高中數(shù)學(北師大版)選修1-2第四章 數(shù)系的擴充與復 數(shù)的引入 第2課時 復數(shù)代數(shù)形式的加減運算及其幾何意義

1、第2課時復數(shù)代數(shù)形式的加減運算及其幾何意義1.理解復數(shù)代數(shù)形式的加減運算規(guī)律.2.復數(shù)的加減與向量的加減的關(guān)系.重點:正確理解復數(shù)的加減運算,復數(shù)加減運算的幾何意義.難點:對比復數(shù)加減法與向量加減法的異同,從而理解復數(shù)的幾何意義.實數(shù)可以進行加減運算,并且具有豐富的運算律,其運算結(jié)果仍是實數(shù);多項式也有相應的加減運算和運算律;對于引入的復數(shù),其代數(shù)形式類似于一個多項式,當然它也應有加減運算,并且也有相應的運算律.問題1:依據(jù)多項式的加法法則,得到復數(shù)加法的運算法則.設z1=a+bi,z2=c+di是任意兩個復數(shù),那么(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i, 很明顯,兩個

2、復數(shù)的和仍然是一個確定的復數(shù).問題2: 復數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律.即z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). 問題3:利用向量加法討論復數(shù)加法的幾何意義向量加法遵循平行四邊形法則,在直角坐標系中從橫縱坐標上分析就是橫縱坐標分別相加.故復數(shù)相加就是實部與虛部分別相加得到一個新的復數(shù).問題4:如何理解復數(shù)的減法?復數(shù)減法是復數(shù)加法的逆運算.向量減法遵循三角形法則,在直角坐標系中從橫縱坐標上分析就是橫縱坐標分別相減.故復數(shù)相減就是實部與虛部分別相減得到一個新的復數(shù).十八世紀末十九世紀初,著名的德國數(shù)學家高斯在證明代數(shù)基本定理“任何一元n次方程在復數(shù)集內(nèi)有且僅

3、有n個根”時,就應用并論述了卡爾丹所設想的新數(shù),并首次引進了“復數(shù)”這個名詞,把復數(shù)與平面內(nèi)的點一一對應起來,創(chuàng)立了復平面,依賴于平面內(nèi)的點或有向線段(向量)建立了復數(shù)的幾何基礎.這樣歷經(jīng)300年的努力,數(shù)系從實數(shù)系到復數(shù)系的擴張才基本完成,復數(shù)才被人們廣泛承認和使用.1.設z1=3-4i,z2=-2+3i,則z1-z2在復平面內(nèi)對應的點位于().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【解析】(3-4i)-(-2+3i)=5-7i.【答案】D2.(2-i)+(3+i)+(4+i)+(5+i)-i(其中i為虛數(shù)單位)等于().A.10B.10+2iC.14D.14+2i【解析】(2-i

4、)+(3+i)+(4+i)+(5+i)-i=2+3+4+5+(-+1+-)i=14.【答案】C3.復數(shù)z1=9+3i,z2=-5+2i,則z1-z2=. 【解析】z1-z2=(9+3i)-(-5+2i)=14+i.【答案】14+i4.已知復數(shù)z1=7-6i,z1+z2=-4+3i.(1)求z2;(2)求z1-2z2.【解析】(1)z2=(z1+z2)-z1=(-4+3i)-(7-6i)=-11+9i.(2)z1-2z2=(7-6i)-2(-11+9i)=7-6i+22-18i=29-24i.復數(shù)代數(shù)形式的加減法運算(1)z1=2+3i,z2=-1+2i,求z1+z2,z1-z2;(2

5、)計算:(+i)+(2-i)-(-i);(3)計算:(1-2i)+(-2+3i)+(3-4i)+(-4+5i)+(-2012+2013i)+(2013-2014i).【方法指導】依據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的加減運算法則以及運算律求解.【解析】(1)z1+z2=2+3i+(-1+2i)=1+5i,z1-z2=2+3i-(-1+2i)=3+i.(2)+i+(2-i)-(-i)=(+2-)+(-1+)i=1+i.(3)(法一)原式=(1-2)+(3-4)+(2011-2012) +2013+(-2+3)+(-4+5)+(-2012+2013)-2014i=(-1006+2013)+(1006-2014)i=1

