2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）第一節(jié) 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 教案

1、1第八章第八章解析幾何解析幾何第一節(jié)第一節(jié)直線的傾斜角與斜率、直線的方程直線的傾斜角與斜率、直線的方程核心素養(yǎng)立意下的命題導(dǎo)向核心素養(yǎng)立意下的命題導(dǎo)向1.在平面直角坐標(biāo)系中在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形掌握確定直線位置的幾何要素結(jié)合具體圖形掌握確定直線位置的幾何要素，凸顯直觀想象的核心凸顯直觀想象的核心素養(yǎng)素養(yǎng)2理解直線的傾斜角和斜率的概念理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算的凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)核心素養(yǎng)3掌握確定直線的幾何要素，掌握直線方程的三種形式掌握確定直線的幾何要素，掌握直線方程的三種形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式點(diǎn)

2、斜式、兩點(diǎn)式及一般式)，了解，了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系，凸顯數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系，凸顯數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)理清主干知識(shí)理清主干知識(shí)1直線的傾斜角與斜率直線的傾斜角與斜率直線的傾斜角直線的傾斜角直線的斜率直線的斜率定定義義當(dāng)直線當(dāng)直線 l 與與 x 軸相交時(shí)，我們?nèi)≥S相交時(shí)，我們?nèi)?x 軸軸作為基準(zhǔn)作為基準(zhǔn)， x 軸正向與直線軸正向與直線 l 向上向上方向方向之間所成的角之間所成的角叫做直線叫做直線 l 的的傾斜傾斜角角當(dāng)直線當(dāng)直線 l 與與 x 軸平行或重合時(shí)，軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為規(guī)定它的傾斜角為 0當(dāng)直線當(dāng)直線 l 的傾斜角的傾斜角2時(shí)，其傾斜角時(shí)，其傾斜角的

3、正切值的正切值 tan 叫做這條直線的斜率叫做這條直線的斜率， 斜斜率通常用小寫字率通常用小寫字母母 k 表示表示， 即即 ktan_；經(jīng)過兩點(diǎn)經(jīng)過兩點(diǎn) p1(x1，y1)，p2(x2，y2)(x1x2)的直線的斜率公式為的直線的斜率公式為 kp1p2y2y1x2x1區(qū)區(qū)別別直線直線 l 垂直于垂直于 x 軸時(shí)軸時(shí)， 直線直線 l 的傾斜角的傾斜角是是 90；傾斜角的取值范圍為；傾斜角的取值范圍為0，)直線直線 l 垂直于垂直于 x 軸時(shí)軸時(shí)， 直線直線 l 的斜率的斜率不存不存在在；斜率；斜率 k 的取值范圍為的取值范圍為 r聯(lián)聯(lián)系系(1)當(dāng)直線不垂直于當(dāng)直線不垂直于 x 軸時(shí)，直線的斜率和

4、直線的傾斜角為一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；軸時(shí)，直線的斜率和直線的傾斜角為一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；(2)當(dāng)直線當(dāng)直線 l 的傾斜角的傾斜角0，2 時(shí)時(shí)，越大越大，直線直線 l 的斜率越大的斜率越大；當(dāng)當(dāng)2，時(shí)時(shí)，越大，直線越大，直線 l 的斜率越大的斜率越大22直線方程的五種形式直線方程的五種形式形式形式幾何條件幾何條件方程方程適用范圍適用范圍點(diǎn)斜式點(diǎn)斜式過一點(diǎn)過一點(diǎn)(x0，y0)，斜率，斜率 kyy0k(xx0)與與 x 軸不垂直的直線軸不垂直的直線斜截式斜截式縱截距縱截距 b，斜率，斜率 kykxb與與 x 軸不垂直的直線軸不垂直的直線兩點(diǎn)式兩點(diǎn)式過兩點(diǎn)過兩點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)yy1y2y1xx1x2

5、x1與與 x 軸、軸、y 軸均不垂直的軸均不垂直的直線直線截距式截距式橫截距橫截距 a，縱截距，縱截距 bxayb1不含垂直于坐標(biāo)軸和過不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線原點(diǎn)的直線一般式一般式axbyc0，a2b20平面直角坐標(biāo)系內(nèi)所有平面直角坐標(biāo)系內(nèi)所有直線直線澄清盲點(diǎn)誤點(diǎn)澄清盲點(diǎn)誤點(diǎn)一、關(guān)鍵點(diǎn)練明一、關(guān)鍵點(diǎn)練明1(求傾斜角求傾斜角)直線直線3xya0 的傾斜角為的傾斜角為()a.6b.3c.56d.23答案答案：b2(點(diǎn)斜式方程點(diǎn)斜式方程)經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn) p0(2，3)，傾斜角為，傾斜角為 45的直線方程為的直線方程為()axy10bxy10cxy50dxy50解析：解析：選選 d由點(diǎn)斜式得直線

