垂直平分線與角平分線典型題#

1、B定理的作用：證明一個點(diǎn)在某線段的垂直平分線上B線段的垂直平分線與角平分線(1)知識要點(diǎn)詳解1、線段垂直平分線的性質(zhì)(1)垂直平分線性質(zhì)定理： 線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個端點(diǎn) 的距離相等.定理的數(shù)學(xué)表示：如圖1，已知直線m與線段AB垂直相交于點(diǎn)D, 且AD= BD 若點(diǎn) C在直線 m上，貝V AC= BC.定理的作用：證明兩條線段相等 n I I r nr 一 i 一 一 r r i(2)線段關(guān)于它的垂直平分線對稱課堂筆記:2、線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理(1)線段垂直平分線的逆定理:到一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.定理的數(shù)學(xué)表示：如圖 2,已知直線m與線段A

2、B垂直相交于點(diǎn)D,若AC= BC則點(diǎn)C在直線m上.課堂筆記:3、關(guān)于三角形三邊垂直平分線的定理(1)關(guān)于三角形三邊垂直平分線的定理：三角形三邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個頂點(diǎn)的距離相等定理的數(shù)學(xué)表示：如圖 3,若直線i,j,k分別是 ABC三邊AB BC CA的垂直平分線，則直線i, j,k相交于一點(diǎn) Q且OA= OB= OC.定理的作用：證明三角形內(nèi)的線段相等.(2)三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)位置與三角形形狀的關(guān)系:若三角形是銳角三角形，則它三邊垂直平分線的交點(diǎn)在三角形內(nèi)部；若三角形是直角三角形, 則它三邊垂直平分線的交點(diǎn)是其斜邊的中點(diǎn)；若三角形是鈍角三角形，則它三邊垂直平分線的

3、交點(diǎn)在三角形外部反之，三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)在三角形內(nèi)部，則該三角形是銳角三角形；三角 形三邊垂直平分線的交點(diǎn)在三角形的邊上，則該三角形是直角三角形；三角形三邊垂直平分線的交 點(diǎn)在三角形外部，則該三角形是鈍角三角形經(jīng)典例題:例1 如圖1，在 ABC中，BC = 8cm, AB的垂直平分線交 AB于點(diǎn)D，交邊AC于點(diǎn)E,A BCE的周長等于18cm，則AC的長等于（A. 6cm課堂筆記：B. 8cm)C. 10cmD. 12cm針對性練習(xí):BC已知：1）如圖，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分線交 AB 于點(diǎn) D，交 AC于點(diǎn)E,如果 EBC的周長是24cm,那么BC=2）如圖，AB=A

4、C=14cm,AB的垂直平分線交 AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E,如果BC=8cm，那么 EBC的周長是3）如圖，AB=AC,AB的垂直平分線交 AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E,如果/ A=28度，那么/ EBC是例 2.已知： AB=AC，DB=DC，E 是 AD 上一點(diǎn)，求證：BE=CE。課堂筆記:針對性練習(xí)：已知：在厶ABC中，ON是AB的垂直平分線，OA=OC求證：點(diǎn)O在BC的垂直平分線A例3.在厶ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線與邊 AC所在的直線相交所成銳角為50 °，ZCABC的底角/ B的大小為 課堂筆記:針對性練習(xí)：1.在厶ABC中，AB=AC , AB的垂直平分線與 A

5、C所在直線相交所得的銳角為 40°,則底角B的大小 為。例4、如圖8,已知 AD是 ABC的BC邊上的高，且/ C= 2Z B,求證：BD= AC+ CD.證明：在BD上取一點(diǎn)E,使DE= DC,連接AE,貝V AE = AC,課堂筆記:課堂練習(xí)：1. 如圖，ACAD, BG=BQ 貝U（）A.CD垂直平分AD B.AB垂直平分CDC.CD平分/ ACBD.以上結(jié)論均不對2. 如果三角形三條邊的中垂線的交點(diǎn)在三角形的外部,那么，這個三角形是（）D.等邊三角形A.直角三角形B.銳角三角形 C.鈍角三角形3. 下列命題中正確的命題有（）線段垂直平分線上任一點(diǎn)到線段兩端距離相等；線段上任一

