程的微分方程例12例13例14例15內(nèi)容小結(jié)課堂練習(xí)習(xí)題8-2內(nèi)容要點(diǎn)一、可別離變量的微分方程設(shè)有一階微分方程dydx二 F (x, y)精品文檔如果其右端函數(shù)能分解成 F(x,y)二f (x)g(x),即有齊 f(x)g(y).(2.1)那么稱(chēng)方程(2.1)為可別離變量的微分方程,其

2、中f (x),g(x)都是連續(xù)函數(shù)根據(jù)這種方程的特點(diǎn),我們可通過(guò)積分來(lái)求解 求解可別離變量的方程的方法稱(chēng)為別離變量法(2.8)、齊次方程：形如dx<x 丿的一階微分方程稱(chēng)為齊次微分方程,簡(jiǎn)稱(chēng)齊次方程.三、可化為齊次方程的方程：對(duì)于形如dy = f dx + b* +ci jdx ia2x + b2y+c2 丿的方程,先求出兩條直線(xiàn)a1x b| y C! =0,a2 x b2 y c2 = 0的交點(diǎn)(xo,yo),然后作平移變換X =x -Xq y =y _y°fx = X 十 x0 y =丫 +y°這時(shí),型二巴,于是,原方程就化為齊次方程dx dXd _ f I

3、9;Nx +biY、 dX 一 2X +b?Y '例題選講可別離變量的微分方程例1( E01)求微分方程 少=2xy的通解.dx解 別離變量得dy = 2xdx兩端積分得也二2xdx > In |y|=x2,Ciyy2 2 2從而y »ex C1 =C1 ex,記C = C1,那么得到題設(shè)方程的通解y =Cex .例2( E02)求微分方程dx - xydy = y2dx ydy的通解.解 先合并dx及dy的各項(xiàng),得y(x-1)dy =(y2 -1)dx設(shè)y2 一1 =o,x_1 =0,別離變量得 兩端積分.注d" Vdx得y1二 dydxy2 -1x -11

4、 2丄“ |y2 一 1|=ln|x_1| ln|C1I2于是y2 -1=cj(x-1)2記C=Qj,那么得到題設(shè)方程的通解y2 -1二C(x-1)2.注：在用別離變量法解可別離變量的微分方程的過(guò)程中,我們?cè)诩俣╣(y)H0的前提下,用它除方程兩邊,這樣得到的通解,不包含使g(y) =0的特解.但是,有時(shí)如果我們擴(kuò)大任 意常數(shù)C的取值范圍,那么其失去的解仍包含在通解中.如在例2中,我們得到的通解中應(yīng)該 C =0 ,但這樣方程就 失去特解y = _1,而如果允許 C = 0,那么y二_1仍包含在通解y -1 =C(x -1)中.例 3 f (sin x) =cos2x tan x,當(dāng) 0 ：x

5、：1 時(shí),求 f (x).ryr解 設(shè) y =sin x,那么 cos2x=1-2sin x =1 -2y,.2sin x1 -sin x.2丄 2 sin xtan x cos x所以原方程變?yōu)檎技?f(y)2y所以f(y)= 2y+Hdy<1y 丿2-y In(1 y) C,故f (x)二-x2In(1 _x)C (0 :：: x : 1).例4 設(shè)一物體的溫度為100 C,將其放置在空氣溫度為20C的環(huán)境中冷卻試求物體溫度隨時(shí)間t的變化規(guī)律解設(shè)物體的溫度 問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型：T與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系為T(mén) =T(t),在上節(jié)的例1中我們已經(jīng)建立了該dT =_k(T -20)(1)dt(2)T

