（整理版）立體幾何第一部分三高考薈

1、【3年高考2年模擬】立體幾何第一局部 三年高考薈高考數(shù)學(xué)1空間幾何體一、選擇題1 新課標(biāo)理三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的求面上,是邊長(zhǎng)為的正三角形,為球的直徑,且;那么此棱錐的體積為abcd2 浙江文某三棱錐的三視圖(:cm)如下圖,那么該三棱錐的體積是a1cm3b2cm3c3cm3d6cm33 重慶文設(shè)四面體的六條棱的長(zhǎng)分別為1,1,1,1,和且長(zhǎng)為的棱與長(zhǎng)為的棱異面,那么的取值范圍是abcd4 4重慶理設(shè)四面體的六條棱的長(zhǎng)分別為1,1,1,1,和,且長(zhǎng)為的棱與長(zhǎng)為的棱異面,那么的取值范圍是abcd5 陜西文將正方形(如圖1所示)截去兩個(gè)三棱錐,得到圖2所示的幾何體,那么該幾何體的左視圖為 6 課

2、標(biāo)文平面截球o的球面所得圓的半徑為1,球心o到平面的距離為,那么此球的體積為ab4c4d67 課標(biāo)文理如圖,網(wǎng)格上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,那么幾何體的體積為.6 .9 .12 .188 江西文假設(shè)一個(gè)幾何體的三視圖如下左圖所示,那么此幾何體的體積為ab5c4d9湖南文某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖1所示,那么該幾何體的俯視圖不可能是第7題圖10廣東文(立體幾何)某幾何體的三視圖如圖1所示,它的體積為abcd11福建文一個(gè)幾何體的三視圖形狀都相同,大小均等,那么這個(gè)幾何體不可以是a球b三棱錐 c正方體d圓柱 、12 13北京文某三棱錐的三視圖如下圖,該三棱錐的外表積是a

3、bcd 14 江西理如圖,正四棱錐s-abcd所有棱長(zhǎng)都為1,點(diǎn)e是側(cè)棱sc上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)e垂直于sc的截面將正四棱錐分成上、下兩局部.記se=x(0<x<1),截面下面局部的體積為v(x),那么函數(shù)y=v(x)的圖像大致為15湖南理某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖1所示,那么該幾何體的俯視圖不可能是a圖1bcd16湖北理我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中“開立圓術(shù)曰:置積尺數(shù),以十六乘之,九而一,所得開立方除之,即立圓徑. “開立圓術(shù)相當(dāng)于給出了球的體積,求其直徑的一個(gè)近似公式. 人們還用過一些類似的近似公式. 根據(jù)判斷,以下近似公式中最精確的一個(gè)是側(cè)視圖正視圖24242俯視圖abcd(一

4、)必考題(1114題)17湖北理某幾何體的三視圖如下圖,那么該幾何體的體積為ab cd18廣東理(立體幾何)某幾何體的三視圖如圖1所示,它的體積為abcd19福建理一個(gè)幾何體的三視圖形狀都相同、大小均相等,那么這個(gè)幾何體不可以是a球b三棱柱c正方形d圓柱20大綱理正四棱柱中,為的中點(diǎn),那么直線 與平面的距離為a2bcd121北京理某三棱錐的三視圖如下圖,該三棱錐的外表積是abcd 二、填空題22天津文一個(gè)幾何體的三視圖如下圖(:),那么該幾何體的體積_.23上海文一個(gè)高為2的圓柱,底面周長(zhǎng)為2p,該圓柱的外表積為_.24山東文如圖,正方體的棱長(zhǎng)為1,e為線段上的一點(diǎn),那么三棱錐的體積為_.25

5、遼寧文點(diǎn)p,a,b,c,d是球o外表上的點(diǎn),pa平面abcd,四邊形abcd是邊長(zhǎng)為2正方形.假設(shè)pa=2,那么oab的面積為_.26遼寧文一個(gè)幾何體的三視圖如下圖,那么該幾何體的體積為_.27湖北文某幾何體的三視圖如下圖,那么該幾何體的體積為_.28安徽文假設(shè)四面體的三組對(duì)棱分別相等,即,那么_.(寫出所有正確結(jié)論編號(hào)) 四面體每組對(duì)棱相互垂直四面體每個(gè)面的面積相等從四面體每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和大于而小于連接四面體每組對(duì)棱中點(diǎn)的線段互垂直平分從四面體每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長(zhǎng)可作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)29安徽文某幾何體的三視圖如下圖,該幾何體的體積是30天津理個(gè)幾何體的三視圖如下圖(:

6、),那么該幾何體的體積為_.31浙江理某三棱錐的三視圖(:cm)如下圖,那么該三棱錐的體積等于_cm3.abcd32上海理如圖,ad與bc是四面體abcd中互相垂直的棱,bc=2。假設(shè)ad=2c,且ab+bd=ac+cd=2a,其中a、c為常數(shù),那么四面體abcd的體積的最大值是 _ .33上海理假設(shè)一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是面積為2p的半圓面,那么該圓錐的體積為_ .34山東理如圖,正方體的棱長(zhǎng)為1,分別為線段上的點(diǎn),那么三棱錐的體積為_.35遼寧理正三棱錐abc,點(diǎn)p,a,b,c都在半徑為的求面上,假設(shè)pa,pb,pc兩兩互相垂直,那么球心到截面abc的距離為_.36遼寧理一個(gè)幾何體的三視圖如

