高中數(shù)學函數(shù)知識點詳細

1、第 二 章函 數(shù)1、函數(shù)的概念：(1)定義：設A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應關系 f，使對于集合A中的任意一個數(shù)X，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(X)和它對應，那么就稱f : AtB為從集合A到集合B的一個函數(shù).記作：y=f(x) , X A.其中，x叫做自變量,X的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與 X的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的 集合 f (X) | X A 叫做函數(shù)的值域.(2)函數(shù)的三要素： 定義域、值域、對應法那么(3)相同函數(shù)的判斷方法：表達式相冋(與表示自變量和函數(shù)值的字母無關)；定義域一致(兩點必須同時具備)2、定義域:(1) 定義域定義：函數(shù)f (x)的自變量

2、X的取值范圍。(2) 確定函數(shù)定義域的原那么：使這個函數(shù)有意義的實數(shù)的全體構(gòu)成的集合 (3 )確定函數(shù)定義域的常見方法： 假設f(X)是整式，那么定義域為全體實數(shù) 假設f(x)是分式，那么定義域為使分母不為零的全體實數(shù)例：求函數(shù)y1 的定義域。 假設f(x)是偶次根式，那么定義域為使被開方數(shù)不小于零的全體實數(shù)例1 .求函數(shù) y33x 4的定義域。例2.求函數(shù)y2X2 1 X 1 0的定義域。 對數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零 指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1 假設f(X)為復合函數(shù)，那么定義域由其中各根本函數(shù)的定義域組成的不等式組來確定 指數(shù)為零底不可以等于零，如X0 1(x 0) 實際問題中的函

3、數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義(4)求抽象函數(shù)(復合函數(shù))的定義域函數(shù)f (x)的定義域為0,1求f(x2)的定義域函數(shù)f (2x1)的定義域為0,1 )求f (13x)的定義域3、值域:(1)值域的定義：與x相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域。(2) 確定值域的原那么：先求定義域(3) 常見根本初等函數(shù)值域：一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)(正余弦、正切)2af (x) bf (x) c 的此類問題一般也可以7. 22x 5函數(shù)y0 , y1 x2x 5的值域為 y | y 換元法：運用代數(shù)代換，獎所給函數(shù)化成值域容易確定的另一函數(shù),域，形如y

4、ax b . cx d ( a、b、c、d均為常數(shù)，且a 0)從而求得原函數(shù)的值的函數(shù)常用此法求解。例：求函數(shù)y 2xJ 2x的值域。(4)確定函數(shù)值域的常見方法： 直接法：從自變量x的范圍出發(fā)，推出 y f(x)的取值范圍。例：求函數(shù)y /1的值域。解：、&0 ,、_ x 11 ,函數(shù)y 匸1的值域為1,)。 配方法：配方法是求“二次函數(shù)類值域的根本方法。形如F(x)函數(shù)的值域問題，均可使用配方法。例：求函數(shù)y x2 4x 2 ( x 1,1)的值域。2 2解：yx 4x 2 (x 2)6 , x 1,1,. x 2 3, 1 , 1 (x 2)293(x2)2 65, 3y5函數(shù)

5、yx2 4x 2 ( x 1,1)的值域為3,5 別離常數(shù)法：分子、分母是一次函數(shù)得有理函數(shù)，可用別離常數(shù)法, 利用反函數(shù)法。例:求函數(shù)y1的值域。2x515)77解:.y1x(2x221 22x52x52 2x 51 35當t,即x-時，ymax-，無最小值。2 84- 函數(shù)y 2x 72x的值域為(，一。'40，從而求得原函數(shù)的值域,形如a1x2b1xc1yra2x b2xC2( a1a2不同時為零)的函數(shù)的值域，常用此方法求解。例：求函數(shù)2 x-2x-的值域。x解：由y2x2 x x-變形得1(y 1)x2(y i)x y - 0，判別式法：把函數(shù)轉(zhuǎn)化成關于 x的二次方程F(x,

6、 y) 0 ；通過方程有實數(shù)根，判別式1時，此方程無解;1 時， x R, (y 1)24(y i)(y -) 0，11解得函數(shù)x2 x -2 x的值域為y |1x值域為y|y 1y y2x -練習：求函數(shù)y的值域x4、函數(shù)的表示方法(1) 解析法、列表法、圖象法(2) 求函數(shù)解析式的常見方法:換元法例:f(3x1)4x -,求f (x)的解析式例:假設f( 1)彳x,求 f (x)x 1x例:f(', X1)2x -,求 f (x).解方程組法例：設函數(shù)f(x)滿足f(x)+2 f ( 1 ) = x ( x工0)，求f(x)函數(shù)解析式x一變：假設f (x)是定義在 R上的函數(shù)，f(

