2021版高中數(shù)學(xué)課時(shí)分層作業(yè)二十七指數(shù)型對(duì)數(shù)型函數(shù)模型的應(yīng)用舉例含解析新人教A版必修1

1、課時(shí)分層作業(yè)二十七指數(shù)型、對(duì)數(shù)型函數(shù)模型的應(yīng)用舉例(20分鐘40分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1.汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的路程，如圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況.下列敘述中正確的是()a.消耗1升汽油，乙車最多可行駛5 kmb.以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多c.甲車以80 km/h的速度行駛1小時(shí)，消耗10升汽油d.某城市機(jī)動(dòng)車最高限速80 km/h.相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油【解析】選d.對(duì)于a選項(xiàng)：由題圖可知，當(dāng)乙車速度大于40 km/h時(shí)，乙車每消耗1升汽油，行駛里程都超過5 km，則a錯(cuò)；對(duì)于b選項(xiàng)：由

2、題意可知，以相同速度行駛相同路程，燃油效率越高，耗油越少，故三輛車中甲車耗油最少，則b錯(cuò)；對(duì)于c選項(xiàng)：甲車以80 km/h的速度行駛時(shí)，燃油效率為10 km/l，則行駛1小時(shí)，消耗了汽油80×1÷10=8(升)，則c錯(cuò)；對(duì)于d選項(xiàng)：當(dāng)行駛速度小于80 km/h時(shí)，在相同條件下，丙車的燃油效率高于乙車，則在該市用丙車比用乙車更省油，則d對(duì).2.我們定義函數(shù)y=x(x表示不大于x的最大整數(shù))為“下整函數(shù)”；定義y=x(x表示不小于x的最小整數(shù))為“上整函數(shù)”；例如4.3=4，5=5；4.3=5，5=5.某停車場(chǎng)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為每小時(shí)2元，即不超過1小時(shí)(包括1小時(shí))收費(fèi)2元，超過一小

3、時(shí)，不超過2小時(shí)(包括2小時(shí))收費(fèi)4元，以此類推.若李剛停車時(shí)間為x小時(shí)，則李剛應(yīng)付費(fèi)為 () (單位：元)a.2x+1b.2(x+1)c.2xd.2x【解析】選c.如x=1時(shí)，應(yīng)付費(fèi)2元，此時(shí)2x+1=4，2(x+1)=4，排除a，b；當(dāng)x=0.5時(shí)，付費(fèi)為2元，此時(shí)2x=1，排除d.3.溫度對(duì)反應(yīng)速率的影響可以用阿累尼烏斯公式：lgk2k1=e(t2-t1)2.303rt1t2表示，其中k1，k2分別為溫度t1，t2時(shí)的某反應(yīng)的速率常數(shù)，e為反應(yīng)的活化能(單位：kj/mol)，r為摩爾氣體常數(shù)，r=8.314 j/(mol·k)(假定活化能在溫度變化范圍不大時(shí)是常數(shù)).又已知同一

4、反應(yīng)在不同溫度下反應(yīng)速率常數(shù)與反應(yīng)時(shí)間的關(guān)系如下：k1k2=t2t1，若現(xiàn)在溫度為300k，鮮牛奶5小時(shí)后變酸，但是在275k的冰箱里可以保存50小時(shí)，則牛奶變酸反應(yīng)的活化能為_kj/mol(精確到0.01).() a.63.19b.7.60c.-69.19d.-7.60【解析】選a.因?yàn)閗1k2=t2t1，所以k1k2=505=10，所以代入阿累尼烏斯公式得lg110=e(275-300)2.303×8.314×300×275，所以e=2.303×8.314×300×2752563.19 kj/mol.4.某高校為提升科研

5、能力，計(jì)劃逐年加大科研經(jīng)費(fèi)投入.若該高校2017年全年投入科研經(jīng)費(fèi)1 300萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的科研經(jīng)費(fèi)比上一年增長(zhǎng)12%，則該高校全年投入的科研經(jīng)費(fèi)開始超過2 000萬元的年份是(參考數(shù)據(jù)：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)()a.2020年b.2021年c.2022年d.2023年【解析】選b.若2018年是第一年，則第n年科研經(jīng)費(fèi)為1 300×1.12n，由1 300×1.12n>2 000，可得lg 1.3+nlg 1.12>lg 2，得n×0.05>0.19，n>3.8，n4，即到2021年科

