邊界層換熱微分與積分方程

1、Heat Transfer傳熱學傳熱學 Building Energy Efficiency is the Wave of the Future !5 對流換熱分析對流換熱分析 建筑環(huán)境與設備工程專業(yè)主干課程之一建筑環(huán)境與設備工程專業(yè)主干課程之一 !Chapter5 The Analysis of Convection Heat TransferL o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering本章內容要求：本章內容要求：v重點內容：對流換熱及其影響因素；牛頓冷卻重點內容：對流換熱及其影響因素；牛頓冷卻公式；用分析方法求

2、解對流換熱問題的實質；公式；用分析方法求解對流換熱問題的實質；邊界層概念及其應用；相似原理；無相變換熱邊界層概念及其應用；相似原理；無相變換熱的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)及換熱量的計算。的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)及換熱量的計算。v掌握內容：對流換熱及其影響因素；用分析方掌握內容：對流換熱及其影響因素；用分析方法求解對流換熱問題的實質。法求解對流換熱問題的實質。L o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering5-2 邊界層換熱微分與積分方程邊界層換熱微分與積分方程一、邊界層概念一、邊界層概念層流底層層流底層過渡層過渡層u湍流湍流過渡流過渡流層流層

3、流cxyx L o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering1. 1. 物理現(xiàn)象物理現(xiàn)象 當粘性流體在壁面上流動時，由當粘性流體在壁面上流動時，由于粘性的作用，在貼附于壁面的流體速度實際于粘性的作用，在貼附于壁面的流體速度實際上等于零，在流體力學中稱為貼壁處的無滑移上等于零，在流體力學中稱為貼壁處的無滑移邊界條件。邊界條件。 2. 2. 實驗測定實驗測定 若用儀器測出壁面法向（若用儀器測出壁面法向（y y向）的速向）的速度分布，如上圖所示。在度分布，如上圖所示。在y=0y=0處，處，u=0u=0；此后隨；此后隨增大，也

4、增大。經過一個薄層后接近主增大，也增大。經過一個薄層后接近主流速度。流速度。L o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering3. 3. 定義定義 這一薄層稱為流動邊界層（速度邊這一薄層稱為流動邊界層（速度邊界層），通常規(guī)定：界層），通常規(guī)定： （主流速度）（主流速度）處的距離處的距離 為流動邊界層厚度，記為為流動邊界層厚度，記為 。 0.99uuy 4. 4. 數(shù)量級數(shù)量級 流動邊界層很薄，如空氣，以流動邊界層很薄，如空氣，以 掠過平板，在離前緣掠過平板，在離前緣 處的邊處的邊界層厚度約為界層厚度約為 。16 /um

5、s1m5mmL o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering5mm3200/m s16/m s5.5.物理意義物理意義 在這樣薄的一層流體內，其在這樣薄的一層流體內，其速度梯度是很大的。在速度梯度是很大的。在 的薄層中，氣的薄層中，氣流速度從流速度從 0 0 變到變到 ，其法向平均變，其法向平均變化率高達化率高達 。L o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineeringxuy 根據根據牛頓粘性定律牛頓粘性定律，流體的剪應力與流體的剪應力與垂直運動方向

6、的速度梯度成正比垂直運動方向的速度梯度成正比，即：，即：式中：式中： 向的粘滯應力；向的粘滯應力； 動力粘度動力粘度 。x x2N mkg m s L o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering6. 6. 掠過平板時邊界層的形成和發(fā)展掠過平板時邊界層的形成和發(fā)展cxu(1) (1) 流體以速度流體以速度 流進平板前緣后，邊界層逐漸增厚，但流進平板前緣后，邊界層逐漸增厚，但在某一距離在某一距離 以前會保持以前會保持層流層流。(2) (2) 但是隨著邊界層厚度的增加，必然導致壁面粘滯力對但是隨著邊界層厚度的增加，必然導致