7、0) 1，并且對于任意實數(shù)x,y，總有f(x -) f(x)yy(2x y1),求 f(x)(令 x=0，y=2x)待定系數(shù)法例：f (x)是次函數(shù)，并且解：設f(x) kx b，那么k(kx b)k 2十k 或b2xff(x)k 2那么kkb bkf(x) b44 ，解得3故所求一次函數(shù)解析式配變量法b 1f(x)ff(x) 4x3 求 f(x)例：f(x1)xx2例：假設fC、X1)k2x kb31 或 f (x)b 4x 32x 32 ,求f (x)的解析式. x2.x,求 f (x). 特殊值代入法(取特殊值法)例：假設f(Xy)f(x) f(y),且 f(i) 2，求值個竺也f(1)

8、f(2)f(3)f (2005)f(2004)解：設x y那么f (0)f (x) x(2x x 1) 1例：設f (x)是R上的函數(shù)，且滿足 f(0) 1并且對任意實數(shù) x,y有f(x y)f (x) y(2x y 1)求f (x)的表達式即 f (x) x2 x 1或設x 0那么f ( y)f(0) y( y 1) 1 y( y 1) 利用給定的特性(奇偶性周期性)求解析式例：對 x R, f(x)滿足 f(x) f(x 1),且當 x 1,0時，f (x)x2 2x求當x 9,10時f (x)的表達式.解析：f (x) f (x 1)，那么 f(x 1) f (x)那么 f(x 1) f

9、 (x 1), f (x) f (x 2) , T=25、分段函數(shù)(1) 定義：在函數(shù)的定義域內(nèi)，對于自變量x的不同取值區(qū)間，有著不同的對應關系，這樣的函數(shù)叫分段函數(shù)。(2) 注意：分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集；分段函數(shù)是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù)；寫分段函數(shù)定義域時，區(qū)間端點不重不漏。6、復合函數(shù)如果 y f(u),(u M),u g(x),(x A)那么 y fg(x)F(x),(xA),稱為 f、g的復合函數(shù)。7、函數(shù)圖象問題(1 )熟悉各種根本初等函數(shù)的圖象11如：y 0, y c(c為常數(shù))，y x，y -， y ， y x2xx(2 )圖象變換0)個單位長

10、度yf (x a) f(x) b平移：yf (x)向右平移a(ayf(x)向上平移b(b0)個單位長度y對稱:yf(x)關于x軸對稱_y -f(x)yf (x)關于y軸對稱y f( x)yf(x)關于原點對稱一 y -f( x)翻折:yf(x),y f(x)注意：帶絕對值的函數(shù)去絕對值方法有分情況討論法，平方法，圖象法課堂習題*1. 求以下函數(shù)的定義域：y】2 x15y ；1 (十|x 33V x 12. 設函數(shù)f (x)的定義域為0, 1，那么函數(shù)f (x2)的定義域為3. 假設函數(shù)f(x 1)的定義域為2, 3，那么函數(shù)f(2x 1)的定義域是4.函數(shù)f(x)x 2(x1)x2( 1 x

11、2)，假設 f(x)3，那么 x=2x(x 2)5.求以下函數(shù)的值域： y x2 2x 3 (x R)y x 、廠2xyx2 4x 5二.函數(shù)的性質(zhì)1.函數(shù)的單調(diào)性(局部性質(zhì))(1)(2)增減函數(shù)和單調(diào)區(qū)間設函數(shù)y f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個 自變量Xi,X2，當& X2時，都有f(xj f(X2)，那么就說f (x)在區(qū)間D上是增 函數(shù).區(qū)間D稱為y f (x)的單調(diào)增區(qū)間.如果對于區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1,x2當x1f(xj f(X2)，那么就說f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù).區(qū)間D稱為y 減區(qū)間 注意：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)； 圖

12、象的特點如果函數(shù)y f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù)yx2時，都有f(x)的單調(diào)f(X)在這一(3)區(qū)間上具有(嚴格的)單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函 數(shù)的圖象從左到右是下降的.函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法(重點)(A)定義法：02022任取 作差 變形 宀口定號X-I , X2 D,且 X1 X2 ;f (xj f (X2);(通常是因式分解和配方)；(即判斷差f(xj f (x2)的正負)；下結(jié)論(指出函數(shù) f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性).(B) 圖象法(從圖象上看升降)(C) 復合函數(shù)的單調(diào)性復合函數(shù)fg(x)的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u g(x)

