材料力學(xué)扭轉(zhuǎn)概要PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計(jì)學(xué)1材料力學(xué)扭轉(zhuǎn)概要材料力學(xué)扭轉(zhuǎn)概要3-1 概 述 工程上有一些直桿，在外力作用下，其變形是橫截面繞著桿軸線轉(zhuǎn)動(dòng)，這種變形稱為扭轉(zhuǎn)。以扭轉(zhuǎn)為主要變形的桿件稱為軸（shaft）。第1頁/共59頁外力特點(diǎn)：外力是一平衡力偶系，作用在垂直于桿軸線的平面內(nèi)。變形特點(diǎn)：所有橫截面繞桿軸線作相對轉(zhuǎn)動(dòng)，任意兩橫截面之間產(chǎn)生相對角位移，稱為扭轉(zhuǎn)角，用j表示；縱向線也隨之轉(zhuǎn)過一角度g。TT第2頁/共59頁1. 扭矩用Mx表示，單位：Nm, kNm。2. 符號規(guī)定：按右手螺旋法則，以拇指代表橫截面外法線方向，與其余4指轉(zhuǎn)向相同的扭矩為正，反之為負(fù)。第3頁/共59頁3. 計(jì)算方法：截面法 扭矩圖 以平行于桿軸線

2、的坐標(biāo)為x坐標(biāo)，表示橫截面的位置；以垂直于桿軸線的坐標(biāo)為Mx坐標(biāo)，表示各橫截面扭矩Mx的大小，畫出的圖形稱為扭矩圖。第4頁/共59頁例 畫出如圖所示圓軸的扭矩圖。T3TTT123321ABCD第5頁/共59頁第6頁/共59頁3-2 圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力一、橫截面上的應(yīng)力OMxr第7頁/共59頁TT周線縱線周線縱線1. 變形幾何關(guān)系（1）變形后所有圓周線的大小、形狀和間距均不變，繞桿軸線相對轉(zhuǎn)動(dòng)。（2）所有的縱線都轉(zhuǎn)過了同一角度g。abcddxabcddx第8頁/共59頁TT周線縱線abcddx（1）變形后所有圓周線的大小、形狀和間距均不變， 繞桿軸線相對轉(zhuǎn)動(dòng)。（2）所有的縱線都轉(zhuǎn)過了同一角度g。第

3、9頁/共59頁平面假設(shè)：橫截面變形后仍為平面，并如同剛片一樣僅繞桿軸線做相對轉(zhuǎn)動(dòng)，其上任一半徑始終保持為直線。第10頁/共59頁dxcrabOdOcddjggf ecddc周線縱線abcddxfeg第11頁/共59頁djdxgtang = =eedxg =djdx= djdxdxcrabOdOcddjgfegf eg第12頁/共59頁2. 物理關(guān)系切應(yīng)變發(fā)生在垂直于半徑的平面內(nèi)，從而切應(yīng)力也垂直于半徑。根據(jù)實(shí)驗(yàn)得到，在彈性范圍內(nèi)=G剪切胡克定律gG為切變模量cddc第13頁/共59頁橫截面上切應(yīng)力的分布規(guī)律Mxo =G3. 靜力學(xué)關(guān)系oMxdArdAMx= dAAMx= G2 dAAdjdxA

4、djdxG2dAdjdx=G第14頁/共59頁A2dAAdjdxG2dAMxdjdxGdjdxMxG =Mx =maxMxr=MxrG第15頁/共59頁二、極慣性矩和抗扭截面系數(shù)的計(jì)算1. 實(shí)心圓截面 A2dAd 432d 316dA=2dA2dA= 22d0d/2ddor第16頁/共59頁2. 空心圓截面 DdodD 432D 432d 432D 316第17頁/共59頁3.薄壁圓環(huán)截面 30P2 rI =r0Ddd0o20P2 rW =第18頁/共59頁 例 直徑為50mm的傳動(dòng)軸。電動(dòng)機(jī)通過A輪輸入功率，由B、C和D輪輸出。已知A、B、C和D輪所受力偶矩分別為TA=3.18kNm，TB=

5、1.43kNm，TC=0.80kNm，TD=0.95kNm。（1）作軸的扭矩圖,(2）求軸的最大切應(yīng)力。 Mx /kNmx+-1.431.750.95 解：1.作扭矩圖2.最大切應(yīng)力第19頁/共59頁 Mx /kNmx+-1.431.750.952.最大切應(yīng)力mkN75. 1max=xM1605. 014. 31633P=dWMPa4 .71105 .241075. 163Pmaxmax=WMx36m105 .24=第20頁/共59頁解： 各橫截面上扭矩均為Mx=T=10kN m （1）實(shí)心圓截面dTTD/2TTD343933Pm1096. 116m10)100(14. 316=dW例 直徑d

6、 =100mm的實(shí)心圓軸，兩端受力偶矩T=10kNm作用，求橫截面上的最大切應(yīng)力。若改用內(nèi)、外直徑比值為0.5的空心圓軸，且橫截面面積不變，問最大切應(yīng)力是多少？第21頁/共59頁MPa0 .51N/m100 .51m1096. 1mN101026343Pmaxmax=WMxdTT343933Pm1096. 116m10)100(14. 316=dW（1）實(shí)心圓截面第22頁/共59頁（2）空心圓截面D/2TTD)1 (441222=Ddmm115=D34439343Pm108 . 2)5 . 0(1 16m10)115(14. 3)1 (16=DWMPa7 .35N/m107 .35m108 .