6、方程為由點(diǎn)斜式得直線方程為 y(3)tan 45(x2)x2，即，即 xy50.3(斜截式方程斜截式方程)傾斜角為傾斜角為 135，在，在 y 軸上的截距為軸上的截距為1 的直線方程是的直線方程是()axy10bxy10cxy10dxy10答案答案：d4(直線的斜率直線的斜率)過點(diǎn)過點(diǎn) m(1，m)，n(m1,4)的直線的斜率等于的直線的斜率等于 1，則，則 m 的值為的值為_答案：答案：1二、易錯(cuò)點(diǎn)練清二、易錯(cuò)點(diǎn)練清1(忽視傾斜角的范圍忽視傾斜角的范圍)直線直線 x(a21)y10 的傾斜角的取值范圍是的傾斜角的取值范圍是()a.0，4b.34，c.0，4 2，d.4，2 34，解析解析：選

7、選 b由直線方程可得該直線的斜率為由直線方程可得該直線的斜率為1a21，又又11a210，所以傾斜角的所以傾斜角的3取值范圍是取值范圍是34，.2(忽視斜率公式中忽視斜率公式中 x1x2)已知經(jīng)過兩點(diǎn)已知經(jīng)過兩點(diǎn) a(m22，m23)，b(3mm2，2m)的直線的直線 l 的的傾斜角為傾斜角為 135，則，則 m 的值為的值為_答案：答案：433(忽視截距為忽視截距為 0 的情況的情況)過點(diǎn)過點(diǎn) m(3，4)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程為，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程為_解析：解析：若直線過原點(diǎn)，則若直線過原點(diǎn)，則 k43，所以所以 y43x，即，即 4x3y0.若直線不過原

8、點(diǎn)設(shè)若直線不過原點(diǎn)設(shè)xaya1，即，即 xya.則則 a3(4)1，所以直線的方程為，所以直線的方程為 xy10.答案：答案：4x3y0 或或 xy10考點(diǎn)一考點(diǎn)一直線的傾斜角與斜率直線的傾斜角與斜率典例典例(1)直線直線 2xcos y30 6，3的傾斜角的取值范圍是的傾斜角的取值范圍是()a.6，3b.4，3c.4，2d.4，23(2)(2021 年年 1 月新高考八省聯(lián)考卷月新高考八省聯(lián)考卷)若正方形一條對(duì)角線所在直線的斜率為若正方形一條對(duì)角線所在直線的斜率為 2， 則該正方形的則該正方形的兩條鄰邊所在直線的斜率分別為兩條鄰邊所在直線的斜率分別為_，_.解析解析(1)直線直線 2xcos

9、 y30 的斜率的斜率 k2cos ，因?yàn)橐驗(yàn)?，3 ，所以，所以12cos 32，因此因此 k2cos 1， 3 設(shè)直線的傾斜角為設(shè)直線的傾斜角為，則有，則有 tan 1， 3 又又0，)，所以，所以4，3 ，即傾斜角的取值范圍是即傾斜角的取值范圍是4，3 .(2)設(shè)一條邊所在直線的傾斜角為設(shè)一條邊所在直線的傾斜角為，由由 tan4 2，解得解得 tan 13，所以正方形兩條鄰邊所以正方形兩條鄰邊4所在直線的斜率分別為所在直線的斜率分別為13，3.答案答案(1)b(2)133方法技巧方法技巧1求傾斜角的取值范圍的一般步驟求傾斜角的取值范圍的一般步驟(1)求出斜率求出斜率 ktan 的取值范圍

10、的取值范圍(2)利用三角函數(shù)的單調(diào)性利用三角函數(shù)的單調(diào)性，借助圖象借助圖象，確定傾斜角確定傾斜角的取值范圍的取值范圍求傾斜角時(shí)要注意斜率是求傾斜角時(shí)要注意斜率是否存在否存在2斜率取值范圍的斜率取值范圍的 2 種求法種求法數(shù)形數(shù)形結(jié)合法結(jié)合法作出直線在平面直角坐標(biāo)系中可能的位置，借助圖形，結(jié)合正切函數(shù)的作出直線在平面直角坐標(biāo)系中可能的位置，借助圖形，結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性確定單調(diào)性確定函數(shù)函數(shù)圖象法圖象法根據(jù)正切函數(shù)圖象，由傾斜角范圍求斜率范圍，反之亦可根據(jù)正切函數(shù)圖象，由傾斜角范圍求斜率范圍，反之亦可針對(duì)訓(xùn)練針對(duì)訓(xùn)練1(2021湖南八校聯(lián)考湖南八校聯(lián)考)“a1 或或a0，解得，解得 a0.a1

