第三章機械能定理ppt課件

1、第三章機械能定理3.1.1 功與功率功與功率abFl d力的空間累積量：功力的空間累積量：功元功元功dzFdyFdxFFdlFFdlFl dFdWzyx/)( 切/FF變力沿曲線作功質(zhì)點從 a 到 b 的運動過程中，力 F 所作的功bal dFW在SI中，功的單位是 Nm (牛米)，又稱 J (焦耳)，即有J =Nm。abFl d/FF重力功重力功mghzzmgmgdzl dgmWabbaba)()(z平面xyabazbzPl dgmO重力對物體所作的功只與物體初始位置和終止位置有關(guān)， 與經(jīng)過的途徑無關(guān)。彈力功彈力功OaxbxFkxFxx x+dxk)(21)(22baxxxxxxxxxkdx

2、kxdxFl dFWbababa彈力對物體所作的功只與物體初始位置和終止位置有關(guān)， 與其間經(jīng)過的途徑無關(guān)。質(zhì)點在運動過程中受多個力作用時分力作功之和等于合力作功WldFldFldFldFWbabaiibaiiibaiii )(一對作用力與反作用力：),(21FFOS系1r2r21rP1P21F2F21212212222122211)()()(rdFrrdFrdrdFrdFrdFrdFrdFdW在一切相對平動的參考系中，兩個質(zhì)點之間的一對作用力與反作用力作功之和都一樣受牛頓第三定律徑向力約束在恣意參考系中，兩個質(zhì)點之間的一對作用力與反作用力作功之和都一樣萬有引力功萬有引力功abFrddrrMmG

3、rdrrMmGrdrrMmGl dFdW2/33rrMmGF3Mdrrd/rmM系abrrGMmW11與途徑無關(guān)rrrFF)(rdrrdr彈力和萬有引力都是徑向力barrdrrFW)(rrQqkF3barrkQqW11功率功率vFdtl dFdtl dFdtdWP功率 P ：力在單位時間內(nèi)所作的功：dtdWP 設(shè) F 作用的對象在 dt 時間的位移量為 dlvFP在SI中，功率單位特稱W瓦特，即有W = J/s3.1.2 質(zhì)點動能定理質(zhì)點動能定理abFl dF任一慣性系S中，合力 F 對質(zhì)點所作元功dlFl dFdW/牛頓第二定律的切向分量式dtdvmmaF/代入得221mvdmvdvdtdl

4、mdvdldtdvmdW221mvdmvdvvdvmdtldvmdlddtvdmdW/F在S系中定義質(zhì)點的動能：221mvEk質(zhì)點動能定理質(zhì)點動能定理合力對質(zhì)點作的功等于質(zhì)點動能的添加量合力對質(zhì)點作的功等于質(zhì)點動能的添加量微分式kdEdW 積分式kEW 非慣性系中引入慣性力作功量，它與真實力作功量之和也等于質(zhì)點在非慣性系中動能的增量。kdEdWdW慣質(zhì)點系在某慣性系的動能ikikEE質(zhì)點系動能定理：kEWW外內(nèi)非慣性系中引入各質(zhì)點所受慣性力作功之和W慣，也可有相應(yīng)的“質(zhì)點系動能定理kEWWW外內(nèi)慣內(nèi)力能否作功?hlmAFv0hlAv0O試求 F 的功率lhlFvFvvFP22000cosmma

5、mgTF0222dtdldtldarsin0vdtdl22dtldam?PA點以v0勻速程度運動mmamgTF0vFP解法二tanhx 求導(dǎo)20coshv coshl 求導(dǎo)sincossin02vhlmahvvl3200coscos hlAv0O例2長 L、質(zhì)量 M 的平板放在光滑程度面上，質(zhì)量 m 的小木塊以程度初速 v0 滑入平板上外表，兩者間摩擦系數(shù)為，試求小木塊恰好未能滑離平板上外表的條件。mv0M, L小木塊運動到平板右端時與平板速度一樣0)(mvvmM過程中 m 與 M 間一對摩擦力作功mgLW地面慣性系中動能定理2021221)(mvvmMWgLMmMv220解法一解法一在隨木板