6、研經(jīng)費(fèi)超過2 000萬元.【補(bǔ)償訓(xùn)練】 (2019·重慶市第一中學(xué)高一檢測(cè))在數(shù)學(xué)史上，一般認(rèn)為對(duì)數(shù)的發(fā)明者是蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾.在納皮爾所處的年代，哥白尼的“太陽中心說”剛剛開始流行，這導(dǎo)致天文學(xué)成為當(dāng)時(shí)的熱門學(xué)科.可是由于當(dāng)時(shí)常量數(shù)學(xué)的局限性，天文學(xué)家們不得不花費(fèi)很大的精力去計(jì)算那些繁雜的“天文數(shù)學(xué)”，因此浪費(fèi)了若干年甚至畢生的寶貴時(shí)間.納皮爾也是當(dāng)時(shí)的一位天文愛好者，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，他多年潛心研究大數(shù)字的計(jì)算技術(shù)，終于獨(dú)立發(fā)明了對(duì)數(shù).在那個(gè)時(shí)代，計(jì)算多位數(shù)之間的乘積，還是十分復(fù)雜的運(yùn)算，因此納皮爾首先發(fā)明了一種計(jì)算特殊多位數(shù)之間乘積的方法.讓我們來看看下面這個(gè)例子：這兩行數(shù)字之間

7、的關(guān)系是極為明確的：第一行表示2的指數(shù)，第二行表示2的對(duì)應(yīng)冪.如果我們要計(jì)算第二行中兩個(gè)數(shù)的乘積，可以通過第一行對(duì)應(yīng)數(shù)字的和來實(shí)現(xiàn).比如，計(jì)算64×256的值，就可以先查第一行的對(duì)應(yīng)數(shù)字：64對(duì)應(yīng)6，256對(duì)應(yīng)8，然后再把第一行中的對(duì)應(yīng)數(shù)字加起來：6+8=14；第一行中的14，對(duì)應(yīng)第二行中的16384，所以有：64×256=16 384.按照這樣的方法計(jì)算：16 384×32 768=()a.134 217 728b.268 435 356c.536 870 912d.513 765 802【解析】選c.根據(jù)已知的規(guī)律，16 384對(duì)應(yīng)第一行中的14，32 768

8、對(duì)應(yīng)第一行中的15，計(jì)算14+15=29，在第一行找到29，對(duì)應(yīng)的第二行中的數(shù)是536 870 912，所以c是正確的.二、填空題(每小題5分，共10分)5.假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報(bào)如下：方案一：每天回報(bào)40元；方案二：第一天回報(bào)10元，以后每天的回報(bào)比前一天多10元；方案三：第一天回報(bào)0.4元，以后每天的回報(bào)是前一天的兩倍.若投資的時(shí)間為10天，為使投資的回報(bào)最多，你會(huì)選擇的方案為_. 【解析】方案一：投資10天的回報(bào)為40×10=400元；方案二：投資10天的回報(bào)為10+20+30+40+90+100=550元；方案三：投資1

9、0天的回報(bào)為0.4+0.4×2+0.4×22+0.4×29=0.4(1+2+22+29)=409.2元.所以投資回報(bào)最多的為方案二.答案：方案二6.某商品價(jià)格y(單位：元)因上架時(shí)間x(單位：天)的不同而不同，假定商品的價(jià)格與上架時(shí)間的函數(shù)關(guān)系是一種指數(shù)型函數(shù)，即y=k·ax(a>0且a1)，xn*.當(dāng)商品上架第1天的價(jià)格為96元，而上架第3天的價(jià)格為54元，則該商品上架第4天的價(jià)格為_元. 【解析】由題意可得方程組：k×a1=96,k×a3=54,結(jié)合a>0且a1可得 a=34,k=128,即 y=128

10、15;34x，則該商品上架第4天的價(jià)格為128×344=812=40.5，即該商品上架第4天的價(jià)格為40.5或812元.答案：40.5或812三、解答題7.(10分)醫(yī)學(xué)上，為了研究某種傳染病傳播過程中病毒的發(fā)展規(guī)律及其預(yù)防，將病毒注入一只小白鼠體內(nèi)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，經(jīng)檢測(cè)，病毒在小白鼠體內(nèi)的總個(gè)數(shù)與天數(shù)的關(guān)系如表：天數(shù)1234567病毒總個(gè)數(shù)1248163264已知該種病毒在小白鼠體內(nèi)的個(gè)數(shù)超過108的時(shí)候，小白鼠就會(huì)死亡.但是注射某種藥物，可以殺死此時(shí)小白鼠體內(nèi)98%的病毒.(1)為了使小白鼠在實(shí)驗(yàn)過程中不死亡，第一次最遲應(yīng)該在何時(shí)注射該種藥物？(2)第二次最遲應(yīng)該在何時(shí)注射該種藥物，才