11、是直線是直線 axy10 的傾斜角大于的傾斜角大于4的充分不必要條件的充分不必要條件2(多選多選)如圖，直線如圖，直線 l1，l2，l3的斜率分別為的斜率分別為 k1，k2，k3，傾斜角分別為，傾斜角分別為1，2，3，則下列選項(xiàng)正確的是，則下列選項(xiàng)正確的是()ak1k3k2bk3k2k1c132d32k30，k1230，且，且1為鈍角，故選為鈍角，故選 a、d.考點(diǎn)二考點(diǎn)二求直線的方程求直線的方程典例典例求適合下列條件的直線方程：求適合下列條件的直線方程：5(1)經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn) p(4,1)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等；，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等；(2)經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn) a(1，3)，傾斜角等于直線，

12、傾斜角等于直線 y3x 的傾斜角的的傾斜角的 2 倍；倍；(3)經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn) b(3,4)，且與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)等腰直角三角形，且與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)等腰直角三角形解解(1)設(shè)直線設(shè)直線 l 在在 x 軸，軸，y 軸上的截距均為軸上的截距均為 a，若若 a0，即，即 l 過點(diǎn)過點(diǎn)(0,0)和和(4,1)，所以所以 l 的方程為的方程為 y14x，即，即 x4y0.若若 a0，設(shè)，設(shè) l 的方程為的方程為xaya1，因?yàn)橐驗(yàn)?l 過點(diǎn)過點(diǎn)(4,1)，所以，所以4a1a1，所以所以 a5，所以，所以 l 的方程為的方程為 xy50.綜上可知，所求直線的方程為綜上可知，所求直線的方程為 x4y0 或或

13、 xy50.(2)由已知設(shè)直線由已知設(shè)直線 y3x 的傾斜角為的傾斜角為，則所求直線的傾斜角為，則所求直線的傾斜角為 2.因?yàn)橐驗(yàn)?tan 3，所以，所以 tan 22tan 1tan234.又直線經(jīng)過點(diǎn)又直線經(jīng)過點(diǎn) a(1，3)，因此所求直線方程為因此所求直線方程為 y334(x1)，即即 3x4y150.(3)由題意可知，所求直線的斜率為由題意可知，所求直線的斜率為1.又過點(diǎn)又過點(diǎn)(3,4)，由點(diǎn)斜式得，由點(diǎn)斜式得 y4(x3)故所求直線的方程為故所求直線的方程為 xy10 或或 xy70.方法技巧方法技巧求解直線方程的求解直線方程的 2 種方法種方法直接法直接法根據(jù)已知條件根據(jù)已知條件，

14、選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程形式選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程形式，直接寫出直直接寫出直線方程線方程待定待定系數(shù)法系數(shù)法設(shè)所求直線方程的某種形式；設(shè)所求直線方程的某種形式；由條件建立所求參數(shù)的方程由條件建立所求參數(shù)的方程(組組)；解這個(gè)方程解這個(gè)方程(組組)求出參數(shù)；求出參數(shù)；把參數(shù)的值代入所設(shè)直線方程把參數(shù)的值代入所設(shè)直線方程針對(duì)訓(xùn)練針對(duì)訓(xùn)練1一條直線經(jīng)過點(diǎn)一條直線經(jīng)過點(diǎn) a(2,2)，并且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為并且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為 1，求此直線的方程求此直線的方程解：解：設(shè)所求直線的方程為設(shè)所求直線的方程為xayb1.a(2,2)在直線上，在直線上，2a2b1.6又又直線與坐標(biāo)軸圍成的三角

15、形面積為直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為 1，12|a|b|1.由由可得可得(1)ab1，ab2或或(2)ab1，ab2.由由(1)解得解得a2，b1或或a1，b2.方程組方程組(2)無解無解故所求的直線方程為故所求的直線方程為x2y11 或或x1y21，即，即 x2y20 或或 2xy20 為所求直線為所求直線的方程的方程2已知已知abc 的三個(gè)頂點(diǎn)分別為的三個(gè)頂點(diǎn)分別為 a(3,0)，b(2,1)，c(2,3)，求：，求：(1)bc 邊所在直線的方程；邊所在直線的方程；(2)bc 邊上中線邊上中線 ad 所在直線的方程；所在直線的方程；(3)bc 邊的垂直平分線邊的垂直平分線 de 的方程的

