測量平差(河海大學)

1、Surveying Adjustment 誤差理論與 測量平差第六章 附有參數的條件平差第二章 精度指標與誤差傳播第三章 平差最小二乘模型與最小二乘原理第四章 條件平差第五章 間接平差第一章 緒論第七章 附有限制條件的間接平差第八章 概括平差函數模型退出第九章 誤差橢圓專業(yè)基礎主要課程：測量學（5）、測量平差基礎（5）、控制測量學（5）、攝影測量學（4）、測繪數據計算機處理（3）專業(yè)課：GPS（4）、GIS（3）、工程測量（4）、數字制圖（3）、近代平差（2）等v 大地測量與測量工程v 攝影測量與遙感v 地圖制圖與地理信息系統(tǒng)工程 數學政治英語測量平差l前修課程：高數、幾何與代數、概率與數理統(tǒng)

2、計l課程分兩個學期進行： 第二學年上學期：3學分 第三學年下學期：2學分l后續(xù)課程：測繪數據的計算機處理、控制測量、近代平差l講授為主，例題、習題相結合。l內容：本學期主要講前五章的內容。l參考書目： 測量平差原理，於宗儔等，測繪出版社 誤差理論與測量數據處理，測量平差教研室，測繪出版社。第一節(jié) 觀測誤差第二節(jié) 補充知識停止返回第一節(jié)：概述 1、測量平差的研究對象誤差 任何量測不可避免地含有誤差 v閉合、附合水準路線v閉合、附合導線v距離測量v角度測量.停止返回l由于誤差的存在，使測量數據之間產生矛盾，測量平差的任務就是消除這種矛盾，或者說是將誤差分配掉，因此稱為平差。180)(180)(實際

3、理論停止返回l測量儀器：i角誤差、2c誤差l觀測者：人的分辨力限制l外界條件：溫度、氣壓、大氣折光等三者綜合起來為觀測條件停止返回l系統(tǒng)誤差：在相同的觀測條件下進行的一系列觀測，如果誤差在大小、符號上表現出系統(tǒng)性，或者按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。停止返回系統(tǒng)誤差的存在必然影響觀測結果。削弱方法：采用一定的觀測程序、改正、附加參數l偶然誤差/隨機誤差：在相同的觀測條件下進行的一系列觀測，如果誤差在大小、符號上都表現出偶然性，從單個誤差上看沒有任何規(guī)律，但從大量誤差上看有一定的統(tǒng)計規(guī)律，這種誤差稱為偶然誤差。 不可避免，測量平差研究的內容l粗差：錯誤停止返回停止返回測量平差的任務：對一

4、系列帶有觀測誤差的觀測值，運用概率統(tǒng)計的方法來消除它們之間的不符值，求未知量的最可靠值。評定測量成果的質量停止返回測量平差產生的歷史最小二乘法產生的背景18世紀末，如何從多于未知參數的觀測值集合求出未知數的最佳估值？最小二乘的產生1794年，C.F.GUASS，從概率統(tǒng)計角度，提出了最小二乘1806年，A.M. Legendre，從代數角度，提出了最小二乘。決定彗星軌道的新方法1809年， C.F.GUASS，天體運動的理論停止返回測量平差產生的歷史最小二乘法原理的兩次證明形成測量平差的最基本模型1912年，A.A.Markov， 對最小二乘原理進行證明，形成數學模型：12020)(, 0li

5、m)(PQAXLEnEAXLn最小二乘解：PLAPAAXTT1)(測量平差理論的擴展一、矩陣的定義及其某些特殊矩陣（1）由nm個數有次序地排列成m行n列的表叫矩陣通常用一個大寫字母表示，如：mnmmnnnmaaaaaaaaaA212222111211停止返回(2)若m=n，即行數與列數相同，稱A為方陣。元素a11、a22ann 稱為對角元素。(3)若一個矩陣的元素全為0，稱零矩陣，一般用O表示。(4)對于 的方陣，除對角元素外，其它元素全為零，稱為對角矩陣。如：nn)(00000022112211nnmnnmaaadiagaaaA(5)對于 對角陣，若a11=a22=ann =1，稱為單位陣，

6、一般用E、I表示。停止返回（6）若aij=aji，則稱A為對稱矩陣。停止返回矩陣的基本運算：BA （1）若具有相同行列數的兩矩陣各對應元素相同，則：（2）具有相同行列數的兩矩陣A、B相加減，其行列數與A、B相同，其元素等于A、B對應元素之和、差。且具有可交換性與可結合性。（3）設A為m*s的矩陣，B為s*n的矩陣,則A、B相乘才有意義，C=AB，C的階數為m*n。OA=AO=O，IA=AI=A，A（B+C）=AB+AC，ABC=A（BC）停止返回l對于任意矩陣Cmn:mnmmnnnmcccccccccC212222111211將其行列互換，得到一個nm階矩陣，稱為C的轉置。用：nmnnnnmn