11、能維持小白鼠的生命？(精確到天，參考數(shù)據(jù)：lg 20.301 0，lg 30.477 1)【解析】(1)由題意可得病毒總個(gè)數(shù)y與天數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式為y=2x-1，xn*，由2x-1108，兩邊取對(duì)數(shù)得(x-1)lg 28，所以x1+8lg21+80.301 027.58，所以第一次最遲應(yīng)該在第27天注射該種藥物.(2)由(1)知第一次最遲應(yīng)該在第27天注射該種藥物，小白鼠體內(nèi)的病毒總個(gè)數(shù)為226(1-98%)=226×2%.再經(jīng)過x天后，小白鼠體內(nèi)的病毒總個(gè)數(shù)變?yōu)?26×2%×2x，由226×2%×2x108，兩邊取對(duì)數(shù)得26lg 2+lg 2

12、-2+xlg 28，所以x10lg2-276.2，所以第二次最遲應(yīng)該再經(jīng)過6天即第33天注射該種藥物，才能維持小白鼠的生命.(45分鐘75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1.已知桶1與桶2通過水管相連如圖所示，開始時(shí)桶1中有a l水，t min后剩余的水符合指數(shù)衰減函數(shù)y1=ae-n t，那么桶2中的水就是y2=a-ae-n t，假定5 min后，桶1中的水與桶2中的水相等，則桶1中的水只有a4 l需要再過()a.5 minb.4 minc.3 mind.2 min【解析】選a.由題意得ae-5n=a-a·e-5n，即e-5n=12.設(shè)再過t min后桶1中的水有a4 l，則a

13、e-n(t+5)=a4，e-n(t+5)=14.將式平方得e-10n=14.比較、得-n(t+5)=-10n，所以t=5.即再過5 min后桶1中的水只有a4l.2.某校生物小組在器皿中培養(yǎng)果蠅，若果蠅的數(shù)量y(只)與時(shí)間t(天)的函數(shù)關(guān)系為y=2301+56.5e-0.37t，若果蠅的數(shù)量為180只，則需要的時(shí)間是_天(精確到個(gè)位).() a.10b.14c.15d.20(參考數(shù)據(jù)：23181.277 8，0.277 856.50.004 9，ln 0.004 9-5.318 5)【解析】選c.由題意得2301+56.5e-0.37t=180，所以1+56.5e-0.37t=1.2

14、77 8，e-0.37t=0.004 9，-0.37t=ln 0.004 9，t15.3.某產(chǎn)品的總成本y(萬元)與產(chǎn)量x(臺(tái))之間的函數(shù)關(guān)系式為y=0.3×2x-2+10(0<x<10， xn*)，若每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià)為6萬元，則當(dāng)產(chǎn)量為8臺(tái)時(shí)，生產(chǎn)者可獲得的利潤(rùn)為()a.18.8萬元b.19.8萬元c.20.8萬元d.29.2萬元【解析】選a.因?yàn)榭偝杀緔(萬元)與產(chǎn)量x(臺(tái))之間的函數(shù)關(guān)系式為y=0.3×2x-2+10(0<x<10， xn*)，且產(chǎn)量為8臺(tái)，所以總成本為y=0.3×28-2+10=29.2(萬元).因?yàn)槊颗_(tái)產(chǎn)品的售價(jià)為6

15、萬元，所以當(dāng)產(chǎn)量為8臺(tái)時(shí)，生產(chǎn)者可獲得的利潤(rùn)為6×8-29.2=48-29.2=18.8(萬元).4.若鐳經(jīng)過100年后剩留原來質(zhì)量的95.76%，設(shè)質(zhì)量為1的鐳經(jīng)過x年后剩留量為y，則x，y的函數(shù)關(guān)系是()a.y=0.957 6x100b.y=(0.957 6)100xc.y=0.957 6100xd.y=1-0.042 4x100【解析】選a.設(shè)鐳一年放射掉其質(zhì)量的t%，則有95.76%=1·(1-t%)100，1-t%=0.957 61100 ，所以y=(1-t%)x=0.957 6x100.【拓展延伸】解決函數(shù)模型應(yīng)用題應(yīng)注意的幾點(diǎn)(1)讀懂實(shí)際背景，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化