6、007-1008i.(法二)(1-2i)+(-2+3i)=-1+i,(3-4i)+(-4+5i)=-1+i,(2011-2012i)+(-2012+2013i)=-1+i,將以上各式(共1006個)相加可知:原式=1006(-1+i)+(2013-2014i)=1007-1008i.【小結(jié)】幾個復數(shù)相加減,運算法則為這些復數(shù)的所有實部相加減,所有虛部相加減.第(3)小題的解法一是從整體上把握,將計算分實部和虛部進行,有機構(gòu)造特殊數(shù)列的和進而求得結(jié)果.解法二是從局部入手,抓住了式中相鄰兩項和的特點,恰當?shù)胤纸M使計算得以簡化.復數(shù)代數(shù)形式加減運算的幾何意義在復平面內(nèi),A、B、C分別對應復數(shù)z1=1

7、+i,z2=5+i,z3=3+3i,以AB、AC為鄰邊作一個平行四邊形ABDC,求D點對應的復數(shù)z4及AD的長.【方法指導】根據(jù)復數(shù)加減運算的幾何意義可以把復數(shù)的加減運算轉(zhuǎn)化為向量的坐標運算.【解析】如圖所示:對應復數(shù)z3-z1,對應復數(shù)z2-z1,對應復數(shù)z4-z1.由復數(shù)加減運算的幾何意義得=+,z4-z1=(z2-z1)+(z3-z1),z4=z2+z3-z1=(5+i)+(3+3i)-(1+i)=7+3i,AD的長為|=|z4-z1|=|(7+3i)-(1+i)|=|6+2i|=2.【小結(jié)】利用向量進行復數(shù)的加減運算時,同樣滿足平行四邊形法則和三角形法則.復數(shù)加減法運算的幾何意義為應用

8、數(shù)形結(jié)合思想解決復數(shù)問題提供了可能.復數(shù)加減運算的綜合應用已知實數(shù)a>0,b>0,復數(shù)z1=a+5i,z2=3-bi,|z1|=13,|z2|=5,求z1+z2.【方法指導】利用兩復數(shù)的模,可求得a,b的值,再求z1+z2.【解析】由題意得z1=12+5i,z2=3-4i,z1+z2=15+i.【小結(jié)】本題結(jié)合了復數(shù)的模與復數(shù)的加法,表面看著難,其實難度不大.復數(shù)z1=2+3i,z2=4-5i,z3=-6i,求z1+z2-z3,并說明z1+z2-z3在復平面內(nèi)對應的點所在的象限.【解析】z1+z2-z3=(2+3i)+(4-5i)-(-6i)=6+4i,z1+z2-z3在復平面內(nèi)對

9、應的點為(6,4),在第一象限.如圖所示,平行四邊形OABC的頂點O、A、C分別表示0、3+2i、-2+4i.求:(1)表示的復數(shù);(2)表示的復數(shù);(3)表示的復數(shù).【解析】(1)因為=-,所以表示的復數(shù)為-3-2i.(2)因為=-,所以表示的復數(shù)為(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.(3)因為=+,所以表示的復數(shù)為(3+2i)+(-2+4i)=1+6i.已知實數(shù)aR,復數(shù)z1=a+2-3ai,z2=6-7i,若z1+z2為純虛數(shù),求a的值.【解析】z1+z2=(a+2-3ai)+(6-7i)=a+8-(3a+7)i,z1+z2為純虛數(shù),a=-8.1.復數(shù)z1=-3+4i,z2=6-7i

10、,則z1+z2等于().A.3-3iB.3+3iC.-9+11iD.-9-3i【答案】A2.復數(shù)(3+i)m-(2+i)對應的點在第三象限內(nèi),則實數(shù)m的取值范圍是().A.m<B.m<1C.<m<1D.m>1【解析】(3+i)m-(2+i)=(3m-2)+(m-1)i,點(3m-2,m-1)在第三象限,即m<.【答案】A3.復數(shù)z1=-2+3i,z2=4+3i,則z1-z2=. 【解析】z1-z2=(-2+3i)-(4+3i)=-6.【答案】-64.已知aR,復數(shù)z1=2+(a+2)i,z2=a2+2a-1+3i,若z1+z2為實數(shù),求z1-z2.