6、 |t 亠=100(2)其中k(k 0)為比例常數(shù)下面來(lái)求上述初值問(wèn)題的解別離變量,得_d二_kdt；T 20兩邊積分dT - -kdt,得ln|T -20-kt G(其中0為任意常數(shù)),T -20即 T -20 二 eAt C1 二 eC1e# 二Ce»(其中 C = eC1 ).從而T =20 Ce At,再將條件 代入得C =100-20 =80, 于是,所求規(guī)律為T(mén) -20 80eAt.注：物體冷卻的數(shù)學(xué)模型在多個(gè)領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用.例如,警方破案時(shí),法醫(yī)要根據(jù)尸體當(dāng)時(shí)的溫度推斷這個(gè)人的死亡時(shí)間,就可以利用這個(gè)模型來(lái)計(jì)算解決,等等例5 ( E03)在一次謀殺發(fā)生后,尸體的溫度根

7、據(jù)牛頓冷卻定律從原來(lái)的37C開(kāi)始下降,假設(shè)兩個(gè)小時(shí)后尸體溫度變?yōu)?5C,并且假定周?chē)諝獾臏囟缺３?0C不變,試求出尸體溫度T隨時(shí)間t的變化規(guī)律.又如果尸體被發(fā)現(xiàn)時(shí)的溫度是30C,時(shí)間是下午4點(diǎn)整,那么謀殺是何時(shí)發(fā)生的？解根據(jù)物體冷卻的數(shù)學(xué)模型,有dTk(T -20), k 0 dtT(0) =37.其中k 0是常數(shù),別離變量并求解得T - 20 二 Ce ",代入初值條件T(0) =37,可求得C =17,于是得該初值問(wèn)題的解為T(mén) =2017e».為求出k值,根據(jù)兩小時(shí)后尸體溫度為35 C這一條件,由求得k : 0.063,于是溫度函數(shù)為35 =2017e 2,T = 2

8、0 17e_0.063t將T =30代入上式求解t,有二 e063,即得 t : 8.4 (小時(shí)).17于是,可以判定謀殺發(fā)生在下午4點(diǎn)尸體被發(fā)現(xiàn)前的8.4小時(shí),即8小時(shí)24分鐘,所以謀殺是在上午7點(diǎn)36分發(fā)生的.例6( E04)某公司t年凈資產(chǎn)有 W(t)(百萬(wàn)元),并且資產(chǎn)本身以每年 5%的速度連續(xù)增 長(zhǎng),同時(shí)該公司每年要以300百萬(wàn)元的數(shù)額連續(xù)支付職工工資.(1) 給出描述凈資產(chǎn) W(t)的微分方程；(2) 求解方程,這時(shí)假設(shè)初始凈資產(chǎn)為 W0；討論在 W0 =500, 600, 700三種情況下,W(t)變化特點(diǎn).解(1)利用平衡法,即由凈資產(chǎn)增長(zhǎng)速度=資產(chǎn)本身增長(zhǎng)速度-職工工資支付速

9、度得到所求微分方程dWdt-0.05W -30.(2)別離變量,得dWW -600=0.05dt.兩邊積分,得In |W -600戶(hù)0.05t Tn C1 (C1為正常數(shù)),于是| -6 0C = C1e0.05t1 或 W-600 =Ce0.05t (C=CJ將W(0) =W°代入,得方程通解：W =600 (W0 -600)e0.05t.上式推導(dǎo)過(guò)程中 W =600,當(dāng)W =600時(shí),W -0知dtW =600 (W0 -600)e0'05t, W =600 =W0,通常稱(chēng)為平衡解,仍包含在通解表達(dá)式中.(3) 由通解表達(dá)式可知,當(dāng) W0= 500百萬(wàn)元時(shí),凈資產(chǎn)額單調(diào)遞

10、減,公司將在第36年破產(chǎn);當(dāng)W0= 600百萬(wàn)元時(shí),公司將收支平衡,將資產(chǎn)保持在600百萬(wàn)元不變；當(dāng) W0=700百萬(wàn)元時(shí),公司凈資產(chǎn)將按指數(shù)不斷增大.齊次方程例7 E05求解微分方程巴二丄 tan滿(mǎn)足初始條件dx x xji6的特解.解 題設(shè)方程為齊次方程,設(shè)u=2,那么魚(yú)二uX巴,dxx dx代入原方程得u xdu =u tan u,別離變量得cotudu=dx. dxx兩邊積分得 In |sinu| = ln|x| In |C | siu=Cx,將u二丄回代,那么得到題設(shè)方程的通解為sin' =Cx.xx利用初始條件ylx壬w/6,得到C =丄.從而所求題設(shè)方程的特解為sinJx