7、壁面粘滯力對邊界層外緣影響的減弱。自邊界層外緣影響的減弱。自 處起，層流向湍流過渡（處起，層流向湍流過渡（過過渡區(qū)渡區(qū)），進而達到旺盛湍流，故稱），進而達到旺盛湍流，故稱湍流邊界層湍流邊界層。cxL o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering (3) (3) 湍流邊界層包括湍流邊界層包括湍流核心湍流核心、緩沖層緩沖層、層流底層層流底層。在層。在層流底層中具有較大的速度梯度。流底層中具有較大的速度梯度。 L o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Enginee

8、ring7. 7. 臨界雷諾數(shù)臨界雷諾數(shù) 運動粘度運動粘度 ； 動力粘度動力粘度Reccu x 2ms v采用臨界雷諾數(shù)采用臨界雷諾數(shù) 來判別層流和湍流。來判別層流和湍流。v對管內流動：對管內流動： 為層流為層流 反之反之 為湍流為湍流v對縱掠平板：對縱掠平板：一般取一般取 Re2300c5Re5 10cRecL o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering8. 8. 小結小結 綜上所述，流動邊界層具有下列重要特性綜上所述，流動邊界層具有下列重要特性(1) (1) 流場可以劃分為兩個區(qū)：流場可以劃分為兩個區(qū)：NS (b

9、)(b)主流區(qū)主流區(qū)邊界層外，流速維持邊界層外，流速維持 不變，流動可以作為理想流體的無旋流動，不變，流動可以作為理想流體的無旋流動，用描述理想流體的運動微分方程求解。用描述理想流體的運動微分方程求解。 u (a)(a)邊界層區(qū)邊界層區(qū)必須考慮粘性對流動的必須考慮粘性對流動的影響，要用影響，要用 方程求解。方程求解。L o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering(2) (2) 邊界層厚度與壁面尺度相比，是一個很邊界層厚度與壁面尺度相比，是一個很 小的量小的量 。 l 0.5/1.13um slmcm 0.4/1.13

10、um slmcm L o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering(3) (3) 邊界層分：邊界層分：v 層流邊界層層流邊界層速度梯度較均勻地分布于全層。速度梯度較均勻地分布于全層。v 湍流邊界層湍流邊界層在緊貼壁面處，仍有一層極薄層保持層在緊貼壁面處，仍有一層極薄層保持層流狀態(tài)，稱為層流流狀態(tài)，稱為層流 底層。底層。v 速度梯度主要集中在速度梯度主要集中在層流底層層流底層。(4) (4) 在邊界層內，粘滯力與慣性力數(shù)量級相同。在邊界層內，粘滯力與慣性力數(shù)量級相同。L o g oL o g o建筑工程系 The Dep

11、artment of Construction Engineering9. 熱邊界層熱邊界層 yx等溫流動區(qū)等溫流動區(qū)溫度邊界層溫度邊界層 t ,0wtt ,utL o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering 由于速度在壁面法線方向的變化出現(xiàn)了流動由于速度在壁面法線方向的變化出現(xiàn)了流動邊界層，同樣，當流體與壁面之間存在溫度差時，邊界層，同樣，當流體與壁面之間存在溫度差時，將會產生將會產生熱邊界層熱邊界層，如上圖所示如上圖所示。在在 處，流體溫度等于壁溫處，流體溫度等于壁溫 ，0ywt t 0wtt L o g oL

12、o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering 當流體流過平板而平板的溫度當流體流過平板而平板的溫度tw與來流流體的溫度與來流流體的溫度t不不相等時，在相等時，在壁面上方形成的溫度發(fā)生顯著變化的薄層，壁面上方形成的溫度發(fā)生顯著變化的薄層，常稱為熱邊界層常稱為熱邊界層。稱為稱為熱邊界層的厚度熱邊界層的厚度。 v熱邊界層以外可視為等溫流動區(qū)（主流區(qū)）。熱邊界層以外可視為等溫流動區(qū)（主流區(qū)）。t L o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering邊界層邊界層概念的引入

