全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西省預(yù)賽試題及參考答案

1、2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西省預(yù)賽試題及參考答案、填空題1、化簡=方1. 2 2.12、3 3.23.4 4,32016.2017 2017,20162017,1解：由k x k 1(k 1)k2、若 sinx+cosx=2 ,sin3 x2解:5苗 xcosx.33sin x cos x.k(k 1).( , k 1、k)J(k 1)11可彳導(dǎo).cos3 x5 282/(sinx cosx) 1，.、3(sin x cosx) 3sin xcosx(sin x cosx)3 25.23、體積為1的正四面體被放置于一個(gè)正方體中，則此正方體體積的最小值是解：反向考慮，邊長為 a的正方體（體積為

2、 a3）,其最大內(nèi)接正四面體頂點(diǎn),由互不共棱的正方體頂點(diǎn)組33成，其體積為a-,令a-1,則a33.334、若橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)關(guān)于它的一個(gè)焦點(diǎn)的對稱點(diǎn)恰好在其準(zhǔn)線上，則橢圓的離心率12e 或22解：建立坐標(biāo)系，設(shè)橢圓的方程為2 x2 a2 y b21(a b 0),則頂點(diǎn) Ai,2( a,0)B2( b,0),焦點(diǎn)Fi,2( c,0),準(zhǔn)線方程為1i,2，其中Va2b2,據(jù)對稱性，只要考慮兩種情況：（1)、A1（ a,0）關(guān)于F2（c,0）的對稱點(diǎn)在右準(zhǔn)線2a卜山-t,由c2 c,得 e a1一 ；（2）、2B1（0, b）關(guān)于F2（c,0）的對稱點(diǎn)在右準(zhǔn)線2 a r 一上，由橫坐標(biāo)c22c,得

3、 e c5、函數(shù)y 4x 3V4x2 1的最小值是.5解：首先， y 4x 3 4x2 1 4x6x 0.又由22(y 4x)9(4x1),即20x28xy (9 y2) 0,據(jù)判別式一 2 一一64y80(92_2y ) 0,即 y5,因 y>0,則 y J5,此值在x工時(shí)取得.（也可以令x -tan,52求解）.6、設(shè)(1 x x2)n a0 a1xa2x2a2nx2n,則a2a4a6n )31a2n2解：令x=0,得 a0=1,再令 x=1,得 a0+ a 1+ a 2+ a 2n=3n,又令 x=-1 ,得 a0- a1+ a 2+ a 2n=1 ,所以n ）31a2 a4 a6

4、a2 n .2,一- 1 1 2 1 2 37、將全體真分?jǐn)?shù)排成這樣的一個(gè)數(shù)列an： , , , , , ,排序萬法是：自左至右，先將分2 3 3 4 4 4母按自小到大排列，對于分母相同的分?jǐn)?shù)，再按分子自小到大排列，則其第2017項(xiàng)a2017.65 636464 65解：按分母分段，分母為 k+1的分?jǐn)?shù)有k個(gè)，因2016,2080,因2017屬于第6422i1段，則az。”應(yīng)是分母為65的第一數(shù)，即 . 658、將各位數(shù)字和為10的全體正整數(shù)按自小到大的順序排成一個(gè)數(shù)列an,若an 2017 ,則n=120.解：數(shù)字和為10的兩位數(shù)ab有9個(gè)；數(shù)字和為10的三位數(shù)abc：首位數(shù)字a可取1,

5、2,，9中任意一個(gè)值，當(dāng)a取定后，b可取0, 1,，10-a這11-a個(gè)數(shù)字的任意一個(gè)值，而在 a,b確定后，c的值9就唯一確定，因此三位數(shù)的個(gè)數(shù)是（11 a） 54；數(shù)字和為10的四位數(shù)1abc ： a+b+c=9的非負(fù)整數(shù)a 1解（a,b,c ）的個(gè)數(shù)是 C；55,數(shù)字和為10的四位數(shù)2abc共有2個(gè)即2008和2017,故在1, 2,2017中，滿足條件的數(shù)有 9+54+55+2=120個(gè).二、解答題（共70分）9、（本題滿分15 分）數(shù)列an,bn滿足：a41 , an 1 an 2bn，bn 1anbn（n1） .證明：（1）、詠 V2,山n/；（2）、良！ 立 氏.b2n 1b2n

6、bn 1bn(a22 .由此遞推得證明：a2i 2b212,)2 2(外，)2a； 2b；(am 2bnJ2 2(a01b0i)2 (a212b；J( 1)n 1(aj 2b2) (1)n.因此afn 2b*0, a2n 1 2 b2n 10即有aUM9版b2n 1b2n據(jù)得a21 2b212 一 2 一 an 2bn ，由條件知,an , bn,皆為嚴(yán)格遞增的正整數(shù)數(shù)列,an 1 an 0, bn 1 bn0,所以 an 112bn 1111 一 an .2bnbn 1 bn將相乘得an 1bn 1an22bna3均3.3.33310、(本題滿分15分)若小于2017的三個(gè)互異正整數(shù) a,