11、【解析】z1+z2=a2+2a+1+(a+5)i,aR,z1+z2為實數(shù),a+5=0,a=-5,z1=2-3i,z2=14+3i,z1-z2=-12-6i.在復平面內(nèi),A,B,C三點對應的復數(shù)分別為1,2+i,-1+2i.(1)求向量,對應的復數(shù);(2)判斷ABC的形狀.【解析】(1)=-=(2+i)-1=1+i,=-=(-1+2i)-1=-2+2i,=-=(-1+2i)-(2+i)=-3+i,所以,對應的復數(shù)分別為1+i,-2+2i,-3+i.(2)因為|2=10,|2=8,|2=2,所以有|2=|2+|2,所以ABC為直角三角形.    1.向量對應

12、的復數(shù)是5-4i,向量對應的復數(shù)是-5+4i,則+對應的復數(shù)是().A.-10+8iB.10-8iC.0D.10+8i【解析】+對應的復數(shù)為5-4i+(-5+4i)=0.【答案】C2.復數(shù)z1=1-5i,z2=-2+i,則z1-z2在復平面內(nèi)對應的點在().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【解析】z1-z2=(1-5i)-(-2+i)=3-6i,對應的點為(3,-6),該點位于第四象限.【答案】D3.復數(shù)z1=5-12i,z2=4+7i,則z1-z2=. 【解析】z1-z2=(5-12i)-(4+7i)=1-19i.【答案】1-19i4.已知z1=(3x+y)+(y-

13、4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,yR).設z=z1-z2且z=13-2i,求z1,z2.【解析】z=z1-z2=(3x+y)+(y-4x)i-(4y-2x)-(5x+3y)i=(3x+y)-(4y-2x)+(y-4x)+(5x+3y)i=(5x-3y)+(x+4y)i,又z=13-2i,且x,yR,則解得故z1=(3×2-1)+(-1-4×2)i=5-9i,z2=4×(-1)-2×2-5×2+3×(-1)i=-8-7i.5.復平面內(nèi)點A,B,C對應的復數(shù)分別為i,1,4+2i,由ABCD按逆時針順序作平行四邊形A

14、BCD,則|等于().A.5B.C.D.【解析】如圖所示,ABCD四個頂點對應復數(shù)分別為z1=i,z2=1,z3=4+2i,z4,則有=+,=(z1-z2)+(z3-z2)=2+3i,故|=.【答案】B6.已知復數(shù)z1,z2,有|z1|=5,|z2|=12,|z1+z2|=13,則|z1-z2|為().A.8B.10C.12D.13【解析】利用向量結(jié)合復數(shù)分析可知構(gòu)成的平行四邊形為矩形,故對角線相等.【答案】D7.已知實數(shù)a>0,復數(shù)z1=a+2i,z2=3+5i,|z1-z2|=5,則a的值為. 【解析】z1-z2=a-3-3i(aR),|z1-z2|=5,=25,a-3=&

15、#177;4,又a>0,a=7.【答案】78.已知f(z)=2z+2-i,z0=1+2i,f(z0-z1)=6-3i,zC,求復數(shù)z1,f(|z0+z1|).【解析】由已知得2z0-2z1+2-i=6-3i,z0=1+2i,2+4i-2z1+2-i=6-3i,即4+3i-2z1=6-3i,2z1=(4+3i)-(6-3i)=(4-6)+(3+3)i=-2+6i,z1=-1+3i,|z0+z1|=|(1+2i)+(-1+3i)|=|5i|=5,f(|z0+z1|)=f(5)=2×5+2-i=12-i.9.已知復數(shù)z的模為2,則|z-i|的最大值為. 【解析】(法一)|z|=2,