16、方程解：解：(1)因?yàn)橹本€因?yàn)橹本€ bc 經(jīng)過經(jīng)過 b(2,1)和和 c(2,3)兩點(diǎn)，兩點(diǎn)，由兩點(diǎn)式得由兩點(diǎn)式得 bc 的方程為的方程為y131x222，即，即 x2y40.(2)設(shè)設(shè) bc 邊的中點(diǎn)邊的中點(diǎn) d 的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(x，y)，則則 x2220，y1322.bc 邊的中線邊的中線 ad 過過 a(3,0)，d(0,2)兩點(diǎn)，兩點(diǎn)，由截距式得由截距式得 ad 所在直線方程為所在直線方程為x3y21，即即 2x3y60.(3)由由(1)知直線知直線 bc 的斜率的斜率 k112，則直線則直線 bc 的垂直平分線的垂直平分線 de 的斜率的斜率 k22.由由(2)知點(diǎn)知點(diǎn) d 的坐標(biāo)

17、為的坐標(biāo)為(0,2)可求出直線的點(diǎn)斜式方程為可求出直線的點(diǎn)斜式方程為 y22(x0)，即即 2xy20.考點(diǎn)三考點(diǎn)三直線方程的綜合應(yīng)用直線方程的綜合應(yīng)用典例典例直線直線 l 過點(diǎn)過點(diǎn) p(1,4)，分別交，分別交 x 軸的正半軸和軸的正半軸和 y 軸的正半軸于軸的正半軸于 a，b 兩點(diǎn)，兩點(diǎn)，o 為坐標(biāo)為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)原點(diǎn)，當(dāng)|oa|ob|最小時(shí)，求最小時(shí)，求 l 的方程的方程解解法一：法一：依題意，依題意，l 的斜率存在，且斜率為負(fù)，的斜率存在，且斜率為負(fù)，設(shè)直線設(shè)直線 l 的斜率為的斜率為 k，則直線則直線 l 的方程為的方程為 y4k(x1)(k0)7令令 y0，可得，可得 a14k，0；

18、令令 x0，可得，可得 b(0,4k)|oa|ob|14k (4k)5k4k5k4k 549.當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)k4k且且 k0，b0)，則直線，則直線 l 的方的方程為程為xayb1.直線直線 l 過點(diǎn)過點(diǎn) p(1,4)，1a4b1，|oa|ob|ab(ab)1a4b5ba4ab52ba4ab9，當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)ba4ab，即，即a3，b6時(shí)時(shí)“”成立成立|oa|ob|取最小值，此時(shí)取最小值，此時(shí) l 的方程為的方程為x3y61，即，即 2xy60.方法技巧方法技巧與直線方程有關(guān)問題的常見類型及解題策略與直線方程有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1)求解與直線方程有關(guān)的最值問題先設(shè)出直線方程，建立

19、目標(biāo)函數(shù)，再利用基本不等式求解與直線方程有關(guān)的最值問題先設(shè)出直線方程，建立目標(biāo)函數(shù)，再利用基本不等式求解最值求解最值(2)求直線方程弄清確定直線的兩個(gè)條件，由直線方程的幾種特殊形式直接寫出方程求直線方程弄清確定直線的兩個(gè)條件，由直線方程的幾種特殊形式直接寫出方程(3)求參數(shù)值或范圍注意點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的坐標(biāo)適合直線的方程，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值或范圍注意點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的坐標(biāo)適合直線的方程，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式求解或基本不等式求解針對(duì)訓(xùn)練針對(duì)訓(xùn)練已知直線已知直線 l：kxy12k0(kr)(1)證明：直線證明：直線 l 過定點(diǎn)；過定點(diǎn)；(2)若直線不經(jīng)過第四象限，求若直線不經(jīng)過第

20、四象限，求 k 的取值范圍；的取值范圍；(3)若直線若直線 l 交交 x 軸負(fù)半軸于軸負(fù)半軸于 a，交交 y 軸正半軸于軸正半軸于 b，aob 的面積為的面積為 s(o 為坐標(biāo)原點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn))，求求s 的最小值并求此時(shí)直線的最小值并求此時(shí)直線 l 的方程的方程8解：解：(1)證明：直線證明：直線 l 的方程可化為的方程可化為 k(x2)(1y)0，令令x20，1y0，解得解得x2，y1.無論無論 k 取何值，直線總經(jīng)過定點(diǎn)取何值，直線總經(jīng)過定點(diǎn)(2,1)(2)由方程知由方程知，當(dāng)當(dāng) k0 時(shí)直線在時(shí)直線在 x 軸上的截距為軸上的截距為12kk，在在 y 軸上的截距為軸上的截距為 12k，要使直

