學(xué)生眼中的雞兔同籠

1、學(xué)生眼中的“雞兔同籠”雞兔同籠問題是我國古代著名趣題之一，出自孫子算經(jīng)。原文為：今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？對于這個經(jīng)典的古代趣題，從解題的角度而言，可以有一系列的方法：畫圖 法、列表法、假設(shè)法、方程法。與此同時，這個問題也蘊含著豐富的數(shù)學(xué)思想： 化歸、枚舉、數(shù)形結(jié)合、假設(shè)、方程。這些數(shù)學(xué)思想方法和具體的解題方法之間 亦存在著一定的對應(yīng)關(guān)系，比如，枚舉和列表法，數(shù)形結(jié)合和畫圖法，方程和方 程法。在多年的教學(xué)實踐中，許許多多的教師們面對雞兔同籠這一問題， 都給予 了多元化的詮釋。從教育的角度看，定位于不同解題方法不是隨意的，我們所接 觸到的各個版本教材都有自己的獨到之

2、處， 將解法的難度與學(xué)生的可接受水平結(jié) 合起來進行了充分的考量。歸納起來，基本有這樣的邏輯序列：一年級可以應(yīng)用 數(shù)形結(jié)合的思想選擇畫圖法，二、三年級可以應(yīng)用枚舉的思想選擇列表法， 四年 級可以應(yīng)用假設(shè)的思想選擇假設(shè)法， 五年級可以應(yīng)用方程的思想選擇方程法。 在 教學(xué)完京版教材第九冊第六單元的探索規(guī)律（三）后，我不禁產(chǎn)生了這樣的 疑問：學(xué)生學(xué)習(xí)了用不同的解題方法解決雞兔同籠問題，那么，他們眼中的雞兔同籠問題究竟是什么樣的呢？基于此，我進行了一次學(xué)生調(diào)研活動。調(diào)研活動分為兩個部分：一是學(xué)生訪談；二是調(diào)研試題。首先，先來談?wù)剬W(xué)生訪談帶給我的收獲：教師：第一次學(xué)習(xí)“雞兔同籠”問題是什么時候?學(xué)生 1：

3、在三年級校外上奧數(shù)課的時候。當時老師讓我們記住了一個公式“兔只數(shù)=（實際腳數(shù)-雞兔總數(shù)X每只雞腳數(shù)）十（每只兔腳數(shù)-每只雞腳數(shù)）”聽完這個我眼中好學(xué)生的回答，我一下子震驚了：教師機械地把解決雞兔同 籠問題的公式教給學(xué)生， 以致形成了學(xué)生只會按公式來解決問題而不理解其意的 “套公式” 現(xiàn)象的發(fā)生， 實在是教育的悲哀。 當我再讓這個孩子說說按公式計算 每一步的算理， 她卻顯得那么的茫然。 單就這個公式本身而言， 即使讓我們成人 去背去理解都是很難的，何況一個孩子？在京版教材中明確說明， 通過雞兔同籠問題對學(xué)生進行數(shù)學(xué)文化的熏陶感染， 對于解題方法不能要求過高。 畫圖法和列表法實質(zhì)上都是在嘗試， 讓

4、學(xué)生通過不 斷的嘗試，在試誤中才能逐步地形成良好的數(shù)學(xué)意識，體驗數(shù)學(xué)的思想和方法， 提高學(xué)數(shù)學(xué)的積極性。 我認為， 教師如果一味地把公式強加給學(xué)生， 代替學(xué)生的 思維，將他們的想法定格在成人化， 這樣必定會違背教材的編寫意圖， 不但使學(xué) 生失去了自主探究學(xué)習(xí)的機會， 而且增加了學(xué)習(xí)的難度， 加重了學(xué)生的學(xué)習(xí)負擔(dān)。 那時候，學(xué)生眼中的“雞兔同籠”問題就失去了它應(yīng)有的光彩，只會化為一粒細 沙淹沒在無盡的題海中，這是我們所不愿見到的。學(xué)生 2：在四年級的數(shù)學(xué)課上，我第一次學(xué)習(xí)了雞兔同籠問題，當時學(xué)會 了畫圖法還有列表法，畫圖法很有意思，列表頁不錯，很快就能解答出題目。同樣是學(xué)生，他眼中的“雞兔同籠”

5、問題卻截然不同。孩子的只言片語便 將這一問題的精髓體現(xiàn)的淋漓盡致。的確，為了保存“雞兔同籠”問題的原汁原 味，我們在教學(xué)中的，不應(yīng)該定位在：為了解決“雞兔同籠”問題的本身；而是 應(yīng)該定位：在借助“雞兔同籠”這個載體讓學(xué)生歷經(jīng)列表、嘗試和不斷調(diào)整的過 程，從中體會出解決問題的一般策略列表。 因此， 絕不能把解決問題的公式 教給學(xué)生， 教師要反復(fù)引導(dǎo)學(xué)生運用列表嘗試的方法， 讓學(xué)生自主探究、 嘗試與 猜測，從而培養(yǎng)多角度解決問題的能力。在新的課程理念下，知識已經(jīng)不再是一個名詞了，應(yīng)是一個動詞。學(xué)生學(xué)習(xí) 知識的過程應(yīng)是一種探究的過程、選擇的過程、創(chuàng)造的過程。對于學(xué)生來說，最 重要的不是掌握和存儲知識