6、運動的非慣性系中木塊以初速 v0 滑入，最后靜止在木板右端。在這個過程中，摩擦力和慣性力做功。平動加速度Mmga0木塊所受慣性力MmgmFi動能定理2021mvmgLLMmgmMmMgLv220解法二解法二解法三解法三當(dāng)作兩體問題處置木塊以初速 v0 滑入，最后靜止在木板右端。2021vmMMmmgLMmMgLv220第三章作業(yè)第三章作業(yè)A組組4、7、8、9、1012、17、18、20、22、24B組組26、29、33、343.2.1 保守力力的沖量21tt “道路獨一力作的功21rr“道路不獨一從作功的角度，力可分為作功量與路徑有關(guān)非保守力作功量與路徑無關(guān)保守力 摩擦力、空氣阻力就是典型的非

7、保守力自然界一切的根本力都是保守力兩點之間的能夠途徑ABPL1L2在恣意位置上取一個“規(guī)范點 P從A到B保守力作的功APBPBPAPPBAPABWWWWWWW定義質(zhì)點在S系的每一個位置的勢能：參考點rpl dFrE)(計算保守力所作的功守恒的理念：動能的添加等于勢能的減少pkEE勢能零點的選擇具有恣意性，實踐中常選 F = 0 點為勢能零點。恣意點的勢能等于將質(zhì)點從該點挪動到參考點保守力作的功參考點rpl dFrE)(勢能的減少 = 保守力作功 = 動能的添加mghEp重心等勢面：勢能相等的點構(gòu)成的曲面重力的等勢面是一程度面221kxEp勢能是保守力作功引起的，勢能終究“藏在系統(tǒng)何處？力從哪里

8、來？場-引力場、電場、磁場、電磁場等等勢能藏在場中場又從哪里來場又從哪里來? ?OxOS系1r2r21rP1P21F2F兩個質(zhì)點的相互作用是一對保守性作用力和反作用力系統(tǒng)勢能的定義：兩個力的作功之和等于系統(tǒng)勢能的減少量系統(tǒng)勢能只依賴于兩個質(zhì)點的相對位置， 且在一切參考系中都是一樣的。對于兩體系統(tǒng)，系統(tǒng)勢能又稱為二體勢能rMmGrErEpp)()( rQqkrEp)(3.2.3 勢能函數(shù)勢能函數(shù)勢能函數(shù)普通是空間的三元函數(shù)),()(zyxErEEppp如何由勢能函數(shù)求保守力? 一維情況)(xEEpp勢能函數(shù)保守力 F 是 x 方向的)( ,xFFiFFxxxdxFdExp勢能與保守力有關(guān)系dxd

9、EFpx三維情況保守力 F 普通也是三元函數(shù)),()(zyxFrFFdzFdyFdxFl dFdEzyxp勢能與保守力有關(guān)系勢能的全微分公式dzzEdyyEdxxEdEppppkzEjyEixEFppp引入哈密頓算符kzjyixpEF勢能曲線一維勢能函數(shù)對應(yīng)的 Ep - x 曲線稱為勢能曲線；二維的稱為勢能曲面。例 二體引力勢能對應(yīng)的勢能曲線rMmGrEp)( Epr思索題 半徑為R的光滑圓環(huán)繞豎直軸以0勻速轉(zhuǎn)動，圓環(huán)上套一小球，試確定其穩(wěn)定平衡點位置。0RO例4 均勻柱形彈性體：勁度系數(shù) k、 自在長度 L，質(zhì)量 m， 求豎直懸掛時的伸長量和彈性勢能。均勻柱形彈性體的性質(zhì)：均勻柱形彈性體的性

