中考數(shù)學 第一部分 基礎知識過關 第一章 數(shù)與式 第4講 二次根式課件 (22)

1、第第1818講講 直角三角形與三角函數(shù)直角三角形與三角函數(shù)泰安考情分析泰安考情分析基礎知識過關基礎知識過關泰安考點聚焦泰安考點聚焦總綱目錄總綱目錄隨堂鞏固練習隨堂鞏固練習泰安考情分析基礎知識過關知識點一知識點一 直角三角形的性質(zhì)和判定直角三角形的性質(zhì)和判定知識點二知識點二 銳角三角函數(shù)銳角三角函數(shù)知識點三知識點三 解直角三角形解直角三角形知識點四知識點四 解直角三角形的實際應用解直角三角形的實際應用知識點一知識點一 直角三角形的性質(zhì)和判定直角三角形的性質(zhì)和判定1.1.直角三角形的性質(zhì)直角三角形的性質(zhì)(1)直角三角形的兩個銳角 互余 .(2)在直角三角形中,30的角所對的直角邊等于斜邊的 一半

2、.(3)勾股定理:直角三角形兩條直角邊的平方和等于 斜邊的平方 .(4)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的 一半 .2.2.直角三角形的判定直角三角形的判定(1)有兩個銳角 互余 的三角形是直角三角形.(2)如果三角形的兩直角邊長為a,b,斜邊長為c,且滿足 a2+b2=c2 ,那么這個三角形是直角三角形.溫馨提示溫馨提示 (1)勾股定理闡述的是直角三角形中三邊之間的數(shù)量關系,即在直角三角形中,已知兩邊長度能夠運用勾股定理求第三邊的長度;(2)勾股定理逆定理的作用:可以判斷一個三角形是不是直角三角形;證明兩條線段垂直.知識點二知識點二 銳角三角函數(shù)銳角三角函數(shù)1.銳角三角函數(shù)的定義如圖,在RtA

3、BC中,C=90,A、B、C的對邊分別為a、b、c,則A的正弦sin A= = ,A的余弦cosA= = , A的正切tan A= = .A 的對邊斜邊acA 的鄰邊斜邊bcAA的對邊的鄰邊ab溫馨提示溫馨提示 (1)sin A、cos A、tan A表示的是一個整體,是指兩條線段的比,沒有單位.(2)銳角三角函數(shù)的大小僅與角的大小有關,與該角所處的直角三角形的大小無關.2.2.特殊角的三角函數(shù)值特殊角的三角函數(shù)值三角函數(shù) 304560sin cos tan 1122232322212333溫馨提示溫馨提示 30、45、60角的正弦值的分母都是2,分子分別是1、,由此可知,隨著角的度數(shù)的增大,

4、正弦值逐漸增大;同理可得,隨著角的度數(shù)的增大,余弦值逐漸減小.3.三角函數(shù)之間的關系(1)同角三角函數(shù)之間的關系:sin2+cos2=1,tan =.(2)互余兩角的三角函數(shù)之間的關系:若A +B=90,則sin A =cosB,sin B=cos A.sincos23知識點三知識點三 解直角三角形解直角三角形1.1.解直角三角形的定義解直角三角形的定義: :由直角三角形中除直角外的已知元素,求出所有未知元素的過程,叫做解直角三角形.2.2.直角三角形的邊角關系直角三角形的邊角關系在RtABC中,C=90,A、B、C的對邊分別為a、b、c.(1)三邊之間的關系:a2+b2=c2;(2)兩個銳角

5、之間的關系:A+B= 90 ;(3)邊角之間的關系:sin A=,cos A=,tan A=,sin B=,cos B=,tan B=.溫馨提示溫馨提示 解直角三角形的思路可概括為“有斜(斜邊)用弦(正弦、余弦)、無斜用切(正切)、寧乘勿除、取原避中”.acbcabbcacba知識點四知識點四 解直角三角形的實際應用解直角三角形的實際應用1.1.解直角三角形應用中常見的術語解直角三角形應用中常見的術語仰角、俯角在視線與水平線所成的銳角中,視線在水平線上方所形成的角叫仰角,視線在水平線下方所形成的角叫俯角坡度(坡比)、坡角坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫坡度(坡比),用字母i表示;坡面與水平線

6、所成的銳角叫坡角,i=tan =方向角一般指以觀測者的位置為中心,將正北或正南方向作為起始方向,其與旋轉(zhuǎn)到目標的方向線所成的角(一般指銳角)通常表達成北(南)偏東(西)度,如圖,A點位于O點的北偏東30方向,B點位于O點的南偏東60方向,C點位于O點的北偏西45方向(或西北方向)hl2.2.解直角三角形在實際問題中應用的一般步驟解直角三角形在實際問題中應用的一般步驟(1)將實際問題抽象為數(shù)學問題(畫出平面圖形,轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題);(2)根據(jù)條件的特點,適當選用銳角三角函數(shù)解直角三角形.泰安考點聚焦考點一考點一 直角三角形的性質(zhì)和判定直角三角形的性質(zhì)和判定考點二考點二 銳角三角函數(shù)銳角三