21、要使直線不經(jīng)過第四象限，則必須有線不經(jīng)過第四象限，則必須有12kk2，12k1，解得解得 k0；當(dāng)當(dāng) k0 時(shí)，直線為時(shí)，直線為 y1，符合題意，符合題意，故故 k 的取值范圍是的取值范圍是0，)(3)由題意可知由題意可知 k0，再由，再由 l 的方程，的方程，得得 a12kk，0，b(0,12k)依題意得依題意得12kk0，12k0，解得解得 k0.s12|oa|ob|12|12kk|12k|12 12k 2k124k1k412(224)4，“”成立的條件是成立的條件是 k0 且且 4k1k，即，即 k12，smin4，此時(shí)直線，此時(shí)直線 l 的方程為的方程為 x2y40.創(chuàng)新思維角度創(chuàng)新思

22、維角度融會(huì)貫通學(xué)妙法融會(huì)貫通學(xué)妙法妙用直線的斜率解題妙用直線的斜率解題應(yīng)用應(yīng)用(一一)比較大小比較大小例例 1已 知函 數(shù)已 知函 數(shù) f(x) log2(x 1)， 且， 且 abc0， 則， 則f a a，f b b，f c c的 大小 關(guān)系 為的 大小 關(guān)系 為_解析解析作出函數(shù)作出函數(shù) f(x)log2(x1)的大致圖象，如圖所示，可知當(dāng)?shù)拇笾聢D象，如圖所示，可知當(dāng) x0時(shí)，曲線上各點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率隨時(shí)，曲線上各點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率隨 x 的增大而減小，因?yàn)榈脑龃蠖鴾p小，因?yàn)?abc0，所以所以f a af b bf c c.9答案答案f a af b bf c c名師微點(diǎn)名師微點(diǎn)有關(guān)

23、有關(guān)f x x的式子比較大小時(shí)，一般數(shù)形結(jié)合利用直線的斜率解題的式子比較大小時(shí)，一般數(shù)形結(jié)合利用直線的斜率解題應(yīng)用應(yīng)用(二二)求解點(diǎn)共線問題求解點(diǎn)共線問題例例 2已知已知 a(1,1)，b(3,5)，c(a,7)，d(1，b)四點(diǎn)共線，則四點(diǎn)共線，則 a_，b_.解析解析因?yàn)橐驗(yàn)?a，b，c，d 四點(diǎn)共線四點(diǎn)共線，所以直線所以直線 ab，ac，ad 的斜率相等的斜率相等，又因?yàn)橛忠驗(yàn)?kab2，kac71a1，kadb111，所以，所以 26a1b12.所以所以 a4，b3.答案答案43名師微點(diǎn)名師微點(diǎn)若直線若直線 ab，ac 的斜率相等，則的斜率相等，則 a，b，c 三點(diǎn)共線，反過來，若三點(diǎn)

24、共線，反過來，若 a，b，c 三點(diǎn)共線，則三點(diǎn)共線，則直線直線 ab，ac 的斜率相等或都不存在的斜率相等或都不存在應(yīng)用應(yīng)用(三三)求參數(shù)的取值范圍求參數(shù)的取值范圍例例 3已知線段已知線段 pq 兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 p(1,1)和和 q(2,2)，若直線若直線 l：xmym0 與線與線段段 pq 有交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)有交點(diǎn)，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍的取值范圍解解如圖所示，直線如圖所示，直線 l：xmym0 過定點(diǎn)過定點(diǎn) a(0，1)，當(dāng)，當(dāng) m0時(shí)時(shí)， kqa32，kpa2， kl1m.結(jié)合圖象知結(jié)合圖象知，若直線若直線 l 與與 pq 有交點(diǎn)有交點(diǎn)，應(yīng)滿足應(yīng)滿足1m2 或或1m32

25、.解得解得 0m12或或23m0；當(dāng)；當(dāng) m0 時(shí)時(shí)，直線直線 l 的方程為的方程為 x0，與線段，與線段 pq 有交點(diǎn)所以實(shí)數(shù)有交點(diǎn)所以實(shí)數(shù) m 的取值范圍的取值范圍為為23，12 .名師微點(diǎn)名師微點(diǎn)當(dāng)直線繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，若傾斜角為銳角，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，傾斜角越來越大，斜率越來越大，當(dāng)直線繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，若傾斜角為銳角，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，傾斜角越來越大，斜率越來越大，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，傾斜角越來越小，斜率越來越??；若傾斜角為鈍角，也具有同樣的規(guī)律但順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，傾斜角越來越小，斜率越來越??；若傾斜角為鈍角，也具有同樣的規(guī)律但傾斜角是銳角或鈍角不確定時(shí)，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，傾斜角越來越大，但斜率并不一定隨傾斜角傾斜角是銳角