7、下圖,那么該幾何體的外表積為_.37江蘇dabc如圖,在長(zhǎng)方體中,那么四棱錐的體積為_cm3.38安徽理某幾何體的三視圖如下圖,該幾何體的外表積是.參考答案一、選擇題1. 【解析】選 的外接圓的半徑,點(diǎn)到面的距離 為球的直徑點(diǎn)到面的距離為 此棱錐的體積為 另:排除 2. 【答案】:a 【解析】:, 【考點(diǎn)定位】此題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征,考查空間想象能力,極限思想的應(yīng)用,是中檔題. 3. 【答案】c . 4. 【答案】a 【解析】. 【考點(diǎn)定位】此題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征,考查空間相象力,極限思想的運(yùn)用,是中檔題. 5. 答案c 解析假設(shè)兩條直線和同一平面所成角相等,這兩條直線可能平行,也可能為異面直

8、線,也可能相交,所以a錯(cuò);一個(gè)平面不在同一條直線的三點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等,那么這兩個(gè)平面平行,故b錯(cuò);假設(shè)兩個(gè)平面垂直同一個(gè)平面兩平面可以平行,也可以垂直;故d錯(cuò);應(yīng)選項(xiàng)c正確. 點(diǎn)評(píng)此題旨在考查立體幾何的線、面位置關(guān)系及線面的判定和性質(zhì),需要熟練掌握課本根底知識(shí)的定義、定理及公式. 6. 畫出三視圖,應(yīng)選b 7. 【解析】由三視圖知,其對(duì)應(yīng)幾何體為三棱錐,其底面為一邊長(zhǎng)為6,這邊上高為3,棱錐的高為3,故其體積為=9,應(yīng)選b. 8. 【答案】c 【解析】此題的主視圖是一個(gè)六棱柱,由三視圖可得地面為變長(zhǎng)為1的正六邊形,高為1,那么直接帶公式可求該直六棱柱的體積是:,應(yīng)選c. 【考點(diǎn)定位】此

9、題是根底題,考查三視圖與地觀圖的關(guān)系,注意幾何體的位置與放法是解題的關(guān)鍵,考查空間想象能力,轉(zhuǎn)化思想、計(jì)算能力. 9. 【答案】d 【解析】此題是組合體的三視圖問題,由幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖1所示知,原圖下面圖為圓柱或直四棱柱,上面是圓柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱,a,b,c,都可能是該幾何體的俯視圖,d不可能是該幾何體的俯視圖,因?yàn)樗恼晥D上面應(yīng)為如圖的矩形. 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查空間幾何體的三視圖,考查空間想象能力.是近年來熱點(diǎn)題型. 10. 解析:c.該幾何體下局部是半徑為3,高為4的圓錐,體積為,上局部是半球,體積為,所以體積為. 11. 【答案】d 【解析】分別比擬a、b

10、、c的三視圖不符合條件,d 符合 【考點(diǎn)定位】考查空間幾何體的三視圖與直觀圖,考查空間想象能力、邏輯推理能力. 12. 答案d 【解析】連結(jié)交于點(diǎn),連結(jié),因?yàn)槭侵悬c(diǎn),所以,且,所以,即直線 與平面bed的距離等于點(diǎn)c到平面bed的距離,過c做于,那么即為所求距離.因?yàn)榈酌孢呴L(zhǎng)為2,高為,所以,所以利用等積法得,選d. 13. 【答案】b 【解析】從所給的三視圖可以得到該幾何體為三棱錐,此題所求外表積為三棱錐四個(gè)面的面積之和.利用垂直關(guān)系和三角形面積公式,可得:,因此該幾何體外表積,應(yīng)選b. 【考點(diǎn)定位】本小題主要考查的是三棱錐的三視圖問題,原來考查的是棱錐或棱柱的體積而今年者的是外表積,因此考

11、查了學(xué)生的計(jì)算根本功和空間想象能力. 14. a【解析】此題綜合考查了棱錐的體積公式,線面垂直,同時(shí)考查了函數(shù)的思想,導(dǎo)數(shù)法解決幾何問題等重要的解題方法. (定性法)當(dāng)時(shí),隨著的增大,觀察圖形可知,單調(diào)遞減,且遞減的速度越來越快;當(dāng)時(shí),隨著的增大,觀察圖形可知,單調(diào)遞減,且遞減的速度越來越慢;再觀察各選項(xiàng)中的圖象,發(fā)現(xiàn)只有a圖象符合.應(yīng)選a. 【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于函數(shù)圖象的識(shí)別問題,假設(shè)函數(shù)的圖象對(duì)應(yīng)的解析式不好求時(shí),作為選擇題,沒必要去求解具體的解析式,不但方法繁瑣,而且計(jì)算復(fù)雜,很容易出現(xiàn)某一步的計(jì)算錯(cuò)誤而造成前功盡棄;再次,作為選擇題也沒有太多的時(shí)間去給學(xué)生解答;因此,使用定性法,不但求解快速,

12、而且準(zhǔn)確節(jié)約時(shí)間. 15. 【答案】d 【解析】此題是組合體的三視圖問題,由幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖1所示知,原圖下面圖為圓柱或直四棱柱,上面是圓柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱,a,b,c都可能是該幾何體的俯視圖,d不可能是該幾何體的俯視圖,因?yàn)樗恼晥D上面應(yīng)為如圖的矩形. 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查空間幾何體的三視圖,考查空間想象能力.是近年高考中的熱點(diǎn)題型. 16.考點(diǎn)分析:考察球的體積公式以及估算. 解析:由,設(shè)選項(xiàng)中常數(shù)為,那么;a中代入得,b中代入得,c中代入得,d中代和主得,由于d中值最接近的真實(shí)值,應(yīng)選擇d. 17.考點(diǎn)分析:此題考察空間幾何體的三視圖. 解析:顯然有三視圖我們