13、, y f (u)的單調(diào)性密切相關，其規(guī)律：“同增異減注意：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間，不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集.例：是否存在實數(shù)a使函數(shù)y f(x) loga(ax2 x)在閉區(qū)間2,4上是增函數(shù)？如 果存在，說明a可取哪些值；如果不存在，說明理由。解：當a >1時，為使函數(shù)y f(x) log a (ax2 只需 g(x) ax21x 一2ag(2) 4a當0<a<1時，x)在閉區(qū)間2,4上是增函數(shù) x在閉區(qū)間2,4上是增函數(shù)，故1得a ，又由a >1，得a >10 2只需 g(x) ax2x 二 4 2a g(4)16a4為使函數(shù)y

14、 f(x) log a (ax2 x)在閉區(qū)間2,4上是增函數(shù)x在閉區(qū)間2,4上是減函數(shù)，故無解0綜上，當a (1,)時，f (x) loga (ax2 x)在閉區(qū)間2,4上是增函數(shù)(D)常用結(jié)論函數(shù)y f (x)與函數(shù)y f (x)的單調(diào)性相反；函數(shù)f (x)與f (x) c(c為常數(shù))具有相同的單調(diào)性；當c 0時，函數(shù)f (x)與cf(x)具有相同的單調(diào)性，c 0時，它們具有相反的單調(diào)性；1假設f (x) 0那么函數(shù)f (x)與具有相反的單調(diào)性；f(x)公共區(qū)間，增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)、減函數(shù)+減函數(shù)=減函數(shù)、 增函數(shù)-減函數(shù)=增函數(shù)、減函數(shù)-增函數(shù)=減函數(shù)假設f (x) 0, g(x)

15、0,且f (x)與g(x)都是增(或減)函數(shù)，那么f (x) g(x)也是增(或減)函數(shù)；假設f (x)0, g(x) 0,且f (x)與g(x)都是增(或減)函數(shù)，那么 f (x) g(x)也是增(或減)函數(shù)；n n假設f (x)0，且在定義域上是增函數(shù)， 那么.f (x)也是增函數(shù)，f n (x)(n 1)也是增函數(shù)。常見函數(shù)的單調(diào)性(一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、對勾函數(shù)k八c、y x -(k 0)x(E)禾U用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值確定函數(shù)的定義域；將復合函數(shù)分解為根本的初等函數(shù)；分別判斷其單調(diào)性；根據(jù)同 增異減判斷2例：求函數(shù)f (x)在區(qū)間2,6上的最大值和最小值x 12. 函

16、數(shù)的奇偶性(整體性質(zhì))(1 )函數(shù)奇偶性定義一般地，對于函數(shù)f (x)的定義域D內(nèi)的任意一個x，都有 x D ,且f ( x) f (x) (或 f( x) f (x),那么f (x)就叫做奇(或偶)函數(shù).(2) 圖象的特征偶函數(shù)的圖象關于 y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關于原點對稱.(3) 利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟：0首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其是否關于原點對稱；(2)確定f( X)f (x)與f( X) f (x)是否成立；0作出相應結(jié)論：假設 f( x) f (x)或f( x) f (x) 0，那么f (x)是偶函數(shù)； 假設 f ( x)f (x)或 f( x) f (x) 0，那么 f

17、(x)是奇函數(shù).注意：函數(shù)定義域關于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件首先看函數(shù)的定義域是否 關于原點對稱，假設不對稱那么函數(shù)是非奇非偶函數(shù)假設對稱，再根據(jù)定義判定；或由變式f( x) f (x) 0或b '1來判定；利用定理，或借助函數(shù)的圖象判定f(x)(4 )函數(shù)奇偶性的重要結(jié)論具有奇偶性的函數(shù)，其定義域關于原點對稱；f(x)、g(x)是定義域分別為 D1,D2的奇函數(shù)，那么在 D1 D2上，f (x) +g(x)是奇函數(shù)，f (x)?g(x)是偶函數(shù)。類似結(jié)論：奇奇=奇、奇X奇=偶、偶偶=禺、偶偶=偶 奇X偶=奇假設f (x)是具有奇偶性的單調(diào)函數(shù)，那么奇(偶) (反)的。假設f

18、 (x)的定義域關于原點對稱，函數(shù)在正負對稱區(qū)間上的單調(diào)性是相同G(x) f (x) f ( x)是奇函數(shù)。(f(x)那么F(x) f (x) f( x)是偶函數(shù)， F(x) G(x)假設f (x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，貝y 復合函數(shù)的奇偶性：內(nèi)層是偶函數(shù)，貝y(不用死記硬背)內(nèi)層是奇函數(shù)，外層是奇20 fg(x)是偶函數(shù)函數(shù)，那么外層是偶函數(shù)，那么f(x)y曰主y fg(x)是奇函數(shù) y fg(x)是偶函數(shù)(5)函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的關系奇函數(shù)在a.b上是增函數(shù)，在偶函數(shù)在a.b上是增函數(shù)，在 例：函數(shù)求不等式解：b, a上也是增函數(shù); b, a上是減函數(shù)。旦古函數(shù)，且當 xy f (x)(x