10、質(zhì)：原長 L 中恣意一段 l 的勁度系數(shù)klLkl受力 F 時，2)(21 , ,/LkELLllkFLpOx對應(yīng)原長 x 處 dx 段的勁度系數(shù)kdxLkdx受力mgLxL該小段的伸長量dxkmgLxLdl2總伸長量kmgdlLL2022內(nèi)含彈性勢能kgmdlkELdxp6)(212202223.3.1 機械能定理機械能定理從力學(xué)的角度看，質(zhì)點間的相互作用力或是保守性的，或是非保守性的。外力非保守性內(nèi)力保守性內(nèi)力質(zhì)點系受力慣性系中質(zhì)點系動能定理：kEWWW外內(nèi)非保內(nèi)保將保守性內(nèi)力作功之和用它們的勢能替代，動能定理可改寫為)(pkEEWW外內(nèi)非保質(zhì)點系中各對保守性內(nèi)力對應(yīng)的勢能之和 Ep各對保

11、守性內(nèi)力作功之和W內(nèi)保便等于Ep的減少量pEW內(nèi)保非保守性內(nèi)力作功之和W內(nèi)非保，外力作功之和W外定義質(zhì)點系動能與內(nèi)勢能之和為質(zhì)點系機械能 pkEEE質(zhì)點系機械能定理一切非保守內(nèi)力作功與一切外力作功之和等于質(zhì)點系機械能添加量EWW外內(nèi)非保質(zhì)點系所受外力也可進(jìn)一步分為保守性的和非保守性的。保守性的外力也有對應(yīng)的外勢能非慣性系中各質(zhì)點所受保守性慣性力對應(yīng)的勢能之和 Ep慣EWWW外內(nèi)非保慣非保其中慣ppkEEEE3.3.2 3.3.2 機械能守恒定律機械能守恒定律動能由各質(zhì)點速度確定，勢能由系統(tǒng)本身幾何位置和外形確定，速度和幾何位形都是運動形狀的表征，因此機械能是由系統(tǒng)運動形狀確定的力學(xué)量。動能勢能

12、保守力作功機械能其它方式的能量非保守力作功除機械能外，還有許多其它方式的能量機械能守恒定律為守恒量則若過程中恒有外內(nèi)非保 , 0 , 0 :EdWdW能量守恒定律這條定律支配著至今我們所知道的一切自然景象，沒有發(fā)現(xiàn)這條定律有什么例外。例例 6 某慣性系中質(zhì)量各為某慣性系中質(zhì)量各為m，M的質(zhì)的質(zhì)點點A，B。 開場時相距開場時相距l(xiāng)0，A靜止，靜止，B沿連沿連線向外以線向外以v0運動。運動。 在力在力 F 作用下，作用下，B作勻速運動。作勻速運動。 (1) 試求試求A、B間距可到達(dá)的最間距可到達(dá)的最大值大值lmax (2) 此過程中變力此過程中變力F所作的功。所作的功。mM0vABl0F先定性分析

13、A、B的運動選擇適宜的參考系隨B運動的慣性系利用機械能守恒定律020max21lMmGmvlMmGmaxl利用機械能定理020max2021)(21lMmGMvlMmGvMmW另外一種情況mM0vABl0F例7 半徑為R的勻質(zhì)圓環(huán)形光滑細(xì)管放在光滑的程度面上，管內(nèi)有兩個一樣質(zhì)量的小球，它們的初速度一樣，如下圖。求1兩球相碰時離管道中心的間隔。2從小球穿出缺口到相碰，管道程度經(jīng)過的路程。OROR動量守恒機械能守恒例例 9 長長L的勻質(zhì)軟繩絕大部分沿長度部分的勻質(zhì)軟繩絕大部分沿長度部分放在光滑程度放在光滑程度 桌面上，僅有很少一部分懸掛在桌面桌面上，僅有很少一部分懸掛在桌面外。而后繩將從外。而后繩