13、易知原幾何體為 一個(gè)圓柱體的一局部,并且有正視圖知是一個(gè)1/2的圓柱體,底面圓的半徑為1,圓柱體的高為6,那么知所求幾何體體積為原體積的一半為.選b. 18.解析:c.該幾何體下局部是半徑為3,高為5的圓柱,體積為,上局部是半徑為3,高為4的圓錐,體積為,所以體積為. 19. 【答案】d 【解析】分別比擬abc的三視圖不符合條件,d符合. 【考點(diǎn)定位】考查空間幾何體的三視圖與直觀圖,考查空間想象能力、邏輯推理能力. 【解析】連結(jié)交于點(diǎn),連結(jié),因?yàn)槭侵悬c(diǎn),所以,且,所以,即直線 與平面bed的距離等于點(diǎn)c到平面bed的距離,過c做于,那么即為所求距離.因?yàn)榈酌孢呴L(zhǎng)為2,高為,所以,所以利用等積法

14、得,選d. 21. 【答案】b 【解析】從所給的三視圖可以得到該幾何體為三棱錐,此題所求外表積為三棱錐四個(gè)面的面積之和.利用垂直關(guān)系和三角形面積公式,可得:,因此該幾何體外表積,應(yīng)選b. 【考點(diǎn)定位】本小題主要考查的是三棱錐的三視圖問題,原來考查的是棱錐或棱柱的體積而今年者的是外表積,因此考查了學(xué)生的計(jì)算根本功和空間想象能力. 二、填空題22. ,五棱柱的體積是,所以幾何體的總體積為. 23. 解析 2pr=2p,r=1,s表=2prh+2pr2=4p+2p=6p. 24. 答案: 解析:. 25. 【答案】 【解析】點(diǎn) 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查組合體的位置關(guān)系、抽象概括能力、空間想象能力、運(yùn)算求

15、解能力以及轉(zhuǎn)化思想,該題靈活性較強(qiáng),難度較大.該題假設(shè)直接利用三棱錐來考慮不宜入手,注意到條件中的垂直關(guān)系,把三棱錐轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體來考慮就容易多了. 26. 【答案】12+ 【解析】由三視圖可知該幾何體為一個(gè)長(zhǎng)方體和一個(gè)等高的圓柱的組合體,其中長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為4、3、1,圓柱的底面直徑為2,高位1,所以該幾何體的體積為 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查幾何體的三視圖、柱體的體積公式,考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力,屬于容易題.此題解決的關(guān)鍵是根據(jù)三視圖復(fù)原出幾何體,確定幾何體的形狀,然后再根據(jù)幾何體的形狀計(jì)算出體積. 27. 【解析】由三視圖可知,該幾何體是由左右兩個(gè)相同的圓柱(底面圓半徑為2,高為

16、1)與中間一個(gè)圓柱(底面圓半徑為1,高為4)組合而成,故該幾何體的體積是. 【點(diǎn)評(píng)】此題考查圓柱的三視圖的識(shí)別,圓柱的體積.學(xué)生們平常在生活中要多多觀察身邊的實(shí)物都是由什么幾何形體構(gòu)成的,以及它們的三視圖的畫法. 來年需注意以三視圖為背景,考查常見組合體的外表積. 28. 【解析】正確的選項(xiàng)是 四面體每個(gè)面是全等三角形,面積相等 從四面體每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和等于 連接四面體每組對(duì)棱中點(diǎn)構(gòu)成菱形,線段互垂直平分 從四面體每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長(zhǎng)可作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng) 29. 【解析】外表積是 該幾何體是底面是直角梯形,高為的直四棱柱幾何體的的體積是 30. 【答案】 簡(jiǎn)單組合體的三

17、視圖的畫法與體積的計(jì)算以及空間想象能力. 【解析】由三視圖可該幾何體為兩個(gè)相切的球上方了一個(gè)長(zhǎng)方體組成的組合體,所以其體積為:=. 31. 【答案】1 【解析】觀察三視圖知該三棱錐的底面為一直角三角 . 點(diǎn)評(píng)異面直線夾角問題通?？梢圆捎脙煞N途徑: 第一,把兩條異面直線平移到同一平面中借助三角形處理; 第二,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量夾角公式解決. 32. adbec解析 作bead于e,連接ce,那么ad平面bec,所以cead, 由題設(shè),b與c都是在以ad為焦距的橢球上,且be、ce都 垂直于焦距ad,所以be=ce. 取bc中點(diǎn)f, 連接ef,那么efbc,ef=2, 四面體abcd的體

18、積,顯然,當(dāng)e在ad中點(diǎn),即 b是短軸端點(diǎn)時(shí),be有最大值為b=,所以. 評(píng)注 此題把橢圓拓展到空間,對(duì)缺少聯(lián)想思維的考生打擊甚大!當(dāng)然,作為填空押軸題,區(qū)分度還是要的,不過,就搶分而言,膽大、靈活的考生也容易找到突破點(diǎn):ab=bd(同時(shí)ac=cd),從而致命一擊,逃出生天! 33. porlhpl2pr解析 如圖,Þl=2,又2pr2=pl=2pÞr=1, 所以h=,故體積. 34. 【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在線段上,所以,又因?yàn)辄c(diǎn)在線段上,所以點(diǎn)到平面的距離為1,即,所以. 【答案】 35. 【答案】 【解析】因?yàn)樵谡忮Fabc中,pa,pb,pc兩兩互相垂直,所以可以把該正三