7、TcccccccccC212221212111停止返回TTCDDC則：,) 1 (AATT)(2(TTTBABA)(3(TTkAkA)(4(TTTABAB)(5(（6）若AAT則A為對稱矩陣。停止返回l給定一個n階方陣 A，若存在一個同階方陣B，使AB=BA=I（E），稱B為A的逆矩陣。記為：1 ABlA矩陣存在逆矩陣的充分必要條件是A的行列式不等于0，稱A為非奇異矩陣，否則為奇異矩陣停止返回111)(1 (ABABAA11)(2(II1)(3(TTAA)()(4(11矩陣。對稱矩陣的逆仍為對稱)5()11,1(),()6(2211122111nnnnaaadiagaaadiagA矩陣且：對角

8、矩陣的逆仍為對角停止返回（1）伴隨矩陣法： 設Aij為A的第i行j列元素aij的代數余子式，則由n*n個代數余子式構成的矩陣為A的伴隨矩陣的轉置矩陣A*稱為A的伴隨矩陣。*1212221212111*1,AAAAAAAAAAAAAnnnnnn停止返回11525812182113212411131則：nnnnnnnnaaaaaaaaaA212222111211100010001212222111211nnnnnnaaaaaaaaa（2）初等變換法：nnnnnnbbbbbbbbb212222111211100010001經初等變換：nnnnnnnnbbbbbbbbbA2122221112111停止

9、返回l隨機變量l誤差分布曲線l概率密度曲線l數學期望l方差停止返回第一節(jié) 概述第二節(jié) 偶然誤差的規(guī)律性第三節(jié) 衡量精度的指標第四節(jié) 協(xié)方差傳播律停止返回第五節(jié) 協(xié)方差傳播律在測量上的應用第六節(jié) 協(xié)方差傳播律第七節(jié) 權與定權的常用方法第八節(jié) 協(xié)因數與協(xié)因數傳播律第二節(jié) 偶然誤差的規(guī)律性觀測值：對該量觀測所得的值，一般用觀測值：對該量觀測所得的值，一般用Li表示表示 。真值：觀測量客觀上存在的一個能代表其真正大真值：觀測量客觀上存在的一個能代表其真正大小的數值，一般用小的數值，一般用 表示。表示。L一、幾個概念一、幾個概念真誤差：觀測值與真值之差，真誤差：觀測值與真值之差， 一般用一般用 i= -

10、Li 表表示。示。L第一節(jié) 概述停止返回觀測向量：若進行n次觀測，觀測值：L1、L2Ln可表示為：nnLLLL211 ,停止返回nnLLLL211 ,nnnLLLLLL21211 ,l例1：在相同的條件下獨立觀測了358個三角形的全部內角，每個三角形內角之和應等于180度，但由于誤差的影響往往不等于180度，計算各內角和的真誤差，并按誤差區(qū)間的間隔0.2秒進行統(tǒng)計。 誤差區(qū)間+個數K頻率K/n(K/n)/d個數K頻率K/n(K/n)/d0.000.20450.1260.630460.1280.6400.200.40400.1120.560410.1150.5750.400.60330.0920

11、.460330.0920.4600.600.80230.0640.320210.0590.2950.801.00170.0470.235160.0450.2251.001.20130.0360.180130.0360.1801.201.4060.0170.08550.0140.0701.401.6040.0110.05520.0060.0301.60000000和1810.5051770.495 停止返回l例2：在相同的條件下獨立觀測了421個三角形的全部內角，每個三角形內角之和應等于180度，但由于誤差的影響往往不等于180度，計算各內角和的真誤差，并按誤差區(qū)間的間隔0.2秒進行統(tǒng)計。誤差區(qū)

12、間+個數K頻率K/n(K/n)/d個數K頻率K/n(K/n)/d0.000.20400.0950.475460.0880.4400.200.40340.0810.405410.0850.4250.400.60310.0740.370330.0690.3450.600.80250.0590.295210.0640.3200.801.00200.0480.240160.0430.2151.001.20160.0380.190130.0400.200.2.402.6010.0020.01020.0050.00252.60000000和2100.4992110.501停止返回(K/n)/d00.40.

13、60.8-0.8-0.6-0.4閉合差概率密度函數曲線用直方圖表示:停止返回面積= (K/n)/d* d= K/n所有面積之和=k1/n+k2/n+.=1 頻數/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4閉合差0.630 頻數/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4閉合差0.475 頻數/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4閉合差 00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4閉合差停止返回提示：觀測值定了其分布也就確定了，因此一組觀測值對應相同的分布。不同的觀測序列，分布不同。但其極限分布均是正態(tài)分布。22221)(ef1、在一定條件下的有限觀測值中，其誤差的絕對

14、值不會超過一定的界限；2、絕對值較小的誤差比絕對值較大的誤差出現的次數多；3、絕對值相等的正負誤差出現的次數大致相等；4、當觀測次數無限增多時，其算術平均值趨近于零，即Limni=1nni=Limnn=0偶然誤差的特性：停止返回第三節(jié) 衡量精度的指標精度：所謂精度是指精度：所謂精度是指偶然誤差偶然誤差分布的密集離散程度。分布的密集離散程度。一組觀測值對應一種分布，也就代表這組觀測值一組觀測值對應一種分布，也就代表這組觀測值精度相同。不同組觀測值，分布不同，精度也就精度相同。不同組觀測值，分布不同，精度也就不同。不同。提示：提示：一組觀測值具有相同的分布，但偶然一組觀測值具有相同的分布，但偶然誤

