等比數(shù)列前n項和公式（教案）

1、等比數(shù)列前n項和公式【教學(xué)目標(biāo)】1. 通過一些實例及經(jīng)歷借、貸款問題的計算過程，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，形成對數(shù)學(xué)的興趣；同時培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用知識解決實際問題的能力。2. 通過探索數(shù)列的前n項和公式，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維能力，同時增強學(xué)生對公式理解【教學(xué)重點】等比數(shù)列的前項和的公式 【教學(xué)難點】等比數(shù)列前項和公式的推導(dǎo)【教學(xué)備品】教學(xué)課件【課時安排】3課時(135分鐘)【教學(xué)過程】：設(shè)置懸念講授新知識解決懸念歸納小結(jié)鞏固新知識【設(shè)置懸念】1. 設(shè)一個投資陷阱，讓同學(xué)們猜一猜，這個借款方式合不合算？2.再講本校一個畢業(yè)生創(chuàng)業(yè)的奮斗歷程，然后提出他要貸款10萬元，貸款5年，年息5%，采取等額本息還款方式

2、，每個月他要還多少錢？3. 富蘭克林一生為科學(xué)和民主而工作，他死后留下的財產(chǎn)并不可觀，大致只有一千英磅。令人驚訝的是，他竟留下了一份分配幾百萬英磅財產(chǎn)的遺囑！這份有趣的遺囑是這樣寫的：“一千英磅贈給波士頓的居民，如果他們接受了這一千英磅，那么這筆錢應(yīng)該托付給由選舉出來的公民組成的基金會，基金會得把這筆錢按每年5%的利率借給一些年輕的手工業(yè)者去生息。這筆錢過了100年增加到131000英磅。我希望，那時候用100000英磅來建立一所公共建筑物， 剩下的31000英磅拿去繼續(xù)生息100年，在第二個100年末了，這筆款增加到4061000英磅，其中1061000英磅還是由波士頓的基金會支配，而其余的

3、3000000英磅讓馬薩諸州組成同樣的基金會來管理。過此之后，我可不敢自作主張了！”富蘭克林卒于1790年，現(xiàn)在200多年過去了，人們不禁要問：作為科學(xué)家和政治家的富蘭克林，留下區(qū)區(qū)的1000英磅，竟立下百萬富翁般的遺囑，這不是開玩笑吧？ 【講授新知識】63.3 等比數(shù)列前n項和公式一、公式推導(dǎo)下面來研究求等比數(shù)列前n項和的方法等比數(shù)列的前n項和為 (1)由于故將(1)式的兩邊同時乘以q，得 (2) 用(1)式的兩邊分別減去(2)式的兩邊，得 (3)當(dāng)時，由(3)式得等到數(shù)列的前項和公式 (6.7)知道了等比數(shù)列中的、n和，利用公式（6.7）可以直接計算由于因此公式（6.7）還可以寫成 (6.

4、8)當(dāng)時，等比數(shù)列的各項都相等，此時它的前項和為 (6.9) 【想一想】在等比數(shù)列中，知道了、q、n、五個量中的三個量，就可以求出其余的兩個量針對不同情況，應(yīng)該分別采用什么樣的計算方法？ 【注意】 在求等比數(shù)列的前n項和時，一定要判斷公比q是否為二、鞏固知識1.例5 寫出等比數(shù)列的前n項和公式并求出數(shù)列的前8項的和解 因為，所以等比數(shù)列的前n項和公式為 ，故 2.例6 一個等比數(shù)列的首項為，末項為，各項的和為，求數(shù)列的公比并判斷數(shù)列是由幾項組成解 設(shè)該數(shù)列由n項組成，其公比為q，則，于是 即 ，解得 所以數(shù)列的通項公式為 于是 ，即 解得 故數(shù)列的公比為，該數(shù)列共有5項3.解決懸念 現(xiàn)在回過來

5、看一看，前面提到的第一個問題“這個借款方式合不合算”1.對方每天給你100萬元，30天就是3000萬元。2.你30天總還款數(shù)是多少？第一天是1元，第二天是2元，第三天是4元，每天要還的錢是前一天的一倍，這是一個等比數(shù)列， 解得 107374182330000000，所以這個借款方式非常不合算，是個大陷阱。三、運用知識，強化練習(xí) 練習(xí)6.3.31求等比數(shù)列，的前10項的和2已知等比數(shù)列的公比為2，求3.已知等比數(shù)列的公比為，求四、鞏固知識 典型例題【小知識】復(fù)利計息法：將前一期的本金與利息的和（簡稱本利和）作為后一期的本金來計算利息的方法俗稱“利滾利”1.例7 銀行貸款一般都采用“復(fù)利計息法”計

6、算利息小王從銀行貨款20萬元，貸款期限為5年,年利率為5.76%（1）如果5年后一次性還款，那么小王應(yīng)償還銀行多少錢?（精確到0.000001萬元）；（2）如果每年一期，分5期等額還款（每期以相等的額度平均償還本息），那么小王每年償還銀行多少錢解 （1）貨款第一年后的本利和為 第二年后的本利和為 依次下去，從第一年后起，每年后的本利和組成的數(shù)列為等比數(shù)列 其通項公式為 故5年后一次性還款小王應(yīng)還款數(shù)為 （萬元）（2）小王每次應(yīng)償還銀行a萬元， ，（A為貸款本金，為還款期數(shù)，為期利率）（萬元）可以看到，本例中一次性付款數(shù)為26.482886萬元，而采用分5期付款的方式總共付款數(shù)為4.716971×5=23.5849（萬元），分期付款比到期一次性付款節(jié)省了近2萬9千元。（說明：等額本息還款公式不需要學(xué)生掌握推導(dǎo)，學(xué)會使用即可）2.解決懸念 （1）該畢業(yè)生他每個月他要還多少錢？A=10，n=5×12=60,i=5%÷120.004171887.31(元) 每個月他要還1887.31元 （2）富蘭克林立下百萬富翁般的遺囑，是不是開玩笑？A、一千英磅每年5%的利率100年增加到多少錢（英磅） B剩下的31000英磅拿去繼續(xù)生息100年，在第二個100年末了，這筆款增加到多少英磅？（英磅）所以富蘭克林立下百