6、， 而是學(xué)會探究， 以便為終生繼續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。 由 此可見，我們在教學(xué)中應(yīng)多引導(dǎo)學(xué)生去嘗試與探究， 讓學(xué)生在過程中掌握解決問 題的方法，絕不能把解決問題的方法直接教給學(xué)生。那樣與填鴨何異？其次，再來談?wù)務(wù){(diào)研試題帶給我的啟迪：調(diào)研題目：有 10 個頭，32 條腿，雞兔各幾只？調(diào)研時間：五年級第一學(xué)期期末（學(xué)過京版小學(xué)數(shù)學(xué)第九冊探索規(guī)律三 之后）。調(diào)研對象及樣本數(shù)量：五年級一個教學(xué)班，共計 43 人。調(diào)研結(jié)果：正確率： 43 人， 100%預(yù)設(shè)的解題方法：列表法、畫圖法、方程法、假設(shè)法方法列表法畫圖法方程法假設(shè)法人數(shù)35人26人5人25人百分比81.40%60.47%11.63%58.14%使用

7、多種方法解題的情況分析:解題方法數(shù)量兩種方法三種方法人數(shù)35人8人百分比81.40%18.60%調(diào)研樣本:解題方法1 （列表法）解題方法2 （畫圖法）解題方法3 （假設(shè)法）解題方法4 （方程法）通過，這個簡單的調(diào)研，我發(fā)現(xiàn)：學(xué)生對于列表法掌握的情況最為理想。列表法應(yīng)用的是數(shù)學(xué)中的枚舉思想， 其特點是簡潔， 這種起點低、 易操作的解題 方法在學(xué)生的腦海中留下了深刻的印象， 被廣大學(xué)生所接受、 理解。學(xué)生應(yīng)用了 枚舉的思想，經(jīng)歷了列表、嘗試和不斷調(diào)整的過程，從中體會數(shù)學(xué)的樂趣。對于畫圖法，調(diào)研學(xué)生中有 60.47% 采用。通過調(diào)研后的訪談，我進一步了 解到，學(xué)生基本上都會畫圖法， 但是有一部分學(xué)習(xí)

8、情況較好的學(xué)生認為畫圖法容 易受的數(shù)據(jù)太多太大的影響而沒有使用。 看來，學(xué)生對于這一解題方法還是基本 認可的，它所存在的局限性學(xué)生也是有所了解的。假設(shè)法，調(diào)研學(xué)生中有 58.14%采用。就數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本身而言，假設(shè)法是一種 重要的解題方法， 許多問題都可以用假設(shè)的方法而得到解決。 而雞兔同籠問題的 算術(shù)解法就是依據(jù)假設(shè)的方法來解決的。 單就前文所述的列表法其中也蘊含著假 設(shè)的思想，此外還有一些“化歸法” “砍足法”以及上面提到的公式法，歸根結(jié) 底都是應(yīng)用了假設(shè)的數(shù)學(xué)思想。 因此，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生在反復(fù)運用列表方法的 基礎(chǔ)上，滲透并讓學(xué)生真正理解假設(shè)的方法， 以便為學(xué)生掌握雞兔同籠的算術(shù)解 法奠定基

9、礎(chǔ)，同時也為培養(yǎng)學(xué)生的思維能力奠定基礎(chǔ)。方程法的調(diào)研結(jié)果僅為 11.63% ，這一點讓我頗感意外。單從解題方法的角 度而言，方程法遠比畫圖、列表之類的方法要快捷、簡便，這種簡便有其固有的 數(shù)學(xué)價值， 但是五年級的學(xué)生對此卻并不樂于接受。 在后續(xù)的訪談中， 我進一步 了解到學(xué)生不用方程法的主要原因有兩個： 一是“不習(xí)慣用” ；二是“不會用”的確，解決“雞兔同籠”問題的一元一次方程，在設(shè)句、列法、解法上，明 顯超過五年級所學(xué)方程的難度。同時，X在減數(shù)位置的方程，現(xiàn)行教材回避教學(xué)， 學(xué)生不會解答，只有設(shè)每份數(shù)大的為X才可以避免未知數(shù)在減數(shù)位置的情況沒有 深刻的認知。學(xué)生的這些認知基礎(chǔ)，導(dǎo)致他們對于列方程解“雞兔同籠”沒有親 切感。此外，關(guān)系性思維的欠缺導(dǎo)致五年級學(xué)生對于方程的本質(zhì)也尚未形成良好 的認知（關(guān)系性思維特征包括利用基本的數(shù)字和運算形式對數(shù)學(xué)表達式進行轉(zhuǎn) 換，而不僅僅是依據(jù)既定順序的程度簡單地計算出結(jié)果）。學(xué)生要想使用方程求解務(wù)必要進行建模，而建模的依據(jù)就是等號左右兩邊的兩件事情在數(shù)學(xué)上是等價 的。把未知當做條件進行建模并解答的意識和能力還不夠。在這樣的情況下，強加方程于學(xué)生，事倍功半是可以預(yù)見的。我相信，當學(xué)生