19、0)是奇1f x(x)0的解集。(0,)時是增函數(shù)，假設f(1) 0，1f (1)0不等式可化為fx(x )f(1)，因為f (x)在x (0,)上遞增，所以01x(x 2) 1得丄x，或x 0244又由f(x)是奇函數(shù)，它在關于原點對稱的兩個區(qū)間上的單調(diào)性相同，且 f( 1)f(1)0,fx(x綜上，原不等式的解集是12) f( 1)，即有 x(x1-.17 亠 1. 17，或一44無解。0例：設奇函數(shù)f (x)在(0,)上為增函數(shù)，且f(1)0,那么不等式f(x)的解集為?解：由f(x)是奇函數(shù)得f(x) f( x)，所以 f(x) f( x)2f(x)0xf(x) 0 或 f(x)0 一

20、 xf (x)在(0,)上為增函數(shù)，故f (x)在(，0)上為增函數(shù)0知 f( 1)00可化為f(x) f(1)得0 x 1，同理x 0即x由奇函數(shù)由 f(1)f(x)x 0f(x) 0可化為f(x)f(1)得 1 x 0x 0x0解集為 1 x 00 x13.函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)的定義假設函數(shù)f(x)對于定義域中任意x ,存在不為零的常數(shù) T,使得f(x T) f(x)恒成立，貝y f (x)為周期函數(shù)，T為f (x)的周期(2 )有關周期性的一些結(jié)論假設f(x)的周期為T,那么n T( n Z,n 0)也是f(x)的周期假設周期函數(shù)的周期 T是所有正周期中最小的，那么T為f(x)的最

21、小正周期1假設函數(shù) f (x)滿足 f(x a) f (x)(a0), f(x a)(a 0),f (x)1f (x a)(a 0)，貝U f (x)比以2a為周期，反之不成立。f (x)證明提示：令 x =x a ；令x x a ；令x x a。(3) 函數(shù)的對稱性滿足條件f (x a) f (b x)的函數(shù)的圖象關于直線 x對稱；假設滿足f (x a)f (b x)的函數(shù)的圖象關于點(a b(_2-,0)對稱點(x, y)關于y軸的對稱點為 (x, y)，函數(shù)y y f( x)點(x, y)關于x軸的對稱點為 (x, y)，函數(shù)y yf (x)(x,y)關于原點的對稱點為 (x, y)，函

22、數(shù)y yf( x)f (x)關于y軸的對稱曲線方程為f (x)關于x軸的對稱曲線方程為f (x)關于y軸的對稱曲線方程為函數(shù)y f (x a)與函數(shù)yf (b x)關于直線x對稱。注意：f(x a) f (b x)，對稱軸求法:y f (x a)與y f(b x)的對稱軸求法：a x b x, x*課堂習題*1.函數(shù)f (x 1) x2 4x ,求函數(shù)f(x), f(2x 1)的解析式2.函數(shù)f(x)滿足2f(x) f( x) 3x 4,那么 f (x) =3.設f(x)是R上的奇函數(shù)，且當x 0,)時，f(x) x(1 喝,那么當x (,0)時f(x> =f (x)在R上的解析式為 4

23、.求以下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間： y x2 2x 3 yx2 2x 3 y x2 6x 15.判斷函數(shù)x31的單調(diào)性并證明你的結(jié)論.6.設函數(shù)fx匚4判斷它的奇偶性并且求證：f fx.1 x三、一次函數(shù)略與二次函數(shù)函數(shù)應用中有提及1、二次函數(shù)的定義及表達式1定義：函數(shù)y ax2 bx ca 0叫做二次函數(shù)，它的定義域是R2 表達式：一般式、頂點式、兩根式2、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)1圖象：拋物線：開口方向、對稱軸、頂點坐標；2性質(zhì)：定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、最大值最小值。3、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值分情況討論對稱軸與閉區(qū)間的位置關系4、一元二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式的關系判別式b2 4ac>0=0<0二次函數(shù)y ax2 bx c a 0的圖象一兀二次方程 ax2 bx c 0 a 0的根有兩不等實根b Jb2 4acXiX2a(人 x2)有兩相等實根fb X X1 X22a沒有實根元 二次 不等 式的 解集ax2 bx c 0 (a 0) xx