14、將從 靜止開場下滑。問繩能否到達(dá)圖靜止開場下滑。問繩能否到達(dá)圖b形狀？形狀？ 假設(shè)否，繩滑下多長時會甩離桌邊？假設(shè)否，繩滑下多長時會甩離桌邊？LL分析物理過程abc利用機械能守恒定律2)()(212lglvL繩的程度方向動量llLLgvlLpx)(/)(時，存在極大值2/Ll NLLl將碰撞的物體模型化為質(zhì)點將碰撞的物體模型化為質(zhì)點宏觀世界經(jīng)常會發(fā)生物體間的碰撞碰撞的特點：碰撞時間普通很短， 物體的動量有明顯變化， 碰撞力很大， 常規(guī)力(如重力)與其相比提供的沖量可略碰撞的根本問題：知碰撞前系統(tǒng)的運動形狀， 要求確定碰撞后系統(tǒng)的運動形狀。碰撞景象普遍存在！起跳和落地時的肌肉和筋腱起跳和落地時的

15、肌肉和筋腱足球、排球、體操等運動中，膝部要接受多達(dá)7-14倍的峰值體重3.1 一維碰撞一維碰撞m1m22010vv20vm1m21v12vv 碰撞前碰撞后碰撞前后動量守恒：2021012211vmvmvmvm為解v1，v2，還需建立補充方程彈性碰撞碰撞前后系統(tǒng)動能不變機械能守恒2202210122221121212121vmvmvmvm211012012221202102112)( ,2)(mmvmvmmvmmvmvmmv兩個解：一解對應(yīng)碰前形狀，另一解對應(yīng)碰后形狀。具有相同對稱性果對稱性置具有下因因果對稱關(guān)聯(lián) :換 2 1, 標(biāo) : 性質(zhì)：碰撞前后相對速度大小不變201012vvvv特例特例

16、1：21mm 201vv 102vv 0 2012vmm且101vv反彈特例特例2：碰后交換速度完全非彈性碰撞2120210121mmvmvmvv碰后質(zhì)點1和2一同運動21vv 碰后動能損失220102121)(21vvmmmmE損非彈性碰撞介于彈性與完全非彈性之間的碰撞引入恢復(fù)系數(shù)10 ,201012evvvve21102012022120102101)()1 ()()1 (mmvvmevvmmvvmevv2201021212)()1 (21vvmmmmeE損三體碰撞三體碰撞m1m22010vv3020vv30v完全非彈性碰撞有獨一解碰撞前后動量守恒：303202101332211vmvmv

17、mvmvmvm230322022101233222211212121212121vmvmvmvmvmvm解依然具有的不定性模型的問題模型的問題彈性碰撞將物體剛性化與質(zhì)點化3.4.2 二維斜碰撞二維斜碰撞動量守恒方程2021012211vmvmvmvmm1m210v20v1v2v完全非彈性碰撞有獨一解彈性碰撞2202210122221121212121vmvmvmvm假設(shè)再補充一個角度關(guān)系那么有獨一解解的不定性源于物體的剛性化與質(zhì)點化四個未知標(biāo)量四個未知標(biāo)量例11 采用二體約化質(zhì)量方法， 計算二體正碰撞過程中系統(tǒng) 動能損失。碰撞過程中動能損失量由內(nèi)力作功引起，因此在一切參考系中一樣。12v012v引入恢復(fù)系數(shù)10 ,0eevv利用動能定理202220)1 (212121vevvWE內(nèi)損二體約化質(zhì)量2121mmmm轉(zhuǎn)換到其它參考系，質(zhì)點1，2初速分別記為v10，v20，那么有21020210200)()1 (21 ,vveEvvv損完全非彈性非彈性彈性 :0 ;:01 ; :1eee習(xí)題3-3 質(zhì)量同為m的兩個小球，用