(完整word版)高等代數(shù)習(xí)題及答案(1)

1、高等代數(shù)試卷一、判斷題（下列命題你認(rèn)為正確的在題后括號(hào)內(nèi)打“V”，錯(cuò)的打“X”；每小 題 1分，共 10 分）1、p（x）若是數(shù)域 F 上的不可約多項(xiàng)式，那么p（x）在 F 中必定沒有根。（）2、若線性方程組的系數(shù)行列式為零，由克萊姆法則知，這個(gè)線性方程組一定是無解的。（）3、實(shí)二次型f （xX2，Xn）正定的充要條件是它的符號(hào)差為n。（）4、 W = dxxR,i = 1,2,3;為=X2=怡是線性空間 R3的一個(gè)子空間。（）5、 數(shù)域 F 上的每一個(gè)線性空間都有基和維數(shù)。（）6 兩個(gè)n元實(shí)二次型能夠用滿秩線性變換互相轉(zhuǎn)化的充要條件是它們有相同的 正慣性指數(shù)和負(fù)慣性指數(shù)。（）7、 零變換和單

2、位變換都是數(shù)乘變換。（8、 線性變換二的屬于特征根o的特征向量只有有限個(gè)。（）9、歐氏空間 V 上的線性變換二是對(duì)稱變換的充要條件為 二關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)正交基的矩陣為實(shí)對(duì)稱矩陣。（n10、 若匸，2，n 1是歐氏空間 V 的標(biāo)準(zhǔn)正交基，且7 = -“xi，那么i呂:7 Xi。（）i生二、單項(xiàng)選擇題（從下列各題四個(gè)備選答案中選出一個(gè)正確答案，并將其號(hào)碼寫 在題干后面的括號(hào)內(nèi)。答案選錯(cuò)或未作選擇者，該題無分。每小題 1 分，共 10 分）1、關(guān)于多項(xiàng)式的最大公因式的下列命題中，錯(cuò)誤的是（）1（fn（x）gn（x）=（f （x）g（x）1;2f1,f2,fn=1 =fi,fj= 1, i = j ,i, j

3、 =1,2, n；3fx,gx二fx gx,gx；4若fx,gx =1= f x g x , f x - g x =1。2、設(shè) D 是一個(gè)n階行列式，那么（）1行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等；D 中兩行互換，則行列式不變符號(hào)；若 D = 0，則 D 中必有一行全是零； 若 D = 0，則 D 中必有兩行成比例。3、設(shè)矩陣 A 的秩為r（r1），那么（）3A 中可能存在不為零的 r1 階子式；A 中肯定有不為零的r階子式。4、 設(shè)f XX2，Xn為n元實(shí)二次型，則fXX2，Xn負(fù)定的充要條件為（）負(fù)慣性指數(shù)=f的秩； 正慣性指數(shù)=0； 符號(hào)差=n；f的秩=n。5、 設(shè)宀，,，7 是線性空間 V 的一

4、個(gè)向量組，它是線性無關(guān)的充要條件為（）m1任一組不全為零的數(shù)kk2, ,km,都有vki=O；i二m2任一組數(shù)僉匕，心，有 7 “i= 0；i m3當(dāng)k二k?二二km二0時(shí)，有vkih二0；m4任一組不全為零的數(shù)k!,k2, ,km，都有ki：i= 0。id：6 若W：,W2都是n維線性空間 V 的子空間，那么（）維W：+ +維W：W2二二維W+ +維W：W2；維W：W2= =維W：+ +維W；3維W：+ + 維W：W2= =維W2+ + 維W：W2；4維W：- -維W：W2= =維W：W2- -維W2。7、設(shè)匚是n維線性空間 V 的線性變換，那么下列錯(cuò)誤的說法是（）二是單射的虧=0；二是滿射

5、的秩=n；匚是可逆的=核 Z 1=心；匚是雙射=二是單位變換。8、 同一個(gè)線性變換在不同基下的矩陣是（）合同的；相似的；相等的；正交的。9、 設(shè) V 是n維歐氏空間，那么 V 中的元素具有如下性質(zhì)（）若（口 ,鬥=（*丫匕 P邛;若冋=|円二。=0 ；1A 中每個(gè)s（svr）階子式都為零;2A 中每個(gè)r階子式都不為零;若（ct，口口 ）= =：二網(wǎng)二網(wǎng)= =：；若 0, P ）0n | |叫叫=|=| 円円。10、 歐氏空間 R3中的標(biāo)準(zhǔn)正交基是（）傍傍。勺勺$ $, ,0,霍霍 ：，：，0）；i2OK2,i,;O,O1）；kk2F,kr12也是 A 的屬于的特征向量三、填空題(將正確的內(nèi)容填