16、為函數(shù)模型.(2)對(duì)涉及的相關(guān)公式，記憶要準(zhǔn)確.(3)在求解的過程中計(jì)算要正確.另外需要熟練掌握求解方程、不等式、函數(shù)最值的方法，才能快速、正確地求解.5.在標(biāo)準(zhǔn)溫度和大氣壓下，人體血液中氫離子的物質(zhì)的量的濃度(單位mol/l，記作h+)和氫氧根離子的物質(zhì)的量的濃度(單位mol/l，記作oh-)的乘積等于常數(shù)10-14.已知ph的定義為ph=-lgh+，健康人體血液的ph保持在7.357.45之間，那么健康人體血液中的h+oh-可以為(參考數(shù)據(jù)：lg 20.30，lg 30.48)()a.12b.13c.16d.110【解析】選c.因?yàn)閔+·oh-=10-14，所以h+oh-=h+2

17、×1014，因?yàn)?.35<-lgh+<7.45，所以10-7.45<h+<10-7.35，所以10-0.9<h+oh-=1014·h+2<10-0.7，10-0.9=1100.9>110， lg100.7=0.7>lg 3>lg 2，所以100.7>3>2，10-0.7<13<12，所以110<h+oh-<13.二、填空題(每小題5分，共20分)6.某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，排放時(shí)污染物的含量不超過1%.已知在過濾過程中廢氣中的污染物數(shù)量p(單位：毫克/升)與過濾時(shí)間t(單位：時(shí)

18、)之間的函數(shù)關(guān)系式為：p=p0e-kt(k，p0均為正的常數(shù)).若在前5小時(shí)的過濾過程中污染物被排除了90%，那么，至少還需要過濾_小時(shí)才可以排放. 【解析】t=0時(shí)，p=p0，由題意，知前5小時(shí)消除了90%的污染物，因?yàn)閜=p0e-kt，所以(1-90%)p0=p0e-5k，所以0.1=e-5k，即-5k=ln 0.1，所以k=-15ln 0.1.由1%p0=p0e-kt，即0.01=e-kt，所以-kt=ln 0.01，15ln0.1t=ln 0.01，所以t=10，所以至少還需要過濾5小時(shí)才可以排放.答案：57.物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻規(guī)律來描述：設(shè)物體的初始溫度是

19、t0，經(jīng)過一定時(shí)間t后的溫度是t，則t-ta=(t0-ta)·12th，其中ta表示環(huán)境溫度，h稱為半衰期.現(xiàn)有一杯用88 熱水沖的速溶咖啡，放在24 的房間中，如果咖啡降溫到40 需要20 min，則降溫到35 時(shí)，需要的時(shí)間為_min.(精確到1 min，參考數(shù)據(jù)：lg 20.30，lg 1.10.04) 【解析】由題意知40-24=(88-24)·1220h，即14=1220h，解得h=10.故t-24=(88-24)·12t10.當(dāng)t=35時(shí)，代入上式，得35-24=(88-24)·12t10，即12t10=1164.兩邊取對(duì)數(shù)，得t1

20、0lg 12=lg 1164，所以t=106lg2-lg11lg225，因此，約需要25 min，可降溫到35 .答案：258.某地區(qū)發(fā)生里氏8.0級(jí)特大地震.地震專家對(duì)發(fā)生的余震進(jìn)行了監(jiān)測(cè)，記錄的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表：強(qiáng)度(j)1.6×10193.2×10194.5×10196.4×1019震級(jí)(里氏)5.05.25.35.4注：地震強(qiáng)度是指地震時(shí)釋放的能量.地震強(qiáng)度(x)和震級(jí)(y)的模擬函數(shù)關(guān)系可以選用y=alg x+b(其中a，b為常數(shù)).利用散點(diǎn)圖(如圖)可知a的值等于_.(取lg 2=0.3進(jìn)行計(jì)算) 【解析】由記錄的部分?jǐn)?shù)據(jù)可知x=1.6