15、差各不相同。誤差各不相同。 頻數/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4閉合差 頻數/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4閉合差 頻數/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4閉合差 00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4閉合差停止返回可見：左圖誤差分布曲線較高可見：左圖誤差分布曲線較高 且陡峭，精度高且陡峭，精度高 右圖誤差分布曲線較低右圖誤差分布曲線較低 且平緩，精度低且平緩，精度低一、方差一、方差/中誤差中誤差 f()00.40.60.8-0.8 -0.6-0.4閉合差 1122面積為122221)(ef第三節(jié)第三節(jié) 衡量精度的指標衡量精度的指標停止

16、返回dfEDnn)()()(lim222方差：方差：中誤差：nnlim2提示：提示： 越小，誤差曲越小，誤差曲線越陡峭，誤差分布線越陡峭，誤差分布越密集，精度越高。越密集，精度越高。相反，精度越低。相反，精度越低。n2方差的估值：n二、平均誤差二、平均誤差停止返回 ndfEnlim)()(在一定的觀測條件下，一組獨立的偶然誤差絕對值的數在一定的觀測條件下，一組獨立的偶然誤差絕對值的數學期望。學期望。與中誤差的關系：與中誤差的關系：54n三、或然誤差三、或然誤差 f()0閉合差1150%停止返回%50)(p32四、極限誤差四、極限誤差32 或限%7 .99)33(%5 .95)22(%3 .68

17、)(ppp四、相對誤差四、相對誤差中誤差與觀測值之比，一般用中誤差與觀測值之比，一般用1/M表示。表示。一、協(xié)方差)()(YEYXEXEXY對于變量對于變量X，Y，其協(xié)方差為：，其協(xié)方差為：停止返回)()(XEXYEYEYXYXXY0XYYX表示表示X、Y間互不相關，對于正態(tài)分布間互不相關，對于正態(tài)分布而言，相互獨立。而言，相互獨立。0XYYX表示表示X、Y間相關間相關nnyxxyyxyxnxylim對于向量對于向量X=X1，X2，XnT，將其元素間的，將其元素間的方差、協(xié)方差陣表示為：方差、協(xié)方差陣表示為：停止返回22122221112212121nnnnnnnxxxxxx矩陣表示為：矩陣表

18、示為：2212222111221nnnnnXXD方差協(xié)方差陣方差協(xié)方差陣)()(TXXXEXXEXED特點特點：I 對稱對稱 II 正定正定 III 各觀測量互不相關時，為對角矩陣。當各觀測量互不相關時，為對角矩陣。當 對角元對角元 相等時，為等精度觀測。相等時，為等精度觀測。2212222111221nnnnnXXD若：111)(rnrnYXZYYYXXYXXZZDDDDDTYXTXYDYEYXEXED)()(若若DXY=0，則，則X、Y表示為相互獨立的觀測量。表示為相互獨立的觀測量。已知：01 , 11 , 1211 ,.,KXKZDXXXXnnXXTnnTXXZZKKDD那么：停止返回證

19、明：證明：設：設：XnTnnXEXXXX,.,)(,.,21211 ,TXXXXXXED)(TZZZZZZED)(那么：那么：停止返回TXXTTXXTTXXTXXTZZZZKKDKXXKEKXXKEKKXKKXEZZED)()()()( 例1: 設 ，已知 ， 求 的方差 。21221132xxyxxyDXX3114Fyy12F2例2:若要在兩已知點間布設一條附和水準路線,已知每公里觀測中誤差等于5.0mm,欲使平差后線路中點高程中誤差不大于10mm,問該路線長度最多可達幾公里? 停止返回已知：,.,211 ,XXTnnDXXXX 0221120222212121012121111tntntt

20、tnnnnkXkXkXkZkXkXkXkZkXkXkXkZ1 ,01 ,1 ,tnnttKXKZTXXZZKKDD1 ,01 ,1 ,rnnrrFXFYTFZTXXZFDFKDD)(停止返回停止返回例3：在一個三角形中，同精度獨立觀測得到三個內角L1、L2、L3，其中誤差為，將閉合差平均分配后各角的協(xié)方差陣。例4：設有函數，1 ,11 ,11 ,rrtnnttYFXFZ已知XYYYXXDDD求ZYZXZZDDD四 、非線性函數的情況設有觀測值設有觀測值X的非線性函數：的非線性函數：),()(21nXXXfXfZ已知：XXTnnDXXXX,.,211 ,ZZD求：TnnXXXX,.,0001 ,

21、021停止返回將Z按臺勞級數在X0處展開：二次以上項）()()()()()()(),(00022020110100021nnnnXXXfXXXfXXXfXXXfZniinnniXXfXXfXXfXXfXXXfZ1000202101000)()()()(),(21),),(0020121nnXfXfXfkkkK（）（）（niiniXXfXXXfk1000000)(),(21001 ,21kKXkXkkkZnnTXXZZKKDD例例4、根據極坐標法測設、根據極坐標法測設P點的坐標，設已知點的坐標，設已知點無誤差，測角中誤差為點無誤差，測角中誤差為m ，邊長中誤差，邊長中誤差ms，試推導試推導P點的