6、在各題干預(yù)備的橫線上，內(nèi)容填錯(cuò)或未填者，該空 無分。每空 2 分，共 20 分)1、多項(xiàng)式f(x) =x4 x2-2在實(shí)數(shù)域 R 上的標(biāo)準(zhǔn)分解為 _0a0b2、禾 U 用行列式的性質(zhì)可知四階行列式c00d的值為000e00fg3、 若一個(gè)非齊次線性方程組無解且它的系數(shù)矩陣的秩為3,那么該方程組的增廣矩陣的秩等于_ 。4、在線性空間 V 中，定義- ?o(其中:-o是 V 中一個(gè)固定向量)，那么當(dāng)一:九=_ 時(shí)，二是 V 的一個(gè)線性變換。5、實(shí)對(duì)稱矩陣的屬于不同特征根的特征向量是彼此 _ 的。6n階實(shí)對(duì)稱矩陣的集合按合同分類，可分為 _類。7、 若基I到U的過渡矩陣為 P，而向量關(guān)于基I和U的坐

7、標(biāo)分別為 X 和丫， 那么著兩個(gè)坐標(biāo)的關(guān)系是_。8、 設(shè) W 是線性空間 V 的非空子集，若 W 對(duì) V 的加法和數(shù)乘_ ， 則稱 W 為 V的子空間。9、若線性變換關(guān)于基1C2的矩陣為fb，那么坊關(guān)于基&2,%的矩陣c d一為_。10、 兩個(gè)歐氏空間同構(gòu)的充要條件是它們有 _。四、改錯(cuò)題(請(qǐng)?jiān)谙铝忻}中你認(rèn)為錯(cuò)誤的地方劃線，并將正確的內(nèi)容寫在預(yù)備的橫線上面。指出錯(cuò)誤 1 分，更正錯(cuò)誤 2 分。每小題 3 分，共 15 分)1、如果p(x)是f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)的 k-1 重因式，那么p(x)就是f(x)的 k 重因式。2、若線性方程組 AX 二 B 相應(yīng)的齊次線性方程組 AX =0

8、 有無窮多解，那么 AX 二 B也有無窮多解。3、設(shè) A 是一個(gè)m n矩陣，若用m階初等矩陣E 3 5 ,4右乘 A，則相當(dāng)對(duì) A 施行 了一次“ A 的第三列乘 5 加到第四列”的初等變換。4、若：:七都是數(shù)域 F 上的方陣 A 的屬于特征根0的特征向量，那么任取,3, 13，.3 JW；0，0,0；1,一1,1 ; -1,1,1 ; 1,1,一15、設(shè)匚是歐氏空間 V 的線性變換，那么匚是正交變換的充分必要條件是 二能保 持任二個(gè)非零向量的夾角。五、計(jì)算題（每小題 10 分，共 40 分）1、計(jì)算n階行列式2、用相應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系表示下列線性方程組的全部解X +3x2 x3+2

9、x4- x5= 4 一 3Xi* x?+ 2X35X44x5 一 12% 3x2x3 % +x5=4小“到札唧 W 的過渡矩陣并求向量 A（9】：在 匚J,.下的坐標(biāo)。六、證明題設(shè)1,2,3是三維歐氏空間 V 的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基，試證:21- 2：2八331：22-2 2331：31-22一233也是 V 的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基高等代數(shù)試卷參考解答、判斷題123456789101 +a111 1111 +a21 11Dn =111 七 3 A Aq. 11111.11 +a,aAa2an= 0一 4為 +16X2+ x3+3X4_9X5= -21卩23、p-3 0、3、解矩陣方程32-4X =1027

10、2-10丿JO78丿4、設(shè) =卩001是M2F的一個(gè)基，而2-2一1)00)(00丿XXVVXVVXVV、單項(xiàng)選擇題1 23 4 56 7 8910 、填空題仁x -1 x1 x22;2、acef73、 4；4 、0；5、正交;6、n 1門2；7、丫 = PX ；8、封閉;2 di9、33j;10、相同的維數(shù)。衛(wèi)衛(wèi)b四、改錯(cuò)題1、 如果p(x)是f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)的 k-1 重因式,那么P(X)就是f(x)的 k 重因式。P(x)是f (x)的因式且是f(x)的 k -1 重因式2、 若線性方程組 AX 二 B 相應(yīng)的齊次線性方程組AX =0 有無窮多解，那么 AX二 B 也有無窮多解。當(dāng) AX=解時(shí)，AX=Bfe有無窮多解3、 設(shè) A 是一個(gè)m n矩陣，若用m階初等矩陣E 3 5 ,4右乘 A，則相當(dāng)對(duì) A 施行了一次“A的第三列乘 5 加到第四列”的初等變換。A的