19、棱錐看作為一個(gè)正方體的一局部,(如下圖),此正方體內(nèi)接于球,正方體的體對(duì)角線為球的直徑,球心為正方體對(duì)角線的中點(diǎn). 球心到截面abc的距離為球的半徑減去正三棱錐abc在面abc上的 ,所以正方體的棱長(zhǎng)為2,可求得正三棱錐abc在面abc上的高為,所以球心到截面abc的距離為 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查組合體的位置關(guān)系、抽象概括能力、空間想象能力、運(yùn)算求解能力以及轉(zhuǎn)化思想,該題靈活性較強(qiáng),難度較大.該題假設(shè)直接利用三棱錐來考慮不宜入手,注意到條件中的垂直關(guān)系,把三棱錐轉(zhuǎn)化為正方體來考慮就容易多了. 36. 【答案】38 【解析】由三視圖可知該幾何體為一個(gè)長(zhǎng)方體在中間挖去了一個(gè)等高的圓柱,其中長(zhǎng)方體的長(zhǎng)

20、、寬、高分別為4、3、1,圓柱的底面直徑為2,所以該幾何體的外表積為長(zhǎng)方體的外表積加圓柱的側(cè)面積再減去圓柱的底面積,即為 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查幾何體的三視圖、柱體的外表積公式,考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力,屬于容易題.此題解決的關(guān)鍵是根據(jù)三視圖復(fù)原出幾何體,確定幾何體的形狀,然后再根據(jù)幾何體的形狀計(jì)算出外表積. 37. 【答案】6. 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì),棱錐的體積. 【解析】長(zhǎng)方體底面是正方形,中 cm,邊上的高是cm(它也是中上的高). 四棱錐的體積為. 38. 【答案】92 【解析】由三視圖可知,原幾何體是一個(gè)底面是直角梯形,高為4的直四棱柱,其底面積為,側(cè)面積為,故外表積為92. 【

21、考點(diǎn)定位】考查三視圖和外表積計(jì)算. 高考數(shù)學(xué)2點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系一、選擇題 浙江文設(shè)是直線,a,是兩個(gè)不同的平面a假設(shè)a,那么ab假設(shè)a,那么a c假設(shè)a,a,那么d假設(shè)a, a,那么 四川文a假設(shè)兩條直線和同一個(gè)平面所成的角相等,那么這兩條直線平行b假設(shè)一個(gè)平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等,那么這兩個(gè)平面平行c假設(shè)一條直線平行于兩個(gè)相交平面,那么這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行d假設(shè)兩個(gè)平面都垂直于第三個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行 浙江理矩形abcd,ab=1,bc=.將abd沿矩形的對(duì)角線bd所在的直線進(jìn)行翻著,在翻著過程中,a存在某個(gè)位置,使得直線ac與直線bd垂直 b存在某個(gè)位置

22、,使得直線ab與直線cd垂直 c存在某個(gè)位置,使得直線ad與直線bc垂直 d對(duì)任意位置,三直線“ac與bd,“ab與cd,“ad與bc均不垂直a假設(shè)兩條直線和同一個(gè)平面所成的角相等,那么這兩條直線平行b假設(shè)一個(gè)平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等,那么這兩個(gè)平面平行c假設(shè)一條直線平行于兩個(gè)相交平面,那么這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行d假設(shè)兩個(gè)平面都垂直于第三個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行 上海春空間三條直線假設(shè)與異面,且與異面,那么 答a與異面.b與相交.c與平行.d與異面、相交、平行均有可能.二、填空題四川文如圖,在正方體中,、分別是、的中點(diǎn),那么異面直線與所成的角的大小是_.大綱文正方形中,分

23、別為,的中點(diǎn),那么異面直線與所成角的余弦值為_. 四川理如圖,在正方體中,、分別是、的中點(diǎn),那么異面直線與所成角的大小是_.大綱理三棱柱中,底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都相等,那么異面直線與所成角的余弦值為_.三、解答題重慶文(本小題總分值12分,()小問4分,()小問8分)直三棱柱中,為的中點(diǎn).()求異面直線和的距離;()假設(shè),求二面角的平面角的余弦值.浙江文如圖,在側(cè)棱錐垂直底面的四棱錐abcd-a1b1c1d1中,adbc,adab,ab=.ad=2,bc=4,aa1=2,e是dd1的中點(diǎn),f是平面b1c1e與直線aa1的交點(diǎn).(1)證明:(i)efa1d1;(ii)ba1平面b1c1ef;(2)求

24、bc1與平面b1c1ef所成的角的正弦值.天津文如圖,在四棱錐中,底面是矩形,.(i)求異面直線與所成角的正切值;(ii)證明平面平面;(iii)求直線與平面所成角的正弦值.四川文如圖,在三棱錐中,點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在上.()求直線與平面所成的角的大小;()求二面角的大小.上海文pabcd如圖,在三棱錐p-abc中,pa底面abc,d是pcbac=,ab=2,ac=2,pa=2.求:(1)三棱錐p-abc的體積;(2)異面直線bc與ad所成的角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示).陜西文直三棱柱abc- a1b1c1中,ab=a a1 ,=()證明;()ab=2,bc=,求三棱錐的體積.山東文如圖,

25、幾何體是四棱錐,為正三角形,.()求證:;()假設(shè),m為線段ae的中點(diǎn),求證:平面.遼寧文如圖,直三棱柱,aa=1,點(diǎn)m,n分別為和的中點(diǎn).()證明:平面;()求三棱錐的體積.(椎體體積公式v=sh,其中s為地面面積,h為高)課標(biāo)文如圖,三棱柱中,側(cè)棱垂直底面,acb=90°,ac=bc=aa1,d是棱aa1的中點(diǎn).(i) 證明:平面平面()平面分此棱柱為兩局部,求這兩局部體積的比.江西文如圖,在梯形abcd中,abcd,e,f是線段ab上的兩點(diǎn),且deab,cfab,ab=12,ad=5,bc=4ade,cfb分別沿de,cf折起,使a,b兩點(diǎn)重合與點(diǎn)g,得到多面體cdefg.(1