22、點位中誤差。點的點位中誤差。ABPmssmump停止返回l根據實際情況確定觀測值與函數,寫出具體表達式l寫出觀測量的協(xié)方差陣l對函數進行線性化l協(xié)方差傳播停止返回a1b1a2b2abaNbN1（s)2(s)N(s)ABTP1TP2TPN-1協(xié)方差傳播在測量中的應用一、水準測量的精度停止返回作業(yè)1、在高級水準點A、（高程為真值）間布設水準路 線，如下圖，路線長分別為 ，設每公里觀測高差的中誤差為 ，試求： （1）將閉合差按距離分配之后的p1、p2點間高差的中誤差；（2）分配閉合差后P1點的高程中誤差。kmSkmSkmS2,3,4321mmm0 . 11AP1P2B作業(yè)2、在相同條件下，觀測兩個角

23、度A=150000，B=750000，設對A觀測4個測回的測角精度（中誤差）為3，問觀測9個測回的精度為多少？停止返回第七節(jié) 權與定權的常用方法一、權的定義22002:,),.,2 , 1(iiiipniL，則定義如選定任一常數它們的方差為設稱為觀測值Li的權。權與方差成反比。2222122022202120211:1:1:nnnppp生變化。而變化，但權比不會發(fā)權的大小隨一20)(，即對應一組權。選定了二20)(（三）權是衡量精度的相對指標，為了使權起到比較精度的作用，一個問題只選一個0。（四）只要事先給定一定的條件，就可以定權。二、單位權中誤差測值。的觀測值稱為單位權觀等于稱為單位權中誤差

24、，權10三、常用的定權方法三、常用的定權方法1、水準測量的權、水準測量的權iiscp iiNcp 或2、邊角定權、邊角定權停止返回221iissPP2622)10(issbai第八節(jié) 協(xié)因數與協(xié)因數傳播律一、協(xié)因數與協(xié)因數陣2020220222111:,jiiijjjjjiiiiijjijipQpQpQLL令協(xié)方差為它們的方差為設的協(xié)因數。為iiiLQ的協(xié)因數。為jjjLQ或相關權倒數。的協(xié)因數關于為jiijLLQijjijjjiiiQQQ20202202變換形式為：nnnnnnnnnnnXXQQQQQQQQQD212222111211202212222111221不難得出：QXX為協(xié)因數陣X

25、XXXQD20特點特點：I 對稱，對角元素為權倒數對稱，對角元素為權倒數 II 正定正定 III 各觀測量互不相關時，為對角矩陣。當各觀測量互不相關時，為對角矩陣。當 為等精度觀測，單位陣。為等精度觀測，單位陣。nnnnnnXXQQQQQQQQQQ212222111211二、權二、權陣陣EQPQPLLLLLLLL1第一節(jié) 測量平差概述第二節(jié) 測量平差的數學模型第三節(jié) 參數估計與最小二乘原理停止返回一、必要觀測、多余觀測確定平面三角形的形狀觀測三個內角的任意兩個即可,稱其必要元素個數為2，必要元素有 種選擇確定平面三角形的形狀與大小s1s3s26個元素中必須有選擇地觀測三個內角與三條邊的三個元素

26、，因此，其必要元素個數為3。任意2個角度+1個邊、2個邊+1個角度、三個邊。停止返回23C3323131323CCCCC必須有選擇地觀測6個高差中的3個，其必要元素個數為3。h1、h5、h6或h1、h2、h3或h1、h2、h4等確定如圖四點的相對高度關系ADCBh1h6h5h2h4h3必要觀測: 能夠唯一確定一個幾何模型所必要的觀測 一般用t表示。停止返回特點: 給定幾何模型，必要觀測及類型即定，與觀測無關。 必要觀測之間沒有任何函數關系，即相互獨立。 確定幾何模型最大獨立觀測個數多余觀測: 觀測值的個數n與必要觀測個數t之差 一般用r表示，r=n-t。確定幾何模型最大獨立觀測個數為t, 那么

27、再多進行一個觀測就相關了，即形成函數關系，也稱為觀測多余了。觀測值: 為了確定幾何模型中各元素的大小進行的實際 觀測，稱為觀測值，觀測值的個數一般用n表示。nt,，可以確定模型，還可以發(fā)現粗差。二、測量平差必要觀測可以唯一確定模型，其相互獨立?？梢娙粲卸嘤嘤^測必然可用這t個元素表示，即形成r個條件。123tnrtn180ADCBh1h6h5h2h4h3336tnrtn0621hhh0432hhh0546hhh停止返回實際上：1800621hhh0432hhh0546hhh180第二節(jié) 測量平差的數學模型一、條件平差法條件平差法0WA以條件方程為函數模型的平差方法，稱為條件平差法。即為條件平差的

28、函數模型。 條件平差的自由度即為多余觀測數r，即條件方程個數。二、間接平差法間接平差法 選擇幾何模型中t個獨立變量為平差參數，每一個觀測量表達成所選參數的函數，即列出n個這種函數關系式，以此為平差的函數模型，成為間接平差法。lBx 停止返回)(1 ,1 ,nrLFF )(1 ,1 ,tnXFL 三、三、 附有參數的條件平差法附有參數的條件平差法 設在平差問題中，觀測值個數為n，t為必要觀測數，則可列出r=n-t個條件方程，現有增設了u個獨立量作為參數，而0ut個參數，其中包含t個獨立參數，則多選的s=u-t個參數必是t個獨立參數的函數，亦即在u個參數之間存在著s個函數關系，它們是用來約束參數之