7、 2mN101026343Pmaxmax=WMxMPa0 .51N/m100 .51m1096. 1mN101026343Pmaxmax=WMx實(shí)心：空心：由面積相等，且內(nèi)、外直徑比 =0.5第23頁/共59頁 例 兩空心圓軸，橫截面面積相等，內(nèi)、外直徑比值分別為0.6和0.8，在相同扭矩作用下，問哪一個(gè)的最大切應(yīng)力大？0.6D1TTD10.8D2TTD2第24頁/共59頁G1G2d2dG2 G1Mx第25頁/共59頁(b)dxdydz三、切應(yīng)力互等定理xdx(a)oo( dydz)dx =( dxdz)dy = 第26頁/共59頁扭轉(zhuǎn)圓軸縱截面上切應(yīng)力？切應(yīng)力互等定理：在任何受力桿件中，過一

8、點(diǎn)相互垂直的兩個(gè)截面上，垂直于兩截面交線的切應(yīng)力大小相等，并共同指向或背離這兩面的交線。這是材料力學(xué)中普遍適用的一個(gè)定理dxdydzoo = 第27頁/共59頁3-3 圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形扭轉(zhuǎn)超靜定問題djdxMxGdjdxj =djMxdxGMxGMxlGj =第28頁/共59頁 例 圖示鋼制實(shí)心圓截面?zhèn)鲃?dòng)軸。已知：T1 =0.82kNm， T2 =0.5kNm， T3 =0.32kNm，lAB=300mm， lAC=500mm。軸的直徑d=50mm，鋼的切變模量G=80GPa。試求截面C相對于B的扭轉(zhuǎn)角。 解: AB、AC兩軸段的扭矩分別Mx1=0.5kNm， Mx2 =0.32kNm。 T2

9、T1T3dBAClAClAB第29頁/共59頁T2T1T3dBAClAClABT1T3dAClACACP2GIlMACxAC=jrad0033. 005. 03210805 . 032049=Mx1=0.5kNmMx2 =0.32kNmlAC=500mmG=80GPad=50mm第30頁/共59頁T2T1T3dBAClAClABT2T1T3dBAClAClABMx1=0.5kNmMx2 =0.32kNmlAB=300mmG=80GPad=50mmACABP1GIlMABxAB=jrad00310.=rad0002. 0=ABACBCjjj4905032108030500.=第31頁/共59頁二

10、、扭轉(zhuǎn)超靜定問題 桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)，如支座反力僅用靜力平衡方程不能求出，這類問題稱為扭轉(zhuǎn)超靜定問題。其求解方法與拉壓超靜定問題類似。ABCTabTATB第32頁/共59頁ABCTabTATB變形協(xié)調(diào)條件A、B兩固定端, CA與CB的 數(shù)值相等。PP1GIaTGIaMAxCA=jPP2GIbTGIbMBxCB=j故BATabT =從而TTTBA=平衡方程TbabTA=TbaaTB=第33頁/共59頁思考題： 橫截面面積相同的空心圓桿與實(shí)心圓桿，它們的強(qiáng)度、剛度哪一個(gè)大？但工程中為什么使用實(shí)心桿較多？第34頁/共59頁3-4 扭轉(zhuǎn)時(shí)材料的力學(xué)性能由低碳鋼薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)可以測得T- j 曲線TMrrx=

11、00)2(202 rT=jg0rl =jglr0=故可得 -曲線r0第35頁/共59頁=G剪切胡克定律E、G、v的關(guān)系)1 (2=EGp剪切比例極限s剪切屈服極限第36頁/共59頁可得切應(yīng)力強(qiáng)度極限b第37頁/共59頁3-5 扭轉(zhuǎn)圓桿的強(qiáng)度計(jì)算和剛度計(jì)算一、強(qiáng)度計(jì)算等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度條件為式中Mxmax 是危險(xiǎn)截面上的扭矩。PWMxmaxmax= 三方面的強(qiáng)度計(jì)算：校核強(qiáng)度、設(shè)計(jì)截面和容許力偶矩。maxMxmaxWP MxmaxWP Mxmax WP第38頁/共59頁=unu 極限切應(yīng)力對于脆性材料u=b對于塑性材料u=s=（0.5-0.6）塑性材料脆性材料=（0.8-1.0）容許切應(yīng)力第3