13、可使換熱微分方程組得以簡化概念的引入可使換熱微分方程組得以簡化:1.數(shù)量級分析數(shù)量級分析：比較方程中各量或各項的量級比較方程中各量或各項的量級的相對大??；保留量級較大的量或項；舍去的相對大小；保留量級較大的量或項；舍去那些量級小的項，方程大大簡化。那些量級小的項，方程大大簡化。二二. 邊界層換熱微分方程組邊界層換熱微分方程組例：二維、穩(wěn)態(tài)、例：二維、穩(wěn)態(tài)、層流、層流、 忽略重力忽略重力L o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering2. 52. 5個基本量的數(shù)量級：個基本量的數(shù)量級：主流速度：主流速度：溫度：溫度：壁面

14、特征長度：壁面特征長度：邊界層厚度：邊界層厚度：x x 與與 l l 相當，即：相當，即：);1 (0u);1 (0t);1 (0l)(0 );(0t);1 (0 lx)(0 0yyL o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering3. 邊界層中二維穩(wěn)態(tài)能量方程式的各項邊界層中二維穩(wěn)態(tài)能量方程式的各項數(shù)量數(shù)量級級可分析如下：可分析如下：ttttuvaxyxxyy數(shù)量級數(shù)量級1111111 111121L o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineerin

15、g2222ttxy由于由于 因而可以把主流方向的二階導因而可以把主流方向的二階導數(shù)項數(shù)項 略去于是得到略去于是得到二維、穩(wěn)態(tài)、無內二維、穩(wěn)態(tài)、無內熱源的邊界層能量方程熱源的邊界層能量方程為：為：22tx22tttuvaxyyL o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering 于是得到二維、穩(wěn)態(tài)、無內熱源的邊界層換熱微分于是得到二維、穩(wěn)態(tài)、無內熱源的邊界層換熱微分方程組：方程組：連續(xù)性方程連續(xù)性方程動量守恒方程動量守恒方程能量守恒方程能量守恒方程0yvxu22tttuvaxyy221ttdpuuvxydxy L o g o

16、L o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering4.上述方程的上述方程的定解條件：定解條件：00,0,wyuvttyuutt時對于平板，分析求解上述方程組（此時對于平板，分析求解上述方程組（此時 ) )可得可得局部表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)的表達式局部表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)的表達式（層流范圍）：（層流范圍）：0dpdxL o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering11230.332xu xhxa 3121332. 0axuxhx3121PrRe332. 0 xxNu特征數(shù)方程特征

17、數(shù)方程或準則方程或準則方程L o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering式中：式中：xhNuxx努塞爾努塞爾(Nusselt)數(shù)數(shù)xuxRe雷諾雷諾(Reynolds)數(shù)數(shù)aPr普朗特數(shù)普朗特數(shù)一定要注意上面準則方程的適用條件：一定要注意上面準則方程的適用條件：外掠等溫平板、無內熱源、層流！外掠等溫平板、無內熱源、層流！L o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering5.5. 與與 t t 之間的關系之間的關系對于外掠平板的層流流動對于外掠平

18、板的層流流動: :22ytaytvxtu此時動量方程與能量方程的形式完全一致此時動量方程與能量方程的形式完全一致: :0 ,dxdpconstu22 yuyuvxuu動量方程：L o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering表明：表明：此情況下動量傳遞與熱量傳遞規(guī)律此情況下動量傳遞與熱量傳遞規(guī)律相似。相似。特別地：特別地：對于對于 = = a a 的流體（的流體（Pr=1Pr=1），），速度場與無量綱溫度場將完全相似，這是速度場與無量綱溫度場將完全相似，這是Pr=1Pr=1的另一層物理意義：的另一層物理意義：表示流動邊