29、間應滿足的關系。在選定ut個參數進行平差時，除了建立n個觀測方程外，還要增加s個約束參數方程，故稱此平差方法為附有限制件的間接平差法。lBx 0 xWCx停止返回)(1 ,1 ,unXFL 0)(1 ,1 ,usX五、五、 平差的隨機模型平差的隨機模型數學模型數學模型停止返回函數模型函數模型隨機模型：隨機模型：12020PQD第三節(jié) 函數模型的線性化條件方程的綜合形式為：條件方程的綜合形式為：),(1 ,1 ,1 ,uncXLFF 為了線性化，取X的近似值：0X取 的初值： LLxXX0LL將F按臺勞級數在X0，L處展開，并略去二次以及以上項：停止返回xXFLFXLFxXLFFXLXL00,0

30、),(),(0,212221212111,XLnnnnnncLFLFLFLFLFLFnLFLFLFLFA0,212221212111,XLunnnuuucXFXFXFXFXFXFXFXFXFXFBBxAXLFxXLFF),(),(0一、條件平差法條件平差法0WA)(LFW 二、間接平差法間接平差法lBx BxXFLL)(0LXFl)(0三、三、 附有參數的條件平差法附有參數的條件平差法0WBxA四、四、 附有限制條件的間接平差法附有限制條件的間接平差法lBx 0 xWCx)(1 ,1 ,unXFL 0)(1 ,1 ,usX第四節(jié) 參數估計與最小二乘原理 為了求得唯一解，對最終估計值應該提出某種

31、要求，考慮平差所處理的是隨機觀測值，這種要求自然要從數理統(tǒng)計觀點去尋求，即參數估計要具有最優(yōu)的統(tǒng)計性質，從而可對平差數學模型附加某種約束，實現滿足最優(yōu)性質的參數唯一解。 一、一、 參數估計及其最優(yōu)性質參數估計及其最優(yōu)性質對于上節(jié)提出的四種平差方法都存在多解的情況。以條件平差為例：0WA條件的個數r=n-t n，即方程的個數少，求解的參數多，方程多解。其它模型同。數理統(tǒng)計中所述的估計量最優(yōu)性質，主要是估計量應具有無偏性、一致性和有效性的要求?？梢宰C明，這種估計為最小二乘估計。停止返回例：勻速運動的質點在時刻的位置y表示為：y0y0y實際上：則：得測定其位置，在與為了求, , 2121nnyyy)

32、2, 1( ,niyii寫成矩陣：寫成矩陣：nnnXByyyY212121,111,YXB間接平差函數模型間接平差函數模型oyiiyiivmin)(22iiiyvynvvvV21令：min)()(YXBYXBVVTT則：二、二、 最小二乘原理最小二乘原理按照最小二乘原理的要求，應使各個觀測點觀測值偏差的平方和達到最小。測量中的觀測值是服從正態(tài)分布的隨機變量，最小二乘原理可用數理統(tǒng)計中的最大似然估計來解釋，兩種估計準則的估值相同。 設觀測向量為L，L為n維隨機正態(tài)向量，其數學期望與方差分別為：nLLE21)(22112222111221nnnnLLDD停止返回)()(exp)2(11212/12

33、/LTLnLDLDG其似然函數為：以間接平差法為例，顧及間接平差的模型與E（）=0得：)()(exp)2(11212/12/XBLDXBLDGTn按最大似然估計的要求，應選取能使lnG取得極大值時的 作為X的估計量。X)()(21)2ln(ln12/12/XBLDXBLDGTn停止返回由于上式右邊的第二項前是負號，所以只有當該項取得極小值時，lnG才能取得極大值，換言之， 的估計量應滿足如下條件：X最小)()(1XBLDXBLT為常數，則：，由于2012020PQDDLL最小)()(XBLPXBLT有：的估值，則是設,LXBVV最小PVVT即最小二乘原則。停止返回第 四 章 條件 平 差第一節(jié)

34、 條件平差原理第二節(jié) 條件方程第三節(jié) 精度評定第四節(jié) 水準網平差示例停止返回第一節(jié) 條件平差原理一、基礎方程和它的解011rnnrWVA最小PVVT按求函數極值的拉格朗日乘數法，構造新的函數：min)(2WVAKPVVTTTrbarkkkK1停止返回)(LFW 0WA12020PQD數學模型求其一階偏導數，并令其為0：KQAKAPVKAPVAKPVdVdTTTTT1022011rnnrTWVAKQAVWNWAQAKWKAQAaaTrrrT111)(0)(上式也稱為法方程式停止返回二、條件平差的計算步驟停止返回1. 根據平差問題的具體情況，列出條件方程式，條件方程的個數等于多余觀測數r。 2.