12、9頁/共59頁 例 直徑為50mm的實(shí)心傳動(dòng)軸。電動(dòng)機(jī)通過A輪輸入功率，由B、C和D輪輸出。已知A、B、C和D輪所受力偶矩分別為TA=3.18kNm，TB=1.43kNm，TC=0.80kNm，TD=0.95kNm,=75MPa。（1）作軸的扭矩圖,(2）校核軸的切應(yīng)力強(qiáng)度。d解： （1）軸的扭矩圖Mx1.43(kNm)0.951.75-+-第40頁/共59頁d（2）校核軸的切應(yīng)力強(qiáng)度AC段截面扭矩絕對值最大Mx1.43(kNm)0.951.75-+-軸的最大切應(yīng)力MPa3 .71N/m103 .71m1605. 0mN1075. 126333Pmaxmax=WMxkNm=75MPa故該軸滿足

13、切應(yīng)力強(qiáng)度要求。第41頁/共59頁MxmaxGIp max等直圓桿扭轉(zhuǎn)的剛度條件為精密機(jī)器： 一般傳動(dòng)軸：鉆桿： =(0.150.3)o /m =(0.32.0)o /m =(2.04.0)o /m第42頁/共59頁 例 一傳動(dòng)軸如圖3-14a所示。設(shè)材料的容許切應(yīng)力=40MPa，切變彈性模量G=810MPa，桿的容許單位長度扭轉(zhuǎn)角=0.20/m。試求軸所需的直徑。解：（1）軸的扭矩圖Mx(kNm)3.57+第43頁/共59頁Mx(kNm)3.57+3663pmm101750Pa1040mN107=.maxxMWmaxmax=pWMxmm96mm10175016163363=.PWdmaxma

14、x=pGIMx47451643pmm10512m10512m1802010108mN107=.maxPaGMIx第44頁/共59頁mm126105123232474P=.Wd47451643pmm10512m10512m1802010108mN107=.maxPaGMIxMx(kNm)3.57+綜合考慮，應(yīng)取d=126mm第45頁/共59頁 例 直徑D=100mm的軸，由兩段聯(lián)接而成；聯(lián)接處加凸緣，并在D0=200mm的圓周上布置8個(gè)螺拴緊固，如圖3-15所示。已知軸在扭轉(zhuǎn)時(shí)的最大切應(yīng)力為70MPa；螺栓的容許切應(yīng)力=60MPa，試求螺拴所需直徑d。解：第46頁/共59頁=81iiirFT0Q

15、4DTF/=163PDWTmaxmax=kN11716403Q.max=DDFF則=2QQQ4dFAFmm1191060101174463Q.=Fd第47頁/共59頁3-6 非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)變形特征翹曲第48頁/共59頁 非圓截面桿扭轉(zhuǎn)后，橫截面不再保持為平面，而要發(fā)生翹曲（warping）。自由扭轉(zhuǎn)：兩端自由的非圓截面直桿，受一對外力偶矩扭轉(zhuǎn)時(shí)，各橫截面翹曲程度相同，這時(shí)桿的橫截面上只有切應(yīng)力。約束扭轉(zhuǎn)：若桿端存在約束或桿的各橫截面扭矩不同，扭轉(zhuǎn)后各橫截面上翹曲程度不同，橫截面上除有切應(yīng)力外，還有附加正應(yīng)力。 由約束扭轉(zhuǎn)產(chǎn)生的附加正應(yīng)力，在實(shí)體截面桿中很小，可忽略不計(jì)；但在薄壁截面桿中不能忽

16、略。第49頁/共59頁角點(diǎn)切應(yīng)力等于零; 邊緣各點(diǎn)切應(yīng)力沿切線方向; 最大切應(yīng)力發(fā)生在長邊中點(diǎn)。1maxbh一、矩形截面桿第50頁/共59頁（2）切應(yīng)力和單位長度扭轉(zhuǎn)角的計(jì)算最大切應(yīng)力短邊中點(diǎn)的切應(yīng)力單位長度桿的扭轉(zhuǎn)角、為與h/b有關(guān)的系數(shù)。h和b分別為矩形截面的長邊和短邊；TWMx=maxmaxg=1TGIMx=3TbW=4TbI=1maxbh第51頁/共59頁對于狹長矩形截面)(10=hm最大切應(yīng)力單位長度桿的扭轉(zhuǎn)角2T3hMWMxx=max3T3GhMGIMxx=第52頁/共59頁二、開口薄壁截面桿第53頁/共59頁=niiixihGM133iniiixihM=1331maxmax發(fā)生在max的狹長矩形的長邊中點(diǎn)處。 剛周邊假設(shè)：橫截面的周邊形狀在其變形前平面上的投影保持不變。 故單位長度桿橫截面的單位長度扭轉(zhuǎn)角和各狹長矩形的單位長度扭轉(zhuǎn)角相等，即n=21TGIMx=ixiiGIMT=由于得maxmax=niiixhM1331第54頁/共59頁 例 兩個(gè)薄壁鋼管截面，試問在相同的扭矩作用下，哪種截面形式較好？(a)D0Mx(b)D0Mx第55頁/共59頁解：（