7、b, c使得a b , b c , c是2017的倍數(shù)；證明：a2 b2 c2必是a b c的倍數(shù).2017，注意2017為質(zhì)數(shù),證：因 2017(a3 b3),即2017(ab )(a2 ab b2)；又由 0 a則 a-b 與 2017 互質(zhì)，因此 2017 (a2 b2 ab) 同理有 2017 (b2 c2 bc) 2017 (a2c2ac)，根據(jù)，2017(a2c2ac)(b2 c2bc),即 2017(a b )(a b c),從而 2017 (a b c),因正整數(shù) a,b,c 皆小于 2017,得 a+b+c<3*2017,c2),因此a+b+c=2017或2*2017.

8、又注意a b c與a2 b2 c2同奇偶，故只要證 2017 (a2b2將改寫為 2017a(a bc)b2ac),則知2017(b2ac)，同理有 2017(a2bc),2017 (c2ab)，將式相加，得20173(a2b2c2)于是 2017(a2b2c2),從而(a b c) (a2 b2 c2).22 一 211、(本題滿分20分)設(shè)P = 1 , 2 , 3 ,是由全體正整數(shù)的平方所構(gòu)成的集合；如果數(shù) n能夠表示為集合 P中若干個(gè)(至少一個(gè))互異元素的代數(shù)和，則稱數(shù) n具有P結(jié)構(gòu).證明：每個(gè)自然數(shù) n都具有P結(jié)構(gòu).證明：首先，我們可以將前十個(gè)自然數(shù)分別表示為：再考慮區(qū)間32,42中

9、的數(shù)，其中除了 16=42之外，其余的數(shù)皆可表示為n 42 k(1 k 6)形式；42參與時(shí)，42皆以正項(xiàng)形并且注意到，在1, 2, 3, 4, 5, 6中每個(gè)數(shù)的p結(jié)構(gòu)表示中，凡是表示式中22式出現(xiàn)，于是由n 4k(1 k 6)可知，此時(shí)42項(xiàng)便抵消(不會出現(xiàn)2 4的項(xiàng))；因此，區(qū)間3 ,4中的數(shù)皆具有P結(jié)構(gòu)表示，也就是 42的每個(gè)數(shù)都具有 P結(jié)構(gòu)表示，且其中最大項(xiàng)至多為 42,而凡是含有42的表示中，42皆以正項(xiàng)形式出現(xiàn)， 下面使用歸納法， 假若已證得m2的每個(gè)數(shù)都具有 P結(jié)構(gòu)表示，222且其中最大項(xiàng)至多為 m ,而凡是含有 m 表示中，m 皆以正項(xiàng)形式出現(xiàn)(其中 m 4),對于區(qū)間222

10、m2,(m 1)2中的數(shù)，除了最大數(shù)可以直接表示為(m 1)之外，其余元素 n皆可表示為：22n (m 1)k(1 k 2m),由歸納假設(shè)， m 4,且2m m ,并且此k具有P結(jié)構(gòu)表示，其中每項(xiàng)皆 m2 ,因此數(shù)n具有P結(jié)構(gòu)表示，故由歸納法，即知所證的結(jié)論成立12、(本題滿分20分)如圖，0 01,0 02相交于A, B兩點(diǎn)，CD是經(jīng)過點(diǎn)A的一條線段，其中，點(diǎn)C , D分別在。1、o 02上，過線段CD上的任意一點(diǎn) K ,作KM BD , KN /BC，點(diǎn)M ,N分別在BC, BD上，又向 BCD形外方向，作 ME BC , BF BD ,其中E在。01上，F(xiàn)在。2上；證明：KE KF .證明：設(shè)。O1、。O2的半徑分別為r1,r2,由于abec共圓,abfM圓，得 BC 2rlsim BAC,BD 2r2 sin BAD,而BAC BAD 180 ,所以BC旦，于是 BD 2BO1C s BO2D ,根據(jù)平行關(guān)系得CMKs KNDs CBD,所以MC NK BC 1 一，且四邊形 KMBN為平行四邊形，MK ND BD r2BC nBN=MK延長垂線FN父。2于F1，因 工，則。01上優(yōu)BD r2弧BEC與。02上BD所對的優(yōu)弧 DF1B的度數(shù)相等，又因 M,N分別是兩圓對應(yīng)弦 CR BD上的點(diǎn)，且CM CMBCBN MK BD乜，所以力CM曰力NF1B,力BMN力NF1D