26、或鈍角不確定時(shí)，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，傾斜角越來越大，但斜率并不一定隨傾斜角的增大而增大的增大而增大應(yīng)用應(yīng)用(四四)求函數(shù)的最值求函數(shù)的最值例例 4已知實(shí)數(shù)已知實(shí)數(shù) x，y 滿足滿足 yx22x2(1x1)，試求，試求y3x2的最大值和最小值的最大值和最小值解解如圖如圖， 作出作出 yx22x2(1x1)的圖象的圖象(曲線段曲線段 ab)， 則則y3x2表表示定點(diǎn)示定點(diǎn) p(2， 3)和曲線段和曲線段 ab 上任一點(diǎn)上任一點(diǎn)(x， y)的連線的斜率的連線的斜率 k， 連接連接 pa，10pb，則，則 kpakkpb.易得易得 a(1,1)，b(1,5)，所以所以 kpa1 3 1 2 43，kpb5 3

27、 1 2 8，所以所以43k8，故，故y3x2的最大值是的最大值是 8，最小值是，最小值是43.名師微點(diǎn)名師微點(diǎn)巧妙利用斜率公式，借助數(shù)形結(jié)合思想直觀求解，能收到事半功倍的效果，此題還可利用巧妙利用斜率公式，借助數(shù)形結(jié)合思想直觀求解，能收到事半功倍的效果，此題還可利用代數(shù)的方法求解代數(shù)的方法求解應(yīng)用應(yīng)用(五五)證明不等式證明不等式例例 5已知已知 0a0.求證：求證：apbpab.證明證明設(shè)設(shè) a(b，a)，因?yàn)?，因?yàn)?0a0，所以設(shè)點(diǎn)，所以設(shè)點(diǎn) p(p，p)在第三象限，且在直線在第三象限，且在直線 yx 上上因?yàn)橐驗(yàn)?koaab，kpaapbp，由圖可知，由圖可知 kpakoa，所以所以ap

28、bpab.名師微點(diǎn)名師微點(diǎn)觀察不等式的兩邊，都可構(gòu)造與斜率公式類似的結(jié)構(gòu)觀察不等式的兩邊，都可構(gòu)造與斜率公式類似的結(jié)構(gòu).apbpa p b p 的幾何意義就是點(diǎn)的幾何意義就是點(diǎn)(b，a)與點(diǎn)與點(diǎn)(p，p)的連線的斜率，的連線的斜率，ab可看成可看成(b，a)與原點(diǎn)與原點(diǎn) o(0,0)的連線的斜率的連線的斜率課時(shí)跟蹤檢測(cè)課時(shí)跟蹤檢測(cè)一、基礎(chǔ)練一、基礎(chǔ)練練手感熟練度練手感熟練度1直線直線 l 的方程為的方程為3x3y10，則直線，則直線 l 的傾斜角為的傾斜角為()a150b120c60d30解析：解析：選選 a由直線由直線 l 的方程為的方程為3x3y10 可得直線可得直線 l 的斜率為的斜率為

29、 k33，設(shè)直線，設(shè)直線 l 的的11傾斜角為傾斜角為(0180)，則，則 tan 33，所以，所以150.故選故選 a.2過點(diǎn)過點(diǎn) a(0,2)且傾斜角的正弦值是且傾斜角的正弦值是35的直線方程為的直線方程為()a3x5y100b3x4y80c3x4y100d3x4y80 或或 3x4y80解析：解析：選選 d設(shè)所求直線的傾斜角為設(shè)所求直線的傾斜角為，則，則 sin 35，tan 34，所求直線方程為所求直線方程為 y34x2，即為，即為 3x4y80 或或 3x4y80.故選故選 d.3 在同一平面直角坐標(biāo)系中在同一平面直角坐標(biāo)系中， 直線直線 l1： axyb0 和直線和直線 l2：bx