19、界層表示流動邊界層和溫度邊界層的厚度相同。和溫度邊界層的厚度相同。L o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering三、三、 邊界層積分方程組的求解邊界層積分方程組的求解1. 1. 邊界層積分方程邊界層積分方程v19211921年，馮年，馮卡門提出了邊界層動量積分卡門提出了邊界層動量積分方程。方程。v19361936年，克魯齊林求解了邊界層能量積年，克魯齊林求解了邊界層能量積分方程。分方程。v近似解，簡單容易。近似解，簡單容易。L o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construct

20、ion Engineering 用邊界層積分方程求解對流換熱問題的基用邊界層積分方程求解對流換熱問題的基本思想本思想: :(1)(1)建立邊界層積分方程建立邊界層積分方程 針對包括固體邊界針對包括固體邊界及邊界層外邊界在內的有限大小的控制容及邊界層外邊界在內的有限大小的控制容積；積；(2)(2)對邊界層內的速度和溫度分布作出假設對邊界層內的速度和溫度分布作出假設，常用的函數(shù)形式為多項式；常用的函數(shù)形式為多項式；L o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering(3)(3)利用邊界條件確定速度和溫度分布中的利用邊界條件確定

21、速度和溫度分布中的常數(shù)，然后將速度分布和溫度分布帶入常數(shù)，然后將速度分布和溫度分布帶入積分方程，積分方程，解出解出 和和 的計算式；的計算式；(4)(4)根據求得的速度分布和溫度分布計算固根據求得的速度分布和溫度分布計算固體邊界上的：體邊界上的：Nucytyufyy和及00tL o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering2. 2. 邊界層積分方程的推導邊界層積分方程的推導將邊界層能量微分方程式對將邊界層能量微分方程式對如圖如圖5-155-15所示所示的任意截面做的任意截面做 到到 的積分：的積分：0y y 22000

22、tttudyvdyadyxyy（a a）L o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering根據邊界層的概念，根據邊界層的概念， 時時 ，因而在該處因而在該處 ，tytt0tx0ty，則有：則有：220ty22000ttttttudyvdyadyxyy（b）L o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering其中：其中：0000ttttttvvvdyvttdyv ttdyyyy（c c）為了導出僅包括速度的方程，把（為了導出僅包括速度的方程，把（c c

23、）式中）式中的的 項及項及 項通過連續(xù)性方程進行轉換項通過連續(xù)性方程進行轉換vytv00ttvudydyyx 00tttvuvdydyyx （d d）L o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering將（將（d d）式代入（）式代入（c c）式：）式：000ttttuuvdytdytdyyxx （e e）對式（對式（b b）中的擴散項積分：）中的擴散項積分：220000tttyyytttttadyaaayyyyy （f）L o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction

24、Engineering將式（將式（e e）（）（f f）代入式（）代入式（b b），得：），得：0000tttytuutudytdytdyaxxxy 等號左端的三項可進一步簡化為：等號左端的三項可進一步簡化為：000()tttuttuutdydyututdyxxxx0()tdu ttdydxL o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering最后的最后的邊界層能量積分方程邊界層能量積分方程為：為：00()tydtu ttdyadxy 用類似的方法可以導出用類似的方法可以導出邊界層動量積分方程為：邊界層動量積分方程為：00(

25、)tyduu uu dydxy 兩個方程，兩個方程，4 4個未知量：個未知量：u, t, u, t, , , t t 。要使方程組封閉，。要使方程組封閉，還必須補充兩個有關這還必須補充兩個有關這4 4個未知量的方程。這就是關于個未知量的方程。這就是關于u u 和和 t t 的分布方程。的分布方程。L o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering3. 3. 邊界層積分方程組求解：邊界層積分方程組求解：邊界層中的速度分布為：邊界層中的速度分布為：33122uyyu上式微分：上式微分：032yududy代入動量積分方程：代入

26、動量積分方程：00)(yyudyuuudxd00()tyduu uu dydxy L o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction EngineeringxxoruxRe64. 464. 4X X處的局部壁面切應力為：處的局部壁面切應力為：xywuxuudyduRe323. 064. 412320L o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering在工程中常使用局部切應力與流體動壓頭之比這個無量在工程中常使用局部切應力與流體動壓頭之比這個無量綱量，并稱之為范寧摩擦系數(shù)，簡