26、)求證:平面deg平面cfg;(2)求多面體cdefg的體積.湖南文如圖6,在四棱錐p-abcd中,pa平面abcd,底面abcd是等腰梯形,adbc,acbd.()證明:bdpc;()假設(shè)ad=4,bc=2,直線pd與平面pac所成的角為30°,求四棱錐p-abcd的體積.湖北文某個(gè)實(shí)心零部件的形狀是如下圖的幾何體,其下部是底面均是正方形,側(cè)面是全等的等腰梯形的四棱臺(tái),上不是一個(gè)底面與四棱臺(tái)的上底面重合,側(cè)面是全等的矩形的四棱柱.(1)證明:直線平面;(2)現(xiàn)需要對(duì)該零部件外表進(jìn)行防腐處理,(:厘米),每平方厘米的加工處理費(fèi)為元,需加工處理費(fèi)多少元?廣東文(立體幾何)如圖5所示,在

27、四棱錐中,平面,是的中點(diǎn),是上的點(diǎn)且,為中邊上的高.()證明:平面;()假設(shè),求三棱錐的體積;()證明:平面.福建文如圖,在長(zhǎng)方體中,為棱上的一點(diǎn).(1)求三棱錐的體積;(2)當(dāng)取得最小值時(shí),求證:平面.大綱文如圖,四棱錐中,底面為菱形,底面,是上的一點(diǎn),.()證明:平面;dabpce()設(shè)二面角為90°,求與平面所成角的大小.北京文如圖1,在rtabc中,c=90°,d,e分別是ac,ab上的中點(diǎn),ade沿de折起到a1de的位置,使a1fcd,如圖2. (1)求證:de平面a1cb;(2)求證:a1fbe;(3)線段a1b上是否存在點(diǎn)q,使a1c平面deq?說明理由.

28、安徽文如圖,長(zhǎng)方體中,底面是正方形,是的中點(diǎn),是棱上任意一點(diǎn).()證明: ;()如果=2,=, , 求 的長(zhǎng).天津理如圖,在四棱錐中,丄平面,丄,丄,.()證明丄;()求二面角的正弦值;()設(shè)e為棱上的點(diǎn),滿足異面直線be與cd所成的角為,求ae的長(zhǎng).新課標(biāo)理如圖,直三棱柱中,是棱的中點(diǎn),(1)證明:(2)求二面角的大小.浙江理如圖,在四棱錐pabcd中,底面是邊長(zhǎng)為的菱形,且bad=120°,且pa平面abcd,pa=,m,n分別為pb,pd的中點(diǎn).()證明:mn平面abcd;() 過點(diǎn)a作aqpc,垂足為點(diǎn)q,求二面角amnq的平面角的余弦值.重慶理(本小題總分值12分()小問4

29、分()小問8分)如圖,在直三棱柱 中,ab=4,ac=bc=3,d為ab的中點(diǎn)()求點(diǎn)c到平面 的距離;()假設(shè),求二面角 的平面角的余弦值.四川理如圖,在三棱錐中,平面平面.()求直線與平面所成角的大小;()求二面角的大小.上海理如圖,在四棱錐p-abcd中,底面abcd是矩形,pa底面abcd,e是pcab=2,abcdpead=2,pa=2.求:(1)三角形pcd的面積;(2)異面直線bc與ae所成的角的大小.上海春如圖,正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為,高為,為線段的中點(diǎn).求:(1)三棱錐的體積;(2)異面直線與所成角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)是平面內(nèi)的一條直線,是外的一條直線(不垂直于),

30、是直線在上的投影,假設(shè),那么為真.山東理在如下圖的幾何體中,四邊形是等腰梯形,平面.()求證:平面;()求二面角的余弦值.遼寧理 如圖,直三棱柱,點(diǎn)m,n分別為和的中點(diǎn).()證明:平面;()假設(shè)二面角為直二面角,求的值.江西理在三棱柱中,在在底面的投影是線段的中點(diǎn)。(1)證明在側(cè)棱上存在一點(diǎn),使得平面,并求出的長(zhǎng);(2)求平面與平面夾角的余弦值。江蘇如圖,在直三棱柱中,分別是棱上的點(diǎn)(點(diǎn) 不同于點(diǎn)),且為的中點(diǎn).求證:(1)平面平面;(2)直線平面.湖南理 如圖5,在四棱錐p-abcd中,pa平面abcd,ab=4,bc=3,ad=5,dab=abc=90°,e是cd的中點(diǎn).()證明

31、:cd平面pae;()假設(shè)直線pb與平面pae所成的角和pb與平面abcd所成的角相等,求四棱錐p-abcd的體積.abcdpe圖5湖北理如圖1,過動(dòng)點(diǎn)a作,垂足d在線段bc上且異于點(diǎn)b,連接ab,沿將折起,使(如圖2所示). ()當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為多少時(shí),三棱錐的體積最大;()當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí),設(shè)點(diǎn),分別為棱,的中點(diǎn),試在棱上確定一點(diǎn),使得,并求與平面所成角的大小.dabcacdb圖2圖1me.·廣東理如圖5所示,在四棱錐中,底面為矩形,平面,點(diǎn)在線段上,平面.()證明:平面;()假設(shè),求二面角的正切值.福建理如圖,在長(zhǎng)方體中為中點(diǎn).()求證:()在棱上是否存在一點(diǎn),使得平面?假設(shè)存在,