35、根據條件式的系數，閉合差及觀測值的權組成法方程式，法方程的個數等于多余觀測數r。 3. 解算法方程，求出聯(lián)系數K值。 4. 將K值代入改正數方程式，求出V值，并求出平差值5. 為了檢查平差計算的正確性，常用平差值 重新列出平差值條件方程式，看其是否滿足方程。 VLLL1L3L2L平差值。按條件平差求三內角的觀測，得：對圖中三個內角進行例,048359,909078,0221421121 oooLLL的距離如下：高差觀測值與水準路線高差點的高程，觀測了四段為了確定為：為已知水準點，其高成：圖中例DCmHmHBABA,013.10,013.12,2BADh1h4h2h3CBADh1h4h2h3C點

36、高程的平差值。和求DCkmSmhkmSmhkmSmhkmSmh5 . 1,520. 1,2,512. 21,516. 1,2,004. 114332211程的平差值。采用條件平差求各點高，高差與測站數如圖示，點水準路線上有三個固定點的高成為線，已知作業(yè)：一條閉合水準路321,330.16mAh1=+1.596mn1=3h2=-0.231mn2=4h3=+4.256mn3=12h4=-5.642mn4=6123第二節(jié) 條件方程一、水準網tnrCqpqpt多余的獨立起算數據網點數1列條件的原則：1、閉合水準路線2、附合水準路線包含的線路數最少為原則停止返回h1h7h5h6h3h4h2h8AODCB

37、BAFGEDCh1h6h7h2h5h4h34373317tnrCt06520)(4570)(7610)(321hhhHHhhhHHhhhHHhhhBDABAC448415tnrCt0584042306310756hhhhhhhhhhhh停止返回二、測角網tnrCqpqpt多余的獨立起算數據網點數424個必要的起算數據為：一個已知點（2個坐標）一個方位（1個）一個尺度（1個兩已知點（4個坐標）停止返回列條件的原則：將復雜圖形分解成典型圖形。條件類型：圖形條件、圓周條件 、極條件、固定方位條件、固定邊長條件、固定坐標條件三角形大地四邊形中心多邊形扇形停止返回123243*2rt448444*2rt

38、2810181047*2krt15611645*2krtAFEDCBG16543211109872220211918171615141312S、T第三節(jié) 精度評定一、計算單位權中誤差rPVVT0二、協(xié)因數陣 停止返回第四節(jié) 水準網平差示例例：如圖，A、B是已知的高程點，P1、P2、P3是待定點。已知數據與觀測數據列于下表。按條件平差求各點的高稱平差值。路線號觀測高差（m）路線長度（km）已知高程（m)1+1.3591.1HA=5.016HB=6.0162+2.0091.73+0.3632.34+1.0122.75+0.6572.46+0.2381.47-0.5952.5h2Ah1h3h4h5h

39、6h7P1P2P3B停止返回解：1、列條件方程4373115tnrCt042076305430521hhhhhhhhhhh0342067630854307521vvvvvvvvvvv停止返回0001010110010000111000010011A3687W2、定權取C=1，則：6 . 24 . 14 . 27 . 23 . 27 . 11 . 11PQ3、形成法方程0368743211 . 407 . 27 . 103 . 63 . 207 . 23 . 24 . 74 . 27 . 104 . 22 . 5kkkk停止返回4、解算法方程TTK4568.14414.04028.12226.0

40、5、計算改正數)(2 .16 .09 .31 .02 .49 .22 .0mmVT6、計算平差值)(5962.02374.06531.00119.13588.00119.23588.1mLT7、計算高程平差值mLHHAP3748.311mLHHAP0279.722mLHHBP6121.673停止返回作業(yè)1：線號高差（m）路線長度（km）點號高程（m）11.1004A5.00022.3982B3.95330.2004C7.65041.0002 53.4042 63.4524 AoooBC123456P1P2P3如圖所示的水準網，A、B、C已知水準點，P1、P3、P3為待定點，已知水準點的高程、各

41、水準路線的長度及觀測高差列入下表 試用條件平差法求P1、P3、P3點高程的平差值 。第一節(jié) 間接平差原理第二節(jié) 誤差方程第三節(jié) 精度評定第四節(jié) 平差示例第 五 章 停止返回第一節(jié) 間接平差原理一、基礎方程和它的解lBxV最小PVVT按函數極值的求法，極值函數：min)()(lBxPlBxPVVTT求其一階偏導數，并令其為0：002PVBPBVTT停止返回0)(PlBxPBBTT代入誤差方程：即為法方程式PlBPBBxTT1)(停止返回二、間接平差法平差步驟1、選擇t個獨立的未知參數2、將每個觀測值表示成未知參數的函數，形成誤差方程。3、形成法方程4、求解法方程5、計算改正數6、精度評定一、確定

42、待定參數的個數一、確定待定參數的個數水準網qpt1測角網qpt42測邊網邊角網qpt32第二節(jié) 誤差方程停止返回GPS網33 Pt采用GPS尺度與方位73 Pt不采用GPS尺度與方位二、參數的選取二、參數的選取高程控制網：待定點的高程平面控制網：待定點的二維坐標三維控制網：待定點的三維坐標停止返回三、誤差方程的組成三、誤差方程的組成1、水準路線的誤差方程、水準路線的誤差方程ijXiXjhij)(00ijijijijXXhxxV當i點已知時：)(0ijijjijXXhxV當j點已知時：)(0ijijiijXXhxV停止返回2、方向的誤差方程N零方向jkljkLjlLjXjYkXkYjZjZ定向角