27、稱綱量，并稱之為范寧摩擦系數(shù)，簡稱摩擦系數(shù)。摩擦系數(shù)。212Re646. 021xwfuc21Re292. 1xfmc平均摩擦系數(shù)：平均摩擦系數(shù)：L o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering上面求解動量積分方程獲得的是近似解，而求解上面求解動量積分方程獲得的是近似解，而求解動量微分方程可以獲得動量微分方程可以獲得 的精確解，的精確解，分別為：分別為：fcandxxxRe0 . 521Re664. 0 xfc21Re646. 0 xfcxxRe64. 4可見二者非常接近！可見二者非常接近！L o g oL o g o

28、建筑工程系 The Department of Construction Engineering求解能量積分方程，可得求解能量積分方程，可得無量綱過余溫度分布無量綱過余溫度分布：32123ttwwyyttttxt213131RePr52. 4026. 1Pr熱邊界層厚度：熱邊界層厚度：強調：強調：以上結果都是在以上結果都是在 Pr Pr 1 1 的前提下得到的！的前提下得到的！L o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering局部對流換熱系數(shù)：局部對流換熱系數(shù)：31210PrRe332. 023xtywxxyttth11

29、1133220.332Re Pr0.664Re Prxxxh xhlNuNu平均努塞爾數(shù)：平均努塞爾數(shù)：32123ttwwyyttttL o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering4.4.計算時，計算時，注意四點注意四點：a Pr a Pr 1 1 ；b b ， 兩對變量的差別；兩對變量的差別；c cd d 定性溫度：定性溫度：NuNu 與hhx與5105Re2wtttL o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering本節(jié)小結：本節(jié)小結：一、邊

30、界層概念：流動邊界層與熱邊界層一、邊界層概念：流動邊界層與熱邊界層二二. 邊界層換熱微分方程組與層流邊界層對流換熱的解；邊界層換熱微分方程組與層流邊界層對流換熱的解；三、三、 邊界層積分方程組與層流邊界層對流換熱的積分近似解；邊界層積分方程組與層流邊界層對流換熱的積分近似解；L o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering二維、穩(wěn)態(tài)、層流、無內熱源的邊界層換熱微分方程組：二維、穩(wěn)態(tài)、層流、無內熱源的邊界層換熱微分方程組：連續(xù)性方程連續(xù)性方程動量守恒方程動量守恒方程能量守恒方程能量守恒方程0yvxu22tttuvaxyy

31、221ttdpuuvxydxy L o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering式中：式中：xhNuxx努塞爾努塞爾(Nusselt)數(shù)數(shù)xuxRe雷諾雷諾(Reynolds)數(shù)數(shù)aPr普朗特數(shù)普朗特數(shù)一定要注意上面準則方程的適用條件：一定要注意上面準則方程的適用條件：穩(wěn)態(tài)、無內熱源、層流！穩(wěn)態(tài)、無內熱源、層流！L o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering5.5. 與與 t t 之間的關系之間的關系對于外掠平板的層流流動對于外掠平板的層流流

32、動: :22ytaytvxtu此時動量方程與能量方程的形式完全一致此時動量方程與能量方程的形式完全一致: :0 ,dxdpconstu22 yuyuvxuu動量方程：L o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction Engineering表明：表明：此情況下動量傳遞與熱量傳遞規(guī)律此情況下動量傳遞與熱量傳遞規(guī)律相似。相似。特別地：特別地：對于對于 = = a a 的流體（的流體（Pr=1Pr=1），），速度場與無量綱溫度場將完全相似，這是速度場與無量綱溫度場將完全相似，這是Pr=1Pr=1的另一層物理意義：的另一層物理意義：表示流動邊界層表示流動邊界層和溫度邊界層的厚度相同。和溫度邊界層的厚度相同。L o g oL o g o建筑工程系 The Department of Construction EngineeringxxRe0 . 521,