30、ya0 有可能是有可能是()解析解析： 選選 b由題意由題意 l1： yaxb， l2： ybxa， 當(dāng)當(dāng) a0， b0 時(shí)時(shí)， a0，b0.選項(xiàng)選項(xiàng) b 符合符合4已知直線已知直線 l 的斜率為的斜率為 3，在，在 y 軸上的截距為另一條直線軸上的截距為另一條直線 x2y40 的斜率的倒數(shù)，則的斜率的倒數(shù)，則直線直線 l 的方程為的方程為()ay 3x2by 3x2cy 3x12dy 3x2解析：解析：選選 a直線直線 x2y40 的斜率為的斜率為12，直線直線 l 在在 y 軸上的截距為軸上的截距為 2，直線直線 l 的方程為的方程為 y 3x2，故選，故選 a.5已知直線已知直線 l 經(jīng)

31、過經(jīng)過 a(2,1)，b(1，m2)兩點(diǎn)兩點(diǎn)(mr)，那么直線那么直線 l 的傾斜角的取值范圍是的傾斜角的取值范圍是()a0，)b.0，4 2，c.0，4d.4，2 2，解析：解析：選選 b直線直線 l 的斜率的斜率 k1m2211m2，因?yàn)椋驗(yàn)?mr，所以，所以 k(，1，所以直線，所以直線12的傾斜角的取值范圍是的傾斜角的取值范圍是0，4 2，.6已知已知 e 是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù)是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù) f(x)(x1)ex3e 的圖象在點(diǎn)的圖象在點(diǎn)(1，f(1)處的切線為處的切線為 l，則直線則直線 l 的橫截距為的橫截距為_解析：解析：因?yàn)橐驗(yàn)?f(x)ex(x1)exxex，所以

32、切線，所以切線 l 的斜率為的斜率為 f(1)e，由，由 f(1)3e 知切點(diǎn)知切點(diǎn)坐標(biāo)為坐標(biāo)為(1,3e)，所以切線，所以切線 l 的方程為的方程為 y3ee(x1)令令 y0，解得，解得 x2，故直線，故直線 l 的橫的橫截距為截距為2.答案：答案：2二、綜合練二、綜合練練思維敏銳度練思維敏銳度1已知三點(diǎn)已知三點(diǎn) a(2，3)，b(4,3)，c5，k2 在同一條直線上，則在同一條直線上，則 k 的值為的值為()a12b9c12d9 或或 12解析：解析：選選 a由由 kabkac，得，得3 3 42k2 3 52，解得解得 k12.故選故選 a.2若直線若直線 l 與直線與直線 y1，x7

33、 分別交于點(diǎn)分別交于點(diǎn) p，q，且線段且線段 pq 的中點(diǎn)坐標(biāo)為的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，則直則直線線 l 的斜率為的斜率為()a.13b13c32d.23解析解析：選選 b依題意依題意，設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn) p(a,1)，q(7，b)，則有則有a72，b12，解得解得a5，b3，從而可從而可知直線知直線 l 的斜率為的斜率為317513.故選故選 b.3過點(diǎn)過點(diǎn)(2,1)且傾斜角比直線且傾斜角比直線 yx1 的傾斜角小的傾斜角小4的直線方程是的直線方程是()ax2by1cx1dy2解析解析：選選 a直線直線 yx1 的斜率為的斜率為1，則傾斜角為則傾斜角為34，依題意依題意，所求直線的傾斜角所求直線的傾斜

34、角為為3442，斜率不存在，斜率不存在，過點(diǎn)過點(diǎn)(2,1)的直線方程為的直線方程為 x2.4若若 k，1，b 三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則直線三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則直線 ykxb 必經(jīng)過定點(diǎn)必經(jīng)過定點(diǎn)()a(1，2)b(1,2)c(1,2)d(1，2)13解析解析：選選 a因?yàn)橐驗(yàn)?k，1，b 三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，所以所以 kb2，即即 b2k，于是直于是直線方程化為線方程化為 ykxk2，即，即 y2k(x1)，故直線必過定點(diǎn)，故直線必過定點(diǎn)(1，2)5數(shù)學(xué)家歐拉在數(shù)學(xué)家歐拉在 1765 年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位

35、于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半這條直線被后人稱為三角形的歐拉線已知重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半這條直線被后人稱為三角形的歐拉線已知abc 的頂點(diǎn)的頂點(diǎn) a(2,0)，b(0,4)，且，且 acbc，則，則abc 的歐拉線的方程為的歐拉線的方程為()ax2y30b2xy30cx2y30d2xy30解析：解析：選選 c因?yàn)橐驗(yàn)?acbc，所以歐拉線為，所以歐拉線為 ab 的中垂線，又的中垂線，又 a(2,0)，b(0,4)，故，故 ab 的中的中點(diǎn)為點(diǎn)為(1,2)，kab2，故，故 ab 的中垂線方程為的中垂線方程為 y212(x1)，即，即 x2y30，故選，故

