（整理版）二○○一全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽

1、二一年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽10月4日上午8：009：40題號一二三合計加試總成績131415得分評卷人復(fù)核人學(xué)生注意：1、本試卷共有三大題15個小題，全卷總分值150分。 2、用圓珠筆或鋼筆作答。 3、解題書寫不要超過裝訂線。 4、不能使用計算器。一、 選擇題此題總分值36分，每題6分此題共有6個小是題，每題均給出abcd四個結(jié)論，其中有且僅有一個是正確的。請將正確答案的代表字母填在題后的括號內(nèi)，每題選對得6分；不選、選錯或選的代表字母超過一個不管是否寫在括號內(nèi)，一律得0分。1、a為給定的實數(shù)，那么集合m=x|x2-3x-a2+2=0,xr的子集的個數(shù)為 a1 b2 c4 d不確定5假設(shè)12100

2、0的展開式為，那么3691998的值為 a3333 b3666 c3999 d366枝玫瑰與3枝康乃馨的價格之和大于24，而4枝攻瑰與5枝康乃馨的價格之和小于22元，那么2枝玫瑰的價格和3枝康乃馨的價格比擬，結(jié)果是 a2枝玫瑰價格高 b3枝康乃馨價格高 c價格相同 d不確定二、填空題此題總分值54分，每題9分7橢圓12的短軸長等于_8、假設(shè)復(fù)數(shù)z1,z2滿足|z1|=2,|z2|=3,3z1-2z2=-i,那么z1z2= 。9、正方體abcda1b1c1d1的棱長為1 ，那么直線a1c1與bd1的距離是 。10、不等式的解集為 。11、函數(shù)的值域為 。14、設(shè)曲線c1:(a為正常數(shù))與c2:y

3、2=2(x+m)在x軸上方公有一個公共點p。（1） 求實數(shù)m的取值范圍用a表示；（2） o為原點，假設(shè)c1與x軸的負半軸交于點a，當(dāng)0<a<時，試求oap的面積的最大值用a表示。15、用電阻值分別為a1、a2、a3、a4、a5、a6、a1>a2>a3>a4>a5>a6的電阻組裝成一個如圖的組件，在組裝中應(yīng)如何選取電阻，才能使該組件總電阻值最?。孔C明你的結(jié)論。二一年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽加試試題10月4日上午10：0012：00學(xué)生注意：1、本試卷共有三大題，全卷總分值150分。 2、用圓珠筆或鋼筆作答。 3、解題書寫不要超過裝訂線。 4、不能使用計算器。

4、一、此題總分值50分如圖：abc中，o為外心，三條高ad、be、cf交于點h，直線ed和ab交于點m，fd和ac交于點n。求證：1obdf，ocde；2ohmn。二、此題總分值50分設(shè)xi0(i=1,2,3,n)且，求的最大值與最小值。三、此題總分值50分將邊長為正整數(shù)m,n的矩形劃分成假設(shè)干邊長均為正整數(shù)的正方形，每個正方形的邊均平行于矩形的相應(yīng)邊，試求這些正方形邊長之和的最小值。全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標(biāo)準一選擇題：cbddca 0個1個2個3個【答案】b 【解析】由于4如果滿足60°，12，的恰有一個，那么的取值范圍是 01212 012或【答案】d【解析】這是“

5、三角形的兩邊及其一邊的對角，解三角形這類問題的一個逆向問題，由課本結(jié)論知，應(yīng)選結(jié)論說明：此題也可以通過畫圖直觀地判斷，還可以用特殊值法排除、5假設(shè)121000的展開式為，那么3691998的值為3333366639993【答案】c66枝玫瑰與3枝康乃馨的價格之和大于24，而4枝攻瑰與5枝康乃馨的價格之和小于22元，那么2枝玫瑰的價格和3枝康乃馨的價格比擬，結(jié)果是2枝玫瑰價格高3枝康乃馨價格高 價格相同 不確定【答案】a二填空題7 8 9 10 11 12 732 7橢圓12的短軸長等于_【答案】8假設(shè)復(fù)數(shù)、滿足2，3，3232，那么·_【答案】1213，513故·6 301