6、點(diǎn)到垂直平分線兩端距離相等；經(jīng)過線段中點(diǎn)的直線只有一條； 點(diǎn)P在線段AB外且PA=PB,過P作直線MN 則MN是線段AB的垂直平分線；過線段上任一點(diǎn)可以作這條線段的中垂線.A.1個B.2個 C.3個 D.4個4. ABC中,AB的垂直平分線交AC于D,如果AC=5 cm BC=4cm那么 DBC勺周長是（）A.6 cmB.7 cm C.8 cm D.9 cm5. 已知如圖,在厶ABC中 , AB=AC, 0是厶ABC內(nèi)一點(diǎn),且OB=OC 求證：AOL BC.6. 如圖,在厶ABC中 , AB=AC, / A=120° , AB的垂直平分線 MN分別交BC AB于點(diǎn)M N.求證：CM=

7、2BM.課后作業(yè)：1.如圖7,在厶ABC中，AC 23, AB的垂直平分線交 AB于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E, ACE的周長為50,求BC邊的長.2.已知：如圖所示，/ ACB，/ ADB都是直角，且 AC=AD , P是AB上任意一點(diǎn)，求證： CP=DP。線段的垂直平分線與角平分線(2)知識要點(diǎn)詳解B4、角平分線的性質(zhì)定理：角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等定理的數(shù)學(xué)表示：如圖4,已知0E是/AOB的平分線，F(xiàn)是0E上一點(diǎn),若CF丄0A于點(diǎn)C, DF丄0B于點(diǎn)D,貝V CF= DF.定理的作用：證明兩條線段相等；用于幾何作圖問題；角是一個軸對稱圖形，它的對稱軸是角平分線所在

8、的直線.課堂筆記：5、角平分線性質(zhì)定理的逆定理:角平分線性質(zhì)疋理的逆疋理：在角的內(nèi)部，且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個角的角平分線上定理的數(shù)學(xué)表示：如圖 5,已知點(diǎn)P在/ AOB的內(nèi)部，且PCX 0A于C, PD丄OB于 D,若PC= PD,則點(diǎn)P在/ AOB的平分線上.定理的作用：用于證明兩個角相等或證明一條射線是一個角的角平分線O 圖 5 C A 注意角平分線的性質(zhì)定理與逆定理的區(qū)別和聯(lián)系.課堂筆記：FIB圖6P D6、關(guān)于三角形三條角平分線的定理：(1)關(guān)于三角形三條角平分線交點(diǎn)的定理：三角形三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三邊的距離相等定理的數(shù)學(xué)表示：如圖 6，如果AP、BQ CR分

9、別是 ABC的內(nèi)角/BAG Z ABC Z ACB的平分線，那么:AP、BQ CR相交于一點(diǎn)I ;若ID、IE、IF分別垂直于 BC CA AB于點(diǎn) D E、F,貝V DI = EI = FI.定理的作用：用于證明三角形內(nèi)的線段相等；用于實(shí)際中的幾何作圖問題(2)三角形三條角平分線的交點(diǎn)位置與三角形形狀的關(guān)系：三角形三個內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)一定在三角形的內(nèi)部7、關(guān)于線段的垂直平分線和角平分線的作圖:(1)會作已知線段的垂直平分線;(2)會作已知角的角平分線;(3)會作與線段垂直平分線和角平分線有關(guān)的簡單綜合問題的圖形課堂筆記:經(jīng)典例題:例1、已知：如圖，點(diǎn)B、C在Z A的兩邊上，且PE±

10、;AB PF丄AC 垂足分別是 E、F。課堂筆記:求證：PE=PF針對性練習(xí)：已知： PA、PC分別是 ABC外角Z MAC和Z NCA平分線，它們交于 P, PD丄BM于D, PF丄BN于 F，求證：BP為Z MBN的平分線。例2、如圖10，已知在直角梯形 ABCD中, AB/ CD AB丄BC, E為BC中點(diǎn)，連接 AE DE DE平分Z ADC求證：AE平分Z BAD.課堂筆記:針對性練習(xí):如圖所示，AB=AC , BD=CD , DE 丄 AB 于 E, DF 丄 AC 于 F,求證：DE=DF。例3、如圖11-1，已知在四邊形 ABCD中，對角線BD平分/ ABC且/ BAD與Z BCD互補(bǔ),求證：AD= CD.課堂練習(xí)：1. ABC中，AB=AC , AC的中垂線交 AB于E,AEBC的周長為20cm, AB=2BC，則腰長為。2. 如圖所示，AB/CD ,0為Z A、Z C的平分線的交點(diǎn)，OE丄AC于E,且OE=2,E貝BCMAB與CD之間的距離等于 。/3 已知：如圖，Z B=Z C=90°, DM 平分Z ADC ,AM 平分Z DAB 。求證： M B=MC二課后作業(yè):1.如右圖，