7、角函數(shù)考點三考點三 解直角三角形解直角三角形考點一考點一 直角三角形的性質(zhì)和判定直角三角形的性質(zhì)和判定例例1 1如圖,在直角O的內(nèi)部有一滑動桿AB,當端點A沿直線AO向下滑動時,端點B會隨之自動地沿直線OB向左滑動,如果滑動桿從圖中AB處滑動到AB處,那么滑動桿的中點C所經(jīng)過的路徑是( B )A.直線的一部分 B.圓的一部分C.雙曲線的一部分 D.拋物線的一部分解析解析連接OC、OC,如圖,AOB=90,C為AB中點,OC=AB=AB=OC,當端點A沿直線AO向下滑動時,AB的中點C到O的距離始終為定長,滑動桿的中點C所經(jīng)過的路徑是一段圓弧.故選B.1212考點二考點二 銳角三角函數(shù)銳角三角函

8、數(shù)例例2 2如圖,在ABC中,C=90,AB=5,BC=3,則cos A的值是( D )A. B. C. D. 34433545解析解析根據(jù)銳角的余弦等于鄰邊比斜邊求解即可,AB=5,BC=3,AC=4,cos A= = .故選D.ACAB45變式變式2-12-1在ABC 中,若角A,B滿足 +(1-tan B)2= 0,則C 的大小是( D )A.45B.60 C.75D.1053cos2A解析解析由題意得,cos A=,tan B=1,則A=30,B=45,則C=180-30-45=105.故選D.32考點三考點三 解直角三角形解直角三角形例例3 3 (2016泰安)如圖,輪船沿正南方向以

9、30海里/時的速度勻速航行,在M處觀測到燈塔P在西偏南68方向上,航行2小時后到達N處,觀測燈塔P在西偏南46方向上,若該船繼續(xù)向南航行至離燈塔最近位置,則此時輪船離燈塔的距離約為(由科學計算器得到sin 680.927 2,sin 460.719 3,sin 220.374 6,sin 440.694 7)( B )A.22.48海里 B.41.68海里C.43.16海里 D.55.63海里解析解析過點P作PGMN于G.依題意可知MN=60海里,PMN=22,PNG=44.MPN=PMN,NP=MN=60海里.在RtPNG中,sinPNG= ,PG=PNsinPNG=PNsin 44600.

10、694 741.68(海里).此時輪船離燈塔的距離約為41.68海里,故選B.PGPN變式變式3-13-1如圖,輪船從B處以每小時60海里的速度沿南偏東20方向勻速航行,在B處觀測燈塔A位于南偏東50方向上,輪船航行40分鐘到達C處,在C處觀測燈塔A位于北偏東10方向上,則C處與燈塔A的距離是( D )A.20海里 B.40海里C. 海里 D.海里20 3340 33解析解析如圖,作AMBC于M.由題意得,DBC=20,DBA=50,BC=60=40海里,NCA=10,則ABC=DBA-DBC=50-20=30.BDCN,BCN=DBC=20,ACB=ACN+BCN=10+20=30,ACB=

11、ABC=30,AB=AC,4060AMBC于M,CM=BC=20海里.在RtACM中,AMC=90,ACM=30,AC= = = (海里).故選D.12cosCMACM203240 33溫馨提示溫馨提示 根據(jù)例題和變式訓練可以發(fā)現(xiàn),一般解直角三角形類題目的處理,可以看做是“割補”思想的拓展,即把原圖形通過“割補”,處理成有“大眾邊”的兩個直角三角形,具體題目中,再根據(jù)大眾邊的“已知”或“未知”決定進行直接運算或者設未知數(shù)x.一、選擇題一、選擇題1.(2017浙江溫州)如圖,一輛小車沿傾斜角為的斜坡向上行駛13米,已知cos = ,則小車上升的高度是( A )A.5米 B.6米 C.6.5米 D

12、.12米1213隨堂鞏固訓練2.如圖,在ABC中,C=90,B=30,AD是ABC的角平分線,DEAB,垂足為E,DE=1,則BC=( C )A. B.2 C.3 D.+2333.(2018泰安)如圖,M的半徑為2,圓心M的坐標為(3,4),點P是M上的任意一點,PAPB,且PA、PB與x軸分別交于A、B兩點,若點A、點B關于原點O對稱,則AB的最小值為( C )A.3 B.4 C.6 D.8二、填空題二、填空題4.(2018泰安)如圖,在矩形ABCD中,AB=6,BC=10,將矩形ABCD沿BE折疊,點A落在A處,若EA的延長線恰好過點C,則sinABE的值為 .1010解析解析由折疊知AB

13、=AB=6,在RtABC中,根據(jù)勾股定理得AC=8,設AE=x,則AE=x,在RtDEC中,DE2+DC2=EC2,即(10-x)2+62=(8+x)2,解得x=2,即AE的長為2.在RtAEB中,求得sinABE= .10105.(2018濱州)在ABC中,C=90,若tan A=,則sin B= .解析解析如圖所示:C=90,tan A= ,設BC=x,則AC=2x,故AB= x,則sin B= = = .122 55125ACAB25xx2 55三、解答題三、解答題6.(2018德州)如圖,兩座建筑物的水平距離BC為60 m.從C點測得A點的仰角 為53,從A點測得D點的俯角為37,求兩座建筑物的高度.