11、.x 2例8求解微分方程dxdy解原方程變形為x2 _xy y2 2y2dy _ 2y xy2 _xy22dx x xy ydu 2u2 -u令u J,那么矽丸X竺方程化為u2,dxdxdx 1 u +u別離變量得2丄+匕Jdux兩邊積分得31ln(u -1) ln(u - 2) In u =1 n x-2InC,整理得u(u-2)3/2 =Cx.所求微分方程的解為y-x2二 Cy(y -2x)3.例9 E06求解微分方程2 dydyx xy dxdx解原方程變形為dy _ y22dx xy - x2y,齊次方程x令 u =上,貝U y =ux, dyxdx=u臾,故原方程變?yōu)閡 x = dx

12、dx u -1,即旦dx u 1別離變量得1-1 du'、.u 7dx.兩邊積分得 u Tn |u | C = In |x| 或 In | xu |= u C. x精品文檔x精品文檔回代u =?,便得所給方程的通解為xln |y C.x例10求以下微分方程的通解：x(ln x -In y)dy - ydx = 0.解 原方程變形為In ydy -dx =0,令u=,那么dy =u - , x xx dx dx代入原方程并整理巴 du =u(ln u +1)x兩邊積分得In u _ ln(ln u 亠 1) - -In x Tn C,即 y = C(ln u 1).變量回代得所求通解y

13、=C lnX 1 .I x丿例11設(shè)商品A和商品B的售價(jià)分別為 R,P2,價(jià)格P1與P2相關(guān),且價(jià)格R相對(duì)P2的彈性為I2,求P1與P2的函數(shù)關(guān)系式PidP2 P2 Pi解 所給方程為齊次方程,整理,得dP21 旦 P2R令u =巴,那么P2I du 1 -u u P2u.dP21 +u別離變量,得112dP2.u u2P2兩邊積分,得1 2 lnu = ln (GB)2. uP1將u-回代,P2那么得到所求通解即P1與P2的函數(shù)關(guān)系式P1eP1二CP；C二C；為任意正常數(shù).R可化為齊次方程的方程例12 E07求魚(yú)二x -y 1的通解.dx x +y -3解 直線(xiàn)x-y,1=0和直線(xiàn)x,y-3

14、=0的交點(diǎn)是1,2,因此作變換 x = X,1,y二丫 *2.代入題設(shè)方程,得空 一一 i_Y . i 丄dX r Y 一 XXY dYdudu 1 - u令u ,那么Y=uX, u亠X,代入上式,得u亠X,XdXdXdX 1 +ud I. *d別離變量,得 du =1 n|X| l nCi,兩邊積分,得一 I n|1 _2u _u2|=ln |X | In®1 -2u -u2Y 22即u 回代得X -2XY -Y =C,X再將X =x -1, Y =y _2回代,并整理所求題設(shè)方程的通解X2 _2xy _ y2 2x 6y =c.例13( E08)利用變量代換法求方程矽=(x y)

15、2的通解.dx解 令xy=u,那么也二竺_1,代入原方程得包=1u2,dx dxdx別離變量得du 2二dx,兩邊積分得arctanu =x C,回代得arctan(x y x C,1 +u故原方程的通解為 y =tan(x C) -x.例14求微分方程y = tan2(x - 2y)的通解. 2解令u=：x2y,那么竺=1,代入原方程得dxdx丄巴一1 Jta n2u =2 dx2tan2u,即ec2u.dxdx別離變量得兩端積分得dusec u=dx 或 Jdu"x.1 1 1 12 u 2si2u 二x C,即4sin2(x2y) ?(x 2y)=x C,故所求通解為-sin(2x 4y).24例15求以下微分方程的通解.X2 為22 + 22yy =e xJ -2x.x令u =x2