求雙曲線標準方程的技巧精編版

1、求雙曲線標準方程的技巧精編版MQS system office room MQS16H-TTMS2A-M0SS8Q8-MQSH16898求 雙 曲 線 標 準 方 程 的 技 巧在求雙曲線標準方程時，如果能根據(jù)已知條件設出方程的合理形式，可以簡化運算， 優(yōu)化解題過程。下面結(jié)合例題介紹求雙曲線標準方程的方法。一雙曲線的一般方程例1求經(jīng)過點P（3,2“），Q（-6血7）的雙曲線標準方程。分析雙曲線的標準方程有兩種形式：4-4=1 （“>（）, b>0）或與一二= CT ITCT b"1 （ « > 0 , /7 > 0 ）,可以討論解決。也可以應用下面的

2、方法解決。解 設雙曲線方程為Ax2 + By2 = 1（AB<0 ）。因為所求雙曲線經(jīng)過點P（3,2“），創(chuàng)-6血7）,所以嚴+ 283T，解得人=_丄，防丄。故所求雙曲線方程 ' 丿 '）72A + 49B = 17525說明 求雙曲線標準方程一般用待定系數(shù)法，當雙曲線的焦點位置不確定時，為了避 免討論焦點的位置，一般設雙曲線方程為Ax2 + By2 = 1 （AB<0）,這樣可以簡化運 算。二等軸雙曲線例2 等軸雙曲線的中心在原點，焦點在x軸上，與直線x-2y= 0交于兩點A、B,且|AB| = 2V15O求此等軸雙曲線的方程。分析 根據(jù)等軸雙曲線的特點，可以設

3、含有一個參數(shù)的方程x2-r = «2 （”0 ）,求出a即可。"2 2 2解 設等軸雙曲線方程為X2 - >'2 =（4>0）。由xy=a *解得交點a、Bx-2y = 0.的坐標分別為備引、卜手廠引。因為所以“ =3。故所求雙曲線方程為x2-r = 9o說明 等軸雙曲線是一類特殊的雙曲線，它有一些特殊的性質(zhì)，比如：離心率£ = 血，漸近線方程為y = ±x且互相垂直等等。三共焦點雙曲線例3 已知過點（3>/2,2）,且與雙曲線話一才=1有共同焦點的雙曲線的標準方程。分析 根據(jù)雙曲線焦點與/、滬的關(guān)系，有共同焦點的雙曲線方程可設

4、為二一一 16-k2-= 1 （一4<比<16）,求出 £ 即可。4 + R解設雙曲線方程為上一一丄一=1 （-4OK16）,將（32,2）代入，得上= 16-k 4 + k'74。故所求雙曲線方程為二一工=1。 12 8說明 與雙曲線二一2；= I共焦點的雙曲線方程可設為二一¥_= 1（b2 crcr _k b- +k<k<a2） o根據(jù)橢圓與雙曲線的關(guān)系，與橢圓4 + 4 = 1共焦點的雙曲線方程可設為 cr lr= I （b2<k<a2）,請注意它們的區(qū)別。a-k b-k四共漸近線雙曲線例4求經(jīng)過點（-3,2宀），且與雙曲線

5、名一蘭=1有共同漸近線的雙曲線方程。分析因為雙曲線卜卜I的兩條漸近線方程為雙曲線卜。，因此與它 共漸近線的雙曲線方程可表示為雙曲線二一二=兄（幾工0）。解 設雙曲線方程為- = 2 （20 ）,因為雙曲線經(jīng)過點（-3,23）,所以2=上丄一匚）=丄。故所求雙曲線方程為匚一=丄，即另一罕=1。91649164244說明求共漸近線的雙曲線方程也可以討論焦點分別在兩條坐標軸上的悄況，以上解 法避免了討論過程，使解題更合理。另外，以已知雙曲線的實軸為虛軸、虛軸為實軸的雙 曲線叫做原雙曲線的共輒雙曲線。顯然共輒雙曲線有相同的漸近線，因此求共輒雙曲線方 程時可以采用這個方法。五同離心率的雙曲線例5求經(jīng)過點

6、(2,0),且與雙曲線少一 22= 1的離心率相同的雙曲線的標準方程。76416分析因為一條雙曲線和雙曲線二一£= 1 («>0, /7>0)離心率相同，那么它的29焦點可能在x軸上，也可能在y軸上。若焦點在x軸上，它的方程可設為存一(“'cr2 2>0, b>09 2> 0 )；若焦點在y軸上，它的方程可設為二一4=2 (">0,方>0, cr 少2> 0 ) o解(1)當所求雙曲線的焦點在x軸上時，它的方程可設為二一乂 =兄(2>0 ),6416將(2,0)代入，得兄=丄。此時所求雙曲線的標準方程為

7、4 - V2 = 1 o164(2 )當所求雙曲線的焦點在y軸上時，它的方程可設為右一話=幾(2>0 ), 將(2,0)代入,得兄=_扌V 0 (舍去)。故所求雙曲線的標準方程為-y2 = 1 o4說明已知同離心率與相同漸近線求雙曲線方程的方法類似，請你比較它們的區(qū)別。 六已知雙曲線漸近線的雙曲線例6 求一條漸近線方程為3工+ 4)，=0, 個焦點是(4,0)的雙曲線方程。分析 由3x + 4y=0,得- + -=0,因此借助與共漸近線方程問題的方法，設所I求雙曲線方程為少一才=兄(20 ),求出兄即可。169解 根據(jù)題意，可設所求雙曲線方程為二一匚=2 (兄工0)。又因為焦點在X軸169上，所以2>0o因為c = 4,所以16/1 + 9兄=16,解得2 =。故所求雙曲線方程為25十 _ )' 1256144°25 務說明 漸近線方程為丄土上=