32、求的長(zhǎng);假設(shè)不存在,說明理由. ()假設(shè)二面角的大小為,求的長(zhǎng).大綱理(注意:在試題卷上作答無效)如圖,四棱錐中,底面為菱形,底面,是上的一點(diǎn),.(1)證明:平面;(2)設(shè)二面角為,求與平面所成角的大小.北京理如圖1,在rtabc中,c=90°,bc=3,ac=6,d,e分別是ac,ab上的點(diǎn),且debc,de=2,將ade沿de折起到a1de的位置,使a1ccd,如圖2. (1)求證:a1c平面bcde;(2)假設(shè)m是a1d的中點(diǎn),求cm與平面a1be所成角的大小;(3)線段bc上是否存在點(diǎn)p,使平面a1dp與平面a1be垂直?說明理由. 安徽理平面圖形如圖4所示,其中是矩形,.現(xiàn)

33、將該平面圖形分別沿和折疊,使與所在平面都與平面垂直,再分別連接,得到如圖2所示的空間圖形,對(duì)此空間圖形解答以下問題.()證明:; ()求的長(zhǎng);()求二面角的余弦值.參考答案一、選擇題 【答案】b 【解析】利用排除法可得選項(xiàng)b是正確的,a,那么a.如選項(xiàng)a:a,時(shí), a或a;選項(xiàng)c:假設(shè)a,a,或;選項(xiàng)d:假設(shè)假設(shè)a, a,或. 答案c 解析假設(shè)兩條直線和同一平面所成角相等,這兩條直線可能平行,也可能為異面直線,也可能相交,所以a錯(cuò);一個(gè)平面不在同一條直線的三點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等,那么這兩個(gè)平面平行,故b錯(cuò);假設(shè)兩個(gè)平面垂直同一個(gè)平面兩平面可以平行,也可以垂直;故d錯(cuò);應(yīng)選項(xiàng)c正確. 點(diǎn)評(píng)此

34、題旨在考查立體幾何的線、面位置關(guān)系及線面的判定和性質(zhì),需要熟練掌握課本根底知識(shí)的定義、定理及公式. 【答案】b 【解析】最簡(jiǎn)單的方法是取一長(zhǎng)方形動(dòng)手按照其要求進(jìn)行翻著,觀察在翻著過程,即可知選項(xiàng)b是正確的. 答案c 解析假設(shè)兩條直線和同一平面所成角相等,這兩條直線可能平行,也可能為異面直線,也可能相交,所以a錯(cuò);一個(gè)平面不在同一條直線的三點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等,那么這兩個(gè)平面平行,故b錯(cuò);假設(shè)兩個(gè)平面垂直同一個(gè)平面兩平面可以平行,也可以垂直;故d錯(cuò);應(yīng)選項(xiàng)c正確. 點(diǎn)評(píng)此題旨在考查立體幾何的線、面位置關(guān)系及線面的判定和性質(zhì),需要熟練掌握課本根底知識(shí)的定義、定理及公式. d 二、填空題 答案9

35、0º 解析方法一:連接d1m,易得dna1d1 ,dnd1m, 所以,dn平面a1md1, 又a1m平面a1md1,所以,dna1d1,故夾角為90º 方法二:以d為原點(diǎn),分別以da, dc, dd1為x, y, z軸,建立空間直角坐標(biāo)系dxyz.設(shè)正方體邊長(zhǎng)為2,那么d(0,0,0),n(0,2,1),m(0,1,0)a1(2,0,2) 故, 所以,cos< = 0,故dnd1m,所以?shī)A角為90º 點(diǎn)評(píng)異面直線夾角問題通常可以采用兩種途徑: 第一,把兩條異面直線平移到同一平面中借助三角形處理; 第二,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量夾角公式解決. 【解析】正確

36、的選項(xiàng)是 四面體每個(gè)面是全等三角形,面積相等 從四面體每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和等于 連接四面體每組對(duì)棱中點(diǎn)構(gòu)成菱形,線段互垂直平分 從四面體每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長(zhǎng)可作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng) 解析方法一:連接d1m,易得dna1d1 ,dnd1m, 所以,dn平面a1md1, 又a1m平面a1md1,所以,dna1d1,故夾角為90º 方法二:以d為原點(diǎn),分別以da, dc, dd1為x, y, z軸,建立空間直角坐標(biāo)系dxyz.設(shè)正方體邊長(zhǎng)為2,那么d(0,0,0),n(0,2,1),m(0,1,0)a1(2,0,2) 故, 所以,cos< = 0,故dnd1m,所以?shī)A

37、角為90º 答案 【解析】設(shè)該三棱柱的邊長(zhǎng)為1,依題意有,那么 而 三、解答題 【答案】:()() 【解析】:()如答(20)圖1,因ac=bc, d為ab的中點(diǎn),故cd ab.又直三棱柱中, 面 ,故 ,所以異面直線 和ab的距離為 ():由故 面 ,從而 ,故 為所求的二面角的平面角. 因是在面上的射影,又 由三垂線定理的逆定理得從而,都與互余,因此,所以,因此得 從而 所以在中,由余弦定理得 (1)(i)因?yàn)? 平面add1 a1,所以平面add1 a1. 又因?yàn)槠矫嫫矫鎍dd1 a1=,所以.所以. (ii)因?yàn)?所以, 又因?yàn)?所以, 在矩形中,f是aa的中點(diǎn),即.即 ,故