6、37213說明：此題也可以利用復(fù)數(shù)的幾何意義解10不等式112232的解集為_【答案】4，或1227，或01【解析】從外形上看，這是一個絕對值不等式，先求得122，或27120，或120從而4，或1227，或0111函數(shù)的值域為_【答案】1，322，【解析】先平方去掉根號由題設(shè)得32，那么223由，得223解得132，或2由于能到達下界0，所以函數(shù)的值域為1，322，說明：1參考答案在求得132或2后，還用了較長的篇幅進行了一番驗證，確無必要2此題還可以用三角代換法和圖象法來解，不過較繁，讀者不妨一試12在一個正六邊形的六個區(qū)域栽種欣賞植物如圖3，要求同一塊中種同一種植物，相鄰的兩塊種不同的植

7、物現(xiàn)有4種不同的植物可供選擇，那么有_種栽種方案【答案】732【解析】為了表達方便起見，我們給六塊區(qū)域依次標(biāo)上字母、按間隔三塊、種植植物的種數(shù)，分以下三類三解答題13【解析】設(shè)所求公差為d，a1a2，d0由此得 化簡得：14【解析】(1)由 消去y得： 設(shè)，問題(1)化為方程在x(a，a)上有唯一解或等根 只需討論以下三種情況： 1°0得：，此時xpa2，當(dāng)且僅當(dāng)aa2a，即0a1時適合； 2°f (a)f (a)0，當(dāng)且僅當(dāng)ama； 3°f (a)0得ma，此時xpa2a2，當(dāng)且僅當(dāng)aa2a2a，即0a1時適合 f (a)0得ma，此時xpa2a2，由于a2a2

8、a，從而ma 綜上可知，當(dāng)0a1時，或ama； 當(dāng)a1時，ama15【解析】設(shè)6個電阻的組件(如圖3)的總電阻為rfg，當(dāng)r ia i，i3，4，5，6，r1、r2是a1、a2的任意排列時，rfg最小 證明如下： 1設(shè)當(dāng)兩個電阻r1、r2并聯(lián)時，所得組件阻值為r，那么故交換二電阻的位置，不改變r值，且當(dāng)r1或r2變小時，r也減小，因此不妨取r1r22設(shè)3個電阻的組件(如圖1)的總電阻為rab 顯然r1r2越大，rab越小，所以為使rab最小必須取r3為所取三個電阻中阻值最小的個4°對于圖3把由r1、r2、r3組成的組件用等效電阻rab代替要使rfg最小，由3°必需使r6r5

9、；且由1°應(yīng)使rce最小由2°知要使rce最小，必需使r5r4，且應(yīng)使rcd最小 而由3°，要使rcd最小，應(yīng)使r4r3r2且r4r3r1， 這就說明，要證結(jié)論成立全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽加試參考答案及評分標(biāo)準另證：以bc所在直線為x軸，d為原點建立直角坐標(biāo)系， 設(shè)a(0，a)，b(b，0)，c(c，0)，那么 直線ac的方程為，直線be的方程為 由 得e點坐標(biāo)為e() 同理可得f() 直線ac的垂直平分線方程為 直線bc的垂直平分線方程為 由 得o() obdf二【解析】先求最小值，因為1等號成立當(dāng)且僅當(dāng)存在i使得xi1，xj0，ji 最小值為1 再求最大值，令 設(shè)， 令 那么 令0，那么 三【解析】記所求最小值為f (m，n)，可義證明f (m，n)rnn(m，n) (*) 其中(m，n) 表示m和n的最大公約數(shù) 事實上，不妨沒mn (1)關(guān)于m歸納，可以證明存在一種符合題意的分法，使所得正方形邊長之和恰為rnn(m，n) 當(dāng)用maa1bcd1dmn 假設(shè)當(dāng)，mk時，結(jié)論成立(k1)當(dāng)mk1時，假設(shè)nknk1，從矩形abcd中切去正方形aa1d1d(如圖)，由歸納假設(shè)矩形a1bcd1有一種分法使得所得正方形邊長之和恰為mnn(mn，n)m(m，n)，于是原矩形abcd有一種分法使得所得正方形邊長之和為rnn(m，n) (2)關(guān)于m歸納