43、未知數jXjYkXkY設j、k的坐標為未知參數：即：零方向的方位角jk的方位角為：)(jkjkjkjjkXXYYarctgLZ停止返回)(jjjkjkjkZfZXXYYarctgL為非線性函數，要進行線性化。對上式在初始近似值0jX0jY0kX0kY處進行Taylor級數展開，略去二次以及二次以上項：00000)(jZXXYYarctgxYfxXfyYfxXfzVLjkjkkkkkjjjjjjkjk停止返回22)(1)() 1)(jkjkjkjkjXXYYXXYYXf22)()()(jkjkjkYYXXYYjkjkjkjkSSYsin2停止返回22)(1)()(jkjkjkjkkXXYYXXY

44、YXf22)()()(jkjkjkYYXXYYjkjkjkjkSSYsin2停止返回2)(1)(1jkjkjkjXXYYXXYf22)()()(jkjkjkYYXXXXjkjkjkjkSSXcos2停止返回2)(1)(1jkjkjkkXXYYXXYf22)()()(jkjkjkYYXXXXjkjkjkjkSSXcos2停止返回00000)(000000jZXXYYarctgxYfxXfyYfxXfzVLjkjkkYXkkYXkjYXjjjjjkjk0000000000000)(cossincossinjjkjkjkjkZXXYYarctgxSxSySxSzVLjkjkkjkkjkjjkjjkj

45、jkjk0000000000000)(cossincossinjjkjkjkjkZXXYYarctgLxSxSySxSzVjkjkjkkjkkjkjjkjjkjjk停止返回當j點已知時：000000000)(cossinjjkjkZXXYYarctgLxSxSzVjkjkjkkjkkjkjjk停止返回000000000)(cossinjjkjkZXXYYarctgLySxSzVjkjkjkjjkjjkjjk當k點已知時：停止返回2、距離的誤差方程jkjkSjXjYkXkYjXjYkXkY設j、k的坐標為未知參數：jk的距離為：22)()(jkjkjkYYXXS停止返回為非線性函數，要進行線性化

46、。對上式在初始近似值0jX0jY0kX0kY處進行Taylor級數展開，略去二次以及二次以上項：200200)()(jkjkkkkkjjjjjkjkYYXXxYfxXfyYfxXfVS停止返回jkjkjkjkjkjSXYYXXXXXfcos)()(2)(222停止返回jkjkjkjkjkjSYYYXXYYYfsin)()(2)(222jkjkjkjkjkkSXYYXXXXXfcos)()(2)(222停止返回jkjkjkjkjkkSYYYXXYYYfsin)()(2)(222200200)()(00000000jkjkkYXkkYXkjYXjjYXjjkjkYYXXxYfxXfyYfxXfVS

47、停止返回2002000000)()(sincossincosjkjkkkjjjkjkYYXXyxyxVSjkjkjkjkjkjkjkkkjjjkSYYXXyxyxVjkjkjkjk2002000000)()(sincossincos當j點已知時：停止返回jkjkjkkkjkSYYXXyxVjkjk20020000)()(sincos當k點已知時：jkjkjkjjjkSYYXXyxVjkjk20020000)()(sincos第三節(jié) 精度評定rPVVT0二、協(xié)因數陣一、計算單位權中誤差1111)()()()(PBBPBBPQPBBPBBQPlBPBBxTTTTxxTT停止返回測角網間接平差算例：

48、ABDC123456789121110131415161718P2P1設有一測角三角網，A、B、C、D為已知點，P1、P2為待定點，同精度觀測了18個角度，按間接平差求平差后P1、P2點的坐標及精度。已知數據見下表。第四節(jié) 平差示例停止返回點名坐標（m）邊長方位角X（m)Y（m)A9684.2843836.82B10649.5531996.5011879.602743938.4C19063.6637818.8610232.16344056.3D17814.6349923.1912168.60955329.1A10156.112164906.5角度編號觀測值角度編號觀測值角度編號觀測值11261

49、424.17220243.013463856.42233946.981300314.214663454.73300546.79275359.315664608.241172246.210655500.816295835.55312650.011670249.4171200831.16311022.612470211.418295255.4停止返回解：n=18, t=2*6-4-4=4, r=18-4=14設P1、P2點的坐標作為未知參數X1、Y1、X2、Y2，根據前方交會可以求出P1、P2的近似坐標：mYmXmYmX97.3733461.1318897.3733461.131880202010

50、1根據角度的誤差方程：00000000000000000cossincossin)coscos()sinsin(jikjikijiijikjkkjkjjijkjjijkjikLLySxSxSxSySSxSSVjijijkjkjijkjijk停止返回1.37.106.92.135.80.43.39.22.19.15.81.36.25.09.01.36.02.0221100.000.050.115.300.000.099.444.300.000.049.329.030.145.249.329.089.060.260.233.219.217.089.062.289.062.221.216.047.3

51、33.032.146.258.229.289.062.230.120.300.000.000.065.500.000.030.145.200.000.030.120.300.000.047.333.000.000.077.453.300.000.000.000.050.115.300.000.032.146.200.000.018.016.5181716151413121110987654321yxyxVVVVVVVVVVVVVVVVVVVBxl停止返回定權，P為單位陣，形成法方程為：07.3011.12081.17852.43221163.6621.2042.896.621.2009.969