36、選 c.6直線直線 l 經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn) a(1,2)，在，在 x 軸上的截距的取值范圍是軸上的截距的取值范圍是(3,3)，則其斜率，則其斜率 k 的取值范圍是的取值范圍是()a.1，15b.1，12c(，1)15，d(，1)12，解析：解析：選選 d設(shè)直線的斜率為設(shè)直線的斜率為 k，則直線方程為，則直線方程為 y2k(x1)，直線在，直線在 x 軸上的截距為軸上的截距為 12k.令令312k3，解不等式得，解不等式得 k1 或或 k12.7若直線若直線 x2yb0 與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積不大于與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積不大于 1，那么，那么 b 的取值范圍是的取值范圍是()a2,2b

37、(，22，)c2,0)(0,2d(，)解析：解析：選選 c令令 x0，得，得 yb2，令，令 y0，得，得 xb，所以所求三角形面積為所以所求三角形面積為12|b2|b|14b2，且，且 b0，因?yàn)橐驗(yàn)?4b21，所以，所以 b24，所以，所以 b 的取值范圍是的取值范圍是2,0)(0,28(多選多選)已知直線已知直線 l：mxy10，a(1,0)，b(3,1)，則下列結(jié)論正確的是，則下列結(jié)論正確的是()a直線直線 l 恒過定點(diǎn)恒過定點(diǎn)(0,1)b當(dāng)當(dāng) m0 時(shí)，直線時(shí)，直線 l 的斜率不存在的斜率不存在c當(dāng)當(dāng) m1 時(shí)，直線時(shí)，直線 l 的傾斜角為的傾斜角為3414d當(dāng)當(dāng) m2 時(shí)，直線時(shí)，

38、直線 l 與直線與直線 ab 垂直垂直解析解析： 選選 cd直線直線 l： mxy10， 故故 x0 時(shí)時(shí)， y1， 故直線故直線 l 恒過定點(diǎn)恒過定點(diǎn)(0，1)，選項(xiàng)，選項(xiàng) a 錯(cuò)誤；錯(cuò)誤；當(dāng)當(dāng) m0 時(shí)，直線時(shí)，直線 l：y10，斜率，斜率 k0，故選項(xiàng)，故選項(xiàng) b 錯(cuò)誤；錯(cuò)誤；當(dāng)當(dāng) m1 時(shí)，直線時(shí)，直線 l：xy10，斜率，斜率 k1，故傾斜角為，故傾斜角為34，選項(xiàng)，選項(xiàng) c 正確；正確；當(dāng)當(dāng) m2 時(shí)，直線時(shí)，直線 l：2xy10，斜率，斜率 k2，kab103112，故，故 kkab1，故直線，故直線 l與直線與直線 ab 垂直，選項(xiàng)垂直，選項(xiàng) d 正確正確9設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn) a(2,3

39、)，b(3,2)，若直線，若直線 axy20 與線段與線段 ab 沒有交點(diǎn)，則沒有交點(diǎn)，則 a 的取值范圍是的取值范圍是()a.，52 43，b.43，52c.52，43d.，43 52，解析：解析：選選 b易知直線易知直線 axy20 恒過點(diǎn)恒過點(diǎn) m(0，2)，且斜率為，且斜率為a.因?yàn)橐驗(yàn)?kma3 2 2052，kmb2 2 3043，由圖可知由圖可知a52且且a43，所以，所以 a43，52 .10(2021河北七校聯(lián)考河北七校聯(lián)考)直線直線(a1)xya30(a1)，當(dāng)此直線在，當(dāng)此直線在 x，y 軸上的截距和軸上的截距和最小時(shí)，實(shí)數(shù)最小時(shí)，實(shí)數(shù) a 的值是的值是()a1b. 2c2d3解析解析：選：選 d當(dāng)當(dāng) x0 時(shí)，時(shí)，ya3，當(dāng)，當(dāng) y0 時(shí)，時(shí)，xa3a1，令令 ta3a3a15(a1)4a1.因?yàn)橐驗(yàn)?a1，所以，所以 a10.所以所以 t52 a1 4 a1 9.15當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) a14a1，即即 a3 時(shí)，等號(hào)成立時(shí)，等號(hào)成立11 過 點(diǎn) 過 點(diǎn)(2，4)且 在 兩 坐 標(biāo) 軸 上 的 截 距 互 為 相 反 數(shù) 的 直 線 的 一 般 方 程 為且 在 兩