38、. 所以平面. (2) 設(shè)與交點(diǎn)為h,連結(jié). 由(1)知,所以是與平面所成的角. 在矩形中,得,在直角中,得 ,所以bc與平面所成角的正弦值是. 解:(1)如圖,在四棱錐中,因?yàn)榈酌媸蔷匦?所以,且,又因?yàn)?故或其補(bǔ)角是異面直線與所成的角. 在中,所以異面直線與所成角的正切值為2. (2)證明:由于底面是矩形,故,又由于,因此平面,而平面,所以平面平面. (3)在平面內(nèi),過點(diǎn)作交直線于點(diǎn),連接.由于平面平面,由此得為直線與平面所成的角. 在中,可得 在中, 由平面,得平面,因此 在中,在中, 所以直線與平面所成角的正弦值為. 解析(1)連接oc. 由,所成的角 設(shè)ab的中點(diǎn)為d,連接pd、cd

39、. 因?yàn)閍b=bc=ca,所以cdab. 因?yàn)榈冗吶切? 不妨設(shè)pa=2,那么od=1,op=, ab=4. 所以cd=2,oc=. 在rttan (2)過d作de于e,連接ce.由可得,cd平面pab. 據(jù)三垂線定理可知,cepa, 所以,. 由(1)知,de= 在rtcde中,tan 故 點(diǎn)評(píng)此題旨在考查線面位置關(guān)系和二面角的根底概念,重點(diǎn)考查思維能力和空間想象能力,進(jìn)一步深化對(duì)二面角的平面角的求解.求解二面角平面角的常規(guī)步驟:一找(尋找現(xiàn)成的二面角的平面角)、二作(假設(shè)沒有找到現(xiàn)成的,需要引出輔助線作出二面角的平面角)、三求(有了二面角的平面角后,在三角形中求出該角相應(yīng)的三角函數(shù)值).

40、 pabcde解(1), 三棱錐p-abc的體積為 (2)取pb的中點(diǎn)e,連接de、ae,那么 edbc,所以ade(或其補(bǔ)角)是異面直線 bc與ad所成的角 在三角形ade中,de=2,ae=,ad=2, ,所以ade=. 因此,異面直線bc與ad所成的角的大小是 證明:(i)設(shè)中點(diǎn)為o,連接oc,oe,那么由知, 又,所以平面oce. 所以,即oe是bd的垂直平分線,所以. (ii)取ab中點(diǎn)n,連接,m是ae的中點(diǎn), 是等邊三角形,.由bcd=120°知,cbd=30°, 所以abc=60°+30°=90°,即,所以ndbc, 所以平面m

41、nd平面bec,又dm平面mnd,故dm平面bec. 另證:延長(zhǎng)相交于點(diǎn),連接ef.因?yàn)閏b=cd,. 因?yàn)闉檎切?所以,那么, 所以,又, 所以d是線段af的中點(diǎn),連接dm, 又由點(diǎn)m是線段ae的中點(diǎn)知, 而平面bec, 平面bec,故dm平面bec. 【答案與解析】 (1)證明:取中點(diǎn)p,連結(jié)mp,np,而m,n分別是a與的中點(diǎn),所以, mpa,pn,所以,mp平面ac,pn平面ac,又,因此平面mpn平面ac,而mn平面mpn,所以,mn平面ac, ()解法一連結(jié)bn，由題意,面面=,面nbc， =1, .(解法2) 【點(diǎn)評(píng)】此題以三棱柱為載體主要考查空間中的線面平行的判定、棱錐體積

42、的計(jì)算,考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力,難度適中.第一小題可以通過線線平行來證明線面平行,也可通過面面平行來證明;第二小題求體積根據(jù)條件選擇適宜的底面是關(guān)鍵,也可以采用割補(bǔ)發(fā)來球體積. 【解析】()由題設(shè)知bc,bcac,面, 又面, 由題設(shè)知,=,即, 又, 面, 面, 面面; ()設(shè)棱錐的體積為,=1,由題意得,=, 由三棱柱的體積=1, =1:1, 平面分此棱柱為兩局部體積之比為1:1. 法二:(i)證明:設(shè),那么, 因側(cè)棱垂直底面,即,所以, 又d是棱aa1的中點(diǎn),所以 在中,由勾股定理得: ; 同理,又, 所以:, 即有 因平面,所以, 又,所以 ,所以側(cè)面,而平面,

43、所以:;由(1)和(2)得:平面, 又平面 ,所以平面平面 (ii) 平面bdc1分此棱柱的下半局部可看作底面為直角梯形,高為的一個(gè)四棱錐,其體積為:, 該四棱柱的總體積為, 所以,平面bdc1分此棱柱的上半部的體積為 所以 ,所求兩局部體積之比為 【解析】(1)由可得ae=3,bf=4,那么折疊完后eg=3,gf=4,又因?yàn)閑f=5,所以可得 又因?yàn)?可得,即所以平面deg平面cfg. (2)過g作go垂直于ef,go 即為四棱錐g-efcd的高,所以所求體積為 【解析】()因?yàn)?又是平面pac內(nèi)的兩條相較直線,所以bd平面pac, 而平面pac,所以. ()設(shè)ac和bd相交于點(diǎn)o,連接po

44、,由()知,bd平面pac, 所以是直線pd和平面pac所成的角,從而. 由bd平面pac,平面pac,知. 在中,由,得pd=2od. 因?yàn)樗倪呅蝍bcd為等腰梯形,所以均為等腰直角三角形, 從而梯形abcd的高為于是梯形abcd面積 在等腰三角形aod中, 所以 故四棱錐的體積為. 平面pac即可,第二問由()知,bd平面pac,所以是直線pd和平面pac所成的角,然后算出梯形的面積和棱錐的高,由算得體積. 【解析】(1)因?yàn)樗睦庵膫?cè)面是全等的矩形,所以 又因?yàn)?所以平面 連接,因?yàn)槠矫?所以 因?yàn)榈酌媸钦叫?所以.根據(jù)棱臺(tái)的定義可知,與共面. 又平面平面,且平面平面 平面,所以,于是