52、5.645.1142.895.651.7011.2296.645.1111.2261.94yxyx5348.02069.13208.21030.007.3011.12081.17852.430169.00041.00023.00025.00041.00117.00024.00023.00032.00024.00161.00044.00025.00023.00044.00121.007.3011.12081.17852.4363.6621.2042.896.621.2009.9695.645.1142.895.651.7011.2296.645.1111.2261.9422111yxyx98.4

53、439049.1557820.3733560.1318810/5348.02069.13208.21030.003.4439161.1557897.3733461.131882211YXYX停止返回精度評定：3 . 11428.220rPVVTdmx14. 00121. 03 . 11dmy16. 00161. 03 . 11dmx14. 00117. 03 . 12dmy17. 00169. 03 . 12dmp21. 016. 014. 0221dmp22. 017. 014. 0222停止返回例：如圖，A、B是已知的高程點，P1、P2、P3是待定點。已知數據與觀測數據列于下表。按間接平差

54、求各點的高程平差值。路線號觀測高差（m）路線長度（km）已知高程（m)1+1.3591.1HA=5.016HB=6.0162+2.0091.73+0.3632.34+1.0122.75+0.6572.46+0.2381.47-0.5952.5h2Ah1h3h4h5h6h7P1P2P3B解：1、列誤差方程n=7, t=5-1-1=3, r=7-3=4703202101hHXhHXhHXBAA設P1、P2點的高程為未知參數21XX求相應的近似值列誤差方程：022xv011xv8316xxv7215xxv037xv413xv324xvh2Ah1h3h4h5h6h7P1P2P3B寫成矩陣的形式：027

55、34001001010110100010100013217654321xxxvvvvvvv定權，取C=138.071.042.037.043.059.091.042.105.459.009.1071.0038.142.071.042.047.2321xxx100.1860.2258.01432.11055.03465.01055.07739.01619.03465.01619.05320.0321xxx6121. 60279. 73748. 6321XXX1 .16 .09 .31 .03 .49 .23 .07654321vvvvvvvmmrPVVT2 . 2475.190mmmmmmXXX

56、35. 21432. 19 . 17739. 06 . 15320. 0000321例：線號高差（m）路線長度（km）點號高程（m）11.6524.5A34.7882-0.4183.1B35.25930.7143.4C37.82541.2433.8 5-0.5774.2 6-0.7862.5 BoooAC165423P1P2P3如圖所示的水準網，A、B、C已知水準點，P1、P3、P3為待定點，已知水準點的高程、各水準路線的長度及觀測高差列入下表 試用間接平差法求P1、P3、P3點高程的平差值估算精度 。解：1、列誤差方程n=6, t=6-1-2=3, r=6-3=3設P1、P2、P3點的高程為

57、未知參數321XXX求相應的近似值列誤差方程：BoooAC165423P1P2P3440.36652.1788.34101hHXA973.35714.0259.35302hHXB248.37577.0825.37503hHXC220320490101100110010011001321654321xxxvvvvvv定權，取C=1012.1700.2488.689.026.040.026.087.032.040.032.094.0321xxxwxNPlBxPBBTT220320490101100110010011001321654321xxxvvvvvv40. 000. 023. 000. 00

58、0. 026. 000. 000. 000. 029. 000. 000. 000. 000. 032. 000. 000. 000. 000. 000. 022. 0稱對PmmWNxxx1.176.199.712.1700.2488.69472.10136.11736.10136.18416.10582.11736.10582.19235.11321mxxxXXXXXX2309.376626.354321.360171. 00196. 00079. 0248.37973.35440.36321000132132mmvvvvvv8 .121 .177 .46 .195 .219 .765432

59、1mmrPVVT67. 4354.650mmmmmmXXX51. 69472. 134. 68416. 148. 69235. 1000321mhhhhhh7988.05941.02383.17336.04395.06441.11000/8 .121 .177 .46 .195 .219 .7786.0577.0243.1714.0418.0652.1654321第一節(jié) 基礎方程和它的解第二節(jié) 精度評定第 六 章 附有參數的條件平差停止返回 一、測量平差方法回顧（1）條件平差法條件平差法011cnncWVA觀測數為觀測數為n，必要觀測數為，必要觀測數為t，多余觀測數，多余觀測數r=n-t，條件

60、方程個數條件方程個數c。停止返回KQAVTWAQAKWKAQATT1)(0在最小二乘原則下有：在最小二乘原則下有：rPVVT20VLL（2）間接平差法間接平差法111nttnnlxBV觀測數為觀測數為n，必要觀測數為，必要觀測數為t，多余觀測數，多余觀測數r=n-t，設設t個相互獨立的未知參數，則條件個數個相互獨立的未知參數，則條件個數c=n+t-t=n,即即n個誤差方程：個誤差方程：在最小二乘原則下有：在最小二乘原則下有：rPVVT200)(PlBxPBBTTPlBPBBxTT1)(1)(PBBQTxx（3） 附有參數的條件平差法附有參數的條件平差法 設在平差問題中，觀測值個數為n，t為必要