21、×1019時(shí)，y=5.0，x=3.2×1019時(shí)，y=5.2.所以5.0=alg(1.6×1019)+b，5.2=alg(3.2×1019)+b，-得0.2=alg 3.2×10191.6×1019，0.2=alg 2.所以a=0.2lg2=0.20.3=23.答案：239.某食品的保鮮時(shí)間t(單位：小時(shí))與儲(chǔ)藏溫度x(單位：)滿足函數(shù)關(guān)系t=64,x0,2kx+6,x>0,且該食品在4 的保鮮時(shí)間是16小時(shí).已知甲在某日上午11時(shí)購買了該食品，并將其遺放在室外，且此日的室外溫度隨時(shí)間變化如圖所示，給出以下結(jié)論：該食品在6 時(shí)的

22、保鮮時(shí)間是8小時(shí)；當(dāng)x-6，6時(shí)，該食品的保鮮時(shí)間t隨著x增大而逐漸減少；到了此日13時(shí)，甲所購買的食品還在保鮮時(shí)間內(nèi)；到了此日14時(shí)，甲所購買的食品已然過了保鮮時(shí)間.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是_. 【解析】因?yàn)槭称返谋ｕr時(shí)間t(單位：小時(shí))與儲(chǔ)藏溫度x(單位：)滿足函數(shù)關(guān)系t=64,x0,2kx+6,x>0且該食品在4 的保鮮時(shí)間是16小時(shí).所以24k+6=16，即4k+6=4，解得：k=-12，所以t=64,x0,2-12x+6,x>0,當(dāng)x=6時(shí)，t=8，故該食品在6 的保鮮時(shí)間是8小時(shí)，正確；當(dāng)x-6，0時(shí)，保鮮時(shí)間恒為64小時(shí)，當(dāng)x(0，6時(shí)，該食品的保鮮時(shí)間t

23、隨著x增大而逐漸減少，故錯(cuò)誤；到了此日11時(shí)，溫度為11，此時(shí)保鮮時(shí)間為2小時(shí)，故到13時(shí)，甲所購買的食品不在保鮮時(shí)間內(nèi)，故錯(cuò)誤；由可知到了此日14時(shí)，甲所購買的食品已然過了保鮮時(shí)間，故正確，故正確的結(jié)論的序號(hào)為：.答案：三、解答題(每小題10分，共30分)10.某廠有一個(gè)容量300噸的水塔，每天從早六點(diǎn)到晚十點(diǎn)供應(yīng)生活和生產(chǎn)用水，已知該廠生活用水每小時(shí)10噸，生產(chǎn)用水總量w(噸)與時(shí)間t(單位：小時(shí)，規(guī)定早晨六點(diǎn)時(shí)t=0)的函數(shù)關(guān)系為w=100t，水塔的進(jìn)水量有10級(jí)，第一級(jí)每小時(shí)進(jìn)水10噸，以后每提高一級(jí)，進(jìn)水量增加10噸.若某天水塔原有水100噸，在供應(yīng)同時(shí)打開進(jìn)水管，問該天進(jìn)水量應(yīng)選擇

24、幾級(jí)，既能保證該廠用水(即水塔中水不空)，又不會(huì)使水溢出？【解析】設(shè)水塔進(jìn)水量選擇第n級(jí)，在t時(shí)刻水塔中的水容量y等于水塔中的存水量100噸加進(jìn)水量10nt噸，減去生活用水10t噸，再減去生產(chǎn)用水w=100t噸，即y=100+10nt-10t-100t(0<t16).若水塔中的水量既能保證該廠用水，又不會(huì)使水溢出，則一定有0<y300，即0<100+10nt-10t-100t300，所以-10t+10t+1<n20t+10t+1對(duì)一切t(0，16恒成立.因?yàn)?10t+10t+1=-101t-122+7272，20t+10t+1=201t+142-14194.所以72<n194，即n=4.即進(jìn)水量應(yīng)選擇4級(jí).11.某公司對(duì)營(yíng)銷人員有如下規(guī)定：()年銷售額x(萬元)不大于8時(shí)，沒有年終獎(jiǎng)金；()年銷售額x(萬元)大于8時(shí)，年銷售額越大，年終獎(jiǎng)金越多.此時(shí)，當(dāng)年銷售額x(萬元)不大于64時(shí)，年終獎(jiǎng)金y(萬元)按解析式y(tǒng)=logax+b(a>0，且a1)發(fā)放；當(dāng)年銷售額x(萬元)不小于64時(shí)，年終獎(jiǎng)金y(萬元)為年銷售額x(萬元)的一次函數(shù).經(jīng)測(cè)算，當(dāng)年銷售額分別為16萬元，64萬元，