45、 由,可得, 又因?yàn)?所以平面. (2)因?yàn)樗睦庵牡酌媸钦叫?側(cè)面是全等的矩形,所以 又因?yàn)樗睦馀_(tái)的上、下底面均是正方形,側(cè)面是全等的等腰梯形,所以 于是該實(shí)心零部件的外表積為,故所需加工處理費(fèi)為(元) 【點(diǎn)評(píng)】此題考查線面垂直面面垂直是有關(guān)垂直的幾何問題的常用轉(zhuǎn)化方法;四棱柱與四棱臺(tái)的外表積都是由簡(jiǎn)單的四邊形的面積而構(gòu)成,只需求解四邊形的各邊長(zhǎng)即可.來年需注意線線平行,面面平行特別是線面平行,以及體積等的考查. 解析:()因?yàn)槠矫?平面,所以.又因?yàn)闉橹羞吷系母?所以.,平面,平面,所以平面. (),因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn),平面,所以點(diǎn)到平面的距離等于,即三棱錐的高,于是. ()取中點(diǎn),連接、.因

46、為是的中點(diǎn),所以且.而是上的點(diǎn)且,所以且.所以四邊形是平行四邊形,所以.而,所以.又因?yàn)槠矫?平面,所以.而,平面,平面,所以平面,即平面. 【考點(diǎn)定位】此題主要考察直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系以及體積等根本知識(shí),考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想. 【解析】(1)又長(zhǎng)方體ad平面.點(diǎn)a到平面的距離ad=1, =×2×1=1 , (2)將側(cè)面繞逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)90°展開,與側(cè)面,m,c共線時(shí), +mc取得最小值ad=cd=1 ,=2得m為的中點(diǎn)連接m在中,=mc=,=2, =+ , =90°,cm, 平面,cm am

47、mc=c cm平面,同理可證am 平面mac 解:設(shè),以為原點(diǎn),為軸,為軸建立空間直角坐標(biāo)系,那么設(shè). ()證明:由得, 所以,所以, .所以,所以平面; () 設(shè)平面的法向量為,又,由得,設(shè)平面的法向量為,又,由,得,由于二面角為,所以,解得. 所以,平面的法向量為,所以與平面所成角的正弦值為,所以與平面所成角為. 的位置的選擇是一般的三等分點(diǎn),這樣的解決對(duì)于學(xué)生來說就是比擬有點(diǎn)難度的,因此最好使用空間直角坐標(biāo)系解決該問題為好. 【考點(diǎn)定位】此題第二問是對(duì)根本功的考查,對(duì)于知識(shí)掌握不牢靠的學(xué)生可能不能順利解決.第三問的創(chuàng)新式問法,難度比擬大. 解:(1)因?yàn)閐,e分別為ac,ab的中點(diǎn),所以

48、de平面a1cb,所以de平面a1cb. (2)由得acbc且debc,所以dea1d,de平面a11f 平面a1dc, 所以dea1f.又因?yàn)閍1fcd,所以a1f1fbe (3)線段a1b上存在點(diǎn)q,使a1c平面deq.理由如下:如圖, 分別取a1c,a1b的中點(diǎn)p,q,那么pqbc. 又因?yàn)閐ebc,所以depq.所以平面deq即為平面dep. 由(2)知de平面a1dc,所以dea1c. 又因?yàn)閜是等腰三角形da1c底邊a1c 的中點(diǎn), 所以a1cdp,所以a1c平面dep,從而a1c平面deq. 故線段a1b上存在點(diǎn)q,使得a1c平面deq. 【解析】(i)連接,共面 長(zhǎng)方體中,底面

49、是正方形 面 ()在矩形中, 得: 方法一:1以為正半軸方向，建立空間直角左邊系那么2，設(shè)平面的法向量那么 取是平面的法向量得：二面角的正弦值為3設(shè)；那么， 即方法二: 1以為正半軸方向，建立空間直角左邊系 那么 2，設(shè)平面的法向量 那么 取 是平面的法向量 得：二面角的正弦值為3設(shè)；那么， 即的四邊形,一直線垂直于底面的四棱錐問題,那么創(chuàng)新的地方就是第三問中點(diǎn)e的位置是不確定的,需要學(xué)生根據(jù)條件進(jìn)行確定,如此說來就有難度,因此最好使用空間直角坐標(biāo)系解決該問題為好. 【解析】(1)在中, 得: 同理: 得:面 (2)面 取的中點(diǎn),過點(diǎn)作于點(diǎn),連接 ,面面面 得:點(diǎn)與點(diǎn)重合 且是二面角的平面角 設(shè),那么, 既二面角的大小為 【解析】此題主要考察線面平行的證明方法,建系求二面角等知識(shí)點(diǎn). ()如圖連接bd. m,n分別為pb,pd的中點(diǎn), 在pbd中,mnbd. 又mn平面abcd, mn平面abcd; ()如圖建系: a(0,0,0),p(0,0,),m(,0), n(,0, 0),c(,3,0). 設(shè)q(x,y,z),那么. ,. 由,得:. 即:. 對(duì)于平面amn:設(shè)其法向量為. . 那么. . 同理對(duì)于平面amn得其法向量為. 記所求二面角amnq的平面角大小為, 那么. 所求二面角amnq的平面角的余弦值為. 【答案】()見